О пересечениях максимальных подалгебр разрешимых конечномерныхалгебр Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.55

О ПЕРЕСЕЧЕНИЯХ МАКСИМАЛЬНЫХ ПОДАЛГЕБР РАЗРЕШИМЫХ КОНЕЧНОМЕРНЫХАЛГЕБР ЛИ

А.Ф. Васильев, A.B. Сыроквашин

Подалгеброй Фратгини конечномерной алгебры Ли называется пересечение всех ее максимальных подалгебр. В работе исследуются пересечения различных семейств максимальных подалгебр разрешимых конечномерных алгебр Ли, не содержащих нильрадикал. Доказано, что в разрешимой конечномерной алгебре Ли подалгебра Фратгини совпадает с пересечением всех ее максимальных подалгебр данного вида.

Ключевые слова: конечномерная алгебра Ли, максимальная подалгебра, идеал, подалгебра Фраттини, нильрадикал, ш-функтор.

Введение

В 1885 году Фраттиии в [8] впервые исследовал подгруппу, равную пересечению всех максимальных подгрупп конечной группы, называемую сейчас подгруппой Фраттини. В 1953 году Гашюц [9] изучил свойства пересечения ненормальных максимальных подгрупп. Различные типы пересечений максимальных подгрупп конечных групп исследовали многие авторы: Дескинс, Бейдлеман, Л.И. Шидов, В.И.Ведерников и Н.Г.Дука и др. Следующий этап в развитии данного направления связан с возникновением теории формаций и введением понятия F-абнормальной максимальной подгруппы. Теория пересечений подгрупп данного вида в классе конечных разрешимых групп была построена В.В. Шлыком в [1], а для произвольных конечных групп Л.А.Шеметковым [2] и М.В.Селькиным (см. [3, с. 89100]). Новый этап развития теории пересечений максимальных подгрупп связан с развитием теории подгрупповых функторов, полученные здесь результаты отражены в монографиях М.В. Селькина [3] и С.Ф.Каморникова и М.В. Селькина [4].

Развитие теории пересечений максимальных подалгебр конечномерных алгебр Ли берет старт с работ Маршала [10], Барнса [11], Тауэрса [12] и в настоящее время еще существенно отстает от соответствующей теории для конечных групп. Многие теоретико-групповые результаты хотя и имеют аналоги в алгебрах Ли (особенно в теории разрешимых конечномерных алгебр Ли), однако во многих случаях не могут быть прямо перенесены.

Основная цель настоящей настоящей работы - получить для разрешимых конечномерных алгебр Ли аналоги результатов В.С.Монахова [5-6] о пересечениях максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

1 Предварительные результаты

В работе рассматриваются только конечномерные алгебры Ли над полем P. Обозначения и терминалогия соответствуют [7].

Определение 1.1. Подалгебра M называется максимальной подалгеброй алгебры Ли L, если M Ф L и из строгого включения M ^ P, где P - подалгебра из L, следует, что P = L.

Определение 1.2. Пусть {Ma,a е I} - (возможно пустое) множество максимальных подалгебр в L. Подалгебра Фраттини O(L) определяется, как сама L, если I пусто, и как пересечение O(L) = <^aGlMa в противномслучае.

Если M - подалгебра из алгебры Ли L , то ML обозначает максимальный идеал алгебры Ли L ,

содержащийся в M . Цоколь алгебры Ли L , т.е. сумма всех ее минимальных идеалов, обозначается так: Soc(L) . Через N(L) будем обозначать нильрадикал алгебры Ли L .

Теорема 1.3. (Тауэре, [12]) Пусть L - конечномерная алгебра Ли, O(L) = Ф, <p(L) = ф, N(L) = N. Тогда (р(L / (р) = {о}, а также

1) фп N = N2;

2) N(L/ф) = N/ф = Soc(L/ф);

3) Идеал N / ф дополняем в L / ф, т. е. для некоторой подалгебры M / ф из L / ф справедливо L/ф = N/ф® M/ф.

Лемма 1.4. Пусть L - алгебра Ли над полем P. Тогда

1) если M - подалгебра в L такая, что L = M + A , где A - абелев минимальный идеал в L , то M является максимальной подалгеброй в L и L = M © A ;

2) если M - максимальная подалгебра из алгебры Ли L и A - абелев минимальный идеи L , не содержащийся в M, то L = M © A .

Доказательство. Докажем сначала 1). Пусть P - максимальная подалгебра в L , содержащая M . Тогда из тождества Дедекинда P = M + P n A. Из абелевости идеала A имеем, что P n A - идеал в L . Из минимальности идеала A следует P о A = {о}. Тогда P = M и M о A = {о}. Утверждение 2) следует из 1). Лемма доказана.

