О подходе к построению робастных наблюдателей Текст научной статьи по специальности «Математика»

АВТОМАТИКА, ЭЛЕКТРОНИКА И СРЕДСТВА СВЯЗИ

УДК 681.326 А.Ю. Суворов

СУВОРОВ АЛЕКСЕЙ ЮРЬЕВИЧ - аспирант кафедры автоматизации и управления Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток).

E-mail: suvorov_alexey@mail.ru О ПОДХОДЕ К ПОСТРОЕНИЮ РОБАСТНЫХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ

Рассматривается задача построения робастных диагностических наблюдателей. Предлагается подход, позволяющий рассматривать системы с негладкими нелинейностями и получать полное описание множества возможных решений с определенными робастными свойствами.

Ключевые слова: нелинейные системы, негладкие нелинейности, диагностические наблюдатели, робастность.

On the approach to robust observer designs. Alexey Yu. Suvorov, School of Engineering (Far Eastern Federal University, Vladivostok).

The article deals with robust diagnosis observer designs. It proposes an approach enabling one to consider systems with non-smooth nonlinearities and obtain a full description of the multitude of possible solutions having certain robust properties.

Key words: nonlinear systems, non-smooth nonlinearities, diagnostic observers, robustness.

С целью повышения эффективности эксплуатации сложных технических систем нередко используются методы функционального диагностирования, поскольку оно позволяет производить проверку корректности работы системы в процессе выполнения ею своих основных функций и оперативно поставлять информацию о возникающих сбоях и дефектах. За последние десятилетия было разработано немало методов диагностирования технических систем.

Один из подходов к решению задач диагностирования основан на использовании диагностических наблюдателей [4, 5], главной задачей при построении которых является обеспечение минимальной чувствительности (робастности) к внешним возмущающим воздействиям, параметрическим неопределенностям и ошибкам модели; будем называть

© Суворов А.Ю., 2013

указанные факторы возмущениями. Решению этой задачи посвящены многочисленные публикации, например [2, 5, 7, 8].

Робастность может достигаться как на этапе генерации невязки, так и при принятии решений, в соответствии с чем различают активный и пассивный методы ее достижения. Активный метод направлен на уменьшение отношения шум/сигнал, где под шумом понимается составляющая невязки, вызываемая возмущениями, а под сигналом -составляющая, вызываемая дефектами в системе [2, 4, 5, 7, 10].

Из сказанного следует, что активный метод характеризуется различной чувствительностью невязки по отношению к дефектам и возмущениям. В отличие от этого пассивный метод предполагает загрубление общей чувствительности процедуры диагностирования по отношению как к возмущениям, так и к дефектам. Для его реализации обычно используется пороговая логика принятия решений.

В настоящей работе рассматривается активный метод. Известные работы в этой области характеризуются тем, что они позволяют получать единственное решение, робастные свойства которого затем подвергаются анализу, и в случае неудовлетворительного результата ищется новое решение с последующим аналогичным анализом, т.е. известные процедуры носят переборный характер. В настоящей работе ставится задача разработки такого подхода к построению диагностических наблюдателей, который позволит рассматривать системы с недифференцируемыми нелинейностями и получать полное описание множества возможных решений в случае полной развязки от возмущений.

Модель системы и ее преобразования

Пусть заданная система описывается моделью с дискретным временем х '(г +1) = / '(х '(г), и(г)), у(г) = к' (х '(г)), (1)

где х'(г) е X с Я", и(г) е и с Ят, у(г) е У с Я1 - векторы состояния, управления и выхода; /' и к' - нелинейные векторные функции. Предполагается, что функция /' может быть

(дк' Л

недифференцируемой, функция к' удовлетворяет условию гапк\ — 1 = I для всех х' е Я",

чдх ')

за исключением множества меры нуль, где это равенство может нарушаться.

Произведем ряд преобразований исходной системы. Введем нелинейное преобразование

координат ¥ , удовлетворяющее условию тапк\^-^ | = п для всех х' е Я", за исключением

\дх')

множества меры нуль, и приводящее исходную систему (1) к системе с линейной функцией выхода:

X = ¥(X ') = (h[(x') ... h\(x ') x'h ... x'n_,

где x'j ,...,x\ } - некоторые переменные, h[ - i-я компонента функции h'. В новых координатах система принимает вид

x(t +1) = Y(f' (x ' (t), u(t))) = Y(f' (Y1 (x{t), u(t)))) = f (x(t), u(t)), (2)

y(t) = h' (Y-1( x(t))) = Hx(t), где H = (Iixi 0), ¡¡xi - единичная l x l матрица.

