О построении аналитических решений конечных недетерминированных автоматов игрового типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рис.5. Спектральные характеристики энергетического коэффициента отражения пятислойного четвертьволнового просветляющего покрытия на подложке из германия с показателем преломления пт= 4. Показатель преломления слоев: 1 - п;=1.35, п2=2.2, 2 - п;=1.35, п2=2.4, 3 - п;=1.35, п2=2.6, Ят - отражения непокрытого

оптического материала. Х0=3 мкм

Заключение

Таким образом, в работе установлено влияние отношения показателем преломления слоев на спектральные характеристики пятислойной четвертьволновой диэлектрической системы, в том числе: расположение минимумы отражения, расстояние между этими минимумами и значение коэффициента отражения пятислойных четвертьволновых покрытий.

Показана возможность создать многозональных просветляющих покрытий на основе пятислойной четвертьволновой диэлектрической системы. Такая система может реализовать либо пять, либо три минимума отражения. Полученные покрытия обладают минимальным отражением в нескольких зонах спектра.

Список литературы

1. Bayya S., Sanghera J., Kim W., Gibson D., Fleet E., Shaw B., Hunt M., Aggarwal I. New multiband IR imaging optics // Proc. of SPIE. 2013. V. 8704. P. 870428-1-870428-6.

2. Thomas Sudmeyer, Yutaka Imai, etc. Efficient 2nd and 4th harmonic generation of a single-frequency, continuous-wave fiber amplifier // OPTICS EXPRESS. 2008. V. 16. No. 3 . P. 1546-1551.

3. Rahmlow T.D., Lazo-Wasem J.E., Wilkinson S., Tinker F. Dual band antireflection coatings for the infrared // Proc. SPIE. 2008. V. 6940. 69400T 1 - 8.

4. До Т. Т., Губанова Л. А. Многозонное просветляющее покрытие на подложке из оптического сульфида цинка // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2014. N° 1 (89). С. 38-44.

5. Бернтд П.Х. Теория и методы расчета оптических свойств тонких пленок // Физика тонких пленок / Под ред. Хасса Г. Т.1. М.: Мир, 1967. С. 91-151.

6. Сборник тезисов докладов конгресса молодых ученых, выпуск 2. - СПБ: НИУ ИТМО, 2014, С. 12-13

О ПОСТРОЕНИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ КОНЕЧНЫХ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АВТОМАТОВ ИГРОВОГО ТИПА

Думачев Владислав Николаевич

к.ф.-м.н., доцент каф. высшей математики ВИ МВД РФ, г.Воронеж

Пешкова Надежда Владимировна

адъюнкт каф. высшей математики ВИ МВД РФ, г.Воронеж

1. Введение. Классическая теория конечных автоматов [1] предполагает его работу с детерминированным значением входного сигнала, для которого существует единственное состояние, в которое автомат может перейти из текущего. Другими словами автомат задается в виде пятерки

А = (5, X, у, /, g X

где s - вектор состояний автомата, (х,у) - входной и выходной алфавиты соответственно, f - функция перехода и g - функция выхода. Естественным обобщением автомата является использование в качестве его аргументов случайных величин. Так, в работе [2] Рабин ввел недетерминированные автоматы, в которых стохастической матрицей задается функция перехода f. Дальнейшее обобщение было

предложено в работе [3], где для автоматов выделялась читающая и пишущая части со своими функциями и областями значений. В работе [4] предложен конечный недетерминированный автомат игрового типа, на вход которого подается последовательность стратегий игроков, а выходом являются платежные матрицы игр, соответствующих состояниям конечного автомата. Вероятностные характеристики автомата проявляются в случае, когда одним из игроков выступает природа, а ответные действия человека могут быть рассчитаны с использованием, например, критерия Байеса. В статье [4] работой данного автомата моделировалась конкретная ситуация прорыва противопаводковой дамбы во время аномального наводнения на р.Амур в 2013 г. В работе [5] данная схема использовалась для ситуационного моделирования работы Зейской ГЭС в экстремальных ситуациях. В данных статьях системы имели 3 и 5 состояний соответственно, что не позволило найти аналитическое решение поставленных задач, в связи с чем, авторами применялись методы имитационного моделирования, реализованные с помощью пакета Simulink МайаЬ. В работе [6], была проведена классификация всех возможных состояний Байесовых автоматов малой размерности (имеющих два состояния). Целью данной работы является классификация всех возможных состояний Байесовых автоматов типа, используемых в работе [4] (имеющих 3 состояния)

