CC BY
71
В.Г. Гусев
ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕРФЕРОГРАММ БОКОВОГО СДВИГА ДЛЯ КОНТРОЛЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА ПРИ ДВУХЭКСПОЗИЦИОННОЙ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММЫ ФРЕНЕЛЯ МАТОВОГО ЭКРАНА С УЧЕТОМ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ПРИБЛИЖЕНИЯ. I
В третьем порядке приближения для распределения комплексной амплитуды поля рассматривается формирование интер-ферограмм бокового сдвига в полосах бесконечной ширины для контроля формы волнового фронта при двухэкспозиционной записи голограммы Френеля матового экрана. Показано, что из-за осевых и внеосевых аббераций в предметном канале возникают ошибки контроля как расходящегося, так и сходящегося волнового фронта. Полученные оценки величины погрешности позволяют определить диапазон чувствительности интерферометра, в пределах которого могут быть исключены ошибки контроля. При этом на стадии восстановления записи должна проводиться пространственная фильтрация дифракционного поля в плоскости голограммы на оптической оси.
В классической интерферометрии для контроля формы волнового фронта используют двулучевые интерферометры бокового сдвига в полосах бесконечной ширины [1]. К их недостаткам относится требование высокого оптического качества элементов интерферометра. В голографической интерферометрии, обеспечивающей суперпозицию когерентных диффузно рассеянных полей по методу двух экспозиций или в реальном масштабе времени, этот недостаток исключается. При реализации такого типа дифференциального интерферометра когерентным излучением с контролируемой сходящейся квазисферической волной освещают матовый экран и записывают без-линзовую голограмму Фурье за время первой экспозиции. Перед повторным экспонированием фотопластинки смещают матовый экран в плоскости его расположения и изменяют на определенную величину угол наклона фронта опорной волны [2]. Такое условие выполнения двухэкспозиционной записи безлин-зовой голограммы Фурье приводит к следующему механизму формирования в когерентных дифузно рассеянных полях интерферограмм бокового сдвига в полосах бесконечной ширины. В плоскости фотопластинки за время первой экспозиции регистрируется распределение объективного спекл-поля, причем каждый спекл уширен по сравнению с его дифракционным пределом на величину, связанную с фазовыми искажениями сходящейся сферической волны в плоскости матового экрана. В результате этого информация о контролируемом волновом фронте сосредоточена в пределах каждого индивидуального объективного спекла в плоскости фотопластинки. Поперечный сдвиг матового экрана перед повторным экспонированием приводит к тому, что сохраняется положение спекла в фурье-плоскости, но при этом между спекл-полями двух экспозиций возникает линейный фазовый множитель, который компенсируется изменением угла наклона фронта опорной волны. Кроме того, составляющая объективного спекла, связанная с фазовыми искажениями сходящейся сферической волны в плоскости матового экрана, получает угол наклона, величина которого зависит от величины поперечного сдвига матового экрана. Совпадение идентичных объективных спеклов двух экспозиций в плоскости голограммы приводит к локализации в ней интерференционной картины бокового сдвига в полосах бесконечной ширины, которая обусловлена возможными искажениями фазы расходящейся сферической опорной волны. В свою очередь, при регистрации изображения
матового экрана на стадии восстановления голограммы, когда в ней проводится пространственная фильтрация с помощью непрозрачного экрана с круглым отверстием, диаметр которого не превосходит ширины интерференционной полосы, в плоскости его формирования образуется интерферограмма бокового сдвига в полосах бесконечной ширины. Эта интерференционная картина, локализующаяся в плоскости формирования изображения матового экрана, характеризует контролируемый волновой фронт. Причем, когда регистрируется интерферограмма контроля волнового фронта, то смещение фильтрующего отверстия в плоскости голограммы с максимума интерференционной полосы на ее минимум приводит лишь к тому, что фаза интерференционной картины, характеризующей контролируемый волновой фронт, изменяется на п . Это обстоятельство является несущественным в дифференциальной интерферометрии. Кроме того, как показано в [3], возможные фазовые искажения волны излучения, используемого для освещения матового экрана, из-за погрешности поверхности его подложки не приводят к изменению вида регистрируемой интерферограммы контроля волнового фронта. Это объясняется полной идентичностью дополнительных из-за оптического несовершенства подложки составляющих спеклов двух экспозиций.
