О ПОРОЖДЕНИИ ЛОЖНЫХ ОБРАЗОВ ЛИНЕЙНЫХ $k$-ЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ СОСТАВНЫХ $k$ ПРИ РАСТУЩЕМ ЧИСЛЕ ПЕРЕМЕННЫХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.718.7

А. А. Вороненко1

О ПОРОЖДЕНИИ ЛОЖНЫХ ОБРАЗОВ ЛИНЕЙНЫХ ЬЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ СОСТАВНЫХ fc ПРИ РАСТУЩЕМ ЧИСЛЕ ПЕРЕМЕННЫХ

В работе излагается решение задачи построения дискретных функций, задающих (порождающих) частью своих значений произвольные линейные функции. Случаи простых к рассматривались автором ранее. В данной работе доказано, что из существования таких частичных функций при числе переменных, не меньшем двух, вытекает их существование для произвольных больших чисел переменных. При этом доказаны линейные по числу переменных верхние оценки размера области определения универсальных функций. Доказано существование универсальных функций двух переменных при достаточно больших к.

Ключевые слова: fc-значная функция, линейная функция, порождение, универсальная функция.

Данная статья является продолжением работ [1-3]. В [1, 2] рассматривалась задача порождения линейных булевых функций, а в работе [3] — линейных fc-значных. Приведем основные понятия. Пусть К — произвольное множество функций, зависящих от одного множества переменных. Будем говорить, что функция /, зависящая от того же множества переменных, порождает функцию д (при условии д € К), если можно предъявить множество точек X, такое, что д{х) является единственной функцией из удовлетворяющих условию д € К, для которой при любых х € X выполняется соотношение /(ж) = д(х). Если функция / (необязательно всюду определенная) порождает любую функцию д (при условии д € К), то / называется универсальной для класса К. Линейной называется fc-значная функция переменных х\,... ,хп, представимая в виде а + а,\Х\ + ... + апхп, где сложение и умножение производится по модулю к, а коэффициенты а, а\,..., ап принадлежат множеству {0,1,..., А; — 1}.

В настоящей статье мы изучим универсальные функции для класса линейных fc-значных функций, зависящих от одного множества переменных, далее кратко называемые универсальными. Основными вопросами при изучении универсальных функций являются существование и оценка минимального размера области определения. Напомним два тривиальных утверждения [3].

Лемма 1. Универсальная функция п переменных для класса линейных k-значных функций определена на не менее чем k(n + 1) наборах.

Пусть задана функция <p(xi,..., х{). Определим для произвольного т функцию Ф(жц,... ... ,хц,... ,жТО1,... ,xmi). Положим Ф(0,... ,0 ,Xji,... ,xjt,0,..., 0) = <p(xji,...,xjt) для всех j и будем считать функцию Ф(жц,..., хц, ..., xmi,..., xmj) не определенной на остальных наборах.

Л е м м а 2. Если <p(xi,..., х{) — универсальная функция для класса линейных k-значных функций, то для любого т функция Ф(жц,..., хц,..., xmi,..., xmi) является универсальной для класса линейных k-значных функций соответствующего множества переменных.

Для простых k ^ 5 справедлива следующая теорема, позволяющая увеличивать размерность области определения универсальных функций на единицу [3].

Теорема 1. Пусть к — простое, к ^ 5, a f(xi,... ,хп) — универсальная функция для класса линейных k-значных функций. Тогда частичная функция F(xi,..., жп_ц), задаваемая соотношениями F(x 1,..., хп, 0) = f(x 1,..., хп) и

F(0, 0,..., 0, xn+i)

F(2, 0,..., 0, xn+i )

F(4, 0,..., 0, хп+\)

для хп+\ ф 0 является универсальной.

1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: dm6Qcs.msu.ru

= 0, F(l, 0, . . . , 0, Хп+\) = Жп+1,

= F(3, 0,..., 0, хп+\) = xn+i,

= 0,

Перейдем к рассмотрению вопросов существования универсальных функций для класса линейных fc-значных при составных к. Нам понадобятся известные утверждения.

Утверждение 1. Пусть а < к, где а и к — взаимно простые числа. Тогда уравнение а • х = Ь mod к относительно х имеет единственное решение на множестве {0,1,..., А; — 1} для любого Ь.

Утверждение 2 (лемма о градиентном покрытии [4, с. 136, 137]). Пусть N — произвольное конечное множество и D = {Ki,..., К;} — такая совокупность его подмножеств, что каждый элемент а € N принадлежит не менее чем jI подмножествам из D. Тогда существует покрытие множества N подмножествами из D, содержащее не более

- (ln(7|JV|) + 1) + 1

7

подмножеств.