Лемма 1.5. Пусть L - разрешимая алгебра Ли над полем P и M - максимальная подалгебра из L такая, что L = M + A, где A - минимальный идеал в L . Пусть Soc(L) Ф A . Тогда ML Ф {о}.

Доказательство. Из 2) леммы 1.4 следует, что L = M © A . Заметим, что Soc(L) n M *{0}. Из разрешимости алгебры Ли L следует, что идеал Soc( L) абелев. Отсюда и из L = Soc (L ) + M следует, что Soc(L) О M - идеал в L . Тогда ML Ф {о}. Лемма доказана.

Лемма 1.6. Пусть L - разрешимая алгебра Ли над полем P, и M - максимальная подалгебра в L такая, что ML = {о}. Тогда L имеет единственный минимальный идеал N, причем L = M © N

и CL (N) = N .

Доказательство. Если dim(L) = 1, то CL (N) = N = L и лемма верна. Пусть теперь dim(L) ^ 1. Пусть M - максимальная подалгебра в L такая, что ML = {о}. Из разрешимости L следует, что в ней найдется абелев минимальный идеал N . Ввиду 2) леммы 1.4 получаем, что L = M © N . Так как ML = {о}, то из леммы 1.5 следует, что N - единственный минимальный идеал в L .

Докажем теперь, что CL (N) = N . Включение CL (N) 3 N следует из абелевости идеала N. Допустим, что CL (N) 3 N . Тогда CL (N) П M Ф {о}. Пусть о Ф y е CL (N) о M и z е L . Тогда z = m + n, где m е M , n e N . Далее zy = my e CL (N) о M . Следовательно, CL (N) о M - идеал в L

и CL (N) оM с ML = {о}. Получили противоречие с CL (N) 3 N . Лемма доказана.

Лемма 1.7. Пусть L - разрешимая алгебра Ли над полем P и M - подалгебра в L такая, что L = Soc(L) 0 M . Тогда CL (Soc(L)) = Soc(L).

Доказательство. Так как идеал Soc(L) абелев, то Soc(L) с CL (Soc(L)). Предположим, что CL (Soc(L)) Ф Soc(L). Выберем произвольный элемент х е CL (Soc(L)) \ Soc(L). Тогда x = n + m, где n e Soc(L), m e M . Далее xa = na + ma = ma для всякого элемента a e Soc(L) . Из xa = о следует, что ma = о. Тогда m е CL (Soc( L)) о M . Из L = Soc(L) 0 M следует, что CL (Soc(L)) оM с ML = {о}. Тогда m = о и x = n e Soc(L). Получили противоречие с выбором х. Тогда CL (Soc(L)) = Soc(L). Лемма доказана.

Лемма 1.8. Пусть L - алгебра Ли над полем P и N - абелев идеал в L. Тогда для любого элемента n е N эндоморфизм 1 + adn пространства L является автоморфизмом алгебры Ли L .

Доказательство. Выберем произвольные элементы x, y е L , n е N . Из абелевости идеала N следует, что

(x(1 + adn))(y(1 + adn)) = (x + xn)(y + yn) = xy + (xn)y + x(yn). Из тождества Якоби имеем x(yn) = -n(xy) - y(nx) = -n(xy) - (xn)y . Откуда (x + xn)(y + yn) = xy - n(xy) = xy + (xy)n = (xy)(a + adn) .

Выберем произвольные элементы x, y , z из образа алгебры Ли L при отображении 1 + adn . Пусть a, b , c - произвольные элементы из L , такие что a(1 + adn) = x, b(1 + adn) = y, c(1 + adn) = z . Тогда (xy)z + (yz)x + (zx)y есть образ элемента (ab)c + (bc)a + (ca)b - о. Поэтому (xy)z + (yz)x + (zx)y = о . Заметим, что отображение 1 + adn взаимно однозначно (обратное к нему

1 — adn ) . Поэтому 1 + adn - автоморфизм алгебры Ли L . Лемма доказана. 2 Обобщенная подалгебра Фраттини

Определение 2.1. Назовем m -функтором на классе алгебр Ли над полем P отображение в,

^.юторое ставит в соответствие каждой алгебре Ли Ь некоторое подмножество ее максималъ.. подалгебр и саму алгебру Ли Ь .

Данное подмножество обозначим через 0(Ь) . Из определения Ь е 0(Ь).

