О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ МНОГОЧЛЕНОВ БИНОМИАЛЬНОГО ТИПА И ТЕОРЕМАХ О СРЕДНЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

34

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №5

УДК 511

О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ МНОГОЧЛЕНОВ БИНОМИАЛЬНОГО ТИПА И ТЕОРЕМАХ О СРЕДНЕМ

А. Х. Гияси1, В.Н. Чубариков2

В работе дано описание последовательностей многочленов биномиального типа и доказаны новые теоремы о среднем.

Ключевые слова: полные степени, верхние и нижние факториалы, многочлены Абеля и Лагерра, экспоненциальные многочлены, теоремы о среднем.

In this paper, a description of sequences of polynomials of binomial type is given and new mean-value theorems are proved.

Key words: complete powers, upper and lower factorials, Abel's and Lagerre's polynomials, exponential polynomials, mean-value theorems.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-5-4

1. Введение. Настоящая работа посвящена исследованию арифметических свойств последовательностей полиномов с целыми коэффициентами, обобщающих известную формулу бинома Ньютона: n

(x + y)n = (?) xkyn-k, n = 1, 2,... . k=0 ^ '

Пусть последовательность многочленов pn(x) имеет в точности степень n и для любых действительных чисел x и y удовлетворяет соотношениям

Pn(x + y) = k=0( ?jpk(x)pn-k (y),n = 1, 2,... ,po(x) = 1. (1)

Тогда последовательность многочленов pn(x),n ^ 0, называют последовательностью многочленов биномиального типа.

Заметим, что последовательности биномиального типа естественным образом возникают в классических задачах перечисления или в теории алфавитного кодирования при условии различных ограничений на последовательные буквы.

Постановки задач, связанные с этим понятием, имеют полуторавековую историю. Наиболее полно она представлена в хорошо известных книгах Дж. Риордана [1, 2] и статьях А. Гурвица [3], Дж. Тушара [4], В. А. Аль-Салаама [5], Р. Мюллена и Д.-С. Рота [6].

Первой задачей является доказательство того, что рассматриваемая последовательность pn(x) представляет собой последовательность многочленов биномиального типа. Прекрасный операторный метод ее решения развит Дж.-С. Рота и Р. Мюлленом. В настоящей работе в систематическом виде дается аналитический подход к решению, основанный на свойстве инвариантности формы первого дифференциала. Существенным моментом при этом является то, что исследование использует дифференциалы и конечные разности при определенных ограничениях.

Вторая задача связана с оценками сверху модулей аналогов сумм Г. Вейля [7-13] вида

S = S(P, f) = ^ e2nif (x), P ^ 1,

x^P

1Гияси Азар Ходабахш— канд. физ.-мат. наук, стажер каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:[email protected], [email protected].

Ghyasi Azar — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Post-Doctoral Period, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical and Computers Methods of Analysis; Faculty of Statistics, Mathematics and Computer, Allameh Tabataba'i University, Tehran, Iran.

2 Чубариков Владимир Николаевич — доктор. физ.-мат. наук, проф., зав. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Chubarikov Vladimir Nikolaevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of the Chair of Mathematical and Computers Methods of Analysis.

© Гияси А.Х., Чубариков В.Н., 2024 © Ghyasi A., Chubarikov V.N., 2024

(cc)

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2024. №5

35

где /(ж) = + (0) =0,8 ^ 1, причем д5(ж) — многочлен с целыми коэффициента-

ми точной степени в и со старшим коэффициентом, равным 1, а коэффициенты а5 — произвольные действительные числа. Заметим, что суммы 5 являются периодическими функциями по каждому коэффициенту ап,..., а1 с периодом, равным 1.

Вывод этих оценок существенно опирается на достаточно точные неравенства для средних значений степени модуля сумм 5, т.е. при возможно меньших степенях осреднения 2к, к ^ 1, на оценки интегралов вида

1 1

. = . (Р; к,п) = У ...у |5 (Р,/ )|2к ¿ап ...¿«1.

хп ■

0 0

2. Основные свойства типичных последовательностей многочленов биномиального типа.

