О построении особых точек гармонических функций на плоскости со слабопроницаемой пленкой в виде луча Текст научной статьи по специальности «Математика»

запрещенной зоны не может не сказаться и на ходе рекомбинационных процессов, что существенно в плане практического применения полупроводниковых материалов. Уникальность физических свойств полуметаллов и узкозонных полупроводников, в которых, как следует из рис.1, возможно сближение энергий элементарных возбуждений электронной и ионной системы, делает их чрезвычайно чув-

ствительными к различного рода внешним воздействиям: температуре, давлению, электрическому и магнитному полям, что и предопределяет перспективность их использования для конструирования различных полупроводниковых приборов.

Список литературы

1. Пайнс Д. Элементарные возбуждения в твёрдых телах. М.: Мир, 1965. 382 с.

2. Wolff P.A. Plasma-wave instability in narrow-gap semiconductors// Physical review letters. - 1970. V. 24, №6. P. 266 - 269.

3. Степанов Н.П., Грабов В.М. Влияние электрон-плазмонного взаимодействия на релаксационные процессы в кристаллах висмута и сплавов висмут-сурьма // ФТТ. 2003. Т. 45. №9. С. 1537-1541.

УДК 510 (022)

ББК В 11

С.Е. Холодовский

О построении особых точек гармонических функций на плоскости со слабопроницаемой пленкой в виде луча

Рассмотрены краевые задачи на плоскости относительно уравнения Лапласа при выполнении обобщенных условий сопряжения типа слабопроницаемой завесы на луче L1(x < -1,y = 0), когда искомое решение имеет особые точки заданной гармонической функции f(x,y). Методом свертывания разложений Фурье выведены формулы, непосредственно выражающие решение рассмотренной задачи через функцию f(x,y).

Ключевые слова: метод свертывания разложений Фурье, уравнение Лапласа, обобщенные условия сопряжения.

S.E. Kholodovsky

About the Formation of Special Points of Harmonious Functions on the Plane with Slightly Perspicacious Layer in the Form of a Ray

Boundary problems on the plane concerning equation of Laplas under the preceding hypothesis of generalized conjugating in the form of low-transparent screen on the ray L1(x < -1,y = 0), when the desired solution has special points of prescribed harmonious function f(x, y). Fourier

method helps to develop formulae which express a solution of the given problem through the f(x,y) function.

Key words: a method of convolution of Fourier expansions, equation of Laplas, generalized transmission conditions.

Одним из приоритетных направлений в технике является разработка и применение композиционных материалов, в том числе материалов, содержащих слабопроницаемые пленки-завесы. При этом имеет большой интерес исследование процессов тепломассопе-реноса в указанных средах. В работах [2-5] развит эффективный метод, позволяющий по известным решениям классических краевых задач строить решения усложненных задач с пленочными включениями.

Пусть задана гармоническая функция f(x,y), имеющая на плоскости z = x + iy произвольные особые точки, где x , y - декартовы координаты. С точки зрения приложений функция f(x,y) является потенциалом установившихся процессов теплопроводности, фильтрации, электростатики на однородной плоскости, когда процессы индуцированы заданными особыми точками (источниками, стоками, вихрями и т. д.).

Внесем в данную среду слабопроницаемую пленку в виде луча L1(x < -1, y = 0), которую будем моделировать вырожденной гиперболой (считаем, что на луче Li нет особых точек). Данное включение исказит картину течения. Задача заключается в нахождении потенциала, возмущенного указанным включе-

нием при сохранении особых точек функции

f(x,y).

Рассмотрим эллиптическую систему координат Ъ, п , связанную с декартовыми координатами равенствами x = ch Ъ cosn,

y = sh£ sin п, 0 < п < п,

f

Ъ = ln

x2 + y2 -1 + -yj(x2 + y2 -1)2 + 4y2

2 +

+

x2 + y2 + 1 + J(x2 + y2 -1)2 + 4y2 2

(1)

+ y2 + 1 -V(x2 + y2 + 1)2 - 4x2

2

при этом полоса й(£ еЯ0 < п < п) плоскости £ = £ + ¡п функцией г = ООв1^ конформно отображается на всю плоскость г = X + ¡у с двумя разрезами в виде лучей _1(х < -1, у = 0) и 1-2(х > 1, у = 0). В координатах £,п лучи _ задаются в виде _1(£ е Я,п = п) и _2(£ е Я,п = 0) . Для потенциала и(£,п) (вне особых точек) имеет место уравнение Лапласа д\и + д\и = 0, (2)

где 31= дп/д£п.

