CC BY
14
Труды Карельского научного центра РАН
№ 7. 2019. С. 5-14
DOI: 10.17076/mat1034
УДК 515.12
0 ПОРЯДКЕ МЕТРИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ МАКСИМАЛЬНЫХ СЦЕПЛЕННЫХ СИСТЕМ И ЕМКОСТНЫХ РАЗМЕРНОСТЯХ
А. В. Иванов1, О. В. Фомкина2
1 Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН, ФИЦ «Карельский научный центр РАН», Петрозаводск, Россия
2 Петрозаводский государственный университет, Россия
Показано, что в любом метрическом компакте X существует счетное замкнутое подмножество F, верхняя емкостная размерность dim_g F которого равна любому наперед заданному неотрицательному числу, не превосходящему верхней емкостной размерности X. Аналогичное утверждение доказано для верхнего порядка метрической аппроксимации ord(£) максимальных сцепленных систем. А именно, для любого числа а, удовлетворяющего неравенствам 0 ^ a ^ dim^X, существует £ G X(X), для которой ord(£) = а и supp(£) = X.
Ключевые слова: емкостная размерность; порядок метрической аппроксимации; суперрасширение.
A. V. Ivanov, O. V. Fomkina. ON THE ORDER OF METRIC APPROXIMATION OF MAXIMAL LINKED SYSTEMS AND CAPACITARIAN DIMENSIONS
It is shown that in any metric compact space X there exists a countable closed subset F whose upper capacitarian dimension dim^ F is equal to any preassigned non-negative number not exceeding the upper capacitarian dimension of X. A similar assertion is proved for the upper order of the metric approximation ord(£) of maximal linked systems. Namely, for any number a satisfying the inequalities 0 ^ a ^ dim_BX there exists £ G X(X) for which ord(£) = a and supp(£) = X.
Keywords: capacitarian dimension; order of metric approximation; superextension.
Введение
Работа посвящена исследованию порядка метрической аппроксимации точек в пространствах вида Т(X), где Т - метризуе-мый полунормальный функтор бесконечной степени, действующий в категории компактов. Понятие порядка метрической аппроксимации определено в [6]. Для каждого метрического компакта (Х,р) в пространстве (Т(X),р?)
содержится растущая последовательность замкнутых подпространств Тп(Х) = {{ е Т(X) : зпрр(£) ^ п}, объединение которых всюду плотно в Т(X). Точки £ е Тп(Х) мы считаем «простыми» элементами Т(X), причем индекс п характеризует их «степень сложности». Для £ е Т^) и е > 0 число N(£,е) = шт{п : р?(£, Тп^)) ^ е} есть наименьшая степень сложности е-приближения £.
0
Если точка £ не является простой, то число N(£,е) неограниченно возрастает при е ^ 0. Асимптотику этого возрастания характеризуют верхний и нижний порядки метрической аппроксимации ord(£) и ord(£) точки £ (подробные определения приведены ниже). Если в качестве F взять функтор экспоненты (экспонента exp(X) - это пространство непустых замкнутых подмножеств компакта X с метрикой Хаусдорфа), то для всякого A £ exp(X) верхний и нижний порядки метрической аппроксимации совпадают соответственно с верхней и нижней емкостными размерностями dim^A и dimBA множества A.
Основное внимание в работе уделено исследованию порядка метрической аппроксимации максимальных сцепленных систем (м.с.с.) - точек пространства A(X), где Л - функтор суперрасширения. Доказано (предложение 2), что порядок метрической аппроксимации м.с.с. £ £ A(X) не превосходит соответствующей емкостной размерности носителя £. При этом справедлива теорема 2, согласно которой из наличия в компакте X собственного замкнутого подмножества F заданной емкостной размерности следует существование м.с.с. £ £ A(X) с тем же значением соответствующего порядка метрической аппроксимации и носителем £, равным X. Этот результат мотивирует формулировку и доказательство теоремы 1 о промежуточных значениях верхней емкостной размерности. А именно, доказано, что в любом бесконечном метрическом компакте (X, р) для любого неотрицательного числа a < dim^X существует счетное замкнутое подмножество F С X размерности dim^F = a. Из теорем 1 и 2 вытекает аналогичное утверждение о промежуточных значениях верхнего порядка метрической аппроксимации максимальных сцепленных систем с фиксированным носителем, равным X (теорема 3). При доказательстве указанных результатов существенную роль играет конструкция Е. В. Кашубы [1], позволяющая строить максимальные сцепленные системы с заданным носителем, и операция миксера ц [7], которая тройку систем £i £ A(X), i = 1,2,3, «смешивает» в м.с.с. ц(£ь£2,£3). В частности, для миксера ц установлено неравенство:
ord(p(£i,£2, £з)) < maxord(£i).
i
Предварительные сведения
Суперрасширение, о котором пойдет речь ниже, является функториальной конструкцией общей топологии. Напомним (см. [4, 7.5.10]), что ковариантный функтор F, действующий из категории Comp компактных ха-
усдорфовых пространств (компактов) и непрерывных отображений в ту же категорию, называется полунормальным, если Т
1) сохраняет точку и пустое множество;
2) сохраняет мономорфизмы;
3) сохраняет пересечения;
4) непрерывен, то есть перестановочен с операцией перехода к пределу обратного спектра.
