CC BY
20
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2012. № 1 (10)
технические науки
УДК 681.326 А.Ю. Суворов
СУВОРОВ АЛЕКСЕЙ ЮРЬЕВИЧ - аспирант кафедры автоматизации и управления Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). E-mail: [email protected]
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ДИАГНОСТИЧЕСКИХ РОБАСТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ
Предложен оригинальный метод построения диагностических робастных наблюдателей для линейных систем. Представлен иллюстративный пример построения такого наблюдателя и результаты его моделирования.
Ключевые слова: линейная система, наблюдатель, невязка, робастность, сингулярное разложение.
Method of linear robust diagnostic observer design. Alexey Suvorov (Far Eastern Federal University, Vladivostok).
The observers' method of robust diagnostic for linear systems is considered. An illustrative example of robust
of such observer and the simulation results are presented.
Key words: linear system, observer, residual, robustness, singular decomposition.
К настоящему времени известно несколько методов построения диагностических наблюдателей: на основе дифференциально-геометрического подхода [9, 12], алгебры функций [5, 7], логико-динамического (ЛД) подхода [1, 4] и др. [6]. Два первых позволяют получить оптимальное решение задачи - минимальную размерность наблюдателя, однако имеют достаточно сложную процедуру поиска решения, поскольку требуют проведения аналитических вычислений. В отличие от них ЛД подход не гарантирует минимальной размерности, но процедура поиска решения на его основе весьма проста.
Одной из важнейших задач, решаемых при диагностировании, является задача обеспечения нечувствительности, или малой чувствительности (робастности), процесса диагностирования к возмущениям, действующим на систему. Поскольку требование нечувствительности является весьма жестким и редко выполнимым на практике, было разработано несколько подходов к построению робастных средств диагностирования: на основе сингулярного разложения матриц, обобщенных собственных чисел, метода множителей Лагранжа [8, 10, 11]. Эти подходы в полной мере применимы только в линейном случае, для нелинейных моделей приходится использовать линеаризацию, что не всегда приемлемо. Так как ЛД подход оперирует линейными методами, то упомянутые подходы к обеспечению робастности применимы к нему в полной мере.
Рассмотрим систему, описываемую линейной моделью
x(t+1) = Fx(t) + Gu(t) + Dd(t) + Lp(t), y(t) = Hx(t). (1)
©Суворов А.Ю., 2012
Здесь х е X, и е и и у е У, и - векторы состояния, управления и выхода, С, Ь, Б и Н - постоянные матрицы, р(1) - неизвестная функция времени, описывающая возмущения на систему; - вектор, описывающий дефекты: при их отсутствии +0, при появлении ё(1) становится неизвестной функцией времени. Описание линейного диагностического наблюдателя имеет следующий вид:
х*^ + 1) = .*х*(1) + С*и(1) +Зу(1) + Кг(1), у*(1) = Н*х*(1), (2)
где х* - пространство состояний наблюдателя, у* - пространство его выходов, К - матрица обратной связи, г(^ - невязка, формируемая в виде г(^ = Ry*(t) для некоторой матрицы R. Предполагается, что при отсутствии дефектов и возмущений г(^ = 0, если дефекты присутствуют, то г(^ Ф 0. Таким образом, невязка дает информацию о наличии или отсутствии дефектов в системе. Для определения матриц R, F*, G, Н* и К предполагается, что при отсутствии дефектов векторы х(^ и х*^) связаны равенством х*(^ = Фх(^ для некоторой матрицы Ф, которая удовлетворяет уравнениям [8, 3]
Ф. = РФ + ЗН, ЯН = Н*Ф, С* = ФС. (3)
Для обеспечения инвариантность невязки г(^ к возмущениям должно выполняться равенство ФЬ = 0. На практике, как правило, матрица Ь такова, что ФЬ Ф 0, поэтому необходимо использовать робастные наблюдатели, методы построения которых изложены в [8, 10, 3]. Степень робастности можно дополнительно повысить за счет усреднения невязки. Можно показать, что в этом случае вклад возмущений в среднее значение невязки определяется величиной ХФ/Ь = 0, где суммирование производиться по строкам матрицы Ф. Нетрудно увидеть, что из равенства ХФ/Ь = 0 следует ФЬ = 0, однако обратное неверно, что означает лучшие робастные свойства в случае усреднения невязки.
Цель настоящей статьи - представить метод построения диагностических наблюдателей, минимизирующих вклад возмущений в среднее значение невязки. Проектирование робастного наблюдателя
Известно[1, 4], что в линейном случае наблюдатель всегда может быть реализован в канонической форме с матрицами
(0 1 0 •••
л =
0 0 1
0
000
0
Н* = (1 0 0
0).