Определение 2.2. Пусть в - т -функтор на классе алгебр Ли над полем Р. Назовем в -подалгеброй Фраттини алгебры Ли Ь подалгебру Ф0 (Ь) = пМ , где М е в(Ь).

В случае, когда в(Ь) содержит все максимальные подалгебры алгебры Ли Ь , то Фе(Ь) = Ф(Ь) . Определение 2.3. Назовем т -функтор в регулярным, если:

1) для любой алгебры Ли Ь и идеала N в Ь из М е#(Ь) следует, что М + N / N е#(Ь / N);

2) для любой алгебры Ли Ь и идеала N в Ь из М / N е#( Ь / N) следует, что М е д(Ь) . Теорема 2.4. Пусть в - регулярный т -функтор, заданный на классе всех алгебр Ли над полем

Р. Тогда Фе (Ь) - идеал для любойразрешимой алгебры Ли Ь .

Доказательство. Индукцией по йт(Ь) . Если йт(Ь) = 1, то Фе (Ь) = {о}.

Пусть теперь йт(Ь) > 1 и в(Ь) = (Ь, М^ , j е /}. Предположим, что МЬ Ф {о} для всех г е I. Пусть Ni - некоторый минимальный идеал алгебры Ли Ь такой, что Ni ^ МЬЬ, j е I. Обозначим через ФgN (Ь) пересечение всех элементов из д(Ь), которые содержат в себе Ni. Из регулярности т -функтора в имеем, что Фе (Ь /Ni) = Ф^ (Ь)/Ni. По индукции для алгебры Ли Ь/Ni следует, что

Фе ¡^ (Ь)/Nj - идеал в Ь /Ni. Откуда Фе ¡^ (Ь) - идеал в Ь . Тогда подалгебра Фе (Ь) = ош Фе ¡^ (Ь) -идеал в Ь .

Предположим теперь, что МЬ = {о} для некоторого j е I. Обозначим соответствующую подалгебру = М . По лемме 1.6 алгебра Ли Ь имеет единственный минимальный идеал N , причем СЬ (N) = N и Ь= М Ф N . Покажем, что в этом случае Фе (Ь) = {о}. Допустим, найдется элемент х еФе (Ь), х Ф 0. Из х еФе (Ь) е М, М о N = {о} и СЬ (^ = N, следует, что найдется элемент п е N , п Ф о, такой что хп Ф о. Так как идеал N абелев, то по лемме 1.8 отображение 1 + adn -автоморфизм алгебры Ли Ь . Пусть у = х(1 + adn) = х + хп. Из регулярности ^ имеем (Фе (Ь))(1 + adn) = Фе (Ь). Откуда у = х + хп еФв (Ь) е М . Для любого И е N имеем уЬ = хИ + (хп)И = хИ . Тогда (у - х)И = о и (у - х) е СЬ ^) оМ = {о}. Откуда у = х . Тогда хп = о , что противоречит выбору элемента п . Откуда Фе (Ь) = {о}. Теорема доказана.

Пусть Ь - алгебра Ли над полем Р и н - абелев идеал в Ь . Если М - подалгебра в Ь и И е Н, то обозначим подалгебры МИ = М(1 + adh) и Фн,М (Ь) = пМИ , где И е Н .

Лемма 2.5. Пусть Ь - алгебра Ли над полем Р и М - максимальная подалгебра в Ь . Пусть Н - абелев минимальный идеал из Ь, не содержащийся в М . Тогда МИ п Н = {о} для любого И е Ни

Фн,М (Ь) с Сь (Н).

Доказательство. По 2) леммы 1.4 следует, что М оН = {о}. Пусть И е Н , И Ф о . Из леммы 1.8 следует, что 1 + adИ - автоморфизм алгебры Ли Ь. Поэтому подалгебра МИ = М(1 + adh) является максимальной в Ь . Рассмотрим Мк п Н . Предположим, что Мк п Н ^{о}. Выберем х е Мк п Н , х Ф о. Тогда найдется у е М такой, что у (1 + adИ) = х и у^о. Откуда у = х - уИ е Н о М = {о}. Тогда у = о . Откуда х = о . Получили противоречие.

Пусть х еФ Н м (Ь) и ИеН . Тогда х е Мк п М . Откуда х(1 + adh) е Мк и хИ е Н п Мк.

Так как Н П МИ = {о}, то хИ = о . Лемма доказана.

Лемма 2.6. Пусть Ь - ненильпотентная разрешимая алгебра Ли над полем Р. Тогда е Ь найдется максимальная подалгебра М, не являющаяся в ней идеалом и такая что М + N(Ь) = Ь.

