О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ МНОГОЧЛЕНОВ f С ПЕРИОДИЧЕСКИМ РАЗЛОЖЕНИЕМ √f В НЕПРЕРЫВНУЮ ДРОБЬ Текст научной статьи по специальности «Математика»

12. Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов в весовом пространство // Дифференц. уравнения. 1998. 34. № 1. 40 44.

13. Пухов С. С., СеОлецшй A.M. Базисы из экспонент, синусов и косинусов в весовых пространствах на конечном интервале // Докл. РАН. 2009. 425. № 4. 452 455.

14. Юхименко А.А. Базисы из экспонент в весовых пространствах L2(-п,п) // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 2. 36 38.

15. Пухов С. С. Базисы из экспонент, синусов и косинусов в весовых пространствах на конечном интервале // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. 75, № 2. 195 224. '

16. Бабенка К.И. О сопряженных функциях // Докл. АН СССР. 1948. 62, № 2. 157 160.

17. Гапошкин В.Ф. Одно обобщение теоремы М. Рисса о сопряженных функциях // Матем. сб. 1958. 46 (88). № 3. 111 115.

18. Hunt R.A., Muckenhoupt В., Wheeden R.L. Weighed norm inequalities for the conjugated function and Hilbort transform // Trans. Amor. Math. Soc. 1973. 176. 227 251.

19. Hunt R.A., Young W.S. A weighted norm inequality for Fourier series // Bull. Amor. Math. Soc. 1974. 80. 274 277.

20. Голубева E. С. Фреймы экспонент со степенным весом // Вестн. СамГУ. Естоственнонауч. сор. 2011. Вып. 2. № 83. 15 25.

21. Bilalov В. Т., Guliyeva A.A. On the frame properties of degenerate system of sines // J. Funct. Spaces Appl. 2012. Art. ID 184186.

22. Bilalov B.T., Mamedova Z.V. On the frame properties of some degenerate trigonometric systems // Dokl. Nats. Akad. Nauk Azerb. 2012. 68, N 5. 14 18.

23. Шукюров A.HI. О базисных свойствах взвешенных экспоненциальных систем с избытком // Вести. СамГУ. Естоственнонауч. сер. 2018. Вып. 24, № 5. 14 19.

24. Shukurov A.Sh. On basicity of the degenerate trigonometric system with excess // Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2017. 21, N 2.'249 257.

25. Kokilashvili V.M., Meskhi A., Rafeiro H., Samko S. Integral Operators in Non-Standart Function Spaces // Variable Exponent Holder, Morrey-Companato and Grand Spaces. Vol. 2. Switzerland: Birkhauser, 2016.

26. Дынькин E.M., Осиленкер Б.П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения // Итоги науки и техники. Сер. Матем. анализ. 1983. 21. 42 129.

Поступила в редакцию 22.07.2022

УДК 511

О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ МНОГОЧЛЕНОВ / С ПЕРИОДИЧЕСКИМ РАЗЛОЖЕНИЕМ sff В НЕПРЕРЫВНУЮ ДРОБЬ

Г. В. Федоров1

Для каждого n ^ 3 ранее были построены три неэквивалентных многочлена f G Q[x] степени п, для которых y/f имеет периодическое разложение в непрорывную дробь в поло Q((x)). В работе для каждого n ^ 5 найдены то два новых многочлена f G K[x] степени п, которые определены над полем К, [К : Q] = [(?? — 1)/2], и для которых \fj имеет периодическое разложение в непрерывную дробь в поле K((x)).

Ключевые слова: гиперэллиптическое поле, проблема периодичности функциональных непрерывных дробей, функциональное уравнение типа Пелля, фундаментальные S-единицы.

For each n > 3 three nonequivalent polynomials f G Q[x] of degrее n were previously constructed for which a/7 has a periodic continued fraction expansion in the field Q((.x)). In this paper, for each n > 5, two new polyno mials f G K [x] of degr ее n are found, defined over

1 Федоров Глеб Владимирович капд. физ.-мат. паук, доцепт АНО ВО "Университет Сириус", e-mail: fedorov О mecli. mat li. msu. su.

Faluruv Gleb Vlatlimirovich Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor. Sirius University.

© Федоров Г. В., "2024 © Fndorov G. V., 2024

(cc)

the field К, [К : Q] = [(п — 1)/2], for which л/J has a periodic continued fraction expansion in the field K((ж)).

Key words: hyperelliptic field, the problem of periodicity of functional continued fractions, Pell-type functional equation, fundamental S-units.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-2-3

Пусть K — поле отличной от 2 характеристики. Проблема периодичности функциональных непрерывных дробей, построенных в поле формальных степенных рядов K((ж)), связана с проблемой кручения в якобианах гиперэллиптических кривых, проблемой поиска и построения фундаментальных S-единиц и с решением функциональных уравнений типа Пелля (см. [1]). В классическом случае, когда непрерывные дроби рассматриваются в поле K((1/ж)), связь указанных проблем обсуждалась, например, в [2-5].