В дальнейшем через Т мы будем обозначать полунормальный функтор и при этом считать дополнительно, что Т сохраняет вес всякого бесконечного компакта. Если А - замкнутое подмножество компакта X, то Т(А) естественно отождествляется с подпространством пространства Т(X). Таким образом, можно считать, что Т(А) С Т(X). Для каждой точки £ е F(X) определен ее носитель зпрр(£) как наименьшее замкнутое подмножество А С X, для которого £ е Т(А). Для п е N определено замкнутое подпространство
Fn(X) = {£ е ) : \зпрр(£)\ < п}с ).
При этом Тх^) естественно гомеоморфно X (каждая точка х е X отождествляется с единственной точкой пространства Т({х})).Таким образом, можно считать, что X = Тх^) С Т (X).
Функтор Т имеет бесконечную степень, если для любого бесконечного компакта X и любого п е N Fn(X) = Т(X). В дальнейшем будем считать, что степень Т бесконечна. Для любого полунормального функтора Т и любого компакта X объединение иТп(X) всюду плотно в Т(X). Доказательство всех перечисленных фактов можно найти в [4] и [5].
Функтор Т называется метризуемым (по В. В. Федорчуку [3]), если для всякой метрики р на метризуемом компакте X может быть указана совместимая с топологией метрика рт на Т(X) так, что выполнены следующие условия:
1) для любого изометрического вложения г : ^х^рх) — (X2,р2) отображение Т(г) : (Т(XX), (рх)т) — (ТX), (р2)т) также является изометрическим вложением;
2) рт\х = р;
3) йгаш(Т(X)) = йгаш^).
При этом семейство метрик {рт} по определению задает метризацию функтора Т. Всякий метризуемый функтор мы будем считать наделенным конкретной метризацией.
Итак, если Т - метризуемый функтор и (X, р) - метрический компакт, то (Т(X), рт) -также метрический компакт, и в Т(X) имеется возрастающая последовательность замкнутых подмножеств
X = Тх^) с ... С Тп^) с ... Т(X),
©
объединение которых всюду плотно в Т(X). При этом точки £ е Тп^) в определенном смысле «просты», ибо имеют конечный носитель (они «сгенерированы» функтором Т на конечном множестве), причем их «степень сложности» растет с ростом п. Любая точка п е ) является пределом последовательности «простых» точек. Таким образом, для любого е > 0 существует е-приближение точки п «простой» точкой, причем наименьшая «степень сложности» такой простой точки есть число
N(п,е, Т(X)) = ш1п{п : р?(п, Тп^)) < е}.
(В дальнейшем, если из контекста ясно, о каком функторе и компакте идет речь, мы будем использовать сокращенную запись N(п,е).) Если п е Тп^), то N(п,е) неограни-
ченно возрастает при е ^ 0. Асимптотику этого возрастания характеризуют верхний и нижний порядки метрической аппроксимации втй(п) и оЫ(п) точки п (см. [6]), которые определяются по формулам:
отй(п) = 1п£{а : Нш£^0еaN(п,е) = 0}
= 8ир{а : Нш£^0еаN(п,е) = те}, отй(п) = 1п£{а : Иш£^0еaN(п,е) = 0} = 8ир{а : Иш£^0еаN(п,е) = те}.
Очевидно, что 0 ^ отй(п) ^ отй(п) ^ те. Имеют место следующие равенства (см. [6]):
ОЫ(п)=Ш£^о(п,е))
отА(п) = Цш^ 0
1п(1/е) ; 1n(N (п,е))
1п(1/е) "
Справедливо также (см. [6])
Предложение 1. Если последовательность {еп > 0 : п е N} монотонно сходится к нулю и существует с > 0 такое, что еп+1 ^ с еп для всех п е N, то
отй(п) =
отА(п) =
1п(1/еп) : 1п^ (п,еп))
1п(1/еп) • В частности, для еп = 1/п получаем
отй(п) = 11шп
1п п
1n(N (п, 1/п)) 1п п
В некоторых случаях при рассмотрении порядка метрической аппроксимации (верхнего или нижнего) точки п бывает необходимо указывать объемлющее пространство, относительно которого этот порядок определяется. Тода мы будем использовать расширенное обозначение: отй(п, Т(X)). Если А - замкнутое подмножество X, п е Т(А) и е > 0, то
N(п,е, Т(А)) > N(п,е, Т(X)). (1.1) Поэтому
оЫ(п, Т(А)) ^ отй(п, Т(X)), отА(п, Т(А)) ^ отА(п, Т(X)).
Определение 1. Будем говорить, что порядок метрической аппроксимации для функтора Т сохраняется при переходе к подпространству, если для любого компакта X, любого его замкнутого подмножества А и любой точки п е Т(А) выполняются равенства:
оЫ(п, Т(А)) = отй(п, Т(X)), отА(п, Т(А)) = отА(п, Т(X)).
Экспонента. Примером метризуемого функтора является функтор экспоненты ехр. Пусть (X, р) - метрический компакт. Экспо-нентой ехр^) называется множество непустых замкнутых подмножеств X, наделенное топологией Вьеториса, с которой совместима метрика Хаусдорфа рн. Расстояние рн между Г,С е ехр^) определяется по формуле:
рн(Г, С) = М{е : Г с Б(С,е), С с В(Г,е)}.
