О гладких тригонометрических сплайнах третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 4

И. Г. Бурова, Т. О. Евдокимова

О ГЛАДКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СПЛАЙНАХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА*

Непрерывные тригонометрические сплайны предложены в [1]. В работах [2, 3] построены непрерывно дифференцируемые тригонометрические сплайны первого и второго порядков, со свойствами, аналогичными В-сплайнам второй и четвертой степени (см. [4]). Здесь предлагаются тригонометрические сплайны третьего порядка, обладающие пятью непрерывными производными, а также задачи интерполяции (метод постановки аналогичен работе [5]), и результаты численного эксперимента.

1. Пусть функция f € C5(R1) задана в узлах равномерной сетки {xj}, Xj = j h, h > 0, j =0, ±1, ±2, так что ... < Xj_i < Xj < Xj+i < ...

Пусть далее Mi и M2 —целые числа, удовлетворяющие условиям: Mi + M2 = 2m, m = 3, Mi > 0, M2 > 1. Будем строить базисные сплайны Uj € C5(R1), предполагая, что supp Uj = [xj_M2, Xj+Mi+i], как решение линейной алгебраической системы уравнений относительно Uj (x), отдельно на каждом промежутке [xk , Xk+i] € [Xj_M2 ,Xj+M1 + i], при условии Uj € C5(Ri). В частности, на промежутке [xj,Xj+i] имеем систему уравнений

j + M2

uk(x) =

k=j_Mi j + M2

У sin(xk)uk(x) = сю sin(x) + coi cos(x),

k=j_Mi j + M2

^^ COs(xk )uk (x) = —coi sin(x) + cio cos(x),

k=j_Mi j + M2

y^ sin(2xk)uk(x) = C30 sin(2x) + С03 cos(2x), (1)

k=j_Mi j + M2

У cos(2xk)uk(x) = —c03 sin(2x) + c30 cos(2x),

k=j_Mi j + M2

У sin(3xk)uk(x) = c50 sin(3x) — c05 cos(3x),

k=j_Mi j + M2

cos(3xk)uk(x) = c05 sin(3x) + c50 cos(3x).

k=j_Mi

Параметры ci0, c0i, c30, 033, c50, c05 определяем из условия Uj € C5(Ri).

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №04-01-00692, 04-01-00026) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ-2268.2003.1).

© И. Г. Бурова, Т. О. Евдокимова, 2004

При значении параметров

3 (соб(Н) + 1) соб(Н) 3 сов(н)8ш(н)

сю — ----..ч,-.-, со1 —

2 2оов(Н) + 1 2 2 соб(н) + 1 '

3 (4сов2(Н) + 2соб(н) - 1)сов2(Н)

сзо

соз =

5 2оов(Н) + 1

3 4 ссе2 (/г.) + 2сов(Н) - 1)сов(к) 5 2 сов(к) + 1 '

с50 = соз^сов^) + 1)(2сов(Н) - 1)2(4сов2(Л) + 2соз(» - 1), с05 = сов(Л)(4сов2(Л) + 2сов(Н) - 1)(4сов2(Л) - 1) эт^)

получаем решение

= 80^ ~ 15 С°8 (* " ~ С°8 I "

1 А,,,, [ к

2

Н [ ,\3к 5Н\

— 2 соэ — I сов(Зх — 3соэ — + 15 соз(ж — соэ — I +

( Н\ Н + 12 ссе 2х — 2--соэ — сов(к) + 6соз(2ж — 2]1г) со8(ЗН) —

1 ( ( Н\ Н

= -160од (ад + 24со8 ( -) со8-сов(Щ-

( Н\ , , ( 7Н Н\

— 60 соэ I ж — 3<1+ — ) I ее® + 2 соэ — I —

— соз(Зж — ?>]к — К) ^4соэ — соэ — + 3^ — 3Н Н

— 8соз(Зж — 3— К) соэ — соэ — + 12соз(2ж — 2— ЗН) — — 15 сов(ж — ]Н — 5Н) — 30 сов(ж — ]Н — 3Н)+ + 48 соэ (2х - 2]к - ^ | соэ ^ сов(к) + 6соз(2ж - 2]к + 2к) ) ,

1 ( ( Н\ Н и>1--\(х) =-„. . —В (К) — 48 ссе 2х — 2тк--соэ — со в (/г) +

3 и ' 160С(к) V V 2) 2 К '

