CC BY
34
УДК 533.9
О ПОДВИЖНОСТИ ИОНОВ БЛАГОРОДНЫХ ГАЗОВ В ГАЗЕ СОБСТВЕННЫХ АТОМОВ
С. А. Майоров
Построена модель столкновений ионов с атомами газа, учитывающая резонансную перезарядку ионов, поляризационное взаимодействие и упругое (газокинетическое) взаимодействие. На основе экспериментальных данных о подвижности ионов и результатов моделирования столкновений ионов с атомами собственного газа в однородном электрическом поле, подобраны аппроксимации сечений резонансной перезарядки ионов для благородных газов, которые применимы для описания дрейфа ионов при любых полях. Построена модель подвижности молекулярных ионов в газе, позволяющая получать характеристики разряда при умеренных полях и низких температурах.
При расчетах характеристик ионного потока в нейтральном газе часто полагается, что атомы газа неподвижны. Это предположение разумно при высоких полях и низких температурах газа. Но при низких полях и высокой плотности газа скорость дрейфа ионов может быть сравнима с тепловой скоростью атомов. В этом случае необходим более точный учет кинетики ион-атомных столкновений.
Настоящая работа вызвана удручающим разнообразием ~ (10 — 50)% имеющихся в литературе данных о сечениях перезарядки ионов на атомах собственного газа при низкой энергии столкновений. Целью работы является аппроксимация сечений перезарядки с точностью, соответствующей точности измерения коэффициентов диффузии и подвижности ионов в слабых полях, т.е. ~ 1%. Ограничимся рассмотрением данных для благородных газов, поскольку общей задачей работы является создание эффективного
алгоритма моделирования ион-атомных столкновений, которые определяют характеристики пылевых образований в плазме газового разряда [1-3].
Однородное внешнее электрическое поле Е вызывает дрейф ионов в газе со скоростью, пропорциональной напряженности поля:
где коэффициент подвижности ионов зависит как от напряженности поля,
так и от параметров газа (температуры Т. давления р = ЛГГ, состава). Определению коэффициентов диффузии и подвижности ионов в газах посвящено большое число экспериментальных и теоретических работ (обзоры [4 - 6]) и можно полагать, что, по крайней мере в области слабых и умеренно сильных полей (Е/Ы < 1000 Т<1), подвижность ионов известна с весьма высокой точностью <1%.
В приближении слабого поля коэффициент подвижности ионов не зависит от напряженности поля, так как распределение ионов по скоростям близко к равновесному и частота столкновений ионов не зависит от напряженности поля. В этом случае скорость дрейфа пропорциональна величине поля ~ Е и определяется масштабом сечений ион атомных столкновений при энергиях порядка тепловой: 0.01 - 0.1 эВ. Скорость дрейфа ионов в сильном поле уд ~ Е1^2, она превышает тепловую скорость атомов и определяется масштабом сечений при энергиях столкновений значительно выше тепловой.
Экспериментальные данные по измерению коэффициентов подвижности и диффузии дают возможность определения сечений столкновений и потенциала взаимодействия. Например, независимость коэффициента подвижности при слабых полях от напряженности поля и температуры газа возможна в случае, когда частота столкновений не зависит от энергии столкновения, соответственно, сечение зависит от относительной скорости сталкивающихся частиц Уи по закону <т5< ос 1/г>12, а сила взаимодействия частиц обратно пропорциональна пятой степени расстояния между ними. Такой случай был впервые рассмотрен еще Максвеллом безотносительно к ион-атомному взаимодействию, поскольку интеграл столкновений Больцмана значительно упрощается только для таких сечений (случай максвелловских молекул).
Модели ион-атомного взаимодействия и сечения столкновений. Определим энергию столкновения еТ = тпь22/4 = ехг/2, равную полной кинетической энергии сталкивающихся частиц в системе центра масс, и эффективный диаметр столкновения д, связанный с диффузионным сечением соотношением а^ = тгд2.
у* = цЕ
(1)
Ион поляризует атомы своим электрическим полем и взаимодействует с индуцированными диполями. Потенциальная энергия этого поляризационного взаимодействия для расстояний, больших диаметра атома и меньших среднего межатомного расстояния ЛМ/3, равна:
ВЫ = (2)
Г12
где г 12 ~ расстояние между атомом и ионом; а = аоао - поляризуемость атома; ао = 0.529 • Ю-8 см - радиус Бора; Я.у = 13.6 эВ - постоянная Ридберга; N - числовая плотность атомов. Сечение поляризационных столкновений <тро/ ~ 1/^12 и для определения подвижности иона в случае преобладания поляризационных столкновений пригодна модель постоянной (не зависящей от скорости) частоты столкновений иона.
