CC BY
30
УДК 519 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 3
И. Г. Бурова, Т. О. Евдокимова
О ГЛАДКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СПЛАЙНАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА*
Непрерывные тригонометрические сплайны предложены в [1]. В работе [2] построены непрерывно дифференцируемые тригонометрические сплайны первого порядка, со свойствами, аналогичными B-сплайнам второй степени (см. [3]). Здесь предлагаются тригонометрические сплайны второго порядка, обладающие тремя непрерывными производными, а также задачи интерполяции (метод постановки аналогичен работе [4]), и результаты численного эксперимента.
1. Пусть функция f € C3(R1) задана в узлах равномерной сетки {xj}, Xj = jh, h > 0, j =0, ±1, ±2, так что ... < Xj_i < Xj < Xj+i < ...
Пусть Mi и M2 — целые числа, удовлетворяющие условиям Mi + M2 = 2m, m = 2, Mi > 0, M2 > 1. Будем строить базисные сплайны Uj € C3(R1), предполагая, что supp Uj = [xj_M2, Xj+Mi+i], как решение линейной алгебраической системы уравнений относительно Uj (x) отдельно на каждом промежутке [xk,Xk+i] € [Xj_M2 ,Xj+M1+i] при условии Uj € C3(Ri). В частности, на промежутке [xj,Xj+i] имеем систему уравнений
j + M2
uk(x) =
k=j_Mi j + M2
У sin(xk )uk(x) = Ció sin(x) + Coi cos(x),
k=j_Mi j + M2
y^ cos(xk)uk(x) = -Coi sin(x) + Ció cos(x), (1)
k=j_Mi j + M2
У sin(2xk)uk(x) = c30 sin(2x) + c03 cos(2x),
k=j_Mi j + M2
У cos(2xk)uk(x) = —c03 sin(2x) + c30 cos(2x).
k=j_Mi
Параметры ció, Coi, c3o, co3 определяем из условия Uj € C3(Ri).
При значении параметров
К sin(h)(2 cos(h) + 1)
c10 = - l + 2cos fe , coi =--\/[ J,
3 3(cos(h) + 1)
cos2 (h)(2 cos(h) + 1) sin(2h)(2 cos(h) + 1)
c3 0 — ---, CQ3 —
3 ' 03 6
* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам при Президенте РФ по поддержке молодых ученых и ведущих научных школ (грант НШ-2268.2003.1) и РФФИ (гранты №04-01-00692 и 04-01-00026).
© И. Г. Бурова, Т. О. Евдокимова, 2004
получаем решение
WJ_2(S) = fsm4 (l-x-l-3h-l-h
0 А ' 24Z{h) V V2 2 2
= ШЩ (6sin2 (H " 2sin2{h) " 4sin4 " l2h) ~
—4sin4 ( —x--jh--h) — 8sin2 ( —x--jh--h) cos(2/i)+
\2 2J 2 ) V2 2 2 У
+ sin2 ^ж — jh — —h^j + sin2 ^ж — jh — —h u,i+1(x) = (2sm\h) - 6sm2 Q) + 4sm4 Q* - ¡jh)} +
+4sin4 ^-ж — —jh — -h^j — sin2 ^ж — jh + -h^j +
^х) = Шь) (sin4
(x) = 1 - ^j-2(x) - Uj-l{x) - ^j+1(x) - Wj+2 (x),
где
ад = cos2 Q) sin4 Q
2. Рассмотрим следующие задачи интерполяции:
f (XS ) + (-1)M2-1kí(h)f ' (xa) + k2(h)f" (xa) + (-1)M2-1k3(h) f"'(xa) =
= f(xs) + (-1)M2-1k!(h) f'(xs) + h (h)f'' (xs) + (-1)M2-1k3(h) f" (xs ), S = 0, ±1,...