1. Нижние факториалы:

рп (ж) = (ж)п = ж (ж — 1)... (ж — п + 1), п ^ 1; (ж)0 = 1. По индукции из формулы (ж)п+1 = (ж — п)(ж)п выводим

п / N

(ж + У)п+1 = (ж + У — п) ■ (ж + у)п = (ж + у — п) (к) (ж)к(у)п-к =

= £ (к) (ж — к) ^ (ж)к(У)п-к + Е ( к ) (ж)к(У)п-к ' (У — п + к) =

= £ (к) (ж)^+1(У)п-к + ^ (к) (ж)к(У)п-к+1 =

к ) (ж)к+1(У)п-к + X] ( к / ^ 1к\У1п-к

п+1 / ч п / ч

I] ( к п 0 (ж)к(У)п-к+1 + ^ (к) (ж)к(У)п-к+1

п + ^ (ж)0(У)п+1 + £ ( (к ! Й ) (ж)к(У)п-к+1 ^п + 1

(ж)0(У)п+1 + кС ( п (ж)к(У)п-к+1 4п + 0 (ж)п+1(У)0 =

п+1 /п + 1\

к у (ж)к (У)п-к+1.

к=0

2. Верхние факториалы:

рп(ж) = ж(п) = ж(ж + 1)... (ж + п — 1), п ^ 1; ж(0) = 1.

Имеем (—ж)п = (—1)пж(п),п ^ 0. Отсюда для последовательности многочленов верхних факториалов находим

(ж+У)(п) = £

к

к

к=0 4 ' 3. Многочлены Абеля:

рп(ж) = Ап(ж) = ж(ж — п а)п-1, п ^ 1, А0(ж) = 1.

По индукции докажем, что последовательность многочленов Абеля является последовательностью биномиального типа. Имеем

п-1 /п — 1\

Ап(ж) = п Ап-1(ж — а),Аг(и + у) = пАп-1(и + У — а)=п^ ^ ^ (и — а)Ап-1-к(у).

Интегрируя предыдущее равенство, получим

п— 1

/п_1 / п_1\ п С

Л'п{и + у)(1и = ( к ] (к + 1)Ак(и- а)(1и,

к=0

п— 1

(П-1]

к + 1

к=0

Следовательно,

п / \

. , . I п\

~~ ' " Ч (Х)Ап-к

п_1 , _ 1\

А„(х + у) - Ап(у) = к ) -^~^Ап-1-к{у)Ак+1{х).

Ап(ж + у) = к=0 (п)лк(х)Ап_к(у). 4. Экспоненциальные многочлены:

п

Рп(х) = ^п(х) = ^ 5(п, к)жк, п ^ 1, <^о(ж) = 1,

к=0

где 5(п, к) — числа Стирлинга второго рода, определяемые производящими функциями вида

п

Г = ^ 5(п, к)(£)к (п ^ 1), 5(0,0) = 1.

к=0

Используя известные тождества

(ж) = ж^п_1(ж) + ж^п_1(ж),5(п, к) = 5(п — 1, к — 1) + к5(п — 1, к), 1 ^ к < п,

^>п(ж) ^ж = ж^п_1(ж) ^ж + ж ^^п_1(ж), (2)

по индукции докажем, что последовательность экспоненциальных многочленов является последовательностью биномиального типа. По теореме об инвариантности формы (2) первого дифференциала имеем

^п(ж + у)(^ж + ^у) = (ж + у)^п—1 (ж + у)(^ж + ^у) + (ж + у)Й^п—1 (ж + у) =

п1

п— / п - 1\ (ж + у)^( к (ж)^п—1—к (у)(^ж + ^у) + к=0 ^ '

п—1 /п — 1\

+ (ж + у) ( _ ) (^'к(ж)^п—1—к(у)^ж + ^к(ж)^п—1—кЫ^) = к=0 '

п—1 (п — 1\

= (ж + у) к=0 ( к У (^к(ж) + (ж)) ^п—к—1(у) ¿ж+ п—1 (п — 1\

+ (ж + к ) (^п—к—1(у) + ^г—к—1(у^ ^к (ж) ¿у =

п— 1

п

\ к: / *

к=0

п1

к=0

Отсюда заключаем, что

Е( п — 1\ / (ж + у) ^ж , . , . (ж + у) ^у , . .Л I к ) I-ж-+---МФп-к(у) ) ■

(ж у л X п __\

Ыж + у)--— _ 1)^к{х)^п-к{у) \ (1х+

+ ( (^п(ж + у) - ^ к 1)^п-А;(у)№(ж) ) Лу = 0.