(

А =

(я1' ¿2' ^э)'

(

11

V Х21

X

Л (

12

22

У11 V У21

У12 У22

, /, я

(1)

получение их точных аналитических решений и оптимальных выигрышей.

2. Теоретические основы модели. Очевидно, что аналитическое решение для Байесова автомата (1) в общем виде проводится по следующей схеме. 1) По заданным входным сигналам автомата

й

а0Ь0 авЬ1 а1Ь0 а1Ь1

80 ^ 0 С00 ^ 0 С01 ^ 0 С10 С110

81 С001 С011 С101 С111

82 С002 С012 С102 С112

строятся платежные матрицы игр:

Р(я0) =

í„o

V 10

-0 Л

( 1

Р(я1) =

С00 С1

Vе 10

сп

1 > ( 2 2 ^

01 1 Р(я2) = С00 2 С01 2

11 у V С10 С11 у1

2) Для заданной вероятности поступления сигнала Ь^

по критерию Байеса находятся оптимальные страте*

гии всех игр ат . (Очевидно, что они не обязаны совпадать.)

* и

3) Произведение 0-тЬ^ формирует входной сигнал (аргумент функции Г), определяющий изменение состояния системы на следующем шаге.

f

авЬ0 aoЬl а1Ь0 а1Ь1

80 8к1 8к2 8кэ 8к4

81 8к5 8кб 8к7 8к8

82 8к9 8кю 8к11 8к12

Для упрощения записи мы далее будем пользоваться следующей системой обозначений. Т.к. рассматриваемый автомат имеет 3 состояния, то множество всех возможных переходов Г образуют 3-ичную логическую функцию

Э•22=12

»12

всего

переменных (т.е.

N = Э12 = 5Э1441 автомат). Однако, поскольку теорема Нэша утверждает, что любая конечная игра имеет решение в чистых или смешанных стратегиях, то множество различных Байесовых автоматов уменьшается в 2 раза. Для удобства классификации мы будем использовать только нулевые стратегии природы, учитывая, что для остальных автоматов решения можно получить переопределением номера стратегии и компонент платежной матрицы.

Например, функции

f

а0Ь0 а0Ь1 а1Ь0 а1Ь1

80 80 81 80 81

81 80 82 80 82

82 81 82 81 82

соответствует последовательность

(¿0' ¿1' ¿0' ¿2' ¿1' Я2) = (010212)-

Далее, используя свойства симметрии, данные автоматы можно объединить в группы эквивалентных, имеющих одинаковые предельные состояния и средние выигрыши. Так например автоматы

(000000,000001, 000002, ..., 002222) являются эквивалентными. Аналогично, эквивалентны автоматы

00

01

0

0

с

(010212) = (010221) = (012012) = (100212) = (012021) = (100221) = (102012)

В результате, мы получим 6 = 216 различных автоматов типа

(¿Лл ), где ¿1' ¿2' ¿1' ¿2' К' к2 = 0'1'2; ¿1 ^ ¿2' ¿1 ^ ¿2' к1 ^ к2- (2)

Дальнейшее сокращение количества рассматриваемых автоматов производится удалением тех из них, в которых функции перехода являются несущественными. Например, для автомата (000022) последние 4 значения не являются существенными, поскольку состояний 81 и 82 автомат не принимает по определению. Окончательно, количество автоматов сокращается до 57:

¥2

01 0200 0201 0202 0211 0212 0222

1200 1201 1202 1211 1212 1222

2200 2201 2202 2211 2212 2222

11 0200 0201 0202 0211 0212 0222

1200 1201 1202 1211 1212 1222

2200 2201 2202 2211 2212 2222

12 0000 0001 0002 0011 0012 0022

0201 0101 0102 0111 0112 0122

0211 0212 0222 1111 1112 1122

2211 2212 1212

3. Аналитическое решение для автомата 111200. Данный автомат имеет следующую функцию перехода

f

а0Ь0 а0Ь1 а1Ь0 а1Ь1

80 81 81 8* 8*

& 81 82 8* 8*

82 80 80 8* 8*

и платежные матрицы

РЮ =

^С00 С01Л

Vс10 С11 у

Р^)

^00 ^01

V ^ю

РЫ =

^00 V е10

'01

'11У

Допустим, критерий Байеса предполагает оптимальным выбор нулевых стратегий для всех игр Ь = ¿0 . Тогда, для упрощения записи и без потери общности переобозначим коэффициенты платежных матриц

(с0 = с00, С1 = с01, ^0 = с00, = с01, е0 = с00, е1 = С01).

Введем обозначения

^0 = а0С0 + а1С1 ; = а0^0

+ ахйх, ¡л2 = а0е0 + а1е1

и определим средний выигрыш игрока на первом шаге как

т1 = М0 •

Средний выигрыш игрока на 2-м шаге есть

т2 = М + М-

Далее

т,

М0 + (1 + а0)М1 + (1 " а0)М2'

т.

т4 = (2 - а0)М0 + (1 + а0 + а0)М1 + (1 - а0)М2'

т5 = (2 - а0)М0 + (2 + а0 + а0)М1 + (1 - а0)М2'

= (2 - а0)м0 + (2 + 2а0 - а° + а0 + а^м + (2 + 2а0 + а2 - а4)м т7 = (3 - 2а0 + а° - а4 )м0 + (2 + 2а0 + 2а0 - 2а0 + а4 + а0)м

+ (2 - 3а° + 2а0 - а0)м2

0)М0

„3

„5-

т

8

0 -г ^0 «0

23

3а0 + 2а0 -

3 , о„4 _6

(3 - 3а2 + 2а0 - а0)м0 + (3 + 3а2 + 2а0 - 3а0 + а0 + а0 )м1

+ (2 - 4а0 + 3а0 - а0 )м2

т

3п

т

3п+1

3 2 2 2

= (п - 1 - Сп+1а0 + ..-К + (П + Па0 - Сп+1а0 + •••)М1

+ (п - па0 + Сп2+1а0 + ...)М2

= (п +1 + па0 + С° а° + ...)м0 + (п + па0 + С+а + ...)м1

т

3п+2

+ (п - Сп2+1а02 + ...)М2

п. л л

= (п +1 - Сп а0 + ...)М0 + (п + па0 + •••)М1 + (п - Сп+2а0 + ...)М:

4. Пример. Конвейерная линия по производству изделий может находиться в следующих состояниях:

80 - исправное состояние;

81 - неисправное состояние (работает на пониженной скорости);

82 - сломана.

Каждому состоянию автомата можно поставить в соответствие его ежедневную выручку:

8о-4 ед., Sl-2 ед., S2-0 ед. Если исправный конвейер работает без присмотра, то на следующий день он переходит в неисправное состояние. Администрация предприятия может поставить рядом с конвейером оператора с оплатой 1 ед. в смену, который может повысить выручку неисправного автомата до 4 ед.

Так же оператор с вероятностью 0.8 может устранить возникающую неисправность конвейера на месте. В противном случае конвейер переходит в состояние S2 - сломан. Другими словами на неисправный конвейер приходит поток поломок с вероятностью Ьо — 0.2.