В другом методе двухэкспозиционной записи без-линзовой голограммы Фурье матового экрана [4], который в большей степени представляет научно-методический интерес, перед повторным экспонированием изменяют угол наклона контролируемого волнового фронта. В результате этого смещаются объективные спеклы в плоскости фотопластинки и появляется линейный фазовый множитель в распределении комплексной амплитуды спекл-поля, соответствующего второй экспозиции. Путем смещения фотопластинки в плоскости ее расположения в направлении сдвига объектных спеклов можно совместить идентичные спеклы двух экспозиций. При этом одновременно оказывается скомпенсированным линейный фазовый множитель за счет наличия квадратичного фазового распределения в плоскости фотопластинки для комплексной амплитуды расходящейся квазисферической опорной волны, радиус которой удовлетворяет условию записи безлинзовой голограммы Фурье матового экрана. Тогда, как и в предыдущем методе, интерференционная картина бокового сдвига в полосах бесконечной ширины, которая характеризует возможные фазовые искажения опорной волны, локализуется в плоскости голограммы, а ин-
терференционная картина, характеризующая контролируемый волновой фронт, - в плоскости формирования изображения матового экрана.
При записи голограммы Френеля матового экрана для его освещения помимо когерентного излучения со сходящейся квазисферической волной можно использовать излучение с расходящейся квазисферической волной, а так же с квазиплоской. Когда осуществляется освещение когерентным излучением со сходящейся квазисферической волной, ее возможный радиус кривизны в плоскости матового экрана может превышать расстояние от него до фотопластинки или быть меньше величины этого расстояния. Как показано в [5 - 7], при выполнении двухэкспозиционной записи голограммы Френеля, когда перед повторным экспонированием смещают матовый экран в плоскости его расположения, можно совместить идентичные объективные спек-лы двух экспозиций в плоскости фотопластинки путем ее поперечного сдвига в определенном направлении и на определенную величину. При этом компенсацию возникающего линейного фазового множителя между спекл-полями двух экспозиций можно осуществить за счет наличия квадратичного фазового распределения для комплексной амплитуды квазисферической опорной волны с определенной величиной ее радиуса кривизны в плоскости фотопластинки и его знака. Линейный фазовый множитель отсутствует в случае контроля квазиплоского волнового фронта. Тогда перед повторным экспонированием при одинаковых величинах поперечного сдвига в одном направлении матового экрана и фотопластинки достигается совмещение в последней идентичных объективных спеклов двух экспозиций [3,8], а в опорном канале необходимо использовать квазиплоскую волну, возможные фазовые искажения которой обусловлены, например, аберрациями оптической системы, с помощью которой она формируется. В вышеуказанных методах двухэкспозиционной записи голограммы Френеля матового экрана для контроля волнового фронта, как и при двухэкспозиционной записи безлинзовой голограммы Фурье происходит аналогичная локализация интерференционных картин в двух плокостях: в плоскости голограммы и в плоскости формирования изображения матового экрана. При этом для области дифракции, удовлетворяющей области дифракции Френеля, также не изменяется вид фильтруемых интерференционных картин бокового сдвига.
В случае двухэкспозиционной записи безлинзовой голограммы Фурье матового экрана, когда распределение комплексной амплитуды поля удовлетворяет более высокому, третьему порядку приближения [9,10], то на стадии ее восстановления наблюдается следующее. Вид регистрируемой интерферограммы контроля волнового фронта изменяется при удалении от оптической оси центра фильтрующего отверстия. Это объясняется влиянием волновых аберраций голограммы в предметном канале в результате учета нелинейной зависимости отклика свободного простран-
ства от угловой частоты. Кроме того, из-за внеосевых волновых аббераций в опорном канале увеличивается частота интерференционных полос для интерференционной картины, локализующейся в плоскости голограммы. Это приводит к ограничению диапазона чувствительности интерферометра бокового сдвига, в котором осуществляется суперпозиция когерентных диффузно рассеянных полей.