(4)
V" " " У
Для канонической формы (4) выражение (3) можно представить в виде совокупности простых выражений:
ЯН = Ф
1'
Ф. = Фг-1 + З/Н, / = 1, ... , к - 1 ФkF = ЗкН,
(5)
где Ф/ и З/ - /-е строки матриц Ф и З, / = 1, ..., к, к - размерность наблюдателя. Уравнения (5) могут быть преобразованы в одно:
ЯИ.к = З1Н.к-1 + З2И.к-2 + ... + ЗкН (6)
и затем представлены в виде
т м н
к-1
■ (Я - 31 К - Зк)1
(7)
0
Решение последнего однородного алгебраического уравнения при Я Ф 0 позволяет найти минимальную размерность наблюдателя и описывающие его матрицы; такой подход был рассмотрен в [2, 3].
Для решения поставленной задачи предлагается не искать наблюдатель минимальной размерности, а найти все линейно независимые решения уравнения (7) при к = п для Я Ф 0, из которых линейными комбинациями можно образовать любое решение меньшей, чем п размерности. Действительно, если при к < п задача решается, то, предполагая, что число всех линейно независимых решений равно N и линейно их комбинируя, можно получить вариант с ... Jn 0, что соответствует решению размерности к.
Покажем, что линейная комбинация решений уравнения (7) дает соответствующую линейную комбинацию строк матрицы Ф. Действительно, пусть
(Я -/ ... -Уп) = у^Я(1) -У1(1) ... -У/)) + у2(Я(2) -У1(2) ... -Уп(2>) - линейная комбинация двух решений, где У1 и у- - весовые коэффициенты, тогда Я = у1Я(1) + у2Я(2), Ji = у/(1) + у/^2^ г = 1, 2, ..., п. Решением уравнения (7) в силу его однородности является матрица - строка (Я -/ ... -Уп). Тогда Ф1 = Ш = у1Я(1) Н+ v2Я(2)H = v1Ф(1) + ^Ф(2), Ф2 = Ф^Р - /1Н = (у1Ф(1) + v2Ф(2))F - (у1/1(1) + у2/1(2))Я = у^Ф^Р + + У2(Ф/2)Р --/1(2Н) = У1Ф-(1) + у-Ф-(2), для остальных строк - по аналогии. В результате получаем Ф = У1Ф(1) + у-Ф(2), затем это соотношение обобщается на произвольную линейную комбинацию. Обозначим
( ф С1) ^
фЕ = ^ г
ф
( N )
(8)
т.е. ф ^ - матрица, составленная из г-х строк матриц, полученных из всех линейно независимых решений уравнения (7), г = 1, 2, ..., п. Пусть V = (У1 ... - вектор - строка весовых коэффициентов, и Фг = у ... у„)Ф}, г = 1, 2, ..., п. Тогда Х^ФI = (VI ... Щ^Ф? . Обозначим
фЕ =
V п ф ¿->г=1 г
у \ф (*)
¿¿г=1 г
(9)
из предыдущего следует, что 2=1 Ф*Ь = (V ■■■ ^)ФЕЬ . Если строки матрицы ф2£ линейно зависимы, то найдется такой вектор V = у ... у^, что ХГ=1фг^ = 0. В противном случае воспользуемся сингулярным разложением матрицы Ф^, т.е. представлением ее в виде Ф^Ь = Цф • Хф • Уф, где Цф и Уф - ортогональные матрицы; Хф = diag(o 1, ..., ос), 0 < 01 < ... < Ос - сингулярные числа матрицы Ф^Ь, упорядоченные по возрастанию, с - число столбцов матрицы Ь. Тогда наилучшим выбором для вектора V = (У1 ... будет первый транспонированный столбец матрицы Цф.
Алгоритм (построение линейного робастного наблюдателя).
1. Найти все линейно независимые решения однородного алгебраического уравнения (6) в виде множества строк (Я(/) -/1(/) ... -/п(\] = 1, 2, ..., N.
2. Для множества найденных решений с помощью соотношений (5) построить множество строк вида ] - 1, 2, ..., п, г - 1, 2, ..., п.
3. Построить матрицу наити ее сингулярное разложение, принять в качестве вектора V = ... vN) первый транспонированный столбец матрицы Цф и построить строки итоговой матрицы Ф, 3 и К по формулам
' -(1) Л
Ф/ = vФ ?,
3 = V
3)
3,
( N )
О* = ФО
К = V
Я®
К
( N )
I = 1, 2, ... , п •
(10)
4. Выбрать элементы матрицы обратной связи К, обеспечивающей требуемую устойчивость наблюдателя.