(Здесь и ниже В(Г,е) = {х е X : р(х, Г) ^ е} и В(у,е) = {х е X : р(х,у) ^ е} - замкнутые е-шары множества Г и точки у соответственно.) Носитель впрр(Г) точки Г е ехр^) совпадает с Г. Таким образом, ехрп^) = {Г е ехр^) : |Г| ^ п}. Для Г е exp(X) и е > 0 число N (Г, е) равно наименьшему количеству е-шаров В(х,е), покрывающих множество Г. Отсюда следует, что определенные выше порядки метрической аппроксимации для функтора ехр совпадают с верхней и нижней емкостными размерностями Г и Г
множества Г (см. [2] и [6]). Эти размерности сохраняются при переходе к подпространству в смысле определения 1.
Известно, что емкостные размерности монотонны, то есть для любого замкнутого подмножества А с X
А ^ X, А ^ X.
Для верхней емкостной размерности справедлива конечная теорема суммы, а именно,
для любого конечного семейства Рх,..., Рп замкнутых подмножеств X имеет место равенство (см. [2, гл. 2, теорема 6.2]):
п
ё1швРг) = шахё1швРг. (1.2)
г=х
Заметим, что для нижней емкостной размерности аналогичное утверждение неверно (см. [2, гл. 2, пример 6.2]).
Суперрасширение. Приведем необходимые сведения, касающиеся функтора суперрасширения Л (см. [4, гл. 7.4]). Семейство £ замкнутых подмножеств компакта X называется сцепленной системой, если любые два элемента £ имеют непустое пересечение. Множество всех максимальных (по включению) сцепленных систем (м.с.с.) компакта X обозначается через Л(^) и наделяется топологией, открытую предбазу которой образуют множества вида О (и) = {£ е Л(X) : ЭР е £ : Р С и}, где и - произвольное открытое подмножество X. Для любого замкнутого подмножества А С X и любой м.с.с. £ е Л(А) существует единственная м.с.с. £' е Л(X), которая содержит £. Тем самым определено вложение Л(А) С Л(^). Если Р - минимальный по включению элемент м.с.с. £, то Р С вирр(£). При этом носитель впрр(£) равен замыканию объединения всех минимальных по включению элементов £.
Если (X, р) - метрический компакт, то топология Л(^) порождается метрикой р\, которая определяется по формуле:
рх(£,п)=Ы{е : УР е £ В(Р,е) е п}.
Известно, что семейство метрик р\ задает метризацию функтора Л (см. [3]). Таким образом, суперрасширение является метризуемым функтором и для него могут быть определены верхний и нижний порядки метрической аппроксимации всякой м.с.с. £ е Л(X). Заметим, что Лх^) = Л2 (X) = X, поскольку не существует м.с.с. £ с носителем ровно из двух точек. Однако при п ^ 2 все включения Лn(X) С Лn+х(X) являются строгими.
В дальнейшем нам понадобятся следующие два метода построения максимальных сцепленных систем.
1. М.с.с. £(х,Р). Пусть Р - собственное замкнутое подмножество компакта X, \Р\ > 1 и х е Р. Рассмотрим сцепленную систему
£' = {{х,у}: У е Р}и{Р}.
Легко видеть, что £' содержится в единственной м.с.с. в X, которая по определению и есть
м.с.с. £(х,Р). Все элементы системы £' являются минимальными по включению элементами £(х, Р) и
впрр(£(х,Р)) = Р и {х}. (1.3)
2. М.с.с. £ (А, В). Пусть А = {хп : п е N} и В = {уп : п е N} - две непересекающиеся последовательности, состоящие из попарно различных точек компакта X, причем [А] П [В] = 0 (здесь и ниже в подобном контексте квадратными скобками обозначается замыкание множества). Для г е N положим
Аг = {xх,.. .,xi,Уi}, Вг = {Ух, . . .,Уг,хг+х}
и, следуя Е. В. Кашубе [1], рассмотрим в X сцепленную систему
£' = {Аг : г е N}и{Вг : г е N}.
Система £' единственным образом дополняется до м.с.с. в X, которую обозначим через £(А,В). При этом множества Аг и Вг, г е N, являются минимальными по включению элементами £(А, В). Следовательно,
[А] и [В] С впрр(£(А,В)). (1.4)
Теорема о промежуточных значениях для верхней Емкостной размерности
Утверждение 1. Пусть (X, р) - метрический компакт и ё1шдX = а. Тогда существует точка х е X такая, что ё1шв(В(х,е)) = а для любого е > 0. Доказательство. Предположим противное. Тогда для любой точки х е X существует е(х) > 0 такое, что ё1шв(В(х,е(х))) < а. Из покрытия {В(х,е(х)) : х е X} компакта X выделим конечное подпокрытие В(хх,е(хх)),...,В(хп,е(хп)). В силу (1.2) получаем:
п
ё1шБ X = ё1шБ (У (В (хг,е(хг)))
г=х
= шахё1шв(В(хг,е(хг))) < а.
г
Пусть (X, р) - метрический компакт, А - замкнутое подмножество X и е > 0. Множество А называется е-сетью в X, если В(А,е) = X. Множество А будем называть е-разреженным, если р(х, у) > е для любых различных точек х,у е А. В дальнейшем рассматриваются только конечные е-сети.
Утверждение 2. В любом метрическом компакте (X, р) для любого е > 0 существует е-разреженная е-сеть.
0
Доказательство. Если е-разреженное подмножество А С X не является е-сетью, то X \ В(А,е) = 0, и множество А можно пополнить любой точкой р е X \ В (А, е) так, что А и {р} останется е-разреженным. Поскольку в компакте бесконечных е-разреженных подмножеств не существует, отсюда следует, что любое е-разреженное подмножество можно дополнить до е-разреженной е-сети. □
Теорема 1. Пусть (X, р) - метрический компакт и ё1шдX = а. Тогда для любого числа Ь такого, что 0 ^ Ь < а, существует замкнутое подмножество Рь С X, для которого ё1шв Рь = Ь.