В настоящей статье анализируется формирование интерферограмм бокового сдвига в полосах бесконечной ширины при двухэкспозиционной записи голограммы Френеля матового экрана с учетом третьего порядка приближения для распределения комплексной амплитуды поля с целью получения оценки ошибок контроля, что позволяет определить диапазон чувствительности интерферометра, в пределах которого они могут быть исключены.
Согласно рис. 1, матовый экран 1, находящийся в плоскости (хьу1), освещается когерентным излучением с контролируемой расходящейся квазисфериче-ской волной с радиусом кривизны Я. Диффузно рассеянное излучение регистрируется за время первой экспозиции на фотопластинке 2 в плоскости (х2,у2) с помощью внеосевой расходящейся квазисферической опорной волны с радиусом кривизны г. Перед повторным экспонированием осуществляется смещение матового экрана в плоскости его расположения, например, в направлении оси х на величину а, а фотопластинки - в том же направлении на величину в. Записанная таким образом двухэкспозиционная голограмма на стадии восстановления освещается излучением, которое является копией опорной волны. С помощью непрозрачного экрана р с круглым отверстием проводится пространственная фильтрация дифракционного поля. Положительная линза Л строит изображение матового экрана в плоскости (х3,у3), где локализуется интерференционная картина, характеризующая контролируемый волновой фронт.
Рис. 1. Схема записи и восстановления двухэкспозиционной голограммы: 1 - матовый экран; 2 - фотопластинка-голограмма; 3 - плоскость регистрации интерференционной картины; р - пространственный фильтр; Л - положительная линза
Без учета постоянных множителей в третьем порядке приближения распределение комплексной амплитуды предметного поля, соответствующее записи первой экспозиции, в плоскости фотопластинки представим в виде
Ю 111 1
1 (х2>Уг ) ~ } }1 (Х1 .У:)х ехР 1* 1к — (х12 + У2 ) -(х12 + У2)
-Ф ( Х1, У: )[[х
Г *к
х ехр 1 —
I 21
(Х1 - х2 )2 + (У1 - У2 )2
х ехр
*к 813
(Х1 - х2 )2 + (У1 - У2 )2 [ Лх1ЛУ1,
где к - волновое число; I - расстояние между плоско- ходящейся сферической волны излучения, используе-
стями (х1,у1), (х2,у2); г (х1,у1) - комплексная амплитуда мого для освещения матового экрана, например, из-за
пропускания матового экрана, являющаяся случайной аберраций формирующей ее оптической системы.
функцией координат; ф(х1,у1) - детерминированная Выражение (1) можно записать в следующей функция, характеризующая фазовые искажения рас- форме:
U ( x2, у2 ) ~ exp і ik
^ І x22 + y22 ) - S1? ( x22 + y22 )
F ( X2, У2 ) ® exP
ikR І x2 + y2 ) 2( 2 + /)
(2)
®<bö ( x2, y 2 ) ®Ф1 ( x2, y2 ) ®Ф2 ( x2, y 2 ) ®Ф3 ( X2, y2 )} ,
где ® - символ операции свертки; F ( x2 , y2 ),
Ф ( X2, y2 ) , Ф1 (X2, y2 ) , Ф2 ( X2, y2 ) , Ф3 ( X2, y2 ) —
фурье-образы соответственно функций
ik
t(Xl,Уі), exP[--Ф(xl,Уі)], exP -—?(xi2 + У12)
SR3
Из выражения (2) следует, что по сравнению с дифракционным пределом ХБ// [11], где Б -диаметр контролируемого волнового фронта, объективный спекл в плоскости фотопластинки уширен на величину, которая определяется шириной функции
exp
S-і?(xi2 + у2 ) , exP [-Vi (^ У1; x2, У2 )] с про-
фö ( X2, У2 ) ®Ф1 (X2 , У2 ) ®Ф 2 (X2, У2 ) ®ф3 (X2 , У2 ) •
В результате этого информация о контролируе-
странственными частотами х2/X/, у2/X/; X - длина мом волновом фронте как осевых, так: и внеосевых
волновых аберрациях сосредоточена в пределах каждого объективного спекла. Кроме того, множитель
волны когерентного источника света, используемого для записи и восстановления голограммы;
V! (Х1, У1; х2,У2 ) = -7к? (6х12х2 + 6У12Уг - 4х1?х2 -81
- 4х12У1У2 + 2х12У 2 - 4х1 х2 - 4х1 У2У2 + 8х1 У1х2У2 -- 4 х1 х2 Уг + + 2 х2 У12 - 4 х2 У1У2 - 4 У13 У2 - 4 У1 у2 )
exp і ik
^ ( X2 + y22 ) - S1? І X22 + y22 )
характеризует
распределение фазы расходящейся квазисферической волны с радиусом кривизны І в плоскости (х2,у2).