В [1, 2] показано, что с целью учета дефектов и возмущений, действующих на систему, а также последующего применения так называемого логико-динамического подхода [3] модель (2) может быть приведена к виду с разделенными линейной и нелинейной составляющими:

х^ +1) = Fx 0) + Gu(t) + C ■

Г Ф1(А^),п^)) ^

^Ф p(Арх^ X п0))

+ Dd ^) + Lp(t), у^) = Нх^),

(3)

где D и L - известные постоянные матрицы, d^) - вектор, описывающий дефекты: при их отсутствии d(^ = 0, при появлении дефекта d^) становится неизвестной функцией времени; р^) - неизвестная функция времени, описывающая возмущения, действующие на систему; С - постоянная матрица размера п х p: если в правую часть уравнения для /-й компоненты вектора состояния системы (2) входит нелинейность фу (Аух^), ы^)), то C(i, у) ф 0, в противном случае С(/, у) = 0. В общем случае функция фу может содержать несколько членов вида Агх(7). Если функция к' линейна, т.е. соответствующее уравнение имеет вид у(г) = Нх'^), то переход к модели (3) производится без предварительного преобразования координат.

Основные соотношения в линейном случае

Рассмотрим простой случай, когда С = 0, т.е. нелинейная составляющая отсутствует, и система описывается линейной моделью

х^ +1) = ¥х (г) + Оп^) + Dd(t) + Lр(t), y(t) = Hx(t).

Описание линейного диагностического наблюдателя имеет следующий вид:

х* (^ +1) = Л х* (t) + О*п^) + ^ (t) + Кг (t), у* (t) = Н* х* (^),

где К - матрица обратной связи, г^) - невязка, формируемая в виде г^) = Яу(^ - у* (^ для некоторой матрицы Я . Предполагается, что при отсутствии дефектов и возмущений векторы х^) и х* ^) связаны равенством х* (^ = Фх^) для некоторой матрицы Ф, которая удовлетворяет следующим уравнениям [6, 10]:

ФF = ЛФ + Ш, ЯН = Н*Ф, О* =ФО. (4)

Вопросы выбора матрицы К детально изложены в ряде публикаций, в частности в [1, 9], поэтому в настоящей работе они не рассматриваются. Размерность наблюдателя изначально предполагается неизвестной, она определяется в процессе его синтеза. Начальное состояние наблюдателя может быть произвольным; при соответствующем выборе матрицы К невязка г^), которая может иметь ненулевое значение из-за несовпадения начальных состояний исходной системы и наблюдателя, асимптотически стремится к нулю.

Известно, что полная развязка от возмущений является наиболее благоприятной с точки зрения робастности. Для обеспечения такой развязки, а также чувствительности к дефектам матрица Ф должна удовлетворять условиям [2, 4, 5]:

ФЬ = 0, ФБ * 0.

В одном из методов построения наблюдателей [2, 5] последний ищется в канонической форме с матрицами

К =

Г 0 1 0

0 0 1

0 0 0

000

0 ^

0

0

Н* =(0 0 0 — 1).

(5)

0

В этом случае уравнения (4) могут быть приведены к виду

ЯН = Ф к, Ф,К = Ф м + JiH, I = 2,..., к, Ф1К = J1H, (6)

где Ф. и Ji - . -е строки матриц Ф и J, . = 1,...,к, к - размерность наблюдателя. В [5] показано, что уравнения (6) можно свернуть в одно:

ЯНКк = JkHFk_1 + Jk_1НКк_2 +... + J1H . (7)

Решение этого уравнения сводится к определению минимальной размерности наблюдателя к и описывающих его матриц Я и У; дополнительно с использованием соотношений (6) определяется матрица Ф, которая необходима для нахождения матрицы С* и проверки условий ФЬ = 0 и ФБ * 0.

Недостатком метода является невозможность непосредственного включения в него условия ФЬ = 0, поэтому после решения уравнения (7) приходится проверять это условие, а при его невыполнении находить другое решение при прежней или увеличенной размерности наблюдателя, т.е. фактически производить определенный перебор. Для преодоления этого недостатка предлагается новый подход, состоящий в явном учете условия ФЬ = 0 в уравнениях (6), который также позволяет получить полное описание множества возможных решений с определенными робастными свойствами и выбрать из них оптимальное по некоторому критерию решение, например с максимальной чувствительностью к дефектам.

