О пересечении максимальных подгрупп конечных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

О ПЕРЕСЕЧЕНИИ МАКСИМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП КОНЕЧНЫХ ГРУПП

© 2009 М.В. Селькин,1 Р.В. Бородич2

В данной работе установлено строение нормальных подгрупп в ©-фраттиниевых расширениях, где © — функтор; для локальной формации Фиттинга содержащей все нильпотентные группы, показано, что в разрешимой группе пересечение ^-абнормальных максимальных ©-подгрупп, не содержащих ^-радикал и не принадлежащих совпадает с пересечением ^-абнормальных максимальных ©-подгрупп и принадлежит формации

Ключевые слова: группа, локальная формация, формация Фиттинга, т-функтор, абнормальная максимальная подгруппа.

1. Предварительные сведения

В теории конечных групп хорошо известна классическая работа Фрат-тини [1], получившая свое развитие в различных направлениях. В работе [2] Гашюцем исследовались пересечения абнормальных максимальных подгрупп. Дескинс [3] описал пересечения максимальных подгрупп с ограничениями на индексы. Пересечение всех ненильпотентных максимальных подгрупп изучил Л.И. Шидов [4]. В.А. Ведерников и Н.Г. Дука [5] установили строение пересечения всех абнормальных ненильпотентных максимальных подгрупп группы. В.С. Монахов [6] исследовал пересечение максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фитинга.

Следующий этап в исследовании данного направления связан с развитием теории формаций и введением понятия ^-абнормальной максимальной подгруппы (Картер, Хоукс [7], Л.А. Шеметков [8]). Пересечения таких максимальных подгрупп для разрешимых групп изучил В.В. Шлык [9], а для произвольных групп — Л.А. Шеметков [8] и М.В. Селькин [10]. Далее пересечения различных ^-абнормальных подгрупп группы были детально рас-

хСелькин Михаил Васильевич ([email protected]), кафедра высшей математики Гомельского государственного университета им. Франциска Скорины, 246019, Беларусь, г. Гомель, ул. Советская, 104.

2Бородич Руслан Викторович ([email protected]), начальник научно-исследовательского сектора Гомельского государственного университета им. Франциска Скорины.

смотрены Л.А. Шеметковым и А.Н. Скибой [11], М.В. Селькиным [10], Бал-лестером-Болинше и Перес-Рамош [12] и др.

Дальнейшее развитие теории пересечений максимальных подгрупп связано с применением функторного метода (М.В. Селькин [10], С.Ф. Камор-ников [13], А.Н. Скиба [14], А.Ф. Васильев [15]).

Данная работа посвящена объединению формационного и функторного методов в исследовании пересечений максимальных подгрупп.

Все рассматриваемые группы конечны. Мы придерживаемся терминологии, принятой в монографиях [10, 13, 14, 16], m-функтором называется функция В, которая сопоставляет каждой группе G некоторое множество B(G) ее максимальных подгрупп и саму группу G. При этом предполагаем, что если M G B(G), то Mx G B(G) для всех x G G.

Если В — некоторый m-функтор, то через 0 будем обозначать дополнительный к В m-функтор, т. е. M G 0(G) тогда и только тогда, когда максимальная подгруппа M группы G не входит в B(G) и всегда G G О (G).

Максимальная подгруппа, не являющаяся нормальной, называется аб-нормальной.

Напомним, что классом групп называют всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой G и все группы, изоморфные G.

Класс групп называют нормально наследственным, если вместе с каждой своей группой G он содержит все нормальные подгруппы группы G.

Класс групп F называется формацией, если выполняются следующие условия:

1) если G G F и N<G, то G/N G F;

2) если G/Ni G F и G/N2 G F, то G/Ni П N2 G F.

Отображение f класса G всех групп в множество классов групп называют экраном, если для любой группы G выполняются следующие условия:

1) f(G) — формация;

2) f (G) Ç f (G^) П f (Кегф) для любого гомоморфизма ф группы G;

3) f(1) = G.

Экран f называют локальным, если для любого простого числа р он принимает одинаковые значения на всех неединичных р-группах, и f (G) =

= П pen(G) f (P) для любой группы G.

Формацию F называют локальной, если она имеет хотя бы один локальный экран.