Впервые зависимость сечения столкновения в виде <т(и12) ~ (С/е^)2^71 для рассеивания в потенциале вида £/(г12) = ±С/г"2 получил лорд Рэлей из соображений размерности [7], а теория рассеивания при п = 4 построена Ланжевеном [8]. В работе [9] с высокой точностью вычислена скорость дрейфа в пределе слабого поля в чисто поляризационном потенциале (2) с учетом рассеивания на малые углы:
Е
у* = 7-см/с' (3
(ат1\
где N0, т, Е - числовая плотность атомов газа при нормальных условиях, масса атомов в а.е.м. и напряженность электрического поля в единицах В/см.
Задача столкновения двух жестких сфер с разными диаметрами ¿\ и с?2, массами т\ и ш2 может быть сведена к задаче рассеивания одной частицы на неподвижном центре.
На близких расстояниях, сравнимых с диаметром атома, ион отталкивается от атома. Короткодействующую отталкивательную часть потенциала взаимодействия при энергиях столкновения еТ < Яу можно аппроксимировать зависимостью
Щг12) = и0ехр(-Г12/ал), (4)
где [/о, Ой - положительные константы [5]. В этом случае диффузионное сечение равно:
(ТЛ = тгсР = тга21п2(С/о/£г). (5)
Это сечение слабо зависит от энергии столкновения, поэтому при сближении иона с атомом до расстояния порядка атомного размера, можно использовать модель твердых
сфер с диаметром с1даз. Газокинетическое сечение в модели столкновений упругих сфер равно:
Яда* = К(1даз, (6)
эффективный диаметр атомов ¿даз может быть определен из данных о вязкости газов [10].
При больших энергиях еТ » Яу и малых прицельных параметрах ион с атомом могут сближаться до расстояний, меньших диаметра атома. В этом случае ион с атомом взаимодействуют как экранированные кулоновские частицы с зарядом ядер 2е. Это взаимодействие с хорошим приближением описывается потенциалом Юкавы:
Л с
и(г12) =-ехр (-ги/а*). (7)
г 12
Передача заряда при ион-атомном столкновении. При столкновении иона с атомом собственного газа существует вероятность перехода электрона от атома к иону без изменения внутренней энергии сталкивающихся частиц. Такой процесс называется резонансной перезарядкой и обычно относится к неупругим столкновениям, так как он имеет квантово-механическую природу [11, 12]. Рассмотрим более подробно модель этого процесса.
Вероятность перехода электрона от атома к иону экспоненциально резко падает с увеличением расстояния между частицами. Если ион с атомом сближается так близко, что электронные орбиты атома и иона сильно перекрываются, то в этом случае электрон за время столкновения совершит много переходов от атома к иону. После столкновения электрон с равной вероятностью 1/2 останется у одной из сталкивающихся частиц. Сечение резонансной перезарядки в атомных единицах имеет функциональный вид [11, 12]:
где параметр 7 характеризует скорость экспоненциального спада волновой функции электрона за пределами атома, параметр ио слабо зависит от скорости. При скоростях, больших или сравнимых со скоростью электрона на орбите, учет этого фактора приводит к замене в равенстве (8) параметра 7 на величину (72 + и2/4)1/2.
Можно определить эффективный радиус реакции передачи заряда гс,(ит1П), который определяется функциональной зависимостью (8) для скорости в точке наибольшего сближения. Будем полагать, что вероятность передачи заряда пренебрежима мала, если расстояние наибольшего сближения гт,-„ > гс<, и равна 1/2 при гт1-п < Сечение перезарядки в этом приближении определяется соотношением:
СГгез = ^тгр 2(гс,), (9)
где прицельный параметр р(гы) соответствует сближению на расстояние гс{.
При энергиях столкновения £12 = ти22/2 >> где ев. = "^Г0 ~ энергия поляризационного взаимодействия на расстоянии атомного диаметра, можно пренебречь отличием траекторий от прямолинейных. Тогда сечение резонансной перезарядки может быть аппроксимировано следующей зависимостью:
о-геДеп) = <Гге.(е1)[1 + а1п(£1 /е12 )]2 (10)
или
огв,(е 12) = От в«(£1) + -В1п(£1/е), (11)
где £1, а, В, ате8{е\) - положительные аппроксимационные константы [5, 11, 12].