V у к=0 /

х

Поскольку ж и У — независимые переменные, из последнего равенства находим

" п

ж^п(ж + У) — (ж + У) £ (к-1)^(ж)^п-к(у) = 0, к=1 п-1

У^п(ж + у) — (ж + у) £ (п-^ ^(ж)^п-к(у) = 0. к=0

Складывая последние уравнения и используя свойство биномиальных коэффициентов

п — 1 п — 1 п

к — V \ к у =

получим

п / ч

п

Ыж + У) = (^Рк(ж)^п-к(У),

т.е. (^>п(ж)) является биномиальной последовательностью многочленов. 5. Многочлены Лагерра:

^ п^ /п_1

Рп(ж) = ¿п(ж) = ту ( , _ х ) (-Ж)А:, Р0(ж) = 1.

Справедлива следующая классическая рекуррентная формула:

¿п(ж) = п(^п-1(ж) — ¿п-1(ж))

или

¿¿п(ж) = п^£п-1(ж) — пРп-1(ж) ¿ж. Отсюда по теореме об инвариантности формы первого дифференциала имеем

¿¿п(ж + у) = п^Рп-1 (ж + у) — пРп-1 (ж + у) ¿(ж + у).

Используя предположение индукции и интегрируя по ж при фиксированном У, получим

X

Рп(ж + у) = пРп-1 (ж + у) — ^уРп-1(и + у) ¿и — п! ¿п-1(0 + у) ¿у + С

0

п-1 , _ 1ч

= п ( к ^Р^(ж)Рп-1-к(У) —

(п — 0 Рп-1-к(У) J ¿к(и) ¿и — п J ¿п-1 (У) ¿У + С,

Далее, поскольку

к=0

п-1 /

п—1

—п ^ I |Ьп-1-к( к=0 0 где С = 1.

¿к (ж) — J ¿к (ж) ¿ж =

0

_ * к\ /к-1\ | * к! _ т\\т — 1/ т\\т — 1/ ш + 1

т=1 4 7 т=1 4 7

ш! ; V \ т — 1/ \m-2jJ к + 1

т=2 44 7 4 7 7

V— ( к V х)™ = Ьк+1№

^ m! \го - 1/ к + 1 '

m=i 4 7

находим

n i n / n _ 1 С

Ln(x + y) = Y, Г—Y ( k )Ln-i-k{y)Lk+l{x)-n / Ln_i(y)dy + 1 = fc=o + V / J

= £ (^Ln-fc(y)Lfc(x) - n Lra_i(y) dy + 1 = ^ (wLra"fc(y)Lfc(x).

1,-1 V / ^ n v /

3. Теорема о среднем для тригонометрических сумм с многочленами биномиального типа в показателе экспоненты. Дальнейшая часть работы тесным образом связана с постановками задач и исследованиями по суммам Г. Вейля и их обобщениям.

Пусть P, k,n — натуральные числа и pn(x),n ^ 0, — последовательность многочленов биномиального типа (1), и пусть многочлен

f (x) = aipi(x) + a2P2(x) + ... + arapra(x) имеет действительные коэффициенты ai, a2,..., an. Тогда

i i

J = J (P; k,n) ^ у ...J |S(a)|2k dai ...dan

oo

— среднее значение 2&-й степени модуля тригонометрической суммы

S(a) = ^ e2nif(x), a = (ai, a2 ..., an)

— представляет собой число решений системы диофантовых уравнений вида

'pi(Xi) + ... + Pi(X2fc_i) = Pi(X2) + ... + Pi(X2fc),

(3)

kPn(Xi) + ... + Pn(X2fc-i) = Pn(X2) + ... + Pn(X2fc),

где неизвестные ж1,..., , ж^+1,..., ж2к пробегают независимо все натуральные числа от 1 до Р.