Пусть F — формация. Тогда через обозначается F-корадикал группы G — пересечение всех нормальных подгрупп N группы, для которых G/N G F. Если F — формация, замкнутая относительно произведений нормальных F-подгрупп, то наибольшую нормальную F-подгруппу называют F-радикалом группы G и обозначают G#.

Максимальная подгруппа M группы G называется F-нормальной (F-абнормальной), если

содержится (не содержится) в M.

На множестве m-функторов операция пересечения определяется следующим образом (Bi П B2)(G) = Bi(G) П B2(G).

Определение 1. m-функтор может быть следующим:

1) тривиальным, если B(G)\{G} — множество всех максимальных подгрупп группы G;

2) абнормально полным, если множество 0(G) содержит все абнормаль-ные максимальные подгруппы группы G вместе с самой группой G;

3) F-абнормальным, если в группе G m-функтор В выделяет все F-абнормальные максимальные подгруппы группы G вместе с самой группой G;

4) N-свободным, если в группе G m-функтор В выделяет все максимальные в G подгруппы, не содержащие нормальную подгруппу N группы G, вместе с самой группой G.

m-функтор В называется регулярным, если выполняются следующие условия:

1) из N <iG и M е B(G) следует MN/N е B(G/N);

2) из M/N е B(G/N) следует M е B(G).

Если В — m-функтор и M е B(G), то M будем называть В-подгруппой группы G. Обозначим через Ф©^) и назовем В-подгруппой Фраттини пересечение всех В-подгрупп группы G. Если m-функтор В тривиальный, то В-подгруппа Фраттини совпадает с подгруппой Фраттини Ф^).

Формация Фиттинга — это нормально наследственная формация F, замкнутая относительно произведений нормальных F-подгрупп.

Введение на множестве m-функторов операций объединения и пересечения позволяет конструировать новые примеры m-функторов и В-подгрупп Фраттини.

Определение 2. Пусть F — формация, N — нормальная подгруппа группы G, m-функтор Ф = В П В1 П В2 П В3, где В — произвольный m-функтор, В1 — F-абнормальный m-функтор, В2 — m-функтор, выделяющий в группе множество всех максимальных ее подгрупп, не принадлежащих формации F, В3 — N-свободный m-функтор. Тогда соответствующую Ф-подгруппу Фраттини Фф^) группы G, равную пересечению F-абнормальных максимальных В-подгрупп группы, не принадлежащих формации F и не содержащих нормальную подгруппу N, будем обозна-

_F

чать через Ф©^(G). Если N = G#, F — формация, замкнутая относительно произведений нормальных F-подгрупп, то указанное пересечение обозначим

через Ф©_ (G).

gf

Рассмотрим частные случаи. Если вместо m-функтора В рассмот-

—F

реть тривиальный m-функтор, то Фф^) = Ф^ (G) — пересечение всех F-абнормальных максимальных подгрупп группы G, не принадлежащих формации F и не содержащих нормальную подгруппу N. В случае, когда F — формация еденичных групп, строение указанной подгруппы исследовалось в работах [10, 17]. Если вместо m-функтора В2 рассмотреть тривиальный m-функтор, то Ф = В П В1 П В3 и Фф^) = Ф©_(G) — пересечение F-абнормальных максимальных В-подгрупп группы, не содержащих нор-

мальную подгруппу N. В случае, когда N совпадает с F-корадикалом группы G, строение указанной подгруппы рассматривалось в работе [18]. Если

_F

вместо ©з взять тривиальный m-функтор, то Фф(С) = Ф@(С) — пересечение всех F-абнормальных максимальных В—подгрупп группы G, не принадлежащих формации F [18]. Если теперь вместо В2 и Вз взять тривиальные m-функторы, то Фф (G) = Ф© (G) — пересечение всех F-абнормальных максимальных в G В—подгрупп [18]. Если m-функтор В выделяет все абнор-мальные максимальные подгруппы группы G, то в этом случае подгруппа Ф©^) совпадает с пересечением максимальных подгрупп, которые одновременно являются F-абнормальными и N-абнормальными, где N — формация всех нильпотентных групп, которую будем обозначать Фд(G) [18]. Если вместо m-функтора В рассмотреть тривиальный m-функтор, то подгруппа Ф©^) совпадает с подгруппой AF(G) см. [10, 13, 14] и др., а если к тому же F — формация всех нильпотентных групп, то подгруппа Ф©^) совпадает с подгруппой Гашюца A(G) [2], равной пересечению всех абнор-мальных максимальных подгрупп группы G.