Приходящая неисправность снижает выручку конвейера на 1 ед. Если автомат находится в состояние S2 - сломан, то администрация вызывает ремонтную бригаду, которая за 3 ед. переводит автомат в состояние Sо - исправное состояние. Платежные матрицы игрока А - администрация имеют вид

(5 4 ^ (2 1 ^ (0 0 ^

Р^о) —

4 3

Р№) —

3 2

Р^ 2) =

2 1

Данные матрицы формируют функцию выхода автомата

ё

аоЬо аоЬ1 а1Ьо а1Ь1

8о 5 4 4 3

81 2 1 3 2

82 0 0 2 1

Функция перехода для данного автомата имеет вид

f

аоЬо аоЬ1 а1Ьо а1Ь1

8о 81 81 8о 81

81 82 82 81 82

82 82 82 8о 8о

Найдем оптимальные стратегии администрации. Для игры р(5о) найдем средний выигрыш игрока А используя критерий Байеса. Тогда, учитывая, что для состояния 80

мы имеем Ьо — 1, получим

Г/о — 5 • 0 + 4 • 1 — 4, 1/1 — 4 • 0 + 3 • 1 — 3.

Т.е. администрации выгодно придерживаться стратегии

$0 - конвейер без присмотра. Очевидно, что согласно

функции перехода, на следующем шаге конвейер переходит в состояние 81.

Теперь найдем средний выигрыш для игры Р^1). Учитывая, что для состояния 81 мы имеем Ьо — 0.2, получим

Г/0 — 2 • 0.8 + 2 • 0.2 — 2,

— 3 • 0.8 + 3 • 0.2 — 3.

Т.е. администрации выгодно придерживаться стратегии

$1 - конвейер с оператором. Очевидно, что согласно

функции перехода, на следующем шаге конвейер переходит в состояние 82. с вероятностью 0.2.

Найдем средний выигрыш для игры р($2 ) . Учитывая, что для состояния 82 мы также имеем Ьо — 0.2, получим

Г/о — 0 • 0.8 + 0 • 0.2 — 0,

|/1 — 2 • 0.8 +1 • 0.2 —1.8.

Т.е. администрации выгодно придерживаться стратегии

$1 -посылать ремонтную бригаду. После этого конвейер

переходит в состояние 8о-исправен. Stateflow диаграмма данной функции показана на Рис1.

Ь /е?1

Рис.1. Stateflow диаграмма автомата 111200.

Жирными ребрами выделены оптимальные Байесовы стратегии. Тогда, если обозначить коэффициенты как

(с0 — С00, С1 — С01, ^0 — С10, — С11, е0 — С10, е1 — С11), то мы получим типа 111200 с известным аналитическим решением.

5. Выводы. В настоящей работе дана полная классификация Байесовых автоматов вида (1). В результате мы получили 57 неэквивалентных автоматов. Заметим, что вследствие разветвленной структуры графа автомата, получить его точное решение не всегда представляется возможным. Поэтому анализ конкретных моделей необходимо проводить методами ситуационного моделирования [4,5]. Если же модель допускает точное решение, то ее анализ удобнее проводить простой подстановкой компонент платежных матриц в полученные выражения. В настоящей работе показана техника расчета на примере конкретного автомата и приведен пример его практического приложения.

Список литературы

1. Brauer W. Automaten theorie. Stuttgard: Teubner, 1984. - 496 p.

2. Rabin M.O. Probabilistic automata // Information and control. 1963, N.6, P.230-245.

3. Ginsburg S. The mathematical theory of context-free-language. NY: McGraw-Hill, 1966. - 326 p.

4. Думачев В.Н., Пешкова Н.В., Калач А.В., Чудаков А.А. Ситуационное моделирование прорыва противопаводковой дамбы во время аномального наводнения на дальнем востоке летом 2013 г. // Вестник Воронежского института ГПС МЧС России. 2013, №4(9), С.35-39.

5. Думачев В.Н., Пешкова Н.В., Калач А.В., Чудаков А.А. Ситуационное моделирование работы Зей-ской ГЭС во время аномальных наводнений // Вестник Воронежского института ГПС МЧС России. 2014, №2(11), С.18-25.