Лемма 1. Пусть набор натуральных чисел (ж1,..., , ж&+1,... , ж2&) является решением системы уравнений (3). Тогда для любого целого числа а набор (ж1 + а,..., + а, ж&+1 + а,..., ж2& + а) также является решением системы уравнений (3). Доказательство. По условию леммы имеем

2fc

У

^(-1)jpPs(Xj) =0, 1 < S < n. j=i

Далее при 1 ^ s ^ n находим

2к 2к я / ч я / ч 2к

1)^рв(ж,- + а) = (в)рг(ж,-)рв-г(а) = ^ (в)Ря-г(а)^](—1)7Рг(ж,-) = 0.

.7 = 1 , = 1 г=0 ^ ' г=0 ^ ' , = 1

Лемма доказана.

Пусть Л обозначает набор целых чисел (А1,...,Ап), и пусть . (Р; к,п, Л) — число решений в натуральных числах ж1,... ,ж2к, не превосходящих Р, следующей системы уравнений:

— 1)7Ря(ж7) = А5, 1 < в < п.

7=1

Тогда справедливы следующие соотношения:

1 1

,n

00

i i

J (P; k,n, Л) = у ... J |S (a)|2k e—2ni(a>A) dai ...dan,

n

где (a, Л) = ^ amAm;

m=1

Рассмотрим матрицу

J(P; k,n, Л) ^ J(P; k,n, 0);

^ J(P; k,n, Л) = P2k; л

|S (a)|2k = ^ J (P; k,n, Л)е2™(а 'Л); л

J(P; k,n) ^ (2k)—nP2k—0>5n(n+1). M = (ps(xj)), 1 ^ s ^ n, 1 ^ j ^ k,

имеющую n ^ 1 строк и k ^ n столбцов. Пусть q ^ 2 — натуральное число. Тогда набор вычетов (x1,..., xk) по модулю q назовем регулярным по модулю q, если ранг матрицы M по модулю q максимальный, т.е. равен n. В противном случае рассматриваемый набор назовем особым по модулю q.

Лемма 2. Пусть набор вычетов (x1,..., xk) по модулю q является регулярным (особым) по модулю q. Тогда для любого вычета a по модулю q набор вычетов (x1 + a,..., xk + a) будет регулярным (особым) по модулю q.

Действительно, если (x1,... ,xk) — особый набор вычетов по модулю q, то найдется ненулевой по модулю q набор (c1,..., cn), такой, что

n

F(xj) = ^ cmpm(xj) = 0 (mod q).

m=1

Заметим, что многочлен G(y) = F(y — a) имеет одинаковый ненулевой по модулю q коэффициент при старшей степени. Следовательно,

G(xj + a) = F(xj) = 0 (mod q).

Это означает, что набор вычетов (x1 + a,..., xk + a) по модулю q является особым.

Заметим, что если набор (x1,..., xk) являлся регулярным по модулю q, то набор (x1 + a,..., xk + a) останется регулярным, поскольку в противном случае особый набор (x1 + a,..., xk + a) при сдвиге на (—a) перешел бы по доказанному в особый набор, а это не так. Утверждение леммы 2 доказано.

Лемма 3 (о числе решений полной системы сравнений). Пусть p — простое число, T — число решений системы сравнений

2n

1)jxj = 0 (mod p4), 1 ^ t ^ n,

j=1

где неизвестные xj принимают значения из полной системы наименьших неотрицательных вычетов по модулю pn и наборы (x1,x3,... ,x2k—1) удовлетворяют условию регулярности по модулю p. Тогда

T < n!p1'5n2—0'5n. Доказательство см. [12, с. 143, лемма 4].

Лемма 4 (рекуррентное неравенство). Пусть n ^ 2, k ^ 2n, P ^ 1 — натуральные числа. Тогда найдется простое число p из промежутка [P1/n, 2P1/n), такое, что справедливо неравенство

J(P; k, n) < 2k2np2k+1'5n2—2'5n J(P1; k — n) + 22n2+1n2nkP2n—2,

где P1 = Pp—1 + 1.

Доказательство. Очевидно, что при Р ^ (2п)2п утверждение теоремы тривиально верно.

п

Поэтому в дальнейшем будем считать, что Р > (2п)2п. Пусть /(ж) = ^ атрт(ж) — многочлен с

т=1

действительными коэффициентами ат, причем точки а = («1,...,ап) принадлежат единичному кубу О с условием 0 ^ ат < 1,1 ^ т ^ п. Тогда

. = .(Р; к, п) =

.