Пусть / € К[х] — свободный от квадратов многочлен степени г = 2д + 1 или г = 2д + 2. Как отмечалось в статьях [6-10], элементы вида л/J / Xs являются ключевыми в гиперэллиптическом поле L = K(x)(-\/~f) с точки зрения свойств периодичности и связи с приведенными выше проблемами. В [10] доказано, что для таких элементов свойство квазипериодичности (периодичности с точностью до постоянного множителя) влечет свойство периодичности.

В [6] высказана гипотеза, что элементы вида л/J и л/J/хг, где г = deg/, имеют "пограничный характер" в том смысле, что над числовыми полями К не существует свободного от квадратов многочлена / € If [ж], deg / = г, для которого при некотором s < 0 или s > г элемент л/J / Xs имеет

K((x))

В настоящей работе найдены две новые последовательности многочленов /г, deg/r = г ^ 5, с периодическим разложением \/~fr в непрерывную дробь в К((ж)). Ранее в [11] были построены три такие последовательности над полем Q.

Для многочлена T(ж) символом lc (T(ж)) обозначим старший коэффициент.

В предложениях 2 и 5 статьи [9] доказано, что для периодичности непрерывной дроби элемента л/J, построенной в К((ж)), необходимо и достаточно, чтобы существовали многочлены f\, /2, Цз, //4 € K[ж] и число m € N такие, что старшие коэффициенты многочленов /2,^3,^4 равны 1, многочлены /2, ^4 не делятся на ж и справедливы соотношения

/2^4 - /i^3 = жт, /1/2 = /, (1)

deg(/i^2) < deg(/2^4) = m, deg /2 > 0, deg ^4 ^ deg /1 +deg ^3. (2)

Обозначим deg / = r, deg /2 = t, deg ^3 = s, тогда из приведенных условий (2) получаем

deg /1 = r — t, deg ^ r — t + s, m = 2r — t + 2s.

Если записать многочлены /i, /2, ^3, ^4 с неопределенными коэффициентами, то с учетом условий на старшие коэффициенты и степени многочленов /1, /2, ^3, ^4 из (1) получается система из m урав-m

являются линейными, но мы ожидаем, что размерность пространства решений будет равна нулю. В этом убедимся далее.

В силу нелинейности полученной системы уравнений решить ее удается далеко не для всех [r, t, s] [r, t, s]

решений, если последние есть.

В статье [11] доказано, что для каждого r € N r ^ 3, существует по единственному (с точностью до эквивалентности, определенной ниже) над полем Q решению с маркировками [r, r, 1], [r, r — 1, 0], [r, 1, 0]. Для степеней deg / = 3 и deg / = 4 эти решения приведены в статьях [9] и [11]. Выпишем эти решения для степеней 5 ^ deg / ^ 6 и K = Q:

[5,1, 0], /5,1 =

1152ж5 175 + 96ж4 25 48ж3 49 + 117ж2 245 2ж ~ У + 1;

192ж5 112ж4 64ж3 36ж2 4ж + 1

25 25 25 25 5

128ж5 128ж4 96ж3 64ж2 8ж + 1

25 25 25 25 5

[6,1,0], /б,1 = [6, 5, 0], [6, 6,1], /б

1408ж6 189

5632ж5 484ж4

+

1323

441

44ж3 187ж2 2ж ~8Г + ~567 9~ + '

,2 —

112ж6 64ж5 20ж3 11ж2 ?,х

— 4ж4 + 1;

9 9 9 9 3

64ж6 64ж5 16ж4 З2ж3 20ж2 4ж +1

9 9 3 9 9 3

3 —

В индексах многочленов / записаны степень deg / — г и порядковый номер многочлена с такой степенью.

Пусть теперь К — некоторое числовое поле. Пусть многочлен / € К[х] такой, что имеет периодическое разложение в непрерывную дробь. Заметим, что свойство периодичности непрерывной дроби элемента у7/ инвариантно относительно допустимых замен многочлена /(ж) на а2/(6ж) для а, Ь € К * и многочлена / (ж) на (ж), где а € Са1(К/0>). Эти замены над полем К разбивают на классы эквивалентности множество свободных от квадратов многочленов /, имеющих периодическое разложение ^П в непрерывную дробь. Скажем, что многочлен / степени г имеет минимальное представление степени г, если нельзя сделать замену на ж для некоторого к € N так, чтобы степень многочлена / стала меньше г. Последнее определение важно, поскольку относительно замены ма ж^ к € N свойство периодичности непрерывной дроби квадратичной иррациональности также инвариантно.

