CC BY
44
J W МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ А А И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
УДК 519.711
СИТУАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОРЫВА ПРОТИВОПАВОДКОВОЙ ДАМБЫ ВО ВРЕМЯ АНОМАЛЬНОГО НАВОДНЕНИЯ НА ДАЛЬНЕМ ВОСТОКЕ ЛЕТОМ 2013 Г. В. Н. Думачев, Н. В. Пешкова, А. В. Калач, А. А. Чудаков
Для описания чрезвычайных ситуации природного характера в данной работе предложена модель, объединяющая теорию марковских цепей и теорию игр в виде конечного автомата.
В качестве примера рассматривается модель эксплуатации противопаводковой дамбы и определяется оптимальная стратегия ее обслуживания.
Ключевые слова: чрезвычайные ситуации природного характера, матричные игры, экстремальные стратегии.
Введение. Рост количества чрезвычайных ситуаций во всем мире и масштабов их последствий приводит к необходимости более глубокого анализа причин их возникновения и методов их ликвидации. В настоящей работе рассматриваются модели чрезвычайных ситуаций природного характера. С точки зрения теории конфликтов возникновение чрезвычайной ситуации является выбором одной из возможных стратегий игры с природой.
Думачев Владислав Николаевич, канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры высшей математики,
Воронежский институт МВД России; Россия, Воронеж, тел.: (473)262-33-79, e-mail: dumv@comch.ru Пешкова Надежда Владимировна, адъюнкт кафедры высшей математики,
Воронежский институт МВД России; Россия, Воронеж, тел.: (473)262-33-79
Калач Андрей Владимирович, д-р хим. наук, доц., Воронежский институт ГПС МЧС России;
Россия, г. Воронеж, тел.: (473) 236-33-05, e-mail: AVKalach@gmail.com Чудаков Александр Александрович, ст. преп. кафедры пожарной безопасности в строительстве, Воронежский институт ГПС МЧС России;
Россия, г. Воронеж, e-mail: vigps@mail.ru
© Думачев В. Н., Пешкова Н. В., Калач А. В., 2013
Особенностью таких игр является то, что природа не выбирает оптимальной стратегии для своего поведения. И даже если платежная матрица игры допускает существование чистой стратегии, природу нельзя считать «рациональным» игроком, т. е. мы всегда должны предполагать, что природа будет пользоваться исключительно смешанными стратегиями. Другими словами, какую бы стратегию человек не выбрал, природа просто проигнорирует его выбор и независимо от выигрыша или проигрыша сделает ход по своим правилам.
1. ЧС в Дальневосточном федеральном округе в 2013 г. Паводок на Дальнем Востоке, начавшийся в августе с Амурской области и охвативший в общей сложности пять регионов Дальневосточного федерального округа, уже стал историческим. Наводнение таких масштабов зафиксировано впервые за 115 лет.
В течение буквально нескольких дней выпала трехгодовая норма осадков на общей территории длиной более 4 тыс. км и шириной более 2, включая территорию КНР. Были подтоплены дороги, объекты энергетики, ЖКХ, жилые дома и объекты социальной инфраструктуры. Под воду ушли целые поселения, сельскохозяйственные угодья, поселки, пастбища и практически вся инфраструктура. Всего от наводнения на Дальнем Востоке пострадали около 350 населенных пунктов, в которых прожи-
вают свыше 100 тыс. человек. Особенностью работы по ликвидации последствий явилось точное распределение и координация крупномасштабной мобильной группировки сил и средств РСЧС в количестве более 46 тыс. человек и около 7 тыс. техники, а также ее перегруппировка.
Общая площадь затопленных территорий составила более 8 млн кв. км.
Успех применения сил и средств был достигнут путем круглосуточной работы органов управления всех уровней по оперативной переброске сил и средств на наиболее сложные и опасные участки по ходу движения волны паводка в соответствии с меняющейся буквально ежечасно обстановкой.
В борьбе со стихией широко применялись новых технологии, ежедневно системой космического мониторинга проводилась съемка опасных направлений, координация передвижений сил и грузов отслеживалась системой ГЛОНАСС, работали беспилотные летательные аппараты.