3Н Н

+ сов(Зх — — 2!г) [ 8соэ — соэ — + 3 \ +

7к к

+ 4 сов — соэ — (соз(Зж — 3]к — 2к) — 6 соз(2ж — 2]к — к)) +

( к\ 3к

+ 120соэ \х—]к——\ соэ — сов(к) + 30соз(ж — ]к — 2к) —

- 12 ^(2х - 2]к - 3к) - 6о^(2х - 2]к - 6к)+ 3к 7к

+ 60соэ [ х — ]к--— ] соэ — сов(к) + 15соз(ж — ]к + Ак)

1 3к к

^з-2^ = 80 С(к) ~2сов^х ~ ~ 3/г) СО!3 у с°8 2 "

где

1 ( .......... „,ч Ък к

~2

к ( ( , к\ , 5к\

— 15 соэ — I соэ 1х—]к—— )+2 сов(х — ]к — к) соэ — I +

+ 6сов(к) ^соз(2ж — 2]к — 4к) + 2 сое ^'2х — 2]к — —^ соэ —^ —

Шт-з(х) =--„ эт6 ( —х--7к--к

0 У ' 5С(к) V2 2 2

(х) = 1 - Ш3-3(х) - - Шз-х(х) - шА+х(х) - ^¿+2(х) - ^¿+з(х),

С(к) = эт(к) в1п(5к) - ^ эт(к) + ^ зт(4к)^ =

=-вт2(к) ^вт2 ^ (1 + 2сов(к))2 = к

= -А8т2(к)Бт4 -(1 + 2сов(к)),

А(к) = 10(cos(к) + о^(2к) + cos(3к)) =

= 10(2cos(к) + 1)(2cos2(к) - 1) = 10(2^(к) + 1)о^(2к), В(к) = 10(2cos(к) + 1) (16^4(к) - 16cos2(к) + 2cos(к) + 3) = = 10(2^(к) + 1) (-4sin2(2к) + 2о^(к) + 3) .

2. Рассмотрим следующие задачи интерполяции

/(хя) + (-1)М2-1^1(к)//(х8) + Л2(к)/" (хя) + (-1)М2-1кз(к) Г"(ха)+

+ к4(к)/(4)(х8) + (-1)М2-1к5(к)/(5) (хя) = / (хя) + (-1)М2-1к1(к)/'(хя) + + к2(к) Г(х3) + (-1)М2-1кз(к) / "'(ха)+

+ ВД/(4)(х8) + (-1)М2-1к5(к)/(5)(х8), 8 = 0, ±1,..., (2)

3 + М2

/>)= Е / (*") + ( — 1)М2-1^1 (Н)/ '(хк)+

к=з-Мг

+ к2 (Н)/" (Хк) + (—1)М2-1кз(Н)1 '"(Хк)+ + кА(Н)/(4)(хк) + ( — 1)М2-1к(Н)/(5)(хк))ик(х),х е Х,хй+1), (3)

где в случаях а) М1 = М2 = 3 и а') М1 = 2, М2 = 4 имеем к1(Н) = (6 — 6 соб(5Н) — 6 соб(3Н) — 4оов(Н) + 9аов(4Н)+

+ соэ(2Н)) (6(вт(5Н) + вш(3Н) + вш(2Н))) 1.

~ _ 13 сов(3]г) - сов(к) - 14 сов(2к) + 2 ' ~ 36(2сов^) + сов(3]г) + сов(2к) + 1)'

к3(Н) = (13 — 13 соэ(5Н) — 13сов(3Н) + 2сов(Н) + 33сов(4Н) —

—22сов(2Н)) (36(вш(5Н) + вш(3Н) + вт(2Н)))-1:

соэ(3Н) — сов(Н) — 2 соб(2Н) + 2

«4 (Л.) ^

МН)

36(2 сов(Н) + соб(3Н) + соб(2Н) + 1)' вт(4Н) + 2 вш(2Н) — 3 вт(3Н) + б1п(Н)

36(2сов(2Н) + оов(4Н) + 1 + оов(Н)) ' в случаях б) М1 = 1, М2 = 5 и б') М1 =4, М2 = 2

к1(Н) = (3 сов(6Н) + 4 соб(4Н) + 6 соб(2Н) + 3 + 2 сов(5Н) —

—6сов(3Н) — 12соб(Н)) (6(б1п(5Н) + вт(3Н) + вт(2Н)))-1.

~ —27 соз(4/1) — 14 сов(2]г) —3+18 сов(3]г) + 26 сов(к)

2^ ^ ~ 36(2 сов(к) + сов(3]г) + сов^й) + 1) '

к3(Н) = (—7оов(6Н) — 2 соэ(4Н) + 13соб(2Н) + 20 + 15 сов(5Н) —

— 13сов(3Н) — 26соб(Н)) (36(8ш(5Н)+8ш(3Н) + вт(2Н)))-1.