(2)
j + M2
f(x)= E (f ^ ) + (-1)M2-1ki(h)f '(xk )+
k=j-Mi
+k2(h)f''(xk) + (-1)M2-1k3(h)f(xk))Uk(x),x e [xj,xj+i), (3)
где в случаях а) M1 = M2 = 2 и а') M1 = 1, M2 = 3 имеем
2 + 4cos(h) K ' 1 + 2 cos(h)'
1 + 2 cos(h)'
в случаях б) M1 = 3, M2 = 1 и б') M1 =0, M2 = 4
~ tg(fe)(l + 2 cos(fe)) - sin2|(5 + 6cos(fe))
ki(h) =-J-, k2(h)= l + 2cos{h)
н
к3(к) = 8Ш2
а Шк (х) —рассматриваемые тригонометрические сплайны второго порядка.
В дальнейшем, для краткости, перечисленные выше задачи будем обозначать через 2-3a, 2-3a/, 2-3б и 2-3б' соответственно. Справедлива следующая
Теорема 1. Пусть функция /(х) .задается формулой (3), тогда /(х) — /(х) = 0 для /(х) = вш(кх) и /(х) = сов(кх), к = 0, 1, 2.
Доказательство. Справедливость утверждения следует из соотношений (1) при Ы\ = М2 = 2, если функция /(х) задается формулами (2-3а), при Ы\ = 1, М2 = 3, если функция /(х) задается формулами (2-3а/), при Ы\ = 3, М2 = 1, если функция /(х) задается формулами (2-3б), и при М\ = 0, М2 = 4, если функция /(х) задается формулами (2-3б/).
3. Полиномиальные B-сплайны четвертой степени имеют вид
1
24 Н4
(х — х^-2)4, х е [х-, х^-1),
1 1 1 2 --1--(х — Ж,'_1 н--7т(х — Ж,'_1 +
24 6/1 0 ' 4к2К з ^
+ _(*-*,•_!) — (ж — Ху—х) , х£ Ь хз\
11 1
1
+ о г, (ж
V (х) = <
24 2н 1
Й - - - - + -
1
"б/Й
(х — х]+1 )4, х е [х]+1, х]+2),
11
- 7ГГ(Ж - жЗ + 2) + " Х3 +2) " ТПЗ " жЗ+2) +
24 6Н 1
6Н3
и могут быть получены с помощью решения системы линейных уравнений
3+2
3+2
У^ Ук(х) = 1, ^ хк (х) = х —
к=]-2 3+2
к=]-2
х1<Рк{х) = х2 -кх + -ь2
к=3-2
3+2 3 3
х\^рк{х) = X3 + 2Ь2х--/1Ж2--И3,
к=3-2 3+2
хк Vк(х
к=3-2
: ж4 - 2кх3 + 4:Н2х2 - 3к3х + -Н4.
6
(4)
н
4. В случае полиномиальных В-сплайнов из п. 3 будем рассматривать следующие задачи интерполяции:
/ы + (-1)М2-1к1(Н)/' (ха) + к2(Н)/" (ха) + (-1)М2-1кз(к)/"'(ха) = !(ха) + (-1)М2-1%1(к)/'(хя) + к2(к)/''(ха) + (-1)М-1кз(к)/'''(ха), 8 = 0, ±1,...
(5)
/(х)= £ /(хк) + (-1)М2-1к1(к)Г(хк)+
к=з-Мг
+к2(к)Г'(хк) + (-1)М2-1кз(к)/"'(хк))^к(х), х € х,хй+1), (6)
где в случаях а) М1 = 2, М2 = 2 и а') М1 = 1, М2 = 3
к к2 к3 = к2(Н) = --, к3(Н) =
в случаях б) М1 = 3, М2 = 1 и б') М1 =0, М2 = 4
Далее нам удобно использовать обозначения /(0)(х) = /(х), / (0)(х) = / (х) и
/ (0)(х) = / (х). На промежутке [х^, х^+1) для решения задач интерполяции с помощью полиномиальных сплайнов четвертой степени справедливы следующие оценки. Теорема 2. Пусть функция / € Съ[х^-М1, х^+М2], тогда при х € [х^, х^+1]
/(а)(х) -/ (а)(х)
< к5-аК,
а, М1, М2
а = 0, 1, 2, 3,
К5)
С[хз-м1 ,х^ + м2 ]
где при М1 =2, М2 = 2
при М1 = 1, М2 = 3
при М1 = 3, М2 = 1
Ко, 2,2 « 0,079, К1,2,2 « 0,206, К2, 2, 2 « 1,401, Кз, 2, 2 « 6,992,
Ко, 1,3 « 0,079, К1г1,3 « 0,209, К2,1, з « 0,874, Кз, 1, з « 2,299,
Ко, з, 1 « 4,965, К1, з, 1 « 4,02, К2з 1 « 21,221, Кз з 1 « 109,589,
при Мх =0, М2 = 4
Ко, 0,4 « 2,044, К2, о, 4 « 16,804,
К, 0,4 « 4,044, К3,0,4 « 35,993,
а функция /(х) определяется формулами (5-6а)—(5-6б/) соответственно.