2. Теоретические основы модели. Особенностью предлагаемой модели является объединение теории марковских цепей [1] с теорией игр [2]. Результатом такого объединения является объект-автомат [3], на вход которого подается последовательность чрезвычайных ситуаций (аь а2, ..., ак) и ответных стратегий человека (Ьь Ь2, ..., Ьт), а выходом являются платежные матрицы игр, соответствующих состояниям конечного автомата:
Вход
а1Ь1 а1Ь2
а2Ь1 а2Ь2
So S* S* .. S* S* ... S*
й S* S* .. S* S* ... S*
Sn S* S* .. S* S* ... S*
акЬт
Выход
а1Ь1 а1Ь2 •С 2 а2 2 -С 2 а2 т
So Сц0 С120 •• С210 с 0 С22 С 0 . Скт
й С111 С121 •• С211 С221 . Скт
Sn ^ п С11 ^ п С12 ^ п •• С21 ^ п С22 п . Скт
Количество платежных матриц определяется количеством возможных состояний автомата (Я Sl, ..., Sn):
ГС0 С0
°11 °12
0 0 С21 С22
с° А
‘■'1т
0
0 о со
VСи1 Сп2 ... Спт /
Целью моделирования является поиск таких стратегий управления объектом-автоматом, которые дадут минимальный проигрыш при возникновении чрезвычайной ситуации.
3. Предпосылки моделирования. В качестве примера приложения данной модели рассмотрим конкретную ситуацию ЧС, связанную с прорывом дамбы во время аномального паводка на реке Амур летом 2013 г. Прорыв дамбы произошел в Еврейской автономной области.
Еще в 2012 году было объявлено о завершении реконструкции дамбы «Октябрьская». Она расположена на берегу реки Амур и тянется 32 км, защищая от разливов села Нагибово, Садовое и Благословенное. Сама насыпь была возведена еще в 1975 году. На реконструкцию было выделено 7,71 млн руб. Сообщалось, что на верх насыпи был уложен камень, что повышало устойчивость сооружения. Однако дамба не смогла эффективно противостоять наводнению. Как выяснили следователи, работы по ее реконструкции не были доведены до конца. Несмотря на это, чиновники приняли насыпь как готовую. Работы проводила компания «Гелиос», а принимали дамбу сотрудники ФГБУ «Управление мелиорации земель и сельскохозяйственного водоснабжения по Еврейской автономной области». «Тем не менее сумма оплаты за реконструкцию дамбы была проведена в полном объеме из средств федерального бюджета.
Ущерб, нанесенный федеральному бюджету, составил более 1,5 млн руб.», — говорится в сообщении Следственного комитета. Возбуждено уголовное дело по ст. 293 УК РФ (халатность) [4].
4. Игровая модель. Рассмотрим данную ситуацию с точки зрения теории конфликтов. Допустим, дамба имеет 3 состояния: So — новая или реконструированная (сдерживает паводок); S1 - плохая и требующая ремонта (но сдерживает паводок); S2 — разрушенная (не сдерживает паводка).
Игроками выступают с одной стороны природа, а с другой — администрация района. Игрок природа имеет 2 стратегии: а0 — паводка нет (с вероятностью 1-ра); а1 — паводок есть (с вероятностью Ра).
Администрация района также имеет 2 стратегии: Ь0 — не реконструировать дамбу; Ь1 — реконструировать дамбу.
Конечный автомат данной модели имеет вид
Вход
а О о о а0Ь1 аф0 а1Ь1
So Sl So Sl So
Sl S2 So S2 So
S2 S2 So S2 So
Р^п ) =
(Сп 11
пп
V Ск1 Ск2
кт /
Выход
а О о о а0Ь1 афо а1Ь1
So 0 -1 0 -1
Sl 0 -1 -X -1
S2 0 -2 -X -х-2
п
п
С
С
п
п
п
С
С
С
п
Рассмотрим правила заполнения первых двух колонок по входу автомата. Они определяют изменение состояния дамбы при нормальных условиях. Здесь мы предполагаем, что дамба имеет свойство менять свое состояние (стареть) без возникновения ЧС. То есть для поддержания дамбы в хорошем состоянии администрации необходимо нести определенные ежегодные расходы. В противном случае, независимо от того был ли паводок, на следующем шаге дамба переходит в состояние плохой, и далее — разрушенной.
Оставшиеся 2 колонки по входу автомата отвечают за изменение состояния дамбы при возникновении ЧС. Как видно, они полностью идентичны первым. Это означает, что состояние дамбы зависит в первую очередь от человеческого фактора, и только от человека зависит, насколько он будет готов ко встрече со стихией. Другими словами, если дамба содержалась в хорошем состоянии, то сама ЧС не сможет ускорить процесса ее старения. Очевидно, что разрушенная дамба и после наводнения останется разрушенной.
Именно эти свойства дамбы и являются основными психологическими препятствиями для администрации к вложению денег в ее ежегодную реконструкцию. Изменить такую психологию может только точный расчет убытков, связанных с ликвидацией последствий ЧС.