х^Рх^Р

Е

Х2Й- 1<Р

2пг(/(хх)+/(хз)+...+/(Х2^ х))

dа.

Все наборы (ж1, ж3,..., ж2^-1) натуральных чисел, не превосходящих Р, разобьем на два класса А и В. В класс А отнесем все те наборы, которые удовлетворяют условию регулярности по модулю р = ря, хотя бы для одного значения в ^ п. Все остальные наборы (ж1,ж3,...,ж2^-1) отнесем ко второму классу В. Тогда в принятых обозначениях имеем

.

+

А

В

dа ^ 2.1 +2.2,

где

.1=

Е

А

dа, .2 =

Е

В

dа.

Далее все наборы (ж1, ж3,..., ж2^-1) из класса А разобьем на п непересекающихся классов А1,..., Ап, отвечающих простым числам р1 < ■ ■ ■ < рп, следующим образом. Набор (ж1, ж3,..., ж2^-1) из класса А отнесем в класс Ая, если он удовлетворяет условию регулярности по модулю ря и не принадлежит классам А1,..., Ая-1. Тогда для величины .1 имеем цепочку соотношений

.1=

ЕЕ

я=1 А»

2

da ^ п

я=1 •

Е

А»

dа ^ п2.,

где .1 — наибольшее из значений интегралов вида

2

Е

А»

da, 1 ^ в ^ п.

Итак, пусть при некотором фиксированном в имеем р = ря, и пусть все наборы (ж1, жз,..., ж2к-1) из класса А. Тогда

2

Е

А

da.

Поскольку к ^ п и ранг матрицы

М = (ря(ж,)), 1 ^ в ^ п, 1 ^ 3 ^ к,

имеющей п ^ 2 строк и к ^ п столбцов, и ранг матрицы М по модулю р — максимальный, т.е. равен п, можно найти п столбцов в матрице М, которые будут линейно независимы по модулю р. Следовательно, если возьмем наборы, у которых первые п координат (ж1, жз,..., ж2п-1) являются указанными п линейно независимыми по модулю р столбцами, то

.0 <

п

...

е2пг(/(хх)+...+/(х2п-1))

Х1

х2п-1

Е<

х<Р

=2пг/(х)

2(к-п)

da.

2

п

2

п

2

2

п

п

2

п

п

п

п

2

2

к

п

Представим ж в виде ж = у + ря, где 1 ^ у ^ р, 0 ^ г ^ Рр 1. Далее применим неравенство Гельдера к сумме:

Е Е

у=1о^г^Рр-

е

2пг/(у+рг)

2(к—п)

^ р2(к—п) —

У=1

е

о^г^Рр-1

2пг/(у+рг)

2(к—п)

Имеем

3о <

к 2р2(к-п)

п

р

тах

...

Х1 Х2п — 1

е2пг(/(х1)+...+/(х2п-1))

е

2пг/(у+рг)

2(к—п)

Ло.

Пусть максимум последнего выражения достигается при у = уо. Тогда последний интеграл равен 7' — числу решений диофантовой системы уравнений вида

2п

2к

£(-1)''рв(ж,-)+ £ (-1)''р*(уо + ря,-) = 0, 1 < 5 <

п,

,=1

,=2п+1

где неизвестные ж1, жз,..., ж2п—1 удовлетворяют условию регулярности по модулю р и не превосходят Р, а целозначные неизвестные я,, 2п + 1 ^ ] ^ 2к, изменяются в пределах от 0 до Рр—1. По лемме 1 при сдвиге всех неизвестных на величину у0 решения предыдущей системы уравнений перейдут в ее решения, т.е. будут выполняться равенства

2п

2к

1),р5(ж, — уо)+ ^ (—1Урв(рг,-) = 0, 1 < 5 < п.

,=1

,=2п+1

Отсюда в силу линейности многочленов получим эквивалентную систему уравнений:

2п 2к

£(—1, (ж, — уоГ + Е (—1)' (ря,Г =0, 1 < 5 < п.

, = 1 ,=2п+1

Далее обозначим число решений системы уравнений

2к

^ ( —1)'^ = Лв, 1 < 8 < п,

,=2п+1

символом 3(Р1; к, п, Л), где Л = (Л1,..., Лп), а целозначные неизвестные (яп+1, в пределах от 1 до Р1 = [Рр—1] + 1. Очевидно, что

3(Р1;к — п,Л) < 3(Р1;к — п0) = 3(Р1;к — п).

