О передаточном функционале в теории линейной пространственной фильтрации когерентного излучения Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

О ПЕРЕДАТОЧНОМ ФУНКЦИОНАЛЕ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ КОГЕРЕНТНОГО

ИЗЛУЧЕНИЯ П.А. Короткое

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор В.Ю. Храмов

В статье вводится понятие передаточного функционала пространственно-инвариантной когерентной фильтрующей оптической системы, описывающего ее распределенные передаточные характеристики. На примере оптической системы тройной дифракции с двумя пространственными фильтрами приводится схема определения с помощью передаточного функционала распределенной чувствительности выбранных методов фильтрации.

Введение

Концепция пространственной фильтрации излучения, т.е. манипулирование пространственными частотами светового поля с целью изменения свойств оптического изображения, известна уже более ста лет. Ее основы заложил Эрнст Аббе в своих работах по теории формирования изображения в 70-х годах XIX в. Позднее, в 40-х и 50-х годах прошлого века, П.М. Дюье, А. Марешаль, П. Кросс и многие другие ученые систематизировали и обобщили работы Аббе, введя в оптику чрезвычайно удачные аналогии между формированием изображения в оптических системах и прохождением сигнала в электрической цепи, т.е. теорией (линейных) частотных фильтров, где основным аналитическим инструментом является преобразование Фурье.

Дальнейшие исследования глубоких связей между оптикой и теорией передачи информации привели к возникновению в конце 50-х годов XX в. самостоятельной дисциплины - фурье-оптики [1], которая к тому времени в полной мере использовала все преимущества уже появившихся высококогерентных источников электромагнитного излучения оптического диапазона - лазеров.

В середине 60-х годов А.Б. Вандер Люгт предложил первую эффективную методику управляемого синтезирования амплитудно-фазовых пространственных фильтров -голографический метод формирования согласованных фильтров, что и положило начало теории (комплексной) пространственной фильтрации излучения [2].

Многочисленные аспекты этой теории и ее приложений по состоянию на сегодняшний день содержатся во многих работах, из которых можно выделить, например, монографию [3].

Основное содержание настоящей работы подчинено описанию одного из возможных решений проблемы определения и оценки выходного отклика оптической системы, осуществляющей невырожденную комплексную фильтрацию когерентного излучения, на локальные возмущения входного светового поля.

Классический подход к проблеме оценки передаточных свойств когерентных оптических систем состоит во введении понятия когерентной передаточной функции (КПФ) [4] для комплексной амплитуды поля. Однако переход в пространственно-частотную область с помощью КПФ позволяет оценить лишь полосу пропускания частот данной системы, не описывая при этом в явном виде отклик (реакцию) комплексной амплитуды (интенсивности) в заданной точке выходной плоскости на изменение амплитуды (интенсивности) в некоторой точке выходной плоскости.

Развиваемый ниже подход, основанный на использовании методов вариационного анализа, позволяет найти аналитический вид такого отклика произвольной (пространственно-инвариантной) когерентной оптической системы в виде передаточного функционала для данной (фильтрующей) системы.

Не ограничивая общности рассмотрения, анализ линейных фильтрующих систем в настоящей работе мы проведем на примере введенной в [5] оптической системы трой-

ной дифракции, где результат действия фильтра можно назвать получением (обобщенных) теневых картин визуализации амплитудно-фазовых неоднородностей на входе системы (в плоскости входного зрачка системы). В этом случае отклик системы на возмущения входного поля в объектной плоскости, определяемый передаточным функционалом, следует отождествлять с таким важным понятием, как (распределенная) чувствительность данного (теневого) метода.

Передаточный функционал фильтрующей системы

В статье [5] введено понятие оптической системы тройной дифракции (ОСТД), которая при использовании определенных пространственных фильтров осуществляет (теневую) визуализацию фазового объекта, находящегося во входной плоскости, и при когерентном освещении реализует следующее преобразование оптического поля:

и(х) = e'kLFю1 {^ )* (&ю}С(ш);х}= ^ {dю {^ {иЛ)*®еС(«)е'юх }, (1)

где \ = (Х1,Х2), х = (х1,х2), ю = (ш1,ш2) - координаты точек во входной и выходной плоскостях, а также плоскости пространственных частот, соответственно, F1±1{•; и} -прямое и обратное двумерные преобразования Фурье по переменной ^ с аргументом V, ио(£) - комплексная амплитуда поля в точке \ входной плоскости (плоскости входного зрачка), = ехр{ф(^)} - комплексная функция пропускания фазового объекта, ф(£) - набег фазы в точке \, к = 2тс/1 - волновое число падающего излучения, ю = (к/ь)х - пространственная частота (с масштабным параметром Ь > 0 ), L - общая длина ОСТД, О(ы) - двумерная функция, определяющая действие пространственного фильтра. Формально в подынтегральном выражении уравнения (1) следует учитывать действие эффективной апертуры системы, которое дается функцией зрачка т. Однако на данном этапе анализа мы условимся считать, что она неявно входит в объектную функцию пропускания *.