ХИМИЧЕСКИЙ СОСТАВ НАНОРАЗМЕРНЫХ ГИДРОСИЛИКАТОВ БАРИЯ, ПРЕДНАЗНАЧЕННЫХ ДЛЯ НАНОМОДИФИЦИРОВАНИЯ ЦЕМЕНТНЫХ СИСТЕМ1

Анализ современных подходов к изменению качества строительных материалов показывает [3, с. 100; 5, с. 33-37; 6, с. 69-71; 7, с. 61-68; 10 с. 47-51], что перспективным способом управления структурой и свойствами строительных композитов является введение нанообъектов в формирующиеся структуры композитов. При этом должна обеспечиваться равномерность их распределения в объеме наномодифицируемого материала. Это условие выполняется при использовании коллоидных растворов, например гидросиликатов бария (размер частиц -35...45 нм [1, с. 91-93.]).

Согласно предложенной технологии синтеза [2, с. 111-119] наноразмерные гидросиликаты бария образуются из геля кремниевой кислоты, синтезированной в среде гидроксида железа (III) и гидроксида бария. При этом реализуется схеме [9, с. 249]:

^ЮН + Меп+ ^ ^ЮМе(п+1)+ + Н+ (1)

Установление химического состава продуктов взаимодействия реакции (1) позволит сделать выводы о возможных механизмах влияния наноразмерного модификатора на свойства цементных систем.

Исследование химического состава наноразмерных систем является сложной задачей, так как при сохранении устойчивости коллоидных растворов концентрация исследуемого вещества является недостаточной для исследований. Поэтому для исследований использовался отфильтрованный осадок, образующийся после длительного хранения коллоидного раствора гидросиликатов бария, который представляет собой микроразмерные продукты агрегирования наноразмерных гидросиликатов бария. Для установления химического состава продуктов синтеза при С(8Ю2) = 0,3 и 0,7 % и С(Ва(ОН)2) = 0,04 % использовали

Гришина Анна Николаевна

К.т.н., с.н.с., ФГБОУВПО «МГСУ», г. Москва Королев Евгений Валерьевич Д.т.н., профессор, ФГБОУ ВПО «МГСУ», г. Москва Сатюков Антон Борисович

Аспирант, ФГБОУ ВПО «МГСУ», г. Москва

метод ИК-Фурье спектроскопии. Исследованные порошки хранились в течение 1 года. Полученные результаты приведены на рисунках 1 и 2.

Сопоставление рисунков 1 и 2 указывает на идентичность значений длин волн, при которых наблюдаются аномалии. Величина отклонения их интенсивности невелика и обусловлена различной концентрацией силикат-ионов.

Анализ ИК-спектров показывает, что в составе полученного продукта содержится свободная вода. На это указывает широкие полосы отражения с максимумами в 2254 и 3352 см-1 и полосы с максимумами 1630 и 1631 см-которые соответствуют валентным и- и деформационным 5-колебаниям адсорбированных молекул воды [8, с.18-23]. Сильные колебания связи Si-O для аморфных силикатов наблюдаются при длине волны 1037 и 1939 см-1, более слабые - при 975 и 962 и 790 см-1. Полосы в области 1040 см-1 принадлежат vas колебаниям связи Si-O тетраэдров SiO4. Отражения в области 980-880 см-1 (962 и 975 см-1 на рис. 1 и 2, соответственно) характеризуют валентные колебания Si-(OH) трех типов гидроксилов, где гидроксил колеблется как единая масса. Для кристаллической фазы силикатов характерен дуплет при 778 и 795 см-1, который отсутствовал на спектрограммах гидросиликатов бария в возрасте нескольких суток, что указывает на аморфность полученных гидросиликатов бария. На спектрограммах гидросиликатов бария в возрасте 1 года появляется отклик при 790 см-1, что свидетельствует о кристаллизации продукта при хранении и соответствует сведениям, приведенным в [9, с. 281-283].

Образование гидросиликатов бария согласно реакции [9, с. 249]

2 (^-ОН) + Ва2+ ^ (^-ОЬВа +2 Н+.

1 При поддержке гранта Президента РФ МК-5911.2013.8