Всегда полагаем, что пересечение пустого множества подгрупп из G совпадает с самой группой G.

В общем случае подгруппа Фд^) отлична от подгруппы AF(G).

Пример. Пусть F — формация единичных групп, G — группа, в которой A(G) = Ф^). Тогда в группе G существуют как N-нормальные, так и N-абнормальные, а также F-абнормальные подгруппы группы G.

Нам понадобятся следующие результаты, которые мы сформулируем в виде лемм.

Лемма 1 [17, лемма 1]. Пусть В — абнормально полный m-функтор, K ^ N<lG, K<G, K ^ Ф©^). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если N/K п-замкнута, то и N п-замкнута;

2) Op(N/K) = Op(N)/K.

Лемма 2 [16, лемма 4.5]. Пусть f — локальный экран формации F. Группа G тогда и только тогда принадлежит F, когда G/Fp(G) G f (p) для любого p G n(G).

Лемма 3 [17, теорема 1]. Пусть F = LF(f) — локальная формация и В — абнормально полный m-функтор. Если N — нормальная подгруппа группы G и N/N П Ф©^) G F, тогда N представима в виде прямого произведения N = N1 х N2, множители которого удовлетворяют следующим условиям:

1) N1 g F;

2) n(N2) п n(F) = 0;

3) N2 < Ф©(G).

Лемма 4 [16, теорема 4.7]. Пусть f — максимальный внутренний локальный экран формации F. Формация F S -замкнута (Sn-замкнута) тогда и только тогда, когда для любого простого p формация f (p) S-замкнута (5га-замкнута).

Лемма 5 [17, теорема 3]. Пусть F — Sra-замкнутая локальная формация, В — абнормально полный регулярный m-функтор. Тогда Ф©^) = = A х B, где A G F, B < Ф©(G), п(В) П n(F) = 0.

Лемма 6. Пусть F — ступенчатая формация, В — абнормально полный регулярный m-функтор, K — некоторая нормальная подгруппа группы G. Пусть каждая максимальная В-подгруппа группы G, не содержащая K, является F-нормальной. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) K П Gf < Ф©^);

2) K/K П Ф©(^ < Zf(G/(K П Ф©(G))).

Доказательство. Очевидно, KП GF содержится во всех максимальных В-подгруппах, содержащих GF и не содержащих GF, а следовательно, и в Ф©^).

Пусть R/S — главный фактор группы G, причем R ^ K, KПФ©^) ^ S. Так как

R П Gf < K П Gf < S,

то имеем G-изоморфизм

RGf/SGf - R/(R П SGf) = R/S(R П GF) = R/S.

Так как G/SGF G F, то RGF/SGF F-централен в G/SGF, а значит, ив G. Но тогда R/S F-централен в G. Лемма доказана.

2. Основные результаты

Теорема 1. Пусть F — нормально наследственная локальная формация, В — абнормально полный регулярный m-функтор, N — нормальная подгруппа группы G. Если N/N П Ф©^) G F, то N представима в виде прямого произведения N = N1 х N2, множители которого удовлетворяют условиям:

1) N1 G F;

2) n(N2) п n(F) = 0;

3) N2 < Ф©^).

Доказательство. Применим индукцию по порядку группы G. Предположим, что Ф©^) = 1. Тогда для G/Ф©^) теорема верна, и N/Ф©^) = = N;l^©(G) х N2^©(G). Остается показать, что N1 G F. Пусть p G n(N1). Так как N1 ^©(G) G F, то, используя лемму 1 и лемму 2, получаем

(N1^©(G))/FP(N1^©(G)) = N1^©(G)/FP(N0^©(G) -- N1/Fp(N1) G f (p). Так как последнее справедливо для любого p G n(N1), то по лемме 2 подгруппа N1 входит в F.

В результате индуктивных рассуждений можно считать, что n(N1) С С n(F) и N2 = 1. Поэтому необходимо доказать, что N = N1 G F.

Пусть K = N П Ф©^). Каждая максимальная В-подгруппа, не содержащая K, содержит Следовательно, ввиду леммы 6 имеем

K/K П Ф©^) < Z£(G/K П Ф©(G)).

Если K П Ф©^) = 1, то по индукции N/K П Ф©(G) е F, а значит, согласно лемме 3 N е F.