Для удобства дальнейших выкладок перепишем уравнение (1) в виде схемы действия линейного фильтра:

и(х) = | ио(^)*(£) е(х - ^^ , (2)

я2

где явно выделена (когерентная) функция рассеяния точки е(-ц) = Fю1{G(ю);

Далее мы применим аппарат вариационных производных [5] для вычисления функциональной зависимости интенсивности поля I(х) = и(х)и* (х) в плоскости регистрации от объектной функции ф . Отметим, что при этом интенсивность I мы будем рассматривать как параметризованный множеством точек декартовой плоскости (непрерывный) функционал, определенный на некотором пространстве функций ф. В качестве такого пространства, следуя [5], возьмем класс функций {ф(-)} = 0 таких, что:

(а) ф - финитная функция с заданным носителем Биррф е Я и Бирф (х) = Сф < ¥;

х

(б) ф(х) = ф(х1, х2) удовлетворяет условию Гёльдера по каждому аргументу. Вычислим вариационную производную от комплексной амплитуды и(х) = и[ф; х]

ИЗ (2):

С С

ф-и[ф; х] = ек ф- Гио(§)ехр{ф(^)}Е(х - ^. 5ф(хо) 5ф(хо) ->2

С этой целью используем удобную формулу для нахождения вариационной производной по функции ф от произвольного функционала ,Р[ф; х]:

—^ ^[ф; х] = Нт (^[ф(-) + 5ф(-); х] - ^[ф(-); х])Г {5ф(^1 =

ф(х 0) тех еА J

d

- lim — F[j(-) + a5(- - x0);x]. (3)

a®0 da

Важно подчеркнуть, что (3) не является строгим определением вариационной производной, а мы используем его как некое правило, которое дает верный результат для регулярных функционалов вида (2) и корректно при j е Q [6]. Применяя (3), таким образом получим

dU[j; x] - ekL lim fUo(^)exp|/'(j(^) + a5(£, - xo>)>/5(§ - Xo)^(x - ^,

a®0 J

0^

0) R2

5j(x 0) a®0

откуда, после введения новых переменных х1 = х и х2 = х0, находим

ф; х'] = iekL и0(х2)Г^(х1 - х2). (4)

5ф(х 2 ) Очевидно, что

5 т 5 i7-Tr -.12 5 ^ п2|

-1[j; x^ ] - —— U[j; x^ ] - —— U[j; xj2 - 2

5

ф л ^- - 5, м--- -I ф м--- -I и[ф;х1]ф чи[ф;х1] 5ф(х 2) 5ф(х 2) 5ф(х 2) 5ф(х 2)

Ясно, что последним равенством мы определили некий вещественнозначный функционал от функции ф, который зависит от двух векторных параметров х1 и х2. Именно этот функционал мы и назовем передаточным функционалом (ПФ) данной оптической системы с фильтром G и обозначим его через 8а = 8а [ф; х1, х 2]. Окончательно имеем равенство:

SG [j; X1, x 2] - 2

5

U[j;xi]g , ,U[j;xi] 5j(x 2)

-2

U [ j; xi ]t(x 2)U0 (x 2) F(a1 |g(«) e -ix2"; xi} .(5)

Физический смысл введенного передаточного функционала (5) состоит в том, что он, для данного класса функций ф, определяющих вид конкретных фазовых объектов, дает количественную оценку эффективной «степени влияния» различных точек поля во входной плоскости на точки поля в выходной плоскости. Таким образом, ПФ определяет распределенные передаточные характеристики данной фильтрующей системы в том смысле, что мы можем оценить влияние любой области поля во входной (объектной) плоскости на любую область результирующего поля в выходной плоскости (плоскости регистрации).

Пользуясь аналогией между передаточной характеристикой (по интенсивности) и чувствительностью теневого каскада, особенно отчетливо видно, что ПФ (5), который в этом случае можно называть функционалом чувствительности (теневого прибора или метода), обеспечивает не просто адекватную оценку распределенной чувствительности данного теневого метода, но и унифицирующую схему сравнения различных методов для того или иного класса фазовых объектов.

Численные результаты

Рассмотрим случай, когда в плоскости входного зрачка системы с радиусом а задана плоская волна с амплитудой А0, распространяющаяся вдоль оптической оси системы, т.е.

ц,® = ц^, X 2) = Л- (6)

Для иллюстрации применения ПФ при оценке и сравнении передаточных характеристик разных фильтрующих систем мы ограничимся рассмотрением ОСТД с двумя (одномерными) пространственными фильтрами G(w) [5]:

(а) фильтром Фуко-Теплера (ножом Фуко): ^(ш 1зш2) = И(& 1)к(ш 1зш2) ;

(б) фильтром Гильберта (фазовымножом): С2(ш1зш2) = ш1)к(ш1,ш2),

где к(ш1зш2) = к[р - д/Ш + ш2) - амплитудный коэффициент пропускания в фурье-плоскости, величина р является радиусом линейной апертуры частотного фильтра (в единицах пространственных частот), соответствующий частоте среза данного оптического Р+1 -компонента: р = кБ/(2л/-), где Б и / - диаметр и фокусное расстояние объектива, формирующего фурье-спектр; И(С,) - функция Хевисайда,