Следуя статьям [3,4], завесу _1(£ е Я,ц = п) моделируем бесконечно тонким слоем с бесконечно малой проницаемостью. Для вывода обобщенных условий сопряжения заменим завесу _1 слоем о0(£ е Я,! < п < п) проницаемости к0, ограниченным гиперболой п = ! на плоскости X, у, при идеальном контакте сред. Отсюда при п = ! должны выполняться классические условия сопряжения и0 = и ,

к0дци0 = дци, а также условия вида

и0( £ ,п ) - и0(-£ ,п ) = 0, дпЧ/ £, п) + дцщ( -£, п) = 0, (3)

где и0(£, п) - потенциал в о0 (проницаемость среды на плоскости z вне о0 считаем равной

единице). Указанные условия сопряжения выражают непрерывность потенциала и нормальной составляющей вектора скорости на границе й0, а также на разрезе ц1 плоскости

течения г (см. (1) при п = п), т. е. этим разрезом на плоскости г можно пренебречь. Отсюда приращения потенциала и нормальной скорости в точках, которые при вырождении слоя 00 в завесу совпадут, имеют вид

u(£,l) - u(-£,l) = u0(£,l) - u0(-£,l) =

l - П

= -Г— [ko d4uo(£,c1) - ko d4uo(-£,c2)] , k0

(4)

du( £ ,l) + du( -£ ,l) = kod4u0( £ ,l) +

+ ko d^o(-£,l) =

= ko(l - п)[ d\uo(£,c3) + 3\uo(-£,c4)], где c¡ e(l, п), здесь к средним частям равенств прибавлены соответствующие выражения (3). Переходя в равенствах (4) к пределу при l ^ п, ko ^ o, (п - l)/ko ^ B получим условия сопряжения вида

u( £, п ) - u( -£, п ) = 2Bdu(-£, п ),

3nu(£, п) + 3nu(-£, п) = o. (5)

Условия непрерывности потенциала и нормальной скорости на втором разрезе L2(£ е R, n = o) имеют вид

u(£,o) = u(-£,o)r du£,o) + du(-£,o) = o. (6)

Функция u должна иметь особые точки заданной гармонической функции f(x,y), т. е. в окрестности особых точек выполняется условие

u~ fo(£,П), (7)

где fo(£,n) = f(ch£ cosn,sh£ sinn) . Функция fo(£,n) на всей плоскости Z с декартов^1ми координатами £, n имеет заданн^1е особые точки в полосе D(£ eR,o < n < п).

Таким образом, для функции u в области D(£ eRfl < n < п) имеем задачу (2), (5)-(7). С точки зрения приложений данная задача описывает обтекание слабо проницаемой завесы в виде луча L1 заданным потоком.

Методом работ [2-5] выведем формулы, непосредственно выражающие решение задачи (2), (5)-(7) через заданную функцию fo(£,n) . Рассмотрим гармоническую функцию

F( £, n) = f0( £, n) + f0( -£ ,-n), (8)

которая удовлетворяет условиям (6). Предположим сначала, что функция F(£, п) разлагается в интеграл Фурье (F(£, п) ^ 0 при £ ^ ±х>), т. е.

F( £, п) = §(f1G1 + f2o 2)d,, °i = sin Х£,

0

g2 = cos X£, (9)

Отсюда в полуплоскости n — п, где функция F(£,n) не имеет особых точек, выполняются равенства

Р(Е, п) = | ех(п'п)(^1 + f2G2)dk, (Ю)

0

А ад

-1РС%, п - і) - Р(-^, п - і)] = _[ е^сЦ, (11)

'-[F(^, п - і) + F(-¿),п - і)] = | е^ ^а2ск,

0

* £ЬІІ f ~

р(£¿) = Г е Ж, к = 0,1,.. (12)

Ч'к ) Г (х + у)к+1

где

Рк+1(Е,() = — | е^т^Е,п - ( + т) - Г(-Е,п - ( + т)]бт

2К. о

(13)

где / < 0, у > 0 (равенство (10) выражает решение задачи Дирихле в полуплоскости п < 0 с граничной функцией р(Е, п), полученное методом Фурье, равенства (11), (12) следуют из (10) с учетом формулы 2.3.3 (2) из [1]).

Представим решение задачи (2), (5)-(7) в виде

да

и(Е, п) = Р(Е, п) + (аа1вЬАп + Ьо2сЬАп)ск,

о

(14)

где о(- имеют вид (9), при этом функция и удовлетворяет условиям (2), (6) и (7) (в предположении сходимости и дифференцируемости интеграла (14)). Из условий сопряжения (5) с учетом (10) для двух параметров Ь, получим систему двух алгебраических уравнений f1 + эв = ВА( f1 - ас), f2 - Ьв = 0, которые следуют из сравнения коэффициентов при функциях О1 и о2 в первом условии (5), где в = вЬАп, с = сЬАп. При этом второе условие сопряжения (5) выполняется тождественно. Отсюда найдем а = (ВА -1) f1( ВАс + в)-1, Ь = f2s'1 или

а = |1 -Л-) ИёП, Ь = 2^, (15)