Задача о покрытии множеств обычно рассматривается как задача о покрытии столбцов 0-1-матрицы А, соответствующих элементам множества N, строками, соответствующими подмножествам Ki. При этом ¿-я строка покрывает j-й столбец матрицы тогда и только тогда, когда a,ij = 1. Действие утверждения (2) можно с сохранением доказательства распространить на случай, когда некоторые строки не могут одновременно входить в покрытие.

Утверждение 3 (лемма о градиентном покрытии). Пусть N — множество столбцов 0-1 -матрицы А размера I х |iV|, каждый из которых покрывается не менее чем jI строками. Пусть это свойство сохраняется при изъятии любой строки вместе с покрываемыми столбцами и несовместимыми с ней строками. Тогда существует покрытие матрицы А, не содержащее несовместимых пар строк, мощности не более

— (lll( 7 /V ) + I) + I.

7

Теорема 2. Пусть f(xi,... ,хп) — универсальная функция для класса линейных к-значных функций п переменных при k ^ 4. Тогда существует универсальная частичная функция F(xi,... ... , жп_|_i) для класса линейных k-значных функций п + 1 переменных.

Доказательство. Рассмотрим равенство

а + aixi + ... + an+ixn+i = F. (1)

Если равенство (1) рассматривать как уравнение с операциями по модулю к при всех известных, кроме ап+1, то уравнение (1) при xn+i, взаимно простом с к, будет иметь единственное решение:

«п+1 = (F ~ а ~ aixi - ...- апхп) ■ (2)

При фиксированных а, «1,..., ап, х\,..., xn,xn+i различным значениям F будут отвечать различные значения ап+\. Поэтому для каждого ап+\ найдется значение параметра F, такое, что ап+\ будет единственным решением уравнения (1) при фиксированных СХ^ ► . . . ► Q-72 ? ^ 1 ? • • • ? 11 6СЛИ жп+1 взаимно просто с к.

Пусть /(ж 1,..., х„) — универсальная функция для класса линейных fc-значных. Построим универсальную функцию F(x 1,..., хп+\). Положим F(xi,..., хп, 0) = f(xi,..., xn). Оставшиеся значения функции доопределим на наборах с произвольными компонентами х\, жг, нулевыми компонентами хз,..., хп, а жп+1 — взаимно простым с к. Универсальность функции f(x\,..., хп) позволяет нам однозначно задать все коэффициенты произвольной линейной функции g(xi,..., жп_ц), кроме последнего, на подобласти определения функции F(xi,..., жп_|_i) с хп+\ = 0. Фиксируя значения F различным образом на выбранных выше наборах, мы однозначно определяем коэффициент ап+\ порождаемой функции д для уже заданных коэффициентов а, «1, «2-

Если мы будем это делать последовательно по точкам с нулевыми компонентами от третьей до п-й, порождая на каждом шаге наибольшее возможное число функций, то на каждом шаге мы породим не менее 7 = 1 /к доли непорожденных ранее функций. Из формулы (2) и равенства нулю компонент хз,... ,хп следует, что функции с совпадающими коэффициентами а, «1, «2, an+i порождаются одновременно. Задачу порождения всех функций можно рассматривать как задачу о покрытии 0-1-матрицы, строки которой соответствуют всевозможным значениям универсальной функции в конкретной точке, а столбцы — всевозможным порождаемым функциям.

Для порождения всех функций по утверждению 3 достаточно ^ 1п(7|Ж| + 1) + 1 точек с нулевыми компонентами от третьей до п-й, где = к4 — число классов эквивалентости линейных функций по равенству коэффициентов а, «1, «2, ап+1- Так как по крайней мере два числа: 1 и А; — 1 взаимно просты с к, то для того, чтобы мощности области определения функции Р(х,\,...,хп+1) хватило для ее универсальности, достаточно выполнения соотношения

2к2 ^ - 1п(7|Ж| + 1) + 1 = к 1п(к3 + 1) + 1. (3)

7

Воспользуемся очевидным соотношением 1п(&3 + 1) ^ ЗЫк + 1/к3. С его учетом для выполнения неравенства (3) достаточно справедливости соотношения

Л+ 7.

к3 к

При к ^ 2 левая часть последнего неравенства возрастает, а правая — убывает. Оно выполняется для к = 4, а следовательно, и для всех составных к.

Из теоремы 2 и леммы 2 вытекает

Теорема 3. Если для некоторого множества аргументов существует универсальная функция для класса линейных к-значных функций, то существует универсальная функция для класса линейных к-значных функций любого содержащего его множества аргументов. При этом размер области определения универсальных функций может быть ограничен линейной функцией числа аргументов п, зависящей от параметра значности к.