Иллюстративный пример
Для упрощения записей будем использовать символы Х+ и х для переменных х(^ + 1) и х(^) соответственно, а также для других аналогичных переменных. Рассмотрим линейную систему, заданную уравнениями
+
+
Х1 = Х1 + Х2 + + Щ + Р1 + Р2, Х2 = Х1 + Хз + Р1
= Х4 + Х6 + и1 + и2 + Р2,
Хз+ = 0,5x1 + и2 + Р2, Х4+ = Х4 + Х5 + иь Х5+
Х6+ = 0,5 Х4 - Х1 + и2 + Р1, = Х1, у = Х4.
Легко убедиться, что система имеет следующее матричное описание:
х + =
1 1 0 0 0 01 Г1 1 > Г1 1
-1 0 1 0 0 0 0 0 1 0
0,5 0 0 0 0 0 0 1 0 1
х + и +
0 0 0 1 1 0 1 0 0 0
0 0 0 -1 0 1 0 1 0 1
-1 0 0 0,5 0 0 У V 0 1У V 1 0
У =
Р
1 0 0 0 0 0^ 0 0 0 1 0 0
X
Примем К(1) = (1 0), К(2) = (0 1), что обеспечит в рассматриваемом случае нахождение всех линейно независимых решений, и построим наблюдатель в канонической форме. Несложно проверить, что для КО) и
К(2)
уравнение (6) имеет решения при минимальном
к = 3 в виде
(1 0)НР3 = (-0,5 0 1 0 0 0) = H1F2 - H1F = 0,5НЬ (1 0Н3 = (-1 0 0 0,5 0 1) = Н2Р2 - Н2Р - Н1 + 0,5Н2
откуда 31(1) = (1 0), 32(1) = (-1 0), 33(1) = (0,5 0), 31(2) = (0 1), 32(2) = (0 -1), 33(3) = (-1 0,5). Из (5) найдем строки матрицы Ф:
Ф1(1) = К(1)Н = (1 0 0 0 0 0), Ф1(2) = К(2)Н = (0 0 0 1 0 0), Ф2(1) = (0 1 0 0 0 0), Ф2(2) = (0 0 0 0 1 0), Ф3(1) = (0 0 1 0 0 0), Ф3(2) = (0 0 0 0 0 1).
Исходя из выражения (8), сложим полученные матрицы:
ФГ =
(1 0 0 0 0 0^ 0 0 0 1 0 0
, ф I =
(0 1 0 0 0 0^ 0 0 0 0 1 0
, ф I =
0 0 1 0 0 0^
0 0 0 0 0 1
У
Найдем матрицу Ф^ согласно (9): (1 1 1 0 0 0^
ФЕ =
0 0 0 1 1 1
Найдем произведение ФЪ L =
(2 2\
U ф =
(- 0,4472 - 0,8944^
v 0,8944 - 0,4472,
^Ф -
1 1
Г 0
и его сингулярное разложение:
v0 3,1623у
Уф =
(- 0,7071 0,7071 ^
v- 0,7071 - 0,7071у
Транспонируя первый столбец матрицы Цф, получаем оптимальный вектор V = (-0,4472 0,8944). Согласно третьему шагу алгоритма построения наблюдателя, необходимо вычислить итоговые матрицы Ф, / и Я:
Ф1 = (- 0,4472 0 0 0,8944 0 0), Ф2 = (0 - 0,4472 0 0 0,8944 0), Ф3 = (0 0 - 0,4472 0 0 0,8944),
Ф
0,4472 0
v
0
0
- 0,4472 0
0 0
0,4472
0,8944 0 0
0
0,8944 0
0 0
0,8944
J1 = (-0,4472 0,8944), J2 = (0,4472 - 0,8944), J3 = (1,118 0,4472), R = (-0,4472 0,8944). Найдя матрицу
^ ( 0,4472 0 0 ^T
G*: G* = ФО = ,
0,4472 0,8944 0,4472)
получим описание линейного наблюдателя:
= x*2 - 0,4472y1 + 0,8944y2 + 0,4472^ - 0,4472m2 , x+2 = x*3 + 0,4472yl - 0,8944y2 + 0,8944м2, x+3 = -1,118 y1 + 0,4472y2 + 0,4472м 2.
(11)
Невязка формируется стандартным образом:
r (t) = -0,4472yx(t) + 0,8944y2(t) - x4(t).