Пусть Т(Р; Л) обозначает число решений системы сравнений

2п

1)'(ж, — уо)5 + рЛ5 = 0 (тоё р5), 1 ^ 8 ^ п,

,=1

где неизвестные (ж1, . . . , ж2п) изменяются в пределах от 1 до Р. Отсюда находим

3' = Е Т(Р;Л)3(Р1; к — п, Л) < 3(Р1; к — п) ^ Т(Р;Л) = 3(Р1; к — п)Т

., Я2к) изменяются

где Т — число решений системы сравнений

2п

1Ур«(ж, — уо) = 0 (тоё р5), 1 ^ 8 ^

п,

2

п

где неизвестные (ж1,..., ж2п) изменяются в пределах от 1 до Р, а неизвестные ж1, ж3,..., ж2п—1 удовлетворяют условию регулярности по модулю р.

По лемме 3 имеем Т ^ р2п —о,5п(п+1). Поскольку

'Р2

Jo ^ (n) p2(k—n—1)TJ(P1;k — n),

находим

J1 < n2 J0 < k2np2n2—0'5(n+1)n+2k—2n J(P1; k — n) = k2mp2k+1'5n2—2'5nJ(P1; k — n). Перейдем теперь к оценке

J2 =

e

^2ni(/(xi)+...+/(X2fc-i))

(xi,...,x2fc_i)eB

da < ||B||2,

где ||B|| — число элементов в множестве B.

По определению набор (x1,... ,x2k—1) € B, если для любого простого ps, 1 ^ s ^ n, из промежутка [P1/n, 2P1/n) строки матрицы M вида

^P1(x1) P1(x3) .. .P1(x2k—1)N

УРп(x 1) Pn(x3) . . .Pn(x2k—1)

линейно зависимы по каждому из модулей ps, 1 ^ s ^ n. Таким образом, для любого набора (x1, x3,..., x2k— 1) и любого ps, 1 ^ s ^ n, найдется целозначный набор (c1,c2 ,...,cn), такой, что хотя бы одна координата его не сравнима с нулем по модулю ps (без ограничения общности можно считать, что С1 принимает только два значения: 0 или 1), и удовлетворяющий в силу условия регулярности по модулю ps следующим сравнениям:

n

F(x) = Е ctpt(xj) = 0 (mod ps), j = 1, 3,..., 2k — 1, t=1

причем неизвестные xj = xj (ps) (mod ps) — наименьшие неотрицательные вычеты по модулю ps. По китайской теореме об остатках систему сравнений

xj = xj(ps) (mod ps), 1 ^ s ^ n,

при некотором aj (mod P1... pn) можно заменить единственным сравнением по модулю Р1... pn вида

xj = aj (mod p1... pn).

Следовательно, число возможных правых частей (a1, a3,..., a2k—1) не превосходит

n

|B|| < Y\ (2nkpn—^ < 2nnnk(p1.. .pn)n—1 < 2n2 nnkPn—1

5=1

Оценки величин 31 и 32 дают оценку 3 утверждения леммы 4:

3 < 2к2пр2к+1>5п2—2>5п3(Р1; к — п) + 22п2+1п2пкР2п—2. Теорема 1 (о среднем). Пусть т ^ 0, п ^ 2, к ^ пт, Р ^ 1 — целые числа. Тогда

3 = 3(Р; к, п) < ВтР2к—о>5п(п+1)+^т,

где

Вт = (пт)6пт(2п)4п(п+1)т, йт = 0, 5п(п + 1)(1 — 1/п)т.

2

п

Доказательство. Проведем индукцию по параметру т ^ 0. Очевидно, что теорема верна при т = 0. Заметим далее, что теорему достаточно доказать при к = тт,т ^ 1. Предположим, что неравенство для величины . = .(Р; к,п) имеет место при к = пт,т ^ 1. Докажем его справедливость при к = п(т + 1). Для оценки величины .(Р;п(т + 1),п) воспользуемся леммой 4. Получим

.(Р;п(т + 1),п) < 2(п(т + 1))2пр2п(т+1)+1,5п2-2,5п.(Р1;пт,п)+22п2+1п2п2(т+1)Р2п-2.