Обеспечение полной развязки от возмущений

Общие соотношения. Для реализации предлагаемого подхода вводится матрица Ь*, содержащая в качестве строк все линейно независимые решения уравнения Ь*Ь = 0; в этом случае из условия ФЬ = 0 следует равенство Ф = МЬ* для некоторой матрицы М. Заменим в (6) строки матрицы Ф на выражения вида М.Ь*, в результате чего получим уравнения

Ш = МкЬ*, М^Ь*К = М._1Ь* + JiH, . = 2,., к, М1Ь* К = J1 H,

здесь М1 - /-я строка матрицы М. Преобразуем полученные соотношения к блочному виду, отделив известные матрицы от неизвестных:

(R - Mk )

Г H Л v L*

= 0,

(8)

(Mi -M-1 - J,)

Г L* F Л L*

V H J

= 0,

(9)

(Mi -Ji)

L*F Л

v H J

= 0.

(10)

Решение полученной системы однородных уравнений начнем с последнего, при этом находим на каждом шаге все линейно независимые решения очередного рассматриваемого уравнения, что можно сделать с помощью математических пакетов, например Matlab и Maple. Результатом каждого шага является заключение о том, можно ли построить наблюдатель с определенными робастными свойствами; если можно, то он строится, если нет, то искомая размерность увеличивается на 1, и осуществляется переход к следующему шагу. Рассмотрим отдельные шаги более детально.

Первый шаг. Уравнение (10) имеет решение в том случае, когда между строками матриц L* F и H имеется линейная зависимость, что можно проверить с помощью критерия

rank

L*F Л

v H J

< rank( L* F) + rank(H).

(11)

При невыполнении этого неравенства полная развязка от возмущений невозможна, и необходимо обращаться к робастным методам. Будем полагать дальше, что условие (11) выполняется.

Пусть матрица (N — Д) содержит все линейно независимые решения уравнения (10), тогда можно принять = ^N1 для некоторой матрицы Щ. Проверяя возможность построения наблюдателя размерности к = 1, обратимся к уравнению (8), заменяя в нем М1 на Щ N1 и записывая полученное в блочном виде:

(R - Wi)

H

ML*

= 0.

(12)

Критерием существования решения этого уравнения является ранговое неравенство

rank

H

V NiL* j

< rank(H) + rank( ND.

(13)

Если оно выполняется, то наблюдатель размерности 1 существует, он может быть построен следующим образом. Пусть матрица ( Rq - Pq) содержит все линейно независимые решения уравнения (12), тогда выполняется равенство Rq H = Pq N L*, и можно принять R = Wq Rq для некоторой матрицы Wq . Отметим, что матрица Rq описывает все возможные линейно независимые решения, обеспечивающие полную развязку от возмущений при к = 1.

Выбирая конкретную матрицу Wq , приходим к равенству RH = WqRqH = WqPqN1L*, сравнивая которое с RH = MkL при к = 1, нетрудно заключить, что можно принять Mi = Wq Pq Ni . Тогда из соотношения N L* F = PyH, полученного в результате решения уравнения (10), следует WqPqN1L*F = WqPqP1H, т.е. можно принять Ф1 = WqPqN1L* и J = WPP. Вычисление матрицы G* = Ф1^ завершает построение линейного наблюдателя.

Второй шаг. Если условие (13) не выполняется, необходимо искать наблюдатель большей размерности, для чего обратимся к уравнению (9) при i = 2, заменив в нем M1 на W1 N1 и записывая полученное в блочном виде:

( L* F Л M2 - W1 - J2) N1L*

V H J

(14)

Поскольку уравнение (14) отличается от (10) наличием дополнительного слагаемого Щ^Ь, а (10) по предположению имеет решение, то уравнение (14) также имеет решение.

Пусть матрица (N2 - Q\ — Р2) содержит все линейно независимые решения уравнения (14), тогда можно принять М2 = ЩN2 для некоторой матрицы Щ. Проверяя возможность построения наблюдателя размерности к = 2, вновь обратимся к уравнению (8), заменяя в нем М2 на ЩN2. Нетрудно видеть, что такая проверка сведется к уравнению (12) и критерию (13) с заменой в них N1 на Ж2 и Щ на Щ.