На рис. 1 представлены результаты моделирования системы с построенным наблюдателем при U1 = 0,5 (t < 30), U1 = 1 (t > 30) и U2 = sin (t /10); p(t) - белая последовательность, равномерно распределенная на интервале (0; 0,5). Показано поведение среднего значения невязки r(t) для разных значений коэффициентов обратной связи; сплошной и пунктирной линией обозначены графики, соответствующие наблюдателю без обратной связи и с ней соответственно.
Для проверки того, что вектор v = (-0,4472 0,8944) является наилучшим для рассматриваемой системы, построим наблюдатели с векторами: V1 = (-0,4472 0,8944), v2 = (-0,6 0,75), v3 = (-0,3 1,05), v4 = (-0,6 1,05). Результаты моделирования этих наблюдателей представлены на рис. 2-5.
Из сравнения графиков (рис. 1-5) следует, что вектор v является наилучшим, поскольку среднее значение невязки r(t) для него в установившемся режиме равно нулю, для остальных векторов оно отличается от нуля.
0
Рис. 1. Поведение среднего значения невязки для V = (-0,4472 0,8944), К1 = 0,15, К2 = 0,16, К3 = 0,17 К1 = -0,23, К2 = -0,24, К3 = -0,25
Рис 2. Поведение среднего значения невязки для V! = (-0,3 0,75), К1 = 0,15, К2 = 0,16, К3 = 0,17; К1 = - 0,23,
К2 = -0,24, К3 = -0,25
Рис 3. Поведение среднего значения невязки для V2 = (- 0,6 0,75), К1 = 0,15, К = 0,16, К3 = 0,17; К1 = - 0,23,
К2 = -0,24, К3 = -0,25
Рис. 4. Поведение среднего значения невязки для Vз = (- 0,3 1,05), К1 = 0,15, К = 0,16, К3 = 0,17; Кх = - 0,23,
К2 = -0,24, К3 = -0,25
Рис 5. Поведение среднего значения невязки для V4 = (- 0,6 1,05), К1 = 0,15, К2 = 0,16, К3 = 0,17; К1 = - 0,23, К2 = -0,24, К3 = -0,25
Итак, в работе предложена оригинальная процедура построения диагностических ро-бастных наблюдателей для линейных систем, позволяющая в отличие от известных работ минимизировать влияние помехи на среднее значение невязки. Приведен пример построения наблюдателя для линейной модели исходной системы. Результаты моделирования подтвердили теоретические положения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Жирабок А.Н. Нелинейные соотношения паритета: логико-динамический подход // Автоматика и телемеханика. 2008. № 6. С. 160-174.
2. Жирабок А.Н. Функциональное диагностирование на основе соотношений паритета // Автоматика и телемеханика. 1998. № 2. С. 133-143.
3. Жирабок А.Н., Кучер Д.Н., Филаретов В.Ф. Обеспечение робастности при диагностировании нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2010. № 1. С. 159-173.
4. Жирабок А.Н., Усольцев С.А. Линейные методы при диагностировании нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2000. № 7. С. 149-159.
5. Жирабок А.Н., Шумский А.Е. Функциональное диагностирование непрерывных динамических систем, описываемых уравнениями с полиномиальной правой частью // Автоматика и телемеханика. 1987. № 8. С. 154-164.
6. Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем. М.; СПб.: Изд-во МГУ: ГРИФ, 1998. 256 с.
7. Шумский А.Е. Поиск дефектов в нелинейных системах методом функционального диагностирования // Автоматика и телемеханика. 1991. № 12. С. 148-155.
8. Frank P. Fault diagnosis in dynamic systems using analytical and knowledge-based redundancy. A survey and some new results // Automatica. 1990. V 26. Р. 459-474.
9. Join C., Ponsart J-C., Sauter D. Sufficient conditions to fault isolation in nonlinear systems: a geometric approach // Proc. 15th IFAC World Congr. Automat. Control. Barcelona, 2002 [CDROM].
10.Lou X., Willsky A., Verghese G. Optimally robust redundancy relations for failure detection in uncertain systems // Automatica. 1996. V 22. P. 333-344.
11.Patton R. Robust model-based fault diagnosis: the state of the art // Proc. IFAC Sympos. SAFEPROCESS'94, Espoo, Finland, 1994. Espoo, 1994. P. 1-24.
12.Shumsky A. Ye., Zhirabok A. N. Nonlinear diagnostic filter design: Algebraic and geometric points of view // Int. J. Appl. Math. Computer Sci. 2006. V. 16. N. 1. P. 115-127.