Доказательство. При Ь = 0 утверждение теоремы тривиально, поэтому будем считать, что Ь удовлетворяет неравенствам: 0 < Ь < а. Согласно утверждению 1 зафиксируем точку х е X так, что ё1шв(В(х,е)) = а для любого е > 0.
Искомое множество Рь будем строить с помощью рекурсивного процесса.
Шаг 1. Рассмотрим множество В(х, 1), и пусть кх - наименьшее натуральное число, для которого
N(В(хх, 1), 1/2к1) > 2ьк1. (2.2)
Поскольку ё1шв (В(х, 1)) = а > Ь ив силу предложения 1 имеет место равенство
— 1п N (В(хх, 1), 1/2к)
ё1шБ (В(х, 1)) = Ншк^,
1п 2к
такое число кх существует.
Пусть Ах - (1/2к1 )-разреженная (1/2к1 )-сеть в В(х, 1). Тогда в силу (2.2) \Ах\ > 2ьк1 и, следовательно, в Ах можно выделить подмножество 2х мощности \2х\ = [2ьк1 ] (здесь [2ьк1 ] - целая часть числа 2ьк1 ) такое, что
2 П В(х, 1/2к1+2) -
0.
(2.3)
Шаг 2. Пусть к2 - наименьшее натуральное число, для которого
N(В(х, 1/2к1+3), 1/2к2) > 2ьк2. (2.4)
Поскольку N (В (х, 1/2к1+3), 1/2к1+3) = 1, в силу (2.4) к2 > кх + 3. Пусть А2 - (1/2к2)-разреженная (1/2к2)-сеть в В(х, 1/2к1+3). Выделим в А2 подмножество 22 такое, что \2х и 2 \ = [2ьк2 ] и
22 П В(х, 1/2к2+2)
к2+2\ _
0.
(2.5)
Шаг п. Пусть кп - наименьшее натуральное число, для которого
N(В(х, 1/2кп-1+3), 1/2кп) > 2ькп. (2.6)
Как и выше, кп > кп-х + 3. Пусть Ап - (1/2кп)-разреженная (1/2кп)-сеть в В(х, 1/2кп-1+3), 2п С Ап, \ и=х Яг\ = [2к] и
2п П В(х, 1/2кп+2) = 0. (2.7)
В результате рекурсии мы получим последовательность попарно непересекающихся конечных множеств 2п таких, что
1) Бп = ип=х2г является (1/2к~+х)-разреженным;
2) \Бп\ = [2ькп];
3) 2п С В(х, 1/2кп-1+3);
4) 2п П В(х, 1/2кп+2) = 0. При этом кп > кп-н + 3.
Положим Рь = и^=х 2п и{х}. В силу 3) Рь - замкнутое подмножество X. Покажем, что ё1шв Рь = Ь.
Пусть А - (1/2кп+3)-сеть в Рь. В силу 1), 3) и 4) Бп С А. Следовательно,
N (Рь, 1/2кп+3, ехр(Рь)) ^ \Бп\ = [2ькп ]. Таким образом,
— 1п N (Рь, 1/2кп+3, ехр(Рь))
ё1шв(Рь) ^ 11ш,
1п 2кп+3
,— 1п[2 " ] , ^ 11шп—1^+3 = Ь.
(2.8)
Пусть натуральное число к удовлетворяет
неравенствам: кп-х < к < кп. Тогда в силу (2.6) п х п
N(В(х, 1/2кп-1+3), 1/2к) < 2ьк. (2.9) В силу 3), 4) и (2.9) имеем:
N (Рь, 1/2к)
< N(Бп-х, 1/2к) + N(В(х, 1/2кп-1+3), 1/2к)
ьк
< \Бп-х\ + 2 < [2ькп-1 ] + 2ьк < 2 • 2'
При к = кп имеет место неравенство N(Рь, 1/2к) ^ \Б п\ + 1. Следовательно, неравенство N(Рь, 1/2к) ^ 2 • 2ьк выполнено для любого к ^ кх. Таким образом, в силу предложения 1
— 1п N (Р^ 1/2к)
ё1шБ (Рь) = Нш^^
1п 2к
-— 1п(2 • 2ьк) , < 11шк^ 1п2к = Ь.
Откуда в силу (2.8) получаем, что ё1шд(Рь) = Ь. □
Замечание 1. Построенное замкнутое подмножество Гь С X при 0 < Ь < а является счетным и имеет единственную предельную точку х.
Порядок метрической аппроксимации максимальных сцепленных систем
Предложение 2. Для любой м.с.с. £ е
А(X) _ _
отд,(£) ^ (впрр(£)), отй(£) ^ ЩшБ(зпрр(£)).
Доказательство. Пусть £ е A(X) и е > 0. Покажем, что
N(£,е) < N(зпрр(£),е).
(3.1)
Введем обозначения: Г = впрр(£), п = N (Г, е). Пусть С е ехр(X), С1 = п и
рн (С, Г) < е.
(3.2)
Пусть N(£, е, А(^)) = п и м.с.с. п е А^^) такова, что р\(п,£) ^ е. Введем обозначения: впрр(£) = Г, зпрр(п) = С. При этом Г с А, |С| = п.
Покажем, что
С С В(Г,е).
(3.4)
Рассмотрим систему
Для каждого А е £ определим множество Н(А) по формуле:
Н(А) = В(А,е) П С.