Доказательство. Пусть Ь - алгебра Ли наименьшей размерности, для которой теорема неверна.

Зсли Ф(L) Ф {0} , ТО в L / Ф( L) найдется максимальная подалгебра M / Ф(L) , не являющаяся в идеалом и такая, что M / Ф ( L) + N ( L / Ф ( L)) = L / Ф ( L). Из 2) теоремы 1.3 следует, что N ( L / Ф ( L)) = N ( L)/ Ф ( L) . Откуда M / Ф ( L) + N ( L)/Ф ( L) = L / Ф ( L) . Поэтому M + N (L) = L и подалгебра M - искомая. Получили противоречие.

Пусть Ф(L) = {0}. Тогда из 3) теоремы 1.3 следует, что в L найдется подалгебра M такая, что L = N(L) ФM , причем N(L) = Soc(L) . Из разрешимости L следует, что ML ={о}. Так как Soc ( L) = A1 0... 0 As - сумма минимальных идеалов из L, то найдется число к такое, что

1 < к < S и MAk * {0}. В противном случае ML = M . Подалгебра M 0 A1 0...0 Ak_1 0 Ak+1 0...0 As

- искомая. Лемма доказана.

Определение 2.7. Назовем m -функтор в m -функтором Фраттини-Гашюца на классе всех алгебрЛи надполем P, еслидля любойненилъпотентнойалгебрыЛи L множество в( L ) содержит все максимальные подалгебры из L, не являющиеся в ней идеалами.

Лемма 2.8. Пусть в - регулярный m -функтор Фраттини-Гашюца на классе всех разрешимых алгебр Ли над полем P. Если M и N - идеалы разрешимой алгебры Ли L такие, что N Œ Фе (L) и

M / N - нилъпотентная алгебра Ли, то M - нилъпотентная алгебра Ли. В частности, Фе (L) нилъпотентна.

Доказательство. Пусть m -функтор Т такой, что для каждой разрешимой алгебры Ли L множество т(L) содержит все максимальные подалгебры из L, не являющиеся в ней идеалами, а также саму L , и только их. Ясно, что Фе (L) (L) для любого регулярного m -функтора

Фраттини-Гашюца в на классе всех разрешимых алгебр Ли над полем P. Так как N(L) Œ Фт nM , то M / Фт ni M нильпотентна. Применяя следствие 2.8 и лемму 2.3 из [13] получаем нильпотентность M .

Лемма доказана.

Сформулируем теперь основной результат данной работы.

Теорема 2.9. Пусть 0 - регулярный m^yHKmop Фраттини-Гашюца на классе всех

разрешимых алгебр Ли над полем P. Тогда L) совпадает с пересечением всех максимальных подалгебр M разрешимой алгебры Ли L таких, что M G 6(L) и M + N(L) = L.

Доказательство. Если алгебра Ли L нильпотентна, то N (L) = L и утверждение теоремы выполняется. Пусть L не нильпотентна. Обозначим через Ф^ (L) пересечение всех максимальных подалгебр M алгебры Ли L таких, что M e#(L) и M + N(L) = L. Ясно, что Фе (L) сФ^ (L). Предположим, что обратное включение неверно и выберем алгебру Ли L наименьшей размерности, для которой Ф^ (L) <х Фе (L) .

Предположим, что Фе (L) Ф {0}. В силу леммы 2.8 из ненильпотентности L следует, что Фе (L) Ф L . Из регулярности функтора 0 и теоремы 2.4 следует, что Фе^) - идеал в L и Фе (L / Фе (L)) = Фе (L)/ Фе (L) = {0}. Ввиду выбора алгебры Ли L получаем, что Ф„( L / Фе ( L)) = Фе ( L / Фе ( L)) = {0}.

Из леммы 2.8 имеем Фе (L) е N(L) . Тогда N(L)/ Фе (L) е N(L / Фе (L)) . Пусть H / Фв (L) = N (L / Фв (L)). Из леммы 2.8 следует, что H ç N (L) и H / <&e(L) ç N (L)/ <&e(L). Откуда N (L) / Ф, (L) = N (L / Ф, (L)).

Пусть M / Фе ( L) - максимальная подалгебра в L / Фе( L) такая, что M/Фе(L) + N(L)/Фе(L) = L/Фе(L) и M/Фв(L) g0(L/Фв(L)). Тогда M + N(L) = L и M e0( L). Откуда ®,(L)/ Фе ( L) сФД L / Фе (L)). Теперь из Ф^^ / Фе (L)) = {0} следует, что Ф^(L) = Фе (L) . Получили противоречие с нашим предположением.