Учет искривления траекторий приводит к поправкам в сечениях, пропорциональным величине и(гт{п)/ег [4, 12].
Уже первые точные экспериментальные измерения скорости дрейфа ионов в сильных полях [13-15] показали, что она становится пропорциональной квадратному корню напряженности поля: ь^ ~ Е1/2. Этот результат согласуется с приближением посто-
•г
янного сечения, и полученные в этих работах экспериментальные данные о сечениях связывались с влиянием конечного размера частиц, т.е. газокинетическим сечением. Но на влияние передачи заряда на скорость дрейфа в сильном поле (эстафетный эффект Л.А. Сена [16]) было указано еще до появления этих работ. В последующих работах [17 - 19] наблюдаемые экспериментальные данные были объяснены уже влиянием передачи заряда при столкновениях.
Алгоритм моделирования ион-атомных столкновений. Задача построения эффективного алгоритма розыгрыша ион-атомного столкновения важна для правильного решения многих задач физики газового разряда, которые характеризуются одновременным влиянием всех перечисленных видов взаимодействия частиц [20 - 25]. Хотя
при низких энергиях ионов (< 0.1 эВ) сечение поляризационного взаимодействия ионов с атомами обычно больше сечения резонансной перезарядки, но вклад столкновений с перезарядкой в диффузионное сечение в два раза выше из-за того, что при каждом столкновении с перезарядкой ион полностью теряет свою скорость.
Перечислим основные этапы разработанного алгоритма:
1) в системе центра масс сталкивающихся частиц в соответствии с вероятностью столкновения случайным образом выбираются скорости и прицельный параметр столкновения;
2) при движении частиц в системе центра масс с поляризационным потенциалом взаимодействия (2) определяются: расстояние наибольшего сближения rmtn, относительная скорость частиц в точке наибольшего сближения vi2(rm,„), угол рассеивания х;
3) если гmin > dgas, то скорости иона и атома отклоняются на угол х;
4) если гmin < dgas, то скорости иона и атома пересчитываются в соответствии с законом столкновения упругих сфер, расстояние минимального сближения полагается гmin = dgas, определяется относительная скорость частиц в точке наибольшего сближения v12(rmin);
5) вычисляется сечение резонансной перезарядки crres(u12(rm,„)) Для относительной скорости частиц в момент наибольшего сближения vu(гты)]
6) если расстояние наибольшего сближения гты < rct = (2crres(u12(rmtn))/7r)1/'2, го с вероятностью 1/2 скорости иона и атома меняются;
7) пересчитываются скорости в лабораторной системе, накапливается статистика по различным характеристикам столкновений.
Для дрейфа заряженных твердых сфер разработанный алгоритм воспроизводит известное решение кинетического уравнения Больцмана [24], подвижность в пределе слабого поля (3) [9], а также известные теоретические результаты по кинетике столкновения упругих сфер [10].
Аппроксимация сечений резонансной перезарядки. Приведенный алгоритм позволяет получать скорость дрейфа ионов при заданном сечении перезарядки. Полученная в настоящей работе аппроксимация <7res(£i2) основывается на выборе физически обоснованной зависимости (10), для которой необходимы две подгоночные константы - aTes{ei), а. Для их определения можно использовать два каких-либо известных значения сечения резонансной перезарядки. В качестве одного из них использовалось значение crTCS\r-2) при £г = Ю000 эВ [6], так как точность данных по сечениям при больших энергиях высока. Второе значение сечения резонансной перезарядки подобрано из условия, чтоб»,
данный алгоритм воспроизводил известные с высокой точностью в случае низких полей коэффициенты подвижности и диффузии.
Параметры, входящие в модель столкновения, а также результаты подгонки аппрок-симационных зависимостей сечений перезарядки приведены в таблице.