к —3оов(4Н) — 2соб(2Н) — 3 + 6сов(3Н) + 2сов(Н)

«4 (Л.) = —

к5(Н)

36(2 соэ(Н) + соб(3Н) + соб(2Н) + 1) вт(4Н) + 2 вш(2Н) — 3 вт(3Н) + б1п(Н)

18(2сов(3Н) + 2сов(Н) + 1) в случаях с) М1 = 5, М2 = 1 и с') М1 =0, М2 = 6

к1(Н) = (сов(6Н) + 4оов(4Н) + 6 соб(2Н) + 5 — 5аов(5Н) —

—6сов(3Н) — 5соб(Н)) (6(б1п(3Н) + б1п(Н) — вш(2Н)))

к2(/) = (Бооз(6/) - 27ооз(4/) + 13003(2/1) + 29 - 27ооз(Б/)-

-19ооз(3/) + 26ооз(/)) (36(2ооз(/) + 003(3/1) + 003(2/1) + 1))"1 , к3(/) = (Б ооз(6/) - 2 ооз(4/) + 13 ооз(2/) + 8 - 3ооз(Б/)-

-13 ооз(3/) - 8 ооз(/)) (36(зт(3/) + зт(/) - зт(2/)))_1, к4(/) = (Бооз(6/) - 3ооз(4/) + ооз(2/) + Б- 3ооз(Б/)-

-7ооз(3/) + 2ооз(/)) (36(2ооз(/) + ооз(3/) + ооз(2/) + 1))-1,

~ _ вт(4/1) + 2 вт(2/1) - 3 зп^З/г,) + зт(/г)

5( } ~ 18(2 008(^-1) '

а (ж) —рассматриваемые тригонометрические сплайны третьего порядка.

В дальнейшем, для краткости, перечисленные выше задачи будем обозначать через 2-3а, 2-3а', 2-3б, 2-3б', 2-3с и 2-3с' соответствено. Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть /(ж) .задается формулой (3), тогда /(ж) - /(ж) = 0 для /(ж) = зш(кж), и /(ж) = ооз(кж), к = 0, 1, 2, 3.

Доказательство. Справедливость утверждения следует ввиду соотношений (1) при М1 = М2 = 3, если функция /(ж) задается формулами (2-3а), при М1 = 2, М2 = 4, если функция /(ж) задается формулами (2-3а'), при М1 = 1, М2 = Б, если функция /(ж) задается формулами (2-3б), при М1 = 4, М2 = 2, если функция /(ж) задается формулами (2-3б'), при М1 = Б, М2 = 1, если функция / (ж) задается формулами (2-3с) и при М1 = 0, М2 = 6, если функция / (ж) задается формулами (2-3с'). 3. Полиномиальные В-сплайны шестой степени имеют вид

1 в

1 5 1 в 19 Б 3 2

1 ( "\3 1 / \4

1 5 1 в

~~ 24/г.5 ~~ + 48/г,б ~~ хз-1) ' ж € ж^-),

1Б1 1 Б 2

у,- ж =--1--ж — ж,---- ж — ж,- —

360 ^ 24/2

2 / \3 1 / \4

9/^"^ + +

1 5 1 в

12/15 ~ ~ З6/16 ~ ' Ж ^

(х

151 1 5 2

з

(х — х3+1)4 —

1

1

(х - Хз+1) + —-:(х - Хз+1) , X £ [а^'+ь х^+2),

12Н5 3+1> ' 48Н6

19 5 <*-■*»> +¿е-1

240 24Н 1

+

36Нз 1

(х-Хз+2) -—¡¿{х - Хз+2) +

24 Н5 11

(х — Хз + 2 )5 —

16Н4 1

120/г6 1

(х — х^+2)6, х е [х^+2, х^+з),

(ж-ж;?-+з) + —^(ж-ж^+з) -

720 120Н

1 - ^ , 1 ^ _ ^

36Нз 1

120/?