В используемом приближении распределение комплексной амплитуды опорной волны в плоскости - фазовая функция, возникающая в предметном кана- фотопластинки, соответствующее первой экспозиции,
ле, из-за внеосевых волновых аберраций третьего по- определяется выражением
рядка.
,( х2, У2 ) ~exP і-- і ( X2 - С )2 + У22
Sr ?
( x2 - С )2 + У22 -9ö ( X2, У2 )[| ,
(3)
где c = r sin 0 - введенное обозначение для сокраще- ной волны из-за аберраций формирующей ее оптиче-
ния записи; 0 - угол, который составляет ось про- ской системы.
странственно ограниченной опорной волны с норма- Для предметного поля, соответствующего второй лью к плоскости фотопластинки; ф0(х2,у2) - детерми- экспозиции, распределение комплексной амплитуды в
нированная функция, характеризующая возможные пл°ск°сти (х2,у2) принимает вид
фазовые искажения расходящейся сферической опор-
i f f _ 1 1 2 М2 ( Х2 , У 2 ) ~ 1 1 t (Х1 + a у1) exP ^ — (х12 + У2)- 8RT (х12 + у12)
ik
X exp і — 2l
( X1 - x2 + Ъ )2 + (Уі - У2 )2
2R
ik
exp і- s?
-Ф ( X1, У1 )|X
( xi - x2 + Ъ ) + ( Уі - У2 ) I dxi dy 1.
(4)
В результате выполнения известных в фурье- вести к следующей форме: оптике преобразований выражение (4) можно при-
М2 ( х2, У2 ) ~ еХР 1*к ^ [( х2 - Ь )2 + Уг ]- Т1? ( х2 + У22 ) ||{еХР ( *кях^1) Р ( х2, У2 )
ikR
,2/ ^ 2 ' '2 j 8/3 2/ (R + /) L( Х2 -b )2 + У2 ^[0Ф° ( Х2 ’ У2 ) 0Ф! ( Х2 ’ У2 ) 0exp (ikbx^z ) Ф2 ( Х2 , У2 ) ®
® exp(¿АЬх2//)Ф3 (x2,у2)}.
Соответствующее второй экспозиции распределе- кости (х2,у2) определяется выражением ние комплексной амплитуды опорной волны в плос-
u°2 (Х2, У2) ~exP [(Х2 -c -b)2 + Уг J-8“ТL(Х2 -c -b)2 + Уг j -ф° (Х2 + b У2)Ц.