Выходные значения автомата определяют затраты администрации на обслуживание дамбы (-1 ед.) и ликвидацию последствий ее прорыва (-х ед.). Значение (-2 ед.) в клетке (52; а0Ь1) по выходу автомата означает, что в полностью разрушенную дамбу администрацией вкладываются деньги до полного восстановления (а не до состояния 51 — требующего ремонта).
Таким образом, в зависимости от состояния автомата на выходе мы получим три платежные матрицы игры с природой:
Решение игры 50 показывает, что администрации выгодно использовать чистую стратегию Ь0 — не реконструировать дамбу (с нулевым проигрышем).
Решения игры 51 зависят от значения х — затрат на ликвидацию прорыва дамбы — и стратегии природы (а0, аі). Средний проигрыш администрации определяется выражением
Р1 =~Ра (1 - РЬ )Х - (1 - Ра )РЬ - РаРь ■
Если х < 1, т. е. затраты на ликвидацию последствий ЧС меньше, чем затраты на реконструкцию, то администрация выбирает стратегию Ь0 — не реконструировать дамбу (с проигрышем -х). Если же затраты на ликвидацию чрезвычайной ситуации больше, чем на реконструкцию: х > 1, то стратегия администрации определяется стратегией природы в данном регионе. Критической точкой в этом случае является отношение стоимости реконструкции дамбы к затратам на ликвидацию последствий паводка (рис. 1):
Pa =-
і
Если, согласно статистическим данным Гидрометцентра, вероятность паводка на следующий год меньше критической (т. е. ра < ра), то администрация должна выбрать стратегию Ь0 — не реконструировать дамбу. В противном случае, при
* 1 Ра > Ра, стратегия администрации есть Ь — реконструировать дамбу.
P(S0) =
0 -і 0 -і
p(S!) =
0 -і
-x -і
Рис. 1. График зависимости среднего проигрыша администрации Fl от вероятности наступления ЧС ра и собственной стратегии рь
P(S2» =
0
-2
—x — x — 2
Данные в платежной матрице р(52) проставлены с предположением, что после разрушительного ЧС администрация обязательно должна полностью восстановить дамбу.
Дальнейший анализ игр проводится при естественном предположении, что мы знаем смешанные стратегии природы. Практически в рассматриваемой ситуации несложно провести статистический анализ наводнений в регионе по данным Гидрометцентра с 1930 г.
Решения игры 52 также зависят от значения х — затрат на ликвидацию прорыва дамбы — и стратегии природы (а0, а1). Но теперь катастрофические последствия ЧС проявляются вне зависимости от возникшего желания администрации укрепить разрушенную за несколько лет природой дамбу. Средний проигрыш администрации в этом случае определяется выражением
Р2 = Ра (1 - Рь )Х - 2(1 - Ра )Рь - РаРь (х + 2) .
Данная игра имеет решение в чистых стратегиях и приводит к выводу, что при любых значениях х администрации выгодно придерживаться стра-
x
тегии Ь0 — не реконструировать дамбу. Такая стратегия подтверждается даже обычной житейской логикой: «Если наводнения нет, то зачем нам тратиться на ремонт дамбы. А если пришло наводнение, то ремонтировать ее уже поздно».
Конечно, данная модель достаточно условна. И в первую очередь это связано с количеством возможных состояний изучаемого объекта. На практике дамбы не стареют столь быстро, как мы предположили. То есть хотелось бы увеличить количество промежуточных состояний стареющей дамбы (например, ввести состояния S2, S3, S4, ... Sразр). Ведь согласно построенной модели именно для состояния Sl (дамба требует ремонта) существуют научно обоснованные доводы для администрации направить деньги на реконструкцию вверенного объекта.
Однако вторая часть характеристики состояния Sl (но сдерживает паводок) психологически является главным аргументом против немедленной реконструкции, что с течением времени неизбежно приводит к состоянию Sразр (как раз к началу чрезвычайной ситуации).
Кстати, данная стратегия подтверждается и ежедневно наблюдаемой картиной: мало кто видел новые и реконструированные дамбы, однако повсеместно можно наблюдать полуразрушенные насыпи которые предположительно должны сдерживать паводок.
5. Имитационная модель Stateflow. Для
того чтобы показать к чему приводит такое халатное отношение в работе было проведено имитационное моделирование рассматриваемого конечного автомата с помощью МайаЬ^ШиШ^ Stateflow (рис. 2).
pa Chart
Рис. 2. Simulink-блок-схема модели дамбы
Входными данными модели являются: х — величина затрат на восстановление последствий наводнения; pa — вероятность возникновения чрезвычайной ситуации.
Выходом Fs являются общие затраты на обслуживание дамбы и восстановление последствий наводнений за 10 лет. На рис. 3 показана Stateflow-диаграмма блока Chart [5].