Из леммы 1 следует отсутствие универсальных функций, зависящих от одной переменной. Вопрос о наличии универсальных функций двух переменных для простого к изучен. В частности, в работе [3] эти функции построены для простых к ^ 7. Попробуем построить универсальную функцию / двух переменных для некоторого фиксированного составного к. Введем в рассмотрение орграф £?*;(/), множеством вершин которого является множество всех линейных функций двух переменных. Дуга из вершины а + а,\Х\ + 0,2X2 в вершину /3 + /ЗгХг + Р2Х2 соответствует наличию в области определения функции / точки х, такой, что

/(ж 1, ж2) = а + агх1 + а2ж2 ф /3 + /З1Ж1 + /32х2.

Орграф £?*;(/) полон тогда и только тогда, когда функция / универсальна. Для построения функции / используем градиентный алгоритм покрытия множества дуг полного орграфа.

Лемма 3. Пусть а + а,\Х\ + 0,2X2 и /3 + /ЗгХг + Р2Х2 — разл,ичные линейные функции. Тогда эти функции отличаются не менее, чем на половине наборов.

Доказательство. Случай = а,2 = /?2 тривиален. Пусть, не ограничивая общности, а, 1 ф Положим Х2 = с, где с — произвольная константа. Уравнение, задающее равенство функций, примет вид

а +0,1X1 +а2с =/3 +/З1Х1 +/32с, или («1 - [Зг)х1 = /3 - а + (/32 - а2)с.

Величина справа является константой, а величина слева не может принимать одинаковые значения более чем в половине точек х\.

Пример пары функций 0 и р{х, \ + ... + х„), где к = 2р, равных, если сумма х\ + ... + хп четна, показывает достижимость оценки леммы 3.

Утверждение 4. Пусть среди п точек множества А не менее т принадлежит множеству В. Пусть на каждом из I шагов из множества А изымается одна точка. Тогда в любой момент доля точек множества В в множестве А не меньше (т — ¿)/(п — I).

Теорема 4. При к ^ 336 всегда существует универсальная функция двух переменных для класса линейных к-значных.

Доказательство. Рассмотрим следующие параметры градиентного алгоритма для задачи покрытия матрицы. Строки матрицы будут соответствовать всевозможным значениям функции / в каждой из точек, столбцы — дугам орграфа £?*;(/). При выборе строки из текущей матрицы удаляются все строки, соответствующие значениям в той же точке. Оставшиеся строки совместимы с ранее выбранными. По лемме 3 и утверждению 4 для любой упорядоченной пары функций доля

точек области определения, на которых данные функции различаются, не меньше, чем

(т4)/(*4)4

Иными словами, для любого столбца матрицы (дуги орграфа Gk(f)) доля групп по к строк матрицы, соответствующих всевозможным значениям универсальной функции в одной точке, среди которых есть покрывающая соответствующий каждой паре столбец матрицы, не меньше чем 1/3. При этом мы можем использовать параметр градиентного алгоритма j = 1/(3к). Количество всех дуг |iV| = к6 — к3. Число точек возьмем равным к2/4. Для универсальности функции / по утверждению 4 достаточно выполнения неравенства

Ç ^ iln(7|iV| + l) + l = 3Hn(4|Â;6^,fc3| + l) +1. 47 \ôk /

Усилением последнего неравенства является неравенство к — 60 In к ^ 1/к — 121пЗ. Правая часть последнего неравенства убывает, а левая — возрастает, начиная с к = 60. При к = 336 неравенство выполнено.

Следствие. Для нечетных к универсальные функции двух переменных существуют при к ^ 151, а при к, не делящемся на 3, — для всех к ф 25.

Доказательство. В первом случае в доказательстве теоремы 4 надо взять покрытие (область определения универсальной функции) мощностью до трети всех к2 возможных точек и использовать 7 = 1/(2к), а во втором — до двух пятых при 7 = 2/(3к).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вороненко A.A. Об универсальных частичных функциях для класса линейных функций / / Дискретная математика. 2012. 24. № 3. С. 62-65.

2. Вороненко A.A., Кафтан Д.В. О порождении ложных образов линейных булевых функций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2014. № 4. С. 70-73.

3. Вороненко А. А. О порождении ложных образов линейных fc-значных функций // Прикладная математика и информатика. № 48. М.: Макс Пресс, 2015. С. 85-92.

4. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. 1 / Под ред. C.B. Яблонского, О. Б. Лупанова. М.: Наука, 1974.

Поступила в редакцию 31.08.15

ON GENERATION OF FALSE k-VALUED LINEAR FUNCTION'S IMAGES FOR ARBITRARY k AND GROWING NUMBER OF VARIABLES

Voronenko A. A.

In the paper we present the solution of the problem of constructing discrete functions, generating arbitrary linear functions by part of the values. Author considered the case of prime k earlier. In this paper we prove that existence of a universal function, depending on any number of variables, implies existence of some universal function for any bigger number of variables for the same k. A linear upper bound for the power of range of definition of universal functions is proved. It is proved that universal functions, depending on two variables, exist when k is considerably big.

Keywords: fc-valued function, linear function, generation, universal function.