Обозначим через и множество пар [К, /(ж)], состоящих из числового поля К и свободного от квадратов многочлена / € К[х] с минимальным представлением степени г, имеющего периодическое разложение у7/ в непрерывную дробь в поле К({ж)), с точностью до отношения эквивалентности, определенного допустимыми заменами.

Основным результатом работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1. Для каждого г ^ 5 существует не менее пяти пар [К, /(ж)] € Ы, где deg/ = г и элемент у7/ имеет периодическое разложение в непрерывную дробь в К({ж)). Для трех из указанных пар К — ^ а еще для двух пар [К : 0>] — д, где д — [(г — 1)/2].

Доказательство. Выше было указано, что в статье [9] найдены три соответствующие пары над полем ^ ^^^ таждого г ^ 3. Покажем, что для каждого г ^ 5 существуют дополнительно еще хотя бы две пары [К, /(ж)] € и.

[г, 2, 0]

deg /2 — 2, deg ^4 — г — 2, deg /1 — г — 2, deg ^3 — 0, т — 2г — 2. Запишем многочлены /2,^4,/1,^3 с неопределенными коэффициентами:

/2 (ж) — ж2 + а1 ж + ао, ^4 (ж) — жг-2 + -иг-зжг-3 + ... + -о, /1 (ж) — Ьг-2жг-2 + Ьг-3жг-3 + ... + Ьо, №(ж) — 1.

ж аж а € К* /

а1 — 1 а1 — 0

нулей.

Условия на неопределенные коэффициенты, полученные из (1), принимают вид

(ж2 + ж + ао) (жг-2 + Уг-3жг-3 + ... + -о) — (Ьг-2жг-2 + ... + Ьо) —

ж

ж

нию, приходим к системе из т — 2г — 2 уравнений относительно 2г — 2 неопределенных коэффициентов:

/ж2г-3 : 2^-3 + 1 — 0, -2г-4 : ао + 2^_4 + — + 2^-3 — 0,

2ао-иг_3 + 2уг-5 + 2УГ-4УТ-3 + 2-^-4 + — — 0,

ж

ж

2г-5

ж

ж

1:

о

2ао -о-1 — Ь1 + — 0, ао-о — Ьо — 0.

Тождественное уравнение жт = жт мы не учитываем. Из первого уравнения системы находим гг_3 = —1/2. Из второго уравнения с учетом уже найденного гг_3 выражаем гг_4 через ао и подставляем в остальные уравнения. Проделаем такие операции для всех г — 2 неопределенных коэффициентов гг_3,..., го многочлена ^4. Отметим, что выражения для гг_4 и гг_5 зависят линейно от ао, выражения для гг_б и гг_7 зависят квадратичным об разом от ао и так далее. До настоящего момента мы работали с уравнениями при ж2г_3,..., жг. Если найденные выражения для коэффициентов многочлена ^4 подставить в уравнение при жг_1, то получится полиномиальное уравнение только относительно ао, причем его степень равна [(г — 1)/2], что легко выводится из сравнения степеней выражений для коэффициентов многочлена ^4 через ао. Далее, уравнения при жг_2,..., жо линейно зависят от коэффициентов многочлена /1, что позволяет без труда их найти как выражения ао

[(г — 1)/2] относительно переменной ао.

Таким образом, при маркировке [г, 2, 0] всегда можно рассчитывать на существование решения над полем К, [К : 0>] = д, где д — род кривой, заданной уравнением у2 = /(ж), при этом г = 2д + 1 или г = 2д + 2.

[г, г — 2, 0]

deg /2 = г — 2, deg ^4 = 2, deg /1 = 2, deg ^3 = 0, т = г + 2. Запишем многочлены /2,^4,/1,^3 с неопределенными коэффициентами:

/2 (ж) = жг_2 + аг_зжг_3 + ... + ао, ^4 (ж) = ж2 + г1 ж + го,

/1(ж) = Ь2ж2 + Ь1 ж + Ьо, ^(ж) = 1.

В силу допустимой замены ж на аж, а € К*, можно считать, что г1 = 1, поскольку в случае г1 = 0 будет только тривиальное решение, состоящее из нулей.

Условия на неопределенные коэффициенты, полученные из (1), принимают вид

(жг_2 + аг_3жг_3 + ... + ао) (ж2 + ж + го)2 — (Ь2ж2 + Ь1ж + 6о) = жт.

ж

т = г+2 г+ 2

коэффициентов:

'жг+1 : аг_3 + 2 = 0, жг : аг_4 + 2аг_3 + 2го + 1 = 0, жг_1 : аг_5 + 2аг_4 + 2аг_3го + аг_3 + 2го = 0,

ж1 : 2аого + а1гд — 61 =0, жо : аог2 — 6о = 0.