Поскольку пересечение А П Г непусто, из (3.2) следует, что Н(А) = 0. Рассмотрим систему п = {Н(А) : А е £}. Эта система, состоящая из подмножеств конечного множества С, является сцепленной. В самом деле, для любых двух множеств А1,А2 е £ пересечение А1 П А2 П Г непусто. Значит,
0 = В(А1 П А2,е) П С С Н(А1) П Н(А2).
Дополним систему п' до некоторой максимальной сцепленной системы в С, которую, в свою очередь, дополним до (единственной) максимальной сцепленной системы п в X. По построению для любого А е £ В(А,е) П С е п, следовательно, В(А, е) также является элементом п. Значит, р\(£,п) ^ е. Кроме того, зпрр(п) С С, |С| = п. Таким образом, N(£,е) < п.
Из неравенства (3.1) сразу следует утверждение предложения. □
Предложение 3. Порядок метрической аппроксимации максимальных сцепленных систем сохраняется при переходе к подпространству.
Доказательство. Пусть (X, р) - метрический компакт, А - замкнутое подмножество X, £ е А(А) и е > 0. В силу (1.1) имеем:
7 = {В(Ф,е) П С :Ф е £, Ф С Г}. (3.5)
Поскольку В(Ф,е) е п для любого Ф е £, система 7 является сцепленной системой подмножеств множества и7, которое содержится в С. Дополним 7 до м.с.с. ^ в и7, а систему ^ дополним до единственной м.с.с. 5 в X.
Покажем, что р\(5,£) ^ е. Пусть Ф е £. Тогда пересечение ФПГ = Ф' также является элементом £. В силу определения системы 7 (3.5) В(Ф',е)П(и^) е 7. Следовательно, В(Ф,е) е 5, что и требовалось.
Таким образом, если и7 = С, то 5 е Ап-1(X) и р\(£,5) ^ е, что невозможно, поскольку п = N(£, е, А^)). Значит, и7 = С. Но по определению системы 7 имеет место включение и7 С В(Г,е), откуда следует (3.4).
Для каждой точки х е С выберем точку у(х) е Г так, что р(х,у(х)) ^ е. Пусть Н = {у(х) : х е Г}. Ясно, что 1Н| ^ п и Н С В(С,е). Рассмотрим систему подмножеств
в = {В(Ф,е) П Н : Ф е п}.
Легко проверить, что в - сцепленная система. Дополним в до м.с.с. в Н, а полученную при этом систему дополним до м.с.с. в' в X. В силу определения в имеем р\(в',п) ^ е. Следовательно, р\(£,в') ^ 2е. Кроме того, впрр(в') С Н, и значит, в' е Ап(Г) С Ап(А).
Таким образом, доказано неравенство:
N(£, 2е, А(А)) < N(£, е)).
(3.6)
Пусть к е N .В силу (3.3) и (3.6) имеют место следующие неравенства:
1п N(£, 1/к,А(X)) ^ 1п N(£, 1/к,А(А)) 1п к 1п к
1п N (£, 1/2к,А(X))
<
1п к
(3.7)
N(£,е,А(А)) > N(£,е, А(X)).
(3.3)
Во всех частях неравенств перейдем к верхнему пределу при к ^те. Пределы первой и второй дроби дадут соответственно отй(£, А^)) и отй(£, А(А)). Согласно предложению 1,
—7/, х,™ г" 1пN(£, 1/2к,АЩ) отй(£, А(X)) = - п2к
10
— 1п N (С, 1/2к,А(Х)) — -тк-•
Таким образом, предел третьей дроби в неравенстве (3.7) также равен отй(С, А(Х)). Следовательно, отй(С, А(Х)) — отй(С, А(А)).
Равенство отй(£, А(Х)) — отА(С, А(А)) доказывается аналогично. □ Предложение 4. Для м.с.с. С(х,Г), где Г - собственное замкнутое подмножество компакта (Х,р), |Г| > 1 и х € Г, справедливы равенства
отй С(х, Г) — ё1тБ(вчрр(С(х, Г))) — ё1тБ(Г), отй С(х, Г) — ё]тБ(зпрр(С(х, Г))) — ё]тБ(Г)•
Доказательство. Покажем, что при е ^ т1п(р(х, Г), йгаш(Г))/3 имеет место равенство
N (С(х,Г ),е) — N (Г,е) + 1, (38)
из которого сразу следует утверждение предложения.
Прежде всего, заметим, что при указанных ограничениях на е
N (Г и {х},е) — N (Г,е) + 1^
Поскольку вирр(С(х, Г)) — Г и {х}, в силу предложения 2 N(С(х, Г),е) ^ N(Г,е) + 1.
Остается доказать обратное неравенство. Пусть N(С(х,Г),е) — п, и м.с.с. п € А(Х) такова, что р\(С(х,Г),п) ^ е и 1впрр(п)1 — п. Тогда из Г € С(х,Г) следует, что В(Г,е) € п Значит, множество С — В(Г,е) П зпрр(п) непусто и С € п. Возьмем точки у\у € Г так, что р(у1,у2) ^ 3е. Множества В({х,у1},е) и В({х,у2},е) принадлежат п, следовательно, пересечение
В({х, уг},е) П В({х, у2}, е) — В(х, е)
имеет общую точку с носителем п. Но В(х, е) П В(Г,е) — 0, следовательно, |С| < п. При этом В(С, е) € С(х, Г). Поскольку х € В(С, е), такое возможно лишь в том случае, если В (С, е) Э Г. Вместе с включением С С В(Г, е) это дает неравенство рн (Г, С) ^ е. Таким образом, N(Г,е) ^ п — 1. Равенство (3.8) доказано. □
С помощью предложения 4 нетрудно привести примеры максимальных сцепленных систем с различными значениями верхнего и нижнего порядка метрической аппроксимации. Пусть Г - замкнутое подмножество отрезка [0,1], построенное в [2, гл. 2, пример 6.1], для которого 0 < ё]шБ Г < ё1тБ Г < 1. Тогда отй С(х, Г) < отй С(х, Г) для любой точки х € г .