Величину .(Р1; пт,п) оценим исходя из предположения индукции. Имеем

.(Р1; пт, п) < (пт)2пт(2п)4п(п+1)тР2к-0,5п(п+1)+йт.

При Р ^ (2пт)2,р < Р1/2 и а = 2пт — 0, 5п(п + 1) + ¿(т), а < 2пт ^ Р1/2 находим

(Р1рР-1)а = (1 + рР-1)а < 3, Р* < 3Рар-а.

Теорема доказана.

4. Теорема о среднем для последовательности многочленов общего вида. Пусть дп = 5п(ж) — последовательность многочленов с целыми коэффициентами, где п — точная степень многочлена дп(ж) со старшим коэффициентом, равным 1, и $п(0) = 0 для любого п. Пусть также а = (ап,..., а1) — набор действительных чисел и

/ (ж) = / (ж; а) = ап$п (ж) + ... + аш(ж), 5(Р; а) = ^ е2п/(х),Р ^ 1.

Пусть к ^ 1. Тогда . = .(Р; к,п; дп,... ,51) — среднее значение 2к-й степени модуля тригонометрической суммы 5(Р; а), имеющее вид

1 1

. = у |5(Р; а)|2к dаn ...йаь

00

представляет собой число решений следующей системы диофантовых уравнений:

(—1)^1.

1)7^«(ж,) = 0, 1 < в < п,

7=1

неизвестные ж1,... , ж2к в которой могут принимать значения натуральных чисел от 1 до Р. Теорема 2 (о среднем). Пусть т ^ 0, п ^ 2, к ^ пт, Р ^ 1 — целые числа. Тогда

. = . (Р; к, п; #п ,...,51) < А- Р 2к-0,5п(п+1)+йт,

где

^т = (пт)6пт(2п)4п(п+1)т, ¿т = 0, 5п(п + 1)(1 — 1/п)т.

Доказательство. Многочлен дя(ж) при некоторых целых коэффициентах ая-1,..., а1 представим в виде

«-1

#8(ж) = жя + ^ а4ж4, 1 ^ в ^ п.

4=1

Тогда имеем систему уравнений

),

1)754(ж,) = в4(ж) + агвг(ж) = 0, 1 < í <

,

7=1 1=1

где

п,

2к

вг(ж) = 1)7ж,, 1 < I < п. ,=1

Последняя система диофантовых уравнений эквивалентна следующей:

вг(ж) = 0, 1 < I < п.

п-1

5. Проблема Варинга для многочленов. Пусть п ^ 2, ¿т(ж) = дп(ж) = жп + ^ а4ж4

4=1

многочлен с целыми коэффициентами. Проблемой Варинга для многочлена ¿т(ж) называют задачу о представимости натуральных чисел N в виде суммы

5(ж1) + 5(ж2) + ... + 5(жй ) = N, к = к(п, 5).

Число решений этого уравнения обозначим символом .(N; к; 5). Вывод при N ^ то асимптотической формулы для величины .^; к; 5) дает задачу о нетривиальной оценке сверху модуля тригонометрической суммы

Р

5 = 5 (Р; а) = ^

2п/(х)

х=1

где /(ж) = апдп(ж)+ап-1жп-1 + .. .+а1ж, причем ап, ап-1,..., а1 — действительные числа с условием 0 ^ ап,..., а1 < 1.

Теорема 3. Пусть

ап = - + 4, (а,д) = 1, |0| < 1, Р1/4 < д <

д д

Тогда имеем \Б| <п Р 1-1/(64(п-1Г Мп-1)).

Доказательство. Производя сдвиг промежутка суммирования в сумме 5 на у, получим

Р

5 = Е е2п/(х+У) +2^1У, N < 1.

х=1

Далее, суммируя по у от 1 до У = Р1 1/п2,

находим

у Р 1 ^ ^ „2пг/(х+у)

5 = W + ^У, N < 1, Ж = Уе

у=1х=1

Представим многочлен /(ж + у) в виде

/ (ж + у) = апжп + ^(у)жп-1 + ... + Лп-1(у)ж + апУп,

где (у) = папу + ап-1 ап-1.