Пусть K П Ф©^) = 1. Тогда подгруппа K F-гиперцентральна в группе G. Докажем, что K F-гиперцентральна и в подгруппе N. Пусть L/S — G-главный pd-фактор группы K. Тогда G/C е f(p), где C = Cg(L/S), f — максимальный внутренний локальный экран формации F. Так как по лемме 4 формация f(p) является нормально наследственной, то

NC/C ~ N/Cn(L/S) е f (p).

Следовательно, подгруппа N f-стабилизирует G-главный ряд группы K. Это означает, что K ^ Z^, (N). Отсюда и из N/K е F вытекает, что N е F. Теорема доказана.

Следствие 1.1. Пусть F — нормально наследственная локальная формация, содержащая все нильпотентные группы, В — абнормально полный регулярный m-функтор, N — нормальная подгруппа группы G. Если N/N п Ф©^) е F, то N е F.

Следствие 1.2. Пусть F — нормально наследственная локальная формация, N — нормальная подгруппа группы G. Если N/N П Фд^) е F, то N представима в виде прямого произведения N = N1 х N2, множители которого удовлетворяют условиям:

1) N1 е F;

2) ^(N2) п n(F) = 0;

3) N2 < A(G).

В случае, когда m-функтор является тривиальным, то из теоремы 1 следует результат работы [10].

Замечание. Условие нормальной наследственности локальной формации в теореме является существенным, и его отбросить нельзя. Действительно, если формация F не является нормально наследственной, то в ней найдется такая группа G, у которой некоторая нормальная подгруппа N не входит в F. Так как G е F, то Ф©^) = G. Поэтому N/N П Ф© (G) = = N/N е F. Но отсюда не следует, что N е F.

Теорема 2. Пусть F — формация, В — абнормально полный регулярный m-функтор. Если в группе G существуют F-абнормальные максимальные В-подгруппы, не принадлежащие F, то пересечение всех таких подгрупп совпадает с Ф©^).

_F

Доказательство. Предположим, что пересечение Ф©^) всех F-абнормальных максимальных В-подгрупп группы G, не принадлежащих формации F, совпадает с подгруппой Ф© (G). Так как

Ф©^) < Ф© (G) < Ф© (G),

то Ф©(ф = Ф©(ф.

_£ _

Пусть Ф©(О) не совпадает с подгруппой Ф©(О). Тогда О = МФ©(О),

где М — некоторая максимальная в-подгруппа группы О. Если М £

—3 —3

то О/Ф ©(О) £ Отсюда Ф©(О) содержится только в тех максимальных

в-подгруппах, которые содержат О3, что невозможно. Поэтому М не входит в ^ и является максимальной в-подгруппой, содержащей О3. Итак, всякая максимальная в-подгруппа, не содержащая Ф©(О), содержит О3. Следовательно, Ф©(О) ^ Ф©(О). Теорема доказана.

Следствие 2.1. Пусть ^ — нормально наследственная локальная формация, содержащая все нильпотентные группы, в — абнормально полный регулярный т-функтор. Если в группе О существуют ^-абнормальные максимальные в-подгруппы, не принадлежащие то пересечение всех таких подгрупп Ф© (О) принадлежит

В случае, когда в — тривиальный т-функтор из теоремы 2, получаем результат работы [10].

Теорема 3. Пусть ^ — локальная формация Фиттинга, содержащая все нильпотентные группы, в — абнормально полный регулярный т-функтор. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Ф© (О) ^ О^; если О — разрешимая неединичная группа, то

Ф © (О) < О#;

2) (О/Ф©(О))^ = О^/Ф©(О).

Доказательство. Из леммы 5 следует, что Ф©(О) £ Следовательно, Ф©(О) ^ О#. Пусть О — разрешимая неединичная группа. Тогда О/Ф©(О) разрешима и неединична. Пусть /Ф © (О) — минимальная нормальная подгруппа в О/Ф©(О). Так как /Ф©(О) — р-группа для некоторого простого р, а ^ — нормально наследственная локальная формация, содержащая все нильпотентные группы, то по лемме 5 £ а это значит, что К ^ О#. Следовательно, Ф©(О) ^ О^.

Если (О/Ф©(О))^ = /Ф©(О), то на основании теоремы 1 £ поэтому К ^ О и (О/Ф©(О))^ ^ О3/Ф©(О). Обратное включение следует из определения ^-радикала.