(5)
(6)
Пусть двухэкспозиционная запись голограммы (х2,у2) для составляющей
проводится на линейном участке кривой почернения / \ / \ * / \ / \ * г \
л. г и (х2, У2 ) ~ и (х2, У2 ) м01 (х2, У2 ) + и2 (х2, У2 ) и02 (х2, У2 ),
фотоматериала с учетом обеспечения пространст- 42 2' 142 2/ 01^ 2 2> 2\ 2 2/ 02\ 2 и
венного разделения дифрагирующих волн [12]. То- соответствующей (-1)-му порядку дифракции, когда
гда на основании выражений (2), (3), (5), (6) распре- г = Я +1 и Ъ = а(Я +1)/Я [7], принимает вид
деление комплексной амплитуды поля в плоскости
R
u (Х2 , У2 ) ~ eXP (ikx2 Sin 9) exP <jik | 2/ (RV+ /) (Х22 + У22 ) - (Х2 + У22 )2 + [(Х2 - С)2 + У22 ] ^
х {F (Х2, у2) ® exp
ikR ( Х2 + У22 )
2/(R + /)
+ exp {г L9° ( Х2 + b, У2 )-ф° ( Х2, У2 ) + У 2 ( Х2, У2;b )]
®Ф ° ( Х2, У2 ) ®Ф1 ( Х2, У2 ) ®Ф 2 (Х2, У2 ) ®Ф 3 (Х2, У2 )} +
ilR ( Х22 + У2 )
(7)
2/(R + /)
хФ° (Х2, у2 ) ® exp (- ikax2 //) Ф1 ( х2 , у2 ) ® exp (ikax2/R) Ф 2 ( х2 , у2 ) ® exp
г£ах2
R
® exp ( - г£ах2//) х
Ф з ( Хз, Уз
где у2 (х2,у2;b) =-з[-4x^ + (6x2 + 2у2)b2 -4x2b3 -4x2у2Ь + (12х2 + 4у 2)bc-12x2bc2 -12x2b2c]
8 (Я +1 )3
- фазовая функция, возникающая в опорном канале из-за осевых и внеосевых волновых аберраций третьего порядка. Причем фазовое слагаемое
. к .3 Г-4к2Ъ + (6 х2 + 2У2 ) Ъ 2 - 4 х2Ь? - 4 х2 У22^ 1
8 (Я +1 )3 1 У ’ J
обусловлено сферической аберрацией, к
[(l2x2 + 4у2)bc -12x2bc2]
8 (R + /)
- аберрацией типа комы,
k12x2b 2c 8 (R + / )3
- астигматизмом.
Из выражения (7) следует, что идентичные объективные спеклы двух экспозиций оказываются совмещенными в плоскости (х2,у2). При этом множитель exp (-i£ax2/1) определяет величину угла наклона составляющих спекла - Ф° (x2, у2). Такой наклон имеет составляющая спекла - Ф1 (x2, у2). Множитель exp (i£ax2/ R) определяет величину угла наклона составляющих спекла - Ф2 (x2, у2), Ф 3 (x2, у2). Кроме
того, при вышеуказанном выборе радиуса кривизны опорной волны исключается линейный фазовый множитель (см. выражение (5)) между спекл-полями двух экспозиций. Тогда в результате совмещения идентичных объективных спеклов двух экспозиций в плоскости голограммы в последней локализуется интерференционная картина бокового сдвига в полосах бесконечной ширины, распределение интенсивности в которой определяется фазовой функцией
Ф° ( Х2 + Ь У2 )-Ф1 ( х2, У2 ) + V2 (Х2 , У2;Ь ) •
В [13] показано, что в значительной степени фазовые искажения в опорном канале обусловлены внеосевой волновой аберрацией типа комы, для которой
форма интерференционных полос - система эллипсов с центром на оси сдвига на расстоянии с/ 2 от начала координат. В результате этого частота интерференционных полос для интерференционной картины, локализующейся в полости голограммы, увеличивается с увеличением угла 0, смещения Ъ фотопластинки, а также с уменьшением радиуса г кривизны расходящейся квазисферической опорной волны. Следовательно, на стадии восстановления голограммы при выполнении пространственной фильтрации дифракционного поля в ее плоскости необходимо уменьшать диаметр фильтрующего отверстия. В свою очередь, уменьшение диаметра фильтрующего отверстия приводит к увеличению размера субъективного спекла в плоскости (х3,у3) формирования изображения матового экрана, где локализуется интерференционная картина, характеризующая контролируемый волновой фронт. Так как она модулирует субъективную спекл-структуру [7], то с увеличением размера субъективного спекла уменьшается вплоть до нуля видность интерференционной картины, когда его размер становится соизмерим с периодом интерференционных полос [14]. Таким образом, независимо от типа двухэкспозиционной голограммы (Фурье или Френеля) матового экрана для контроля волнового фронта внеосевые аберрации в опорном канале могу ограничивать диапазон чувствительности интерферометра и даже в случае, когда ф0 (х2, у2) = 0.