Утверждение 3. Пусть А — {хп : п €
N} и В — {уп : п € N} - дизъюнктные последовательности в компакте Х, состоящие из попарно различных точек, такие, что р(х2п,у2п) < 1/2п. Тогда отй С(А,В) — 0-Доказательство. Из условия следует, что [А] П [В] = 0. Поэтому м.с.с. С(А, В) определена однозначно. Покажем, что N(С(А, В), 1/2п) ^ 4п + 1. Зафиксируем п и рассмотрим сцепленную систему
п'(п) — {Аг : г ^ 2п} и{Вг : г < 2п}
и{{х1, • • • , х2п+1}}•
Тогда
ип'(п) — {Xl,•••,X2n+1,Уl,•••,У2n} — О,
|D| — 4п + 1 Дополним п'(п) до максимальной сцепленной системы п(п) € АХ. Легко проверить, что все множества, входящие в п'(п), являются минимальными по включению элементами п(п), любой элемент Г € п(п) содержит какое-либо множество из п'(п) и зпрр(п(п)) — О.
Покажем, что р\(С(А, В), п(п)) ^ 1/2п• Для этого достаточно проверить, что для любого Г € п(п) В (Г, 1/2п) € С(А, В). Если в Г содержится множество Аг или В г при г ^ 2п, то Г € С (А, В) и, следовательно, В(Г, 1/2п) € С(А, В). Если же Г Э {х1 ,•••, х2п+1}, то В(Г, 1/2п) э у2п, поскольку р(х2п,у2п) ^ 1/2п. Следовательно, в таком случае А2п С В (Г, 1/2п), и тогда множество В(Г, 1/2п) также является элементом С(А, В).
Итак, рх(С(А,В),ААп+1(Х)) < 1/2п. Значит, N(С(А, В), 1/2п) < 4п + 1. В силу предложения 1 получаем
ШЦА.В )—Шпм 1^
1п(4п + 1) п^-ж п 1п2
□
Пусть Х - компакт. Миксером на А(Х) (см. [7]) называется отображение ц : А3(Х) ^ А(Х), определяемое по формуле:
М6,С2,Сэ) — (С1П С2) и (С1П Сз) и (С2 П Сз) •
Утверждение 4. 5мрр(^(СьС2,Сз)) С
и3=1 Зирр(Сг) •
Доказательство. Пусть Г - минимальный по включению элемент ц(С1,С2,Сз). Будем считать для определенности, что Г € С1 П С2. В С1 существует минимальный по включению элемент Г1, лежащий в Г. Аналогично в С2 существует минимальный по включению элемент Г2 С Г. Имеем: Г1 и Г2 € С1 П С2 и
11
Fi U F2 С F. Поскольку F - минимальный элемент ^(СьС2,{3), отсюда следует, что F = F1UF2. При этом Fi С supp({i), i = 1, 2. Таким образом,
3
F С [J supp({i),
i=1
откуда сразу следует искомое включение. □
Утверждение 5. Если pA({i,ni) ^ е, i = 1,2,3, е > 0, е A(X), то
Ра(М6,6,6),МП1,П2,Пз)) < е.
Доказательство. Непосредственная проверка. □
Предложение 5. Пусть {i е X(X), i =
1, 2, 3. Тогда:
ord(p(£1,£2,b)) < maxord({i). (3.9)
i
Доказательство. Для е > 0 введем обозначения:
ni(e) = N(&,е), i = 1, 2, 3.
Пусть ni е Ki(e)(X) и ра(щ,&) < е, i = 1,2,3. Тогда в силу утверждений 4 и 5 Ра(М6,6,6),МП1,П2,Пз)) < е и \supp(^(n1 ,П2,Пз))| ^ Е3=1 ni(е). Следовательно,
3
п(е) = N(»(& ,{2,{з),е) ^^(е). (3.10)
i=1
Пусть для определенности
ord(^1) ^ ord({i), i = 2, 3. (3.11)
Если ord({1) = те, то утверждение предложения очевидно. Пусть
) = a = Tim1nnm. (3.12)
fc—то In k
В силу (3.10) имеем
■In n(1/k)
ord(K£1,&,b)) = lim , ,
fc—^^O in k ln(m(1/k) + n2(1/k) + пз(1/к))
^ lim
fc—>oo
ln k
ln ni(1/fc)
(3.13)
В силу (3.11) limfc—TO ln fc Следовательно,
< a, i = 2,3.
_ln(max ni(1/k))
Hm--= a. (3.14)
fc—то ln k
Положим
, n, (1/k)
b-? =__i_ j = i 2 3
bfc = = 1,2,3. fc max ni(1/k)
Ясно, что bfc ^ 1. В силу (3.14) имеем
ln(m(1/k) + n2(1/k) + n3(1/k))
lim
fc — TO
ln k
ln(maxni(1/k) •£3=1 bfc)
= lim-i-
fc — TO
ln(max ni(1/k))
^ lim -
fc
ln k
+ 1~ME 3=1 <j) = a.
ln k fc—TO ln k
Откуда в силу (3.12) и (3.13) следует утверждение предложения. □
Замечание 2. Неравенство (3.9) может быть строгим.