Следствие 3.1. Пусть ^ — локальная формация Фиттинга, содержащая все нильпотентные группы. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Ф3(О) ^ О^; если О — разрешимая неединичная группа, то

Ф3(О) < О^;

2) (О/Ф3(О))3 = О^/Ф*(О).

Теорема 4. Пусть ^ — локальная формация Фиттинга, содержащая все нильпотентные группы, О — разрешимая группа, в — абнормально полный регулярный т-функтор. Тогда справедливы следующие утверждения:

Ф©_ (О) = Ф © (О), а если О — не ^-группа, то Ф© (О) £ £2.

©с® © ©с®

Доказательство. Подгруппы Ф©_ (О) и Ф© (О) являются характе-

ристическими в О и

Ф I (О) П ф|с (О) = Ф|(О).

Для фактор-группы О/Ф|(О) выполняется, что

(О/Ф| (О))* = о*/ф| (О).

Поэтому

Ф^ (О/Ф|(О)) = Ф|_ (О)/Ф|(О).

Предположим, что Ф |_ (О)/Ф| (О) = 1. Пусть К/Ф| (О) — минимальная

нормальная подгруппа в О/Ф|(О), содержащаяся в Ф |_ (О)/Ф |(О). Так

как ^ 5 то К/Ф|(О) € и по теореме 1 К £ Следовательно, К ^ О^. Тогда

К < Ф|^ (О) П Ф|% (О)

получили противоречие. Значит, допущение неверно, и Ф |_ (О)/Ф| (О) = = 1, а значит, Ф |_ (О) = Ф|(О).

Пусть О — разрешимая не ^-группа. Из того, что Ог ^ Ф| (О)Ог и

Ф| % (О)/О# = Ф| (О/О#),

^ (П\ г-

следует, что подгруппа Ф | (О) € З2

Следствие 4.1. Пусть ^ — локальная формация Фиттинга, содержащая все нильпотентные группы, В — абнормально полный регулярный т-функтор, О — разрешимая группа.

Тогда Ф|_ (О) €

Если т-функтор является тривиальным, то имеет место следующее

Следствие 4.2. Пусть ^ — локальная формация Фиттинга, содержащая все нильпотентные группы. Тогда для разрешимой группы О справедливы следующие утверждения:

1) Ф| (О) = Д*(О);

2) если О £ то Ф^ (О) € £2.

Следствие 4.3. Пусть ^ — локальная формация Фиттинга, содержащая все нильпотентные группы. Тогда в разрешимой группе О подгруппа Ф^ (О) принадлежит

Если т-функтор выделяет все абнормальные максимальные подгруппы группы О, а формация ^ совпадает с формацией всех нильпотентных групп, то из теоремы 4 получаем

Следствие 4.4. В разрешимой группе О пересечение абнормальных максимальных подгрупп, не содержащих ^(О), совпадает с Д(О), а пересечение абнормальных максимальных подгрупп, содержащих ^(О), мета-нильпотентно.

Из следствия 4.4 вытекает соответствующий результат работы [6].

Теорема 5. Пусть F — локальная формация Фиттинга, содержащая все

нильпотентные группы, В — абнормально полный регулярный m-функтор,

—F —F f

G — разрешимая группа. Если Ф@_ (G) = G, то Ф @_ (G) = Ф@(G) G F.

gf gF

Доказательство. Пусть G обладает F-абнормальными максимальными В-подгруппами, не принадлежащими F и не содержащими F-радикал. Несложно заметить, что

Ф@(G) < Ф@(G) < Ф@_ (G),

gF

F _F

и согласно теореме 2 Ф@ (G) = Ф@^).

_F _f

Пусть подгруппа Ф@_ (G) не совпадает с подгруппой Ф@(G). Тогда

gf

—F —F —F

Ф@_ (G)/Ф@(G) = 1 и пусть K^@(G) — минимальная нормальная под-

gF

—F —F —F

группа в G^@(G), содержащаяся в Ф@_ (G)/Ф@(G). Так как F 5 N, то

gF

_F

K^@(G) G F. Тогда из теорем 1 и 2 следует, что K G F. Следовательно, _F _f

K ^ Gf. Тогда K ^ Ф@— (G) П Ф @ (G). Получили противоречие. Значит,

gF gF

—F —F —F

допущение неверно, и Ф@_ (G)^@(G) = 1. Следовательно, Ф@_ (G) =

gF gF

f —F

= Ф@(G). Применяя лемму 5, получаем, что Ф@_ (G) G F.

gF

В случае, когда В — тривиальный m-функтор, то из теоремы 5 получаем

Следствие 5.1. Пусть F — локальная формация Фиттинга, содержащая

_F

все нильпотентные группы, G — разрешимая группа. Если Ф^ (G) = G,

то Ф§5 (G) = Af(G) g F.