(х — хз+з) +

(х — х+)5 +

48Н4 1

48Н2

(х — хз+з)4 —

720Н6

(х — х^+з)6, х е [х^+з, х^+4],

и могут быть получены с помощью решения системы линейных уравнений

3 + М2 j + M2

Е Щк (х) = 1,

к=3-М1 к=3-М1 3 + М2

УЗ хк<рк(х) = х -

УЗ х2к<рк(х) = х2 - кх +-к2

к=3-М1

3 + М2

УЗ х3(рк(х) = х3, — — 1гх2 + ~~ ^

к=3-М1

3 + М2

19,

УЗ х^й(х) = а;4 - 2/13;3 + 5/12а;2 - 4/13х н--к

к=3-М1

3 + М2

25

19

к=3-М1

3 + М2

19

УЗ х\фк{х) = х5 - -кх4 + —Ь2х3 - 10к3х2 + —к4х - —к!

к=3-М1

(4)

= а;6 - З/и;5 + ^-к2х4 - 20к3х3 + Ц-к4х2 - 19Л,5ж + ^/г6.

4. В случае полиномиальных В-сплайнов из п. 3 будем рассматривать следующие задачи интерполяции:

/(хя) + ( — 1)М2-1к1(Н)/ (хя)+ к2(Н)/ (хя) + ( — 1)М2-1кз(Н)/ (хя)+

+ к4(Н)/(4)(х8) + ( — 1)М2-1к5(Н)/(5) (хя) = / (ха) + ( —1)М2-1к1(Н)/'(хя)+ + к2 (Н)/"(хя) + (—1)М2-1кз(Н)/'"(хя)+

+ к4(Н)/(4)(хя) + ( —1)М2-1к5(Н)/(5)(х8), * = 0, ±1,...:

(5) 17

3 + М2

/к(ж)= 53 (/ы + (-1)М2-1~к1 (/)/'(жк)+

к=з-Мг

+ к2 (/)/" (жк) + (-1)М2-1кз(/)/'"(жк)+ + к4(/)/(4) (жк ) + (-1)М2-1к5(/)/(5)(жк )) <Рк (ж), ж е ж ,ж+), (6)

где в случаях а) М1 = 3, М2 = 3 и а') М1 = 2, М2 =4

~ ъ ~ ъ2 ~ ъ3 ~ ъ4 ~ и5

Ык) = к2(Н) = кз(к) = --, к4(Н) = к5(Н) =

в случаях б) М1 = 1, М2 = Б и б') М1 =4, М2 = 2

в случаях с) М1 = Б, М2 = 1 и с') М1 =0, М2 = 6

ММ = у, ЫМ = кз(п) = I гм 137/14 I гм ^

Далее нам удобно использовать обозначения /(0)(ж) = /(ж), / (0)(ж) = /(ж) и

/ (0)(ж) = /(ж). На промежутке [ж^, ж^+1) для решения задач интерполяции с помощью полиномиальных сплайнов шестой степени справедливы следующие оценки:

Теорема 2. Пусть функция / е С7[ж^-М1, ж^+М2], тогда при ж е [ж^, ж^+1 ]

/(а)(ж) -к(а)(ж) < Ъ7-аКа,М1,М2 /(7)

С[хз-м1 ,х^ + м2 ]

а = 0, 1,..., Б,

где при М1 = 3, М2 = 3

Ко, 3,3 « 0,0311Б, К1,3,3 « 0,07827, К2,3,3 « 0,3003Б,

К3,3,3 « 0,623Б1, К4,3,3 « 8,6Б971, К5,3,3 « 8,47963,

при М1 = 2, М2 = 4

К0,2,4 « 0,0311Б, К1,2,4 « 0,079Б, К2,2,4 « 0,2189,

К3,2,4 « 0,Б2208, К4,2,4 « 2,784Б7, К5,2,4 « Б,88988,

при М1 = 1,

М2 = 5

К0,1,5 « 0,66999, К1,^ 5 « 1,4067, К2,^ 5 « 3,35359, К3 1 5 « 7,64076, К4 1 5 « 31,60658, К5 1 5 « 76,46123,

при М1 =4, М2 = 2

К0,4 ,2 « 0,66999, К1 ,4 ,2 « 1,4508, К2 ,4 ,2 « 6,67822, К3,4,2 « 9,9995, К4,4,2 « 114,2473, К5 ,4 ,2 « 141,8703,

при М1 = 5, М2 = 1

К0,5,1 « 15,5124, 5,1 « 27,4347, К2,5,1 « 107,1208, К3,5,1 « 184,384, К4,5,1 « 1410,86, К5,5,1 « 2253,536,

при М1 =0, М2 = 6

Ко, о, 6 Кз, о, 6 л

а 15,5124, К1,0,6 « 26,4003, К2,0,6 « 58,1263, 134,3755, К4 0 6 « 558,075, К5 0 6 « 1134,121,

а функция /(х) определяется формулами (5-6а)-(5-6с') соответственно.