Положим, что на стадии восстановления записи линза Л (рис.1) с фокусным расстоянием / находится в плоскости голограммы. Кроме того, ограничимся параболическим приближением для определения распределения комплексной амплитуды и(х3,у3) в плоскости формирования изображения матового экрана. Это связано с тем, что учет более высокого порядка приближения приводит только к тому, что изменяется распределение в субъективной спекл-структуре, которую моделируют интерференционные полосы. Тогда
¿(Х3 , Уз )~ 1 1 Р (Х2 + Х02, У 2 + У02 )М(Х2, У2 )М01 (Х2, У2 )ехр
—ОТ
I гк
гк ( 2 , 2 \ '27(Х2 + У2 )
х ехр <-121і
( Х2 - Х3 ) + ( У2 - Уз ) \ ^Х2 ^2,
где р (х2 + х02, у 2+у02) - функция пропускания непрозрачного экрана с круглым отверстием [15], центр которого находится в точке с координатами (х02, у02); /1 - расстояние между плоскостями (х2,у2) , (хз,уз).
терференционной полосы для интерференционной картины, локализующейся в плоскости голограммы. Тогда в результате подстановки выражений (3), (7) в (8), опуская несущественный для дальнейшего рас-
, смотрения множитель, характеризующим распределе-Для сокращения записи положим, что / = / и , , „ ,
^ г ’ 1 ние фазы сферическом волны с радиусом кривизны /,
/ = //2. Кроме того, будем считать, что диаметр полуЧим фильтрующего отверстия не превосходит ширины ин-
и( х3, у3)~ г (-х3, - у3 )ехр 1 1
+ / ]
[ 2"/ (Хз + Уз)] £Р * е
-ф(-Хз , -Уз ) + ^1 (-Х3 , -Уз ; Х02, У02 ) - -х
8
я3 /з
(Х32 + Уз2 )+ еХР ^ |-Ф(-Х3 - «, -Уз ) + ^1 (-Х3 + а//" , -Уз ; Х02, У02) - 8"?х (Хз + а)2 + Уз2 -^[(Хз -а//")2 + Уз2] Ц|®Р(Хз,Уз),
(9)
где Р(хз , уз ) - фурье-образ функции
гк
Р ( Х2 + Х02, У 2 + У02 ) ехР
Если в плоскости регистрации 3 (рис. 1) размер субъективного спекла, определяемого шириной функции Р(х3, у3), хотя бы на порядок [14] меньше периода изменения функции
с пространственными частотами хз/ X/, уз/ X/.
еХР [-г'ф(-Хз , -Уз )] + еХР {г [-Ф(-Хз - «, -Уз ) + Vз (Хз , Уз ; « ) + V4 (Хз , Уз ; Х02, У02;а)]},
где
V з (Хз, Уз;а) = --
з 1 яз Я/2
а + ( 6 х^ + 2 у2)
1 1 а 2 + 4 Хз Уз2 ( 1
чя3 я2/) К я3 я/2
V4 ( Х3, у3; Х02 , У02 > а ) = [(12Х3 Х02 + 12Х3Х02 + 8х3У3Уо2 + 8У3Х02Уо2 + 4Х3Уо2 + 4У3 Уо2 )(а//Я ) —
8/
- (12Х3 Х02 + 4 У3 У02 )( а//Я )2 ] ,
то в области перекрытия двух изображений матового экрана распределение освещенности принимает вид 1 ( Х3 , У3 ) ~ I1 + С08 [ф (- Х3 , - У3 )-ф ( - Х3 - ^ -У3 ) + ^3 ( Х3 , У3 ; а ) + ¥ 4 ( Х3 , У3 ; Х02, У 02;а )]}х
г (-Хз, - Уз )ехр
ііс(" +1)[ 2 + 2\
------------(Хз + Уз )
2Я/ 1 з з)
ехр
V1 ( Хз , уз ; Х02, у02 ) 8 ^ " + /з
( Хз2 + Уз2 ) |р ( Хз, Уз )|2
(10)
Как следует из выражения (10), в плоскости формирования изображения матового экрана субъективная спекл-структура промодулирована интерференционными полосами. Интерференционная картина имеет вид интерферограммы бокового сдвига в полосах бесконечной ширины, которая характеризует контроли-
лос, определяемая видом функции у3 (х3, у3; а), -
кривые третьего порядка. Если Я=/, то интерференционные полосы представляют собой систему эллипсов
с отношением большой и малой оси, равным л/3.