Возьмем м.с.с. {ь{2, {3 е X(X) так, что {1 = ^ = С и ord({) < ord(&). Тогда = С
и
ord(p(£1, {2, Сз)) < max ord({i).
i
Теорема 2. Пусть (X, р) - бесконечный метрический компакт и F - собственное замкнутое подмножество X. Тогда существует м.с.с. { е X(X), для которой ord({) = dim^F, ord({) = dimBFи supp({) = X.
Доказательство. Пусть C - счетное всюду плотное подмножество в X. Разобьем C на два непересекающихся подмножества A = {an : n е N} и B = {bn : n е N} так, что A и B состоят из попарно различных точек и для любого n е N выполняется неравенство p(a2n,b2n) ^ 1/2n. Тогда в силу утверждения 3 и (1.4) для системы { = {(A,B) получаем ord({) = ord({) =0 и supp({) = [A] U [B] = X. Таким образом, {(A, B) - искомая система, если dim^F = 0. Далее будем считать, что dimBF > 0 и, следовательно, F бесконечно.
Если разность X \ F состоит из единственной точки x, то в силу предложения 4 система {(x,F) является искомой.
Пусть \X \ F\ ^ 2. Выберем в множестве X \ F две различные точки x и у. В X \{x,y} возьмем счетное всюду плотное множество, которое, как и выше, разобьем на две дизъюнктные последовательности A = {an : n е N} и B = {bn : n е N}, состоящие из попарно различных точек таких, что p(a2n,b2n) ^ 1/2n. Рассмотрим м.с.с. {(A,B), которая содержит множества An = {a1,..., an, bn}, Bn = {b1, ...,bn, an+1},n е N в качестве минимальных элементов.
Положим С1 = {(A,B), {2 = {(x,F), Сз = {(y,F). Покажем, что система { = ^({1,{2,{3) является искомой.
12
Пусть ё1тБГ — а > 0. В силу предложения 4 отй(Сг) — а при г — 2, 3. Согласно утверждению 3 отй(С{) — 0. Поэтому в силу предложения 5
отй(С) < а. (315)
Пусть е > 0 таково, что множества В(х, 2е), В(у, 2е) и В(Г, 2е) попарно не пересекаются. Оценим снизу N (С, 1/к) при 1/к < е. Пусть п - м.с.с. с конечным носителем, для которой
Рх(п,С) < 1/к. (316)
По построению система С содержит все множества вида {х,у,г}, где г € Г. Следовательно, множество
В({х, у, г}, 1/к) — В(х, 1/к) и В(у, 1/к)
иВ(г, 1/к)
принадлежит п. Рассмотрим минимальное по включению множество С € п такое, что С С В({х, у, г}, 1/к). Покажем, что СПВ(г, 1/к) — 0.
Предположим противное. Тогда С С В (х, 1/к) и В(у, 1/к). В силу (3.16) В (С, 1/к) € С и В(С, 1/к) С В(х, 2/к) и В(у, 2/к). Однако по построению С всякое множество, лежащее в этой системе, пересекает Г. Таким образом, получено противоречие с выбором числа е.
Итак, для любой точки г € Г существует С С зпрр(п) такое, что р(г,С) ^ 1/к, следовательно, |supp(п)| ^ N (Г, 1/к). Таким образом, доказано, что
N (С, 1/к) > N (Г, 1/к). Следовательно,
-1п N (С, 1/к)
(317)
^ 11т
к—>оо
отй(С) — 11т
к^ж
1п N (Г, 1/к)
1п к
1п к
— ё1тБ Г — а.
Поэтому в силу неравенства (3.15) отё(С) — а. Из (3.17) следует, что
отА(С) ^ Цт^ж1П NЩк1/к — —БГ — в.
П (3.18)
Оценим сверху число N (С, 1/2п). При доказательстве утверждения 3 для м.с.с. С(А, В) была построена система п(п) — п1(п) с |supp(п(n))| — 4п + 1, для которой рх(С(А, В),п(п)) < 1/2п. Пусть О(п) - (1/2п)-сеть в Г, содержащая N (Г, 1/2п, ехр(Г)) точек, и пусть п2(п) — С(х,О(п)), п3(п) — С(у,О(п)). Тогда рх(Сг,пг) < 1/2п, г — 2,3. Следовательно,
Р\(КС1,С2,Сз),Кп1(п),г2(п),пз(п))) < 1/2n•
При этом в силу утверждения 4 и (1.2) supp(ц,(пl(n), п2(п), пз(п))) С {х, у} и О(п) и supp(п1(n))• Следовательно,
|supp(ц,(пl(п), п2(п),пз(п)))
< N (Г, 1/2п, ехр(Г)) + 2 + 4п + 1.
Итак, N (С, 1/2п) < N (Г, 1/2п, ехр(Г ))+4п + 3. Таким образом, в силу предложения 1
Ь .М (С 1/2п)
11т
^ 11т,.
1п 2п
1п^(Г, 1/2п, ехр(Г)) +4п + 3)
1п 2п
— ШтБ г,
что вместе с неравенством (3.18) дает равенство оЫ,(С) — ё1тБ Г.