Из первого уравнения системы находим аг_3 = —2. Из второго уравнения с учетом уже найденного аг_3 выражаем аг_4 через го и подставляем в остальные уравнения. Проделаем такие операции для всех г — 2 неопределенных коэффициентов аг_3,..., ао многочлена /2- Отметим, что выражения для аг_4 и аг_5 зависят линейно от го, выражения для аг_б и аг_7 зависят квадратичным образом от го и так далее. До настоящего момента мы работали с уравнениями при жг+1,... ,ж4. Если

/2 ж3

го [(г — 1)/2]

/2 го

ж2, ж1, жо /1

го

[(г — 1)/2] го

[г, г — 2, 0]

шения над полем К, [К : О] = д, где д — род кривой, заданной уравнением у2 = /(ж), при этом

г = 2д + 1 или г = 2д + 2. □

/

над соответствующими полями К, [К : 0>] = д, занумерованных степенью deg / = г г ^ 5, д =

[(г — 1)/2]

соответствующими квадратичными полями.

Теорема 2. Для следующих многочленов / элемент у/У имеет периодическое разложение в непрерывную дробь в К ((ж)) {с указанием маркировки и поля К);

[5, 2, 0], K —

8ж5 (-27 + 5\/30) 4х4 (-27 + 5л/зб)

/б,4 =--—--ь

175

75

8х3 (—135 + 32\/30) ж2 (-191 + 46л/30) 2х (-15 + 2^/30)

3675

[5, 3, 0], K = Q

735

105

+ 1;

7х5 (9 + 2y/2l) 49ж4 (9 +

/5,5 =--—--Ь

50

300

X

+ 144) ж2 (4л/2Т + 79) ж (у/И + б)

150

+

+

+ 1;

[6, 2, 0], K =

>,4 —

300 15

25ж6 (55 + 7у/70) 50ж5 (55 +

+

25X4 65 +

+-

X

7056 (2015 + :

+

756 25x3 (259 + ,

1323

+

9072

+

31752

770 + 35) 126

+

+ 1;

[6,4,0], к —

+

_ 8ж6 (17 + 7у/7) 64ж5 (17 + 7^7)

/б, 5 - ^ ^ +

2ж4 (49\/7 + 134) 4ж3 (23л/7 + Юб) 147 441

2ж2 (—37 + 16\/7) 2ж (\/7 + 5)

441

+

21

+ 1.

Доказательство. Вычисления показывают, что для каждого многочлена / € {/5,4, /5,5, /6,4, /6,5} непрерывная дробь элемента \// периодическая. Длины квазипериодов соответственно равны 7, 5, 9, 5, длины периодов — соответственно 14,10,18,10. Положим Б = {и~ ,1)%}, где г>~, г>+ — продолжения нормирования ух поля К(ж) на поле Ь = К(ж)(у/7), где / — один из многочленов {/5,4, /5,5, /б,4, /б,5} (поле К соответствует многочлену /). Степени фундаментальных ¿>-единиц в кольцах ¿>-целых элементов полей Ь = К(х)(у/У), / € {/5,4, /5,5, /б,4, /б,5}) соответственно равны 8, 7,10, 8. □ Исследование выполнено за счет гранта РНФ № 22-71-00101.

x

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Платонов В.П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // Успехи матем. наук. 2014. 69, № 1(415). 3-38.

2. Adams W. W., Razar M.J. Multiples of points on elliptic curves and continued fractions / / Proc. London Math. Soc. 1980. 3, N 3. 481-498.

3. Schmidt W. On continued fractions and diophantine approximation in power series fields // Acta arithm. 2000. 95, N 2. 139-166.

4. Berry T.G. A type of hyperelliptic continued fraction // Monatshefte fur Mathematik. 2005. 145. 269-283.

5. Zannier U. Unlikely intersections and Pell's equations in polynomials // Springer INdAM Series. 2014. 8. 151-169.

6. Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме классификации многочленов f с периодическим разложением л/7 в непрерывную дробь в гиперэллиптических полях // Изв. РАН. Сер. матем. 2021. 85, № 5. 152-189.

7. Платонов В.П., Жгун B.C., Петрунин М.М. О проблеме периодичности разложений в непрерывную дробь л/7 для кубических многочленов / над полями алгебраических чисел // Матем. сб. 2022. 213, № 3. 139-170.

8. Плат,опое В.П., Федоров Г.В. О проблеме классификации периодических непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Успехи матем. наук. 2020. 75, № 4(454). 211-212.

9. Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Матем. сб. 2018. 209, № 4. 54-94.

10. Платонов В.П., Петрунин М.М. Группы Б-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Топология и физика: Сб. статей. К 80-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова; Тр. МИЛИ. 2018. 302. 354-376.

11. Платонов В.П., Федоров Г.В. О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Докл. РАН. 2017. 474, № 5. 540-544.

Поступила в редакцию 19.04.2023