Пусть теперь Фе (L) = {0}. Тогда O(L) = {0}. Из 2) теоремы 1.3 имеем N(L) = Soc(L) . Так ^г® алгебра Ли L имеет конечную размерность, то N(L) = N1 Ф... Ф Nk, где Ni пробегает все минимальные идеалы алгебры Ли L . Из леммы 2.6 следует, что в L найдется максимальная подалгебра M , не являющаяся в L идеалом и такая, что M + N(L) = L. Так как в - регулярный m -функтор

Фраттини-Гашюца, то M е d(L) . Кроме того, найдется число i < k такое, что идеал H = Ni не содержится в M . Откуда по лемме 1.4 имеем L = H Ф M . Из леммы 2.5 следует, что Mh о H = {0} для любого элемента h е H . Из регулярности в имеем, что Mh е #(L) и Ф^ (L)<^ФHM (L). Из леммы 2.5 следует, что Ф^(L) с CL(H). Далее для любого j = 1,...,k найдется максимальная подалгебра M е d(L) такая, что N j не содержится в M . В противном случае для некоторого s < k идеал Ns ^ Фе (L). Это противоречит тому, что Фе^) = {0}. Повторяя для каждого j = 1,...,k рассуждения, аналогичные для случая H = Ni, получим, что Ф п (L) со jCL (Nj ) с CL (N1 Ф ... Ф Nk ) . Из 2) теоремы 1.3 и леммы 1.7 следует, что Ф^ (L) с N(L) . Но тогда Ф^ (L) = Фе (L) . Получили

противоречие. Теорема доказана.

Следствие 2.10. Подалгебра Фраттини O(L) разрешимой алгебры Ли L над полем P совпадает с пересечением всех максимальных подалгебр M из L таких, что M + N(L) = L.

Если функтор в ставит в соответствие каждой алгебре Ли L множество 0(L) всех максимальных подалгебр, не являющихся в ней идеалами, а также саму L, и только их, то будем обозначать Фе (L) = А(L).

Следствие 2.11. Подалгебра A(L) разрешимой ненилъпотентной алгебры Ли L над полем P совпадает с пересечением всех максимальных подалгебр M из L таких, что M не является идеалом в L и M + N(L) = L.

Frattini subalgebra of a finite-dimensional Lie algebra is the intersection of all its maximal subalgebras. This paper investigates the intersections of maximal subalgebras different families that do not contain nilradical of solvable finite-dimensional Lie algebras. It has been proved that a solvable Lie algebra of a finite-dimensional Frattini subalgebra coincides with the intersection of all its maximal subalgebras of the same types.

The key words: finite-dimensional Lie algebra, maximal subalgebra, ideal, Frattini subalgebra, nilradical, m-functor.

Список литературы

1. Шлык B.B. О пересечении максимальных подгрупп в конечных группах // Мат. заметки. 1973. Т. 14. № 3. С. 429-439.

2. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 278 с.

3. Селькин М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. Минск: Бел. Навука, 1997. 144 с.

4. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Бел. Навука, 2003. 254 с.

5. Монахов B.C. Замечание о максимальных подгруппах конечных групп // Доклады HAH Беларуси. 2003. Т. 47, №4, С. 31-33.

6. Монахов B.C. Замечание о пересечении ненормальных максимальных подгрупп конечных групп // Известия Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины. 2004. - № 6 (27). С. 81.

7. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. Москва: Наука, 1985. 448 с.

8. Frattini G. Intorno alla generasione dei gruppi di operazioni // Atti Acad. dei Lincei. 1885. V. 1. P. 281-285.

9. Gaschütz W. Über die Ф-üntergruppen endlicher Gruppen // Math. Z. 1953. Bd. 58. S. 160-170.

10. Marshall E. The Frattini subalgebra of a Li algebra // J. Lond. Math. Soc. 1967. V. 42. P. 416-422.

11. Barnes D .W. The Frattini argument for Li algebras // Math. Z. 1973. Bd. 133. P. 277-283.

12. Towers D. Frattini theory for algebras. // Proc. London Math.Soc. 1973, V.27. P.440-462.

13. Towers D. On maximal subalgebras of Lie algebras containing Engel subalgebras // J. Pure Appl. Algebra. 2011. Available online 26 September 2011.

Об авторах

Сыроквашин A.B. - филиал Брянского государственного университета имени академика

.Г. Петровского в г. Новозыбкове, ассистент, [email protected]

Васильев А.Ф. - доктор физико-математических наук, профессор Гомельского университета имени Франциска Скорины, [email protected]