Если m-функтор В выделяет все абнормальные максимальные подгруппы группы G, F — формация всех нильпотентных групп, тогда из теоремы 4 получаем

Следствие 5.2. Пусть G — разрешимая группа. Если в группе G существуют ненильпотентные абнормальные максимальные подгруппы, не содержащие подгруппу Фиттинга F(G), то пересечение всех таких подгрупп совпадает с подгруппой Гашюца A(G).

Из следствия 5.2 вытекает результат В.С. Монахова из работы [6].

Литература

[1] Frattini G. Intorno alla generasione dei gruppi di operazioni //Atti Acad. dei Lincei. 1885. V. 1. P. 281-285.

[2] Gaschütz W. Uber die Ф-Untergruppen endlicher Gruppen // Math. Z. 1953. Bd. 58. S. 160-170.

[3] Deskins W.E. A condition for the solvability of a finite group // Ill.J.Math. 1961. V. 5. № 2. P. 306-313.

[4] Шидов Л.И. О максимальных подгруппах конечных групп // Сиб. мат. ж. 1971. Т. 12. № 3. С. 682-683.

[5] Ведерников В.А., Дука Н.Г. Конечные группы с обобщенной подгруппой Фраттини //IX Всесоюз. алгебраич. коллоквиум: материалы. Гомель, 1968. С. 44.

[6] Монахов В.С., Селькин М.В. О строении нормальных подгрупп конечных групп // Вопросы алгебры. 1993. С. 96-100.

[7] Carter R., Hawkes T. The F-normalizers of a finite soluble group // J.Algebra. 1967. V. 5. № 2 P. 175-202.

[8] Шеметков Л.А. Ступенчатые формации групп // Матем. сб. 1974. Т. 94. № 4. C. 628-648.

[9] Шлык В.В. О пересечении максимальных подгрупп в конечных группах // Мат. заметки. 1973. Т. 14. № 3. С. 429-439.

[10] Селькин М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. Минск: Бел. навука, 1997. 144 с.

[11] Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989. 253 с.

[12] Ballester-Bolinches A., Perez-Ramos M.D. On F-subnormal subgroups and Frattini-like subgroups of a finite group // Glasgow Math. J. 1994. V. 36. P. 241-247.

[13] Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Бел. навука, 2003. 254 с.

[14] Скиба А.Н. Алгебра формаций. Минск: Бел. навука, 1997. 240 с.

[15] Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы: материалы междунар. алгебр. конф. Киев, 1993. С. 27-54.

[16] Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 267 с.

[17] Селькин М.В., Сидоров А.В. Некоторые обобщения подгруппы Фраттини // Вопросы алгебры. 1996. Вып. 9. С. 138-143.

[18] Бородич Р.В., Бородич Е.Н. О пересечении F-абнормальных максимальных в-подгрупп // Вести НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. 2007. № 3. C. 47-52.

Поступила в редакцию 21/V77/2009;

в окончательном варианте — 21/V77/2009.

ABOUT THE INTERSECTION OF THE MAXIMAL SUBGROUPS OF FINITE GROUPS

© 2009 M.V. Selkinf R.V. Borodich4

The structure of normal subgroups in ©-frattini expansions is established in the given work. Local Fitting F formation contains all nilpotent groups. For this formations we show that in solvable group the intersection F-abnormal maximal ©-subgroups, which don't contain F-radical and don't belong to F, coincides with the intersection F-abnormal maximal ©-subgroups and belongs formation F.

Key words: group, local formation, Fitting formation, m-functor, abnormal maximal subgroup.

Paper received 21/VT7/2009. Paper accepted 21/V7//2009.

3Selkin Michail Vasilievich ([email protected]), Dept. of Higher Mathematics, Gomel State University F. Skoriny by name, Gomel, 246019, Belarus.

4Borodich Ruslan Victorovich ([email protected]), Research Sector, Gomel State University F. Skoriny by name, Gomel, 246019, Belarus.