Покажем, что .вь/рр^) — Х. Как уже было отмечено, для любой точки г € Г множество {х, у, г} является элементом С. При этом легко проверить, что {х, у, г} - минимальный по включению элемент С. Следовательно, {х,у} и Г С supp(С).
Пусть и — Х \ ({х, у}и Г). Докажем, что
(А и В) П и С ¡зу/р/р^) • (3.19)
Пусть ап € (А и В) П и. Возможны следующие два случая:
1) Существует ш ^ п такое, что множество Ат — {а1,..., ат, Ьт} пересекается с Г.
Поскольку Ат € С1 — С(А, В), получаем, что {х} иАп € С1 П С2 С С.
Покажем, что {х} и Ат - минимальный по включению элемент С. Пусть Н € С и Н С {х} и Ат. Тогда Н € Сз, поскольку у € Н и Г С Н. Следовательно, Н € С1 П С2. Таким образом, х € Н. Поскольку по построению х € А и В, множество Н \ {х} является элементом С1. При этом Ат - минимальный элемент Сь Следовательно, Н \ {х} — Ат, и значит, Н — {х} и Ат, что и требовалось. Таким образом, ап € supp(С).
2) Для любого ш ^ п Ат П Г — 0.
В этом случае выберем произвольно точку г € Г \ {Ь1,..., Ьп-1} и рассмотрим множество Ап и{х, г}. Как и в случае 1), множество Ап и {х, г} лежит в системе С и является минимальным элементом этой системы. Следовательно, ап € Ап и {х, г} С supp(С).
Итак, если ап € (А и В) Пи, то ап € supp(С). Легко видеть, что аналогичное утверждение верно и для точек Ьп € (А и В) П и. Включение (3.19) доказано.
Поскольку (А и В) П и всюду плотно в и, из (3.19) следует, что и С supp(С). □
©
Теорема 3. Для любого бесконечного метрического компакта X и любого числа а такого, что 0 ^ а ^ ё1шдX, существует м.с.с. £а е Л(X), для которой отй(£а) = а и
впрр(£а) = X.
Доказательство. При а < ё1шдX утверждение теоремы сразу следует из теорем 1 и 2. Если а = ё1шдX, то в качестве собственного подмножества Р С X с ё1шдР = а можно взять соответствующий е-шар В(х, е), существование которого гарантирует утверждение 1, а затем снова применить теорему 2. □
Литература
1. Вакулова (Кашуба) Е. В. О носителях максимальных сцепленных систем // Труды ПГУ. Математика. 2004. № 11. С. 3-8.
2. Песин Я. Б. Теория размерности и динамические системы: современный взгляд и приложения. М.-Ижевск: ИКИ, 2013. 404 с.
References
1. Vakulova (Kashuba) E. V. O nositelyakh maksimal'nykh stseplennykh system [On the support of maximal linked systems]. Tr. Petrozavodsk. gos. un-ta. Ser. Mat. [Proceed. Petrozavodsk St. Univ. Ser. Math.]. 2004. No. 11. P. 3-8.
2. Pesin Y. B. Dimension theory in dynamical systems. Contemporary views and applications. The Univ. of Chicago Press, 1997. 397 p.
3. Fedorchuk V. V. Troiki beskonechnykh iteratsii metrizuemykh funktorov [Triples of infinite iterates of metrizable functors]. Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Matem. [Proceed. USSR Acad. Sci. Ser. Math.]. 1991. Vol. 36, no. 2. P. 411-433.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:
Иванов Александр Владимирович
ведущий научный сотрудник, д. ф.-м. н., проф. Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН, Федеральный исследовательский центр «Карельский научный центр РАН» ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: [email protected] тел.: +79217015441
Фомкина Ольга Викторовна
студентка
Институт математики и информационных технологий, Петрозаводский государственный университет пр. Ленина, 33, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185035 эл. почта: [email protected]
3. Федорчук В. В. Тройки бесконечных итераций метризуемых функторов // Известия АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54, № 2. С. 396-417.
4. Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 252 с.
5. Fedorchuc V., Todorcevic S. Cellularity of covariant functors // Topology and its Applications. 1997. Vol. 76. P. 125-150.
6. Ivanov A. V. On metric order in spaces of the form F (X) // Topology and its Applications. 2017. Vol. 221. P. 107-113. doi: 10.1016/j.topol.2017.02.051
7. van Mill J., van de Vel M. On an internal property of absolute retracts // Topology Proc. 1979. Vol. 4. P. 193-200.
Поступила в редакцию 22.03.2019
4. Fedorchuk V. V., Filippov V. V. Obshchaya topologiya. Osnovnye konstruktsii [General topology. Main constructions]. Moscow: Izd-vo Mosk. un-ta, 1988. 252 p.
5. Fedorchuc V., Todorcevic S. Cellularity of covariant functors. Topology and its Applications. 1997. Vol. 76. P. 125-150.
6. Ivanov A. V. On metric order in spaces of the form F(X). Topology and its Applications. 2017. Vol. 221. P. 107-113. doi: 10.1016/j.topol.2017.02.051
7. van Mill J., van de Vel M. On an internal property of absolute retracts. Topology Proc. 1979. Vol. 4. P. 193-200.
Received March 22, 2019
CONTRIBUTORS:
Ivanov, Aleksander
Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences 11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia
e-mail: [email protected] tel.: +79217015441
Fomkina, Ol'ga
Petrozavodsk State University 33 Lenin Ave., 185035 Petrozavodsk, Karelia, Russia e-mail: capmor17@gmail