А + у) (1 + д) 1 - е

где

У = 1 > 0 / д = е-21п (1 -~2^-

г в 4 { і + у

при этом | д | < 1 при 0 < А < °°. Раскладывая в (15) дроби (1 + ц)'1 и (1 - е'2Аж )'1 в геометрические прогрессии и выделяя в (14) выражения (10)-(12), окончательно, решение исходной задачи (2), (5)-(7) приведем к виду и = Р( Е, п) +

+ у(Е,п + 2п(п + 1)) + у(Е,-ц + 2п(п + 1)) +

п-0

П+1 к

+(-1)п^0п,1(2)кШ%л-421+1))-%(%,-п-421+1))]

(16)

где функции рк(Е,п) при К = 1,2,.. имеют вид (13) р0(Е,п) = \[Р(Е,п - п) - Р(-Е,П - п)],

¥(Е,п) = \[^(Е,п) + р(-Е,п)], Е(Е,п) - заданная функция (8), С>К+1 - биномиальные коэффициенты; переменные Е, п имеют вид (1).

На основании полученного решения (16) можно посредством конформных отображений решать аналогичные задачи для серии завес, обтекаемых заданными потоками. Так, если плоскость х, у конформно отобразить на плоскость х1,у1 посредством функции

г1 = 1/г, где г1 = х1 + ¡у1, г = х + ¡у,

X

х =

У1

X2 + У2 ' У 2 2

х1 + у1 х2 + У2

(17)

то формула (16) определяет потенциал обтекания завесы в виде отрезка 1-0(-1 < Х1 < 0,у = 0) потоком, индуцированным

особыми точками заданной гармонической функции ^(Е, п) . При этом в точке г = 0 или

в точке е = 0, п = п/2 плоскости Е, п должна находиться особая точка, соответствующая точке г1 = да. В частности потенциал источника (фундаментальное решение) в произвольной точке х0 , у0 плоскости г1 строится по формулам (16), (8), (13), где

f(Е,п) = Ц\п[(Е - Е0)2 + (п - п0)2] -4п

- Ц\п[Е2 + (п - п/2)2],

4п

параметры Е0, ^0 выражаются через параметры х0,у0 в виде (и (17).

л

0

Список литературы

1. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М: Наука, 1981. 798 с.

2. Холодовский С. Е. Метод эффективного решения краевых задач с обобщенными условиями сопряжения // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. Т. 13. Вып. 6. С. 1128-1130.

3. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье в решении краевых задач с пересекающимися линиями сопряжения / / Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 9. С. 1550-1556.

4. Холодовский С. Е. Метод рядов Фурье для решения задач в кусочно-неоднородных средах с прямолинейной трещиной (завесой) // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48. № 7. С. 1209-1213.

5. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 855-859.

УДК 53 (07)

ББК Ч 426.51

С.В. Христофорова

Региональный материал как основа для организации творческой деятельности учащихся при изучении физики

В статье рассмотрено открытое образовательное пространство «Личность - Регион -Мир - Вселенная». Показаны возможности освоения природы Забайкалья с позиций курса физики; определены структурные элементы курса физики, раскрывающие взаимосвязь регионального и глобального. Предложены новые формы интегрированных и творческих заданий регионального характера.

Ключевые слова: глобальное, региональное, природа Забайкалья, курс физики, задания регионального характера.

S.V. Khristoforova

Regional Material as the Basis of Pupils' Creative Activity in Learning Physics

The article demonstrates an open educational space "Personality - Region - World - Universe". The author shows the possibilities of Transbaikalia exploration from the point of view of Physics; she determines structural elements of Physics, which discover the interrelation of the regional and the global. New forms of integrated and creative tasks of the regional character are suggested in the article.

Key words: the global, the regional, the nature of Transbaikalia, a course in Physics, tasks of the regional character.

Современное состояние нашего общества и его дальнейшее развитие во многом зависят от творческой инициативы каждого человека, особенно специалистов высшей квалификации, которые призваны участвовать в организации и управлении материальной и духовной жизнью общества. Высшей школе определен

социальный заказ - подготовить специалистов, умеющих видеть и находить способы решения неординарных проблем, возникающих при развитии общества, прогресса науки и социальной практики. Образование призвано формировать человека, обладающего глобальным видением мировых процессов ив то же время являющегося носителем национальнорегиональной культуры.

Создание открытого образовательного пространства региона, реализующего приоритет свободной личности учащегося и педагога, органически сочетающего в себе общечеловеческие и национальные ценности, а соответственно, ценности малой родины и собственной индивидуальности, является существенной необходимостью современного образования. Этому способствует реализация регионального компонента содержания образования.

Взаимодействие участников образовательного процесса

Социокультурное пространство

Рис. 1. Модель открытого образовательного пространства

«Личность - Регион - Мир - Вселенная»

На рис. 1 нами представлена модель открытого образовательного пространства «Лич-ность-Регион-Мир-Вселенная», имплицитно

содержащая в себе идею взаимосвязи глобального (всечеловеческого), локального (регионального) и уникального мира личности. Дан-