Возведем сумму Ж в 2к-ю степень и воспользуемся неравенством Гёльдера, получим

у

\ Ж \2* < У

у=1

Р

х=1

=2пг/(х+у)

2&

у

У^2 .Р(А1,...,Ап)е2п^(а"Ап+...+^п-1 (у)Л1) ^

у=1 Л1,...,Лп

< У-1 Е .Р(А1,...,Ап-1)

Л1 1

у

е

у=1

2пг(^1(у)Лп-1+...+^п-1(у)Л1)

где .р (А1,..., Ап-1) — число решений системы диофантовых уравнений

1)7ж, = А4, 1 < £ < п — 1,

,=1

причем неизвестные ж1,..., ж2& могут принимать значения от 1 до Р, так что \ А4 \ < кР1 ^ í ^ п — 1.

Наконец, применяя неравенство Коши, находим

|W|4k < Y—2 | £ J2(лх,...,a„)I I £

^Ai,...,An / \Ai ,...,An

Оценим U. Имеем

Y

E'

y=1

e2ni(hi (y)An-i+...+hn-i(y)Ai)

= Y-2UV.

и = Е 32(Л1,...,Лп—1) < 3р(0,...,0) £ 3р(Л1 ,...,Лп—1) = 3р(0,...,0)Р

А1,...,А„-1 А1,...,А„-1

При к = (п — 1)т, т = [4(п — 1) 1п (п — 1)] + 1, пользуясь оценкой теоремы 2, получим

и < В Р4к—о,5п(п—1)+о,5п(п—1)(1 —1/(п—1))т

Далее оценим V. Для этого сначала преобразуем сумму у

V = ^^ е2п^(А1 (^п-1 (у1)—^п-1(У2))) е2пг(пА„-1 а„(у1—у2) ^

2fc

yi,y2 = 1 |Ai|<fcP Y

|An-i |<kP "-i

< ^ min(2fcPn—1,

yi,y2 = 1

\n-2 r>0,5(ra— 1)(n—

1

|nan(yi - ЫН

2Y / 1 N

< (2А;)га-2Р°'5(га-1)(га-2)ГУ1, Vi = min 2fcPra"1, ^-— ,

y=1 V ||nara y + Р||/

где в — некоторое действительное число. По лемме 5 [13, гл. VI, с. 94] имеем

Vi < 6 (— + Л (2кРп~1 +q\nq) ^ 2AknYPn~1 (i + 1 + Л In Р ^ 48ЬгРга"1/4 1пР. \ q J \q Y

1

Ai,...,A^_ 2

<

Таким образом, получим

V < 12(2kn)

га-1рО,5га(га-1)у2 / 1 , J.

+ 77 +

\q Y YP

n— 1

ln P.

Следовательно,

ln P,

n(n - 1)(1 - 1/(n - 1))T < 1/8,

|W| P 1-1/(32fc)+1/(4fcn2)(ln p)1/4k p 1 —1/(64fc) p 1—1/(64(n—1)2 ln(n-1)).

Теорема 3 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963.

2. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1982.

3. Hurwitz A. Ueber Abel's Verallgemeinerung der binomischen Formel // Acta Math. 1902. 26. 199-203.

4. Touchard J. Nombres exponentiels et nombres de Bernoulli // Canad. J. Math. 1956. 8. 305-320.

5. Al-Salaam W.A. Operational expressions for the Laguerre and other polynomials // Duke Math. J. 1964. 31. 127-142.

6. Mullin R., Rota G.-C. On the foundations of combinatorial theory: III. Theory of binomial enumeration // Graph Theory and its Appl. 1970. 168-213.

2

q

7. Arkhipov G.I., Chubarikov V.N., Karatsuba A.A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. De Gruyter expositions in mathematics. Vol. 39. Berlin; N.Y., 2004.

8. Weyl H. Uber die Gleichverteilung der Zahlen mod. Eins // Math. Ann. 1916. 77. 313-352.

9. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

10. HuaL.-K. An improvement of Vinogradov's mean-value theorem and several applications // Quart. J. Math. 1949. 20. 48-61.

11. Постников А.Г. Избранные труды. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

12. Архипов Г.И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орлов. гос. ун-та, 2013.

13. Карацуба А.А. Основы аналитической теориии чисел. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1983.

Поступила в редакцию 03.04.2024