Доказательство. Представив /(а)(хк), а = 0, 1, ..., 5, к = ] — М1, ...^ + М2 по формуле Тейлора шестого порядка в окрестности точки х с остаточным членом в форме Лагранжа и использовав сооношения (4), получим требуемое.

5. Результаты численного эксперимента. Пусть на промежутке [0, 1] заданы значения функции / (]Н) и ее производных /(а) (Н Н = 0,1.

Приведем значения Мариг = шахже[0 , 1] Для задачи интерполяции (2-3а)

/(а)(х) — /(а) (х)

а = 0, 1,

5.

/(х) М0триг М1триг М2триг

х 0,0000000058 0,0000000012 0,000000071

2 х2 0,000000011 0,000000014 0,00000014

з хз 0,000000063 0,000000044 0,00000081

4 х4 0,000000199 0,000000286 0,00000256

7 х 0,0000073 0,00001685 0,00011477

соэ(4х) 0,00000078 0,0000032 0,0000227

/(х) М3триг М4триг М5триг

х 0,00000502 0,000289 0,0300702

х2 0,00000903 0,000559426 0,05412632

з хз 0,0000531 0,003169617 0,3185526

4 х4 0,000162 0,01017488 0,9714202

7 х7 0,00580312 0,37754954 33,7566845

соэ(4х) 0,0007218 0,04147318 4,2420893

Поскольку аппроксимация точна на сов(х), сов(2х), сов(3х) (см. п. 2), то для этих функций /(а) (х) - /(а) (х) =0, а = 0, 1,..., 5.

Для сравнения укажем результаты численного эксперимента аппроксимации некоторых функций и их первых пяти производных с помощью В-сплайнов шестой степени /(х), при шаге Н = 0,1.

Для задачи интерполяции (5-6а):

мпол а = тах /(а)(х) -/ (а)(х) , а = 0, 1,..., 5.

хе[0,1]

/(х) М0пол Мпол М2пол

7 х7 0,000000798 0,000000167 0,000009946

сов(х) 0,00000000013 0,00000000016 0,00000000175

сов(2х) 0,00000002 0,00000004 0,00000034

сов(3х) 0,00000034 0,00000104 0,0000075

сов(4х) 0,0000025 0,00001023 0,000073

/(х) М3пол Мпол Мпол

7 х7 0,0007 0,04032 4,2

сов(х) 0,00000010895 0,0000066 0,0006531

сов(2х) 0,00001793 0,001030068 0,10683473

сов(3х) 0,00030767 0,01770909 1,8261277

сов(4х) 0,0023385 0,134330097 13,75699998

Сравним полученные данные с теоретическими оценками погрешностей, которые соответствуют численному эксперименту, приведенному выше.

мТ =Н'—ак,

7—а 1

,3,3

/(7)

С'[хз-з,хз+з]

0, 1,

5

/(х) М0Т М1Т М2Т

ха, а = 0, 1, .. ., 6 0 0 0

х7 0,000016 0,00039 0,01514

соэ(х) 3,1 • 10—9 7,8 • 10—8 3•10—6

сов(2х) 4•10—7 10—5 0,00038

сов(3х) 6,8 • 10—6 0,00017 0,00657

сов(4х) 5,1 • 10—5 0,00128 0,04921

/(х)

ха, а =

7 х7

соэ(х) сов(2х) соэ(3х) сов(4х)

0, 1,

МзТ 0

0,31425 6,2 • 10—5 0,00798 0,13636 1,02156

м4Т 0

43,64494 0,00866 1,10844 18,93879 141,88069

м5Т 0

427,37335

0,0848

10,85393

185,4495

1289,30258

6

Summary

I. G. Burova, T. O. Evdokimova. On smooth third order trigonometric splines.

The smooth third order trigonometric splines having continuous first, second, third, fourth and fifth derivatives and with exactness on the third order trigonometric polynomials are constructed.

Литература

1. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория минимальных сплайнов. СПб., 2000. 316 с.

2. Бурова И. Г. О построении тригонометрических сплайнов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 2. C. 9-13.

3. Бурова И. Г., Евдокимова Т. О. О гладких тригонометрических сплайнах второго порядка // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 3. C. 11-16.

4. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М., 1980. 352 с.

5. Демьянович Ю. К. Биортогональная система для минимальных сплайнов и решения задач интерполяции // Докл. РАН. 2001. Т. 377, №6. С. 739-742.

Статья поступила в редакцию 19 февраля 2004 г.