Таблица
Свойства ионов и атомов благородных газов и газокинетические параметры: //0 подвижность ионов в газе при нормальных условиях при слабых полях в единицах см2/Вс [12], а - безразмерная поляризуемость атома, нормированная на куб радиуса Бора [25], адав - газокинетическое сечение [10], сттеа{е\), сггез(£- сечения резонансной перезарядки ионов на собственном атоме. Аппроксимация &гез{£) — огез{е\)[\ + а1п(е1/е)]2 получена в настоящей работе. Все сечения выражены в единицах Ю-16 см2, е - кинетическая энергия иона при неподвижном атоме,
еъ е2 = 1,10000 эВ
Система Мо а О дав Огез^г) Сге«^) а
Яе+ - Не 10.4 1.39 15.1 27.9 6.6 0.0557
- АГе 4.1 2.76 21.2 29.0 5.9 0.060
Аг+ - Аг 1.52 11.1 42.1 55.3 13.8 0.0543
Кг+ — Кг 0.94 16.8 55.4 61.2 18 0.0497
Хе+ - Хе 0.52 27.2 76.7 84.2 28 0.046
Получены аппроксимации сечений резонансной перезарядки ионов благородных газов и создан алгоритм учета ион-атомных столкновений, позволяющий получать важные характеристики ионного потока в экспериментах по исследованию свойств пылевой плазмы.
Автор благодарит Российский фонд фундаментальных исследований (проекты 05-02-16796а, 06-02-17520а, 06-08-01554а и 04-02-89004 К\\Ю_а) и Нидерландское научное общество (проект 047.016.020) за финансовую поддержку работы.
ЛИТЕРАТУРА
[1] М а й о р о в С. А. Физика плазмы, 31, N 8, 749 (2005).
[2] Майоров С. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 10, 3 (2005); Физика плазмы, 32, N 9, 802 (2006).
[3] Ф о р т о в В. Е., Храпак Л. Г., Храпак С. А. и др. УФН, 174, 495 (2004).
[4] Мак-Даниэль И. Процессы столкновений в ионизованных газах. М., Мир, 1967.
[5] М а к - Д а н и э л ь И., Масон Э. Подвижность и диффузия ионов в газах. М., Мир, 1976.
[6] Физические величины: справочник. Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М., Энергоатомиздат, 1990.
[7] R а у 1 е i g h (Lord) J. Proc. Roy. Soc. (London), 66, 68 (1900).
[8] L a n g e v i n P. Ann. Chim. Phys., 5, 245 (1905).
[9] H e i с h e G., Mason E. A. Journ. Chem. Phys., 53, 4687 (1970).
[10] Бёрд Г. Молекулярная газовая динамика. М., Мир, 1981.
[11] Г а л и ц к и й В. М., Никитин Е. Е., Смирнов Б. М. Теория столкновений атомных частиц. М., Наука, 1981.
[12] Никитин Е. Е., Смирнов Б. М. Медленные атомные столкновения. М., Энергоатомиздат, 1990; Атомно-молекулярные процессы в задачах с решениями. М., Наука, 1988.
[13] Hornbeck G. A. and Wannier G. Н. Phys. Rev., 82, 458 (1951).
[14] Wannier G. H. Phys. Rev. E, 83, 281 (1951).
[15] Wannier G. H. Bell. Syst. Techn. Journ., 32, 170 (1953).
[16] Сена Л. А. ЖЭТФ, 16, 734 (1946).
[17] H о 1 s t e i n T. Journ. Phys. Chem., 56, 832 (1952).
[18] Каган Ю. M., Перель В. И. ДАН СССР, 98, 575 (1954); ЖЭТФ, 29, 884 (1955).
[19] Перель В. И. ЖЭТФ, 32, 526 (1957).
[20] Farouki R. Т., Hamaguchi S., and D а 1 v i е M. Phys. Rev. A, 44, 2664 (1991); 45, 5913 (1992).
[21] Dai S. L. and Wang Y. N. Phys. Rev. E, 69, 036403 (2004).
[22] Sternovsky Z., Downum K., and Robertson S. Phys. Rev. E, 70, 026408 (2004).
[23] R о b s о n R. E., White R. D., and P e t г о v i с Z. L. Rev. Mod. Phys., 77, 1303 (2005).
[24] White R. D., R о b s о n R. E., Ness K. F. Com. Phys. Comm., 142, 349 (2001).
[25] Р а й з е р Ю. П. Физика газового разряда. М., Наука, 1987.
[26] Смирнов Б. М. Физика слабоионизованного газа в задачах с решениями. М.. Наука, 1988.
Институт общей физики
им. A.M. Прохорова РАН Поступила в редакцию 5 апреля 2006 г.