На рис. 4 показана функция y = p (z), которая управляет стратегиями природы и администрации в зависимости от вероятности наступления ЧС.
Рис. 3. Stateflow-диаграмма блока Chart: k — годовой счетчик; a, b — стратегии соответственно природы и администрации; pa — вероятность наступления ЧС; f — текущие затраты администрации;
F — суммарные затраты за последние 10 лет; Fs — массив суммарных затрат за последние 70 лет
function y=p(z)
[ml('rand(1)')<z]{y=1;}
Рис. 4. Вероятностная функция управления стратегиями природы
Результаты моделирования дают среднее значение затрат администрации в течение 10 лет F = 14+3 ед., что всегда больше, чем суммарные затраты на ежегодную реконструкцию дамбы F = 10 ед. Другими словами, играть с природой — себе дороже.
Выводы. Таким образом, по результатам моделирования можно сделать вывод, что дамбы,
Библиографический список
1. Дынкин, Е. Б. Марковские процессы / Е. Б. Дынкин. — М.: Физматлит, 1963. — 860 с.
2. Нейман, Дж. фон. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. — М.: Наука, 1970. — 708 с.
3. Кобринский, Н. Е. Введение в теорию конечных автоматов / Н. Е. Кобринский, Б. А. Трахтенброт. — М.: Физматгиз, 1962. — 404 с.
4. Берсенева, А. В наводнении всплыла халатность / А. Берсенева // Газета.ги. — (http://www.gazeta.ru/ social/2013/09/19/5660521.shtml). — (19.09.2013).
5. Рогачев, Г. Н. Stateflow 5.0. Руководство пользователя / Г. Н. Рогачев // Matlab.exponenta.ru. — (http://matlab.exponenta.ru/stateflow/book1). — (19.09.2013).
находящиеся на балансе районных муниципальных образований, не являются эффективным средством борьбы с ЧС типа паводка. При всей опасности надвигающихся угроз администрация, как правило, не в состоянии убедить граждан в необходимости направлять денежные средства на реконструкцию дамбы, а не на социально значимые программы (дороги, здравоохранение, образование). Альтернативой этому видится построение каскадов плотин ГЭС, которые, вырабатывая и продавая электроэнергию, являются, во-первых, самоокупаемыми объектами, а во-вторых, аккумулируя воду, предотвращают саму возможность наступления ЧС. Моделирование работы Зейской ГЭС во время аномальных паводков летом 2013 г. авторы планируют опубликовать в следующей работе.
References
1. Dynkin, E. B. Markovskie processy / E. B. Dynkin. — M.: Fizmatlit, 1963. — 860 s.
2. Nejman, Dzh. fon. Teoriya igr i e'konomi-cheskoe povedenie / Dzh. fon Nejman, O. Morgenshtern. — M.: Nauka, 1970. — 708 s.
3. Kobrinskij, N. E. Vvedenie v teoriyu konech-nyx avtomatov / N. E. Kobrinskij, B. A. Traxtenbrot. — M.: Fizmatgiz, 1962. — 404 s.
4. Berseneva, A. V navodnenii vsplyla xalatnost' / A. Berseneva // Gazeta.ru. — (http://www.gazeta.ru/social/ 2013/09/19/5660521. shtml). — (19.09.2013).
5. Rogachev, G. N. Stateflow 5.0. Rukovodstvo pol'zovatelya / G. N. Rogachev // Matlab.exponenta.ru. — (http://matlab.exponenta.ru/stateflow/book1). — (19.09.2013).
STATEFLOW SIMULATION OF CRASH OF THE FLOOD DAM DURING FAR EAST FLOODS IN THE SUMMER OF 2013
Dumachev V. N.,
PhD in Physics and Mathematics, Assoc. Prof.,
Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of the Russian Federation;
Russia, Voronezh, tel.: (473)262-33-79, e-mail: dumv@comch.ru Peshkova N. V.,
Adjunct,
Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of the Russian Federation;
Russia, Voronezh, tel.: (473)262-33-79 Kalach A. V.,
D. Sc. in Chemistry, Assoc. Prof.,
Voronezh Institute of State Fire Service of EMERCOM of Russia,
Russia, Voronezh, tel.: (473) 236-33-05, e-mail: AVKalach@gmail.com Chudakov А. А.,
Senior Lecturer,
Voronezh Institute of State Fire Service of EMERCOM of Russia,
Russia, Voronezh, e-mail: vigps@mail.ru
To describe the natural emergencies in this paper we propose a model that combines the theory of Markov chains, and game theory as finite-state machine.
As an example, a model operation offlood control dams is considered, and optimal strategy for its maintenance is determined.
Keywords: matrix games, extreme strategy, natural emergencies.