' о, С < о,

ВД = 112, С = о,

. 1, С > 0,

а в1§п( С) - знаковая функция,

'-1, С < о, ^Ч С) = 1 о, С = 0,

+1, С>о,

откуда следует, что

ед = [1 + ^п( С)У 2. (7)

Подставляя в (1) амплитуду (6), имеем общий вид уравнения фильтрации:

А ¿кЬ

и (X1, Х2) = ^ [ [ ^^ 2 ^ Х 2 ) еХР {ф(Х> 1, ^)}х , ч

4Л Д2 ¿2 (8)

Х е - «л+Х2Ш2) С(ш1, ш 2) е (шл+ш2*2).

Таким образом, заменяя G выражениями для G1 и G2 соответственно, имеем: Х1, Х2) = Ао егкЬ Рю-1{ ^{т^ехр^^, X 2)}; ®}к(ш)Л(ш); х}=

Ао е

-Рш-;{£{£ кЧ^,X2)ехр{/ф(Х1,X2)};ш1};ш2}х (9)

2

х к(ш1, ш2)[1 + ш1)]; х1}; х2}

и

и 2 (Х1, Х2) = Аое'кЬ Р^ ^{т^ехр^^, Х2)}; ш}к(ш)в1вп(ш); х}=

= Ао екР^1 {р^1 {Рх+21 {Рхн11 {т(Х1,X2)ехр{ф(Х1,X2)};<ш };ш2 }х (1о)

х к(ш1, ш 2)б1§п( ш1); х1}; х2}.

Далее зададим объектную функцию ф^,X2), описывающую структуру фазового объекта. Следуя работе [5], в качестве такой зависимости возьмем ф е Q в виде аподи-зированного параллелепипеда, промодулированного по косинусоидальному закону только по одной переменной и имеющего конечные размеры в области полного углового поля оптической системы. Аналитическое выражение для ф записывается в факто-ризованной форме:

ф® = ф&, X2) = СфД^^), (11)

где Сн - нормировочная константа, а графики ф1 и ф2 показаны на рис. 1.

Рис. 1. Вид объектной функции в двух сечениях

0.004

0.002

(х(2), *.<2)) 0.000

-0.002

-0.004

-0.004

-0.002

0.000 .(1) V.»®*

0.002

0.004

(■Vм О

Рис. 2. Диагональная выборка передаточного функционала в ОСТД с фильтром Фуко-Теплера

Аналитические выражения для функций ф1 и ф 2 (11) брались в виде:

ф (X) =_1 + а со5(ЬХ)_

1 (1 + ехр{- аХ-Х0})(1 + ехр(аХ-Х0})'

ф2 (X) =

(1 + ехр{- aX - Xо ЭД1 + етр^ - Xо }) ' где параметры имели следующие значения: а = о,15 , Ь = 10800, а = 135оо , X0 = 35, а С = 0,714.

0.004 И

0.002

(2) (2>

) 0.000 ^

-0.002 А

-0.004

-0.004

-0.002

0.000

0.002

0.004

Рис. 3. Диагональная выборка передаточного функционала в ОСТД с фильтром Гильберта

Примеры численной реализации вычислений передаточных функционалов и

Ба для фазового объекта (11) приведены на рис. 2 и рис. 3. В данном случае для наглядности мы привели зависимости 801 [ф; х, х, х(2), х] и 802 [ф; х, х, х, х] при ] = 1, или, в эквивалентной формулировке, взаимные диагональные чувствительности по интенсивности двух теневых методов визуализации фазового объекта (11). Глядя на рисунки, легко заметить, что чувствительность метода Гильберта выше, чем метода Фуко-Теплера.

Заключение

В работе предложен новый подход к определению передаточных характеристик (чувствительности по амплитуде или интенсивности) когерентных оптических систем на примере ОСТД с линейными пространственными фильтрами. В качестве унифици-

рующего понятия, описывающего распределенные пространственные передаточные характеристики, предлагается использовать передаточный функционал (5). Мы также приводим результаты численного моделирования (диагональной) чувствительности двух выделенных методов пространственной фильтрации, относящихся к теневым методам, - методов Гильберта и Фуко-Теплера.

Литература

1. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. М.: Мир, 1970. 364 с.

2. Применение методов фурье-оптики / Под ред. Г. Старка. М.: Радио и связь, 1988. 536 с.

3. Методы компьютерной оптики / Под ред. В.А. Сойфера. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 688 с.

4. Информационная оптика: Учебное пособие / H.H. Евтихиев, O.A. Евтихиева, И.Н. Компанец и др. / Под ред. H.H. Евтихиева. М.: Изд-во МЭИ, 2000. 612 с.

5. Коротков П.А., Смирнов С.А. Анализ когерентных теневых методов наблюдения фазовых объектов // Изв. ВУЗов. Приборостроение (принято в печать).

6. Задорожний В.Г. Дифференциальные уравнения с вариационными производными. Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 2000. 368 с.