Из сравнения уравнений (10) и (14) следует, что все строки матрицы N содержатся в матрице N2, поэтому для выполнения условия (13) и решения уравнения (12) на втором шаге появляются дополнительные возможности.

При положительном исходе проверки (13) обозначим решение уравнения (12) также через (До — Р0 ), примем Я = ЩЯо, что даст равенства ЯИ = Щ Р0 N2 Ь* и М2 = ЩРоN2. Тогда из соотношения N2Ь*¥ = QlNlL* + Р2И, полученного в результате решения уравнения (14), следует Щ Ро N2 Ь* ¥ = Щ PоQl ЩЬ* + Щ Ро Р2 И, т.е. можно принять Ф 2 = Щ Ро N2 Ь*, 3 2 = Щ Ро Р2 и М1 = Щ PоQl N1. Умножая обе части уравнения N1L*¥ = Р1И на ЩРоQ1 слева, получаем ЩР0Q1N Ь* ¥ = ЩР^^И, откуда

Ф1 = WqPqQ1 N1L* и J1 = WqPqQP . Вычисление матрицы G* —

VФ2 J

G завершает

построение линейного наблюдателя размерности 2. Отметим, что можно также решить уравнение (7) с матрицей Я = Щ До и определить строки матрицы Ф из (6).

Если условие (13) не выполняется, вновь обращаемся к уравнению (9) при г = 3, заменив в нем М2 на ЩN2, и продолжим аналогичный анализ соотношения (14), заменив в нем N1

6

на N2. Процедура продолжается до тех пор, пока на очередном шаге наблюдатель будет построен либо для некоторого г выполнится условие N1 = N—1. Последнее означает, что возможности решения уравнения (12) перестали улучшаться, и если оно не имело решения на шаге I -1, то на последующих шагах решение также будет отсутствовать.

Нелинейный случай

Согласно процедуре логико-динамического подхода, который был разработан в [3] для диагностирования нелинейных систем, на первом его шаге строится линейный наблюдатель, о чем было сказано выше. Нелинейная составляющая, добавляемая к линейному наблюдателю, учитывается следующим образом. После построения матрицы Ф вычисляется произведение

А х(г), и(г

ФС

^ф р (Арх(1), и (г))

(15)

в котором приводятся подобные члены, если таковые имеются, например, сумма А^хик + А ухи к записывается в виде (А^ + Ау)хик = А^хик; отметим, что без такого приведения размерность наблюдателя может оказаться неоправданно завышенной. Далее из находящихся в этом произведении матриц-строк вида А( и АЧу формируется блочная матрица А и проверяется условие

гапк (Фт Нт) = гапк(Фт Нт

Ат).

При его выполнении решается алгебраическое уравнение

А = А*

V Н У

(16)

(17)

из которого определяются матрицы-строки А*ц,..., А*^, где ё - число строк матрицы А. Эти матрицы используются для формирования аргумента нелинейной составляющей ф* (х*, у, и) путем замены в произведении (15) (после приведения в нем подобных членов) выражений

вида А,,х на А

Ч 1

( х.„ ^

V у у

в соответствии с равенством (17). В результате нелинейный

наблюдатель примет вид

х* (г +1) = Е* х* (г) + 0*и(г) + Зу (г) + ф* (х* (г), у(г), и(г)) + Кг (г).

Если условие (16) не выполняется, необходимо найти другое решение линейной задачи при прежней либо увеличенной размерности наблюдателя или использовать дополнительный наблюдатель; более детально это описано в [3, 5].

Пример

Проиллюстрируем изложенное на примере электропривода, рассмотренного в [5]. Его описание на основе модели (3) содержит следующие матрицы и функцию ф(л, и) :

F —

( 0 1 0 0 0 Л Г 0 0 Л Г 0 Л Г 0 0 0 Л

1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 , G — 0 0 , L — 0 , с — 1 1 0

0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0

v 0 0 - 3 -2 0 У v1 0 У v 0 У v 0 0 - 1

Г 0 1 0 0 0 Л Г U2 A X Л

н — 0 0 1 0 0 ф(X,и) — sign( A2 x)

v 0 0 0 0 1 у 1 (A3X)2 у

A — (0 0 0 1 0), A2 — A3 — = (100 0 0)

Матрицы L* и L*F имеют следующий вид:

L* —

Г1 0 0 0 0 Л Г 0 1 0 0 0 Л

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

, L* F —

0 0 0 1 0 0 0 0 0 3

v 0 0 0 0 1У v 0 0 - 3 - 2 0,

Нетрудно проверить, что rank( Nx L*) — 2, rank(H) — 3, rank выполняется. Из соотношения (10) находим

' н Л

v N L* У

— 5, т.е. условие (11)

Г1 0 0 0 Л Г1 0 0 Л

N1 — , P1 —

v 0 0 1 0 У v 0 0 3 У

Можно проверить, что rank( NjL*) — 2, rank(H) — 3, rank

выполняется и необходим второй шаг. Из(14)получаем

' H Л у N1 L* у

— 5, т.е. условие (12) не

Г1 0 0 0 Л Г 0 0 Л Г1 0 0 Л

N 2 — 0 0 1 0 , 01 — 0 0 , P — 0 0 3

v 0 0 0 1У v 0 - 2 У v0 - 3 0 У

Проверка показывает, что условие (13) с матрицей N выполняется, решая уравнение (12), получаем Я0 = (0 0 1) . Принимая Ж0 = 1, получаем Я = Я0; дальнейшие вычисления по приведенным формулам дают следующее: = (0 0 - 6), 3 2 = (0 - 3 0),

(0 0^

Ф1 = (0 0 0 - 2 0), Ф2 = (0 0 0 0 1), О* = ФО =

v 1 0у

Этим завершается

процедура построения линейного наблюдателя.

Г 0 ^

Для построения нелинейного находится произведение (15): ФСф(х,и) =

- (A3 x)2

из

У

вида которого следует, что матрица А совпадает с матрицей ^3. Нетрудно проверить, что условие (16) не выполняется, поэтому необходимо использовать дополнительный наблюдатель, оценивающий переменную х*3 = ^3 х = х, который определяется из уравнения ^з ¥ = (0 1 0 0 0) = Н1. Поскольку ^3 Ь = 0, этот наблюдатель также нечувствителен к возмущениям. Приведем полное описание наблюдателя; для упрощения будем записывать х+ вместо х(г +1) и х вместо х(г):

х*1 = -6^3,

Х*2 = х*1 — 3 _У2 — (х*3 ) + ,

х+3 = у1,

У* = х*2, Г = х3 — у * .

Итак, в работе предложен новый подход к построению робастных диагностических наблюдателей для систем, описываемых нелинейными моделями с недифференцируемыми нелинейностями и функционирующих в условиях действия внешних возмущающих воздействий, параметрических неопределенностей и ошибок моделей. Достоинством подхода является возможность получения исчерпывающего описания множества решений с полной развязкой от возмущений. Используемый при решении задачи логико-динамический подход позволяет диагностировать нелинейные системы методами линейной алгебры.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жирабок А.Н. Диагностические наблюдатели и соотношения паритета: сравнительный анализ // Автоматика и телемеханика. 2012. № 5. С. 141-160.

2. Жирабок А.Н., Кучер Д.Н., Филаретов В.Ф. Обеспечение робастности при диагностировании нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2010. № 1. С. 159-173.

3. Жирабок А.Н., Усольцев С.А. Линейные методы при диагностировании нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2000. № 7. С. 149-159.

4. Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем. М.; СПб.: МГУ-ГРИФ, 1998. 257 с.

5. Шумский А.Е., Жирабок А.Н. Методы и алгоритмы диагностирования и отказоустойчивого управления динамическими системами. Владивосток: ДВГТУ, 2009. 134 с.

6. Ding X., Frank P.M. An adaptive observer-based fault detection scheme for nonlinear dynamic systems // Proc. of the 12th World Congress IFAC. Sydney, Australia, 1993. Vol. 8. P. 307-310.

7. Frank P. Fault diagnosis in dynamic systems using analytical and knowledge-based redundancy. A survey and some new results // Automatica. 1990. Vol. 26. Р. 459-474.

8. Lou X., Willsky A., Verghese G. Optimally robust redundancy relations for failure detection in uncertain systems // Automatica. 1996. Vol. 22. P. 333-344.

9. Schreier G., Ragot J., Patton R., Frank P. Observer design for a class of nonlinear systems // Proc. IFAC Symposium «Safeprocess-97». Hull, UK, 1997. P. 498-503.

10.Shumsky A., Zhirabok A. An optimization approach to the problem of nonlinear diagnostic filter design // Proc. 19th Mediterranean Conference on Control and Automation. Corfu, Greece, June 2023, 2011. P.976-981.