Доказательство. Представив /(а\хк), а = 0, 1, 2, 3, к = ( - Мх,...,( + М2 по формуле Тейлора четвертого порядка в окрестности точки х с остаточным членом в форме Лагранжа и использовав соотношения (4), получаем требуемое.
5. Результаты численного эксперимента. Пусть на промежутке [0, 1] заданы значения функции /(¡Н) и ее производных /(а)(¡К), а = 1, 2, 3, Н = 0,1.
Приведем значения Мариг = шахже[0, ц Для задачи интерполяции (2-3б/)
/(«)(х) - /(а)(х)
0, 1, 2, 3.
/(х) М0триг М1триг М2триг М3триг
х 0,00000076 0,00000056 0,00003204 0,00333611
2 х2 0,0000017 0,00000243 0,000062022 0,006005
х3 0,00000854 0,00000984 0,00032802 0,03311756
х4 0,00002972 0,000048668 0,001025315 0,099784922
х5 0,00010013 0,00019042 0,00332265 0,31345647
соэ(3х) 0,000022455 0,000074235 0,001154725 0,100475109
соэ(4х) 0,000133345 0,000585745 0,007766394 0,609558579
Поскольку аппроксимация точна на сов(х), сов(2х), (см. п. 2), для этих функций /(а) (х) - /(а) (х) =0, а = 0, 1, 2, 3.
Для сравнения укажем результаты численного эксперимента аппроксимации некоторых функций, их первых, вторых и третьих производных с помощью полиномиальных сплайнов четвертой степени /(х), при шаге Н = 0,1.
Для задачи интерполяции (5-6б/):
Мпол = шах
а же[0,1]
/(а) (х) - / (а)(х)
а = 0, 1, 2, 3.
/(х) М0пол Мп°л М2пол М3пол
х5 0,000022737 0,000017 0,00096 0,1
соэ(х) 0,00000017 0,00000021 0,000006768 0,000653003
сов(2х) 0,000006 0,00001189 0,000280542 0,026722383
сов(3х) 0,00004531 0,000149841 0,002334504 0,203289917
сов(4х) 0,000188976 0,000830311 0,011025722 0,866189611
Здесь /(х) - /(х) = 0 и /(а) (х) - /(а)(х) =0, а =1, 2, 3, если /(х) многочлен не выше четвертой степени.
Сравним полученные данные с теоретическими оценками погрешностей, которые соответствуют численному эксперименту, приведенному выше:
мТ =н5—ак,
5 — а 1
/(5)
0, 1, 2, 3.
а
f (x) MoT MT M2T Ml
xa, а = 0, 1, 2, 3, 4 0 0 0 0
x5 0,002 0,049 2,016 43,192
cos(x) 0,00002 0,0004 0,017 0,36
cos(2x) 0,00065 0,0129 0,538 11,518
cos(3x) 0,005 0,098 4,083 87,463
cos(4x) 0,021 0,414 17,207 368,568
Summary
I. G. Burova, T. O. Evdokimova. On the smooth second order trigonometric splines.
The smooth second order trigonometric splines having continuous first, second and third derivatives and with exactness on the second order trigonometric polynomials are constructed.
Литература
1. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория минимальных сплайнов. СПб., 2000. 316 с.
2. Бурова И. Г. О построении тригонометрических сплайнов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 2. C. 9-13.
3. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М., 1980. 352 с.
4. Демьянович Ю. К. Биортогональная система для минимальных сплайнов и решения задач интерполяции // Докл. РАН. 2001. Т. 377, №6. С. 739-742.
Статья поступила в редакцию 11 марта 2004 г.