В этом частном случае составляющие Ф1 (х2, у2),
в
руемый волновой фронт. При этом из-за осевых и * / \ гг
г1 г „ Ф2 (х2, у2 ) объективного спекла в плоскости головнеосевых волновых аберраций третьего порядка в 2 4 2 2 ’
предметном канале она может быть искажена, если граммы равны по величине, а равные по величине углы наклона для второй экспозиции противоположны функции у3 (х3, у3; а), у4 (х3, у3; х02, у02; а) не равны ^
34 3’-73’ /’ Т4^ 3’-73’ 02’-’02’ > по закону, что следует из выражения (7).
нулю.
Пусть на стадии восстановления записи пространственная фильтрация дифракционного поля в плоскости голограммы проводится на оптической оси. Тогда у4 (х3, у3 ;0, 0; а) = 0, и возможные искажения ключения ошибки контроля из-за осевой волновой
аберрации в предметном канале найдем максималь-
Для используемого приближения диаметр контролируемого волнового фронта должен удовлетворять
условию 240,8Х/3 < В < 2^ 1,6Х/5 . Поэтому для
ис-
интерференционной картины будут обусловлены осевой волновой аберрацией в предметном канале. Причем в общем случае форма интерференционных по-
ную величину а < Э/2 бокового сдвига, при которой еще можно считать, что у3 (х3, у3; а) =0. С этой целью
воспользуемся критерием точности определения фазы в двулучевой интерферометрии, равной 0,1- 2п [16]. Так как в дифференциальной интерферометрии максимальное изменение фазы имеет место на оси сдвига, то на основании выражения для функции у3 (хз, уз; а) максимально допустимая величина бокового сдвига является результатом решения уравнения
2 2 а -
+4 [ Я" -¿2 ) (^2)3 а - 0,8Х = 0.
Следует отметить, что в случае контроля квази-плоского волнового фронта, когда Ъ=а и г = да [3,8], волновые аберрации в опорном канале отсутствуют, а в предметном канале как осевые, так и внеосевые волновые аберрации имеют место. Однако при этом, как следует из выражения (7), составляющая Ф1 (х2,У2) объективного спекла в плоскости голограммы равна дельта-функции Дирака, а угол наклона для составляющих Ф2 (х2, у2),Ф3 (х2, у2) равен нулю.
В результате этого на стадии восстановления записи формирование интерференционной картины в плоскости регистрации 3 обусловлено только составляющей Ф0 (х2, у2) объективного спекла в плоскости голограммы, для которой угол наклона отличен от нуля. Следовательно, с увеличением радиуса кривизны кон-
1 (хз, Уз) ~ I1+с°8 [ф (- хз-а -Уз)-ф (-хз, - Уз)+^3 (хз, Уз;а)+^4 (хз, Уз; хо2, у 02;а) ])х гк (Я -/)
г (-хз, - Уз )ехр
2 Я/
'( 2 . 2\ -(хз + Уз )
ехр
тролируемого волнового фронта уменьшается ошибка контроля из-за волновых аберраций голограммы в предметном канале согласно выражениям для функций ¥з (хз, Уз;а), ¥4 (хз, Уз; хог, у02;а).
Пусть матовый экран освещается когерентным излучением со сходящейся квазисферической волной с радиусом кривизны Я > /. Тогда на стадии двухэкспозиционной записи голограммы Френеля используется внеосевая сходящаяся квазисферическая опорная волна с радиусом кривизны г = Я -1, а перед повторным экспонированием фотопластинку смещают в плоскости ее расположения в направлении поперечного сдвига матового экрана на величину Ь = а (Я -/)/Я [5]. С учетом третьего порядка приближения для распределения комплексных амплитуд поля в плоскости фотопластинки на стадии восстановления голограммы в ней локализуется интерференционная картина, вид которой определяется фазовой функцией фо (Хг +Ъ, уг )-фо (хг, Уг )+¥г (хг, Уг;Ъ), где у2 (хг, уг; Ъ) соответствует выражению для функции у2 (хг, уг; Ъ) при замене коэффициента
1/ (Я +1 )з на 1/ (Я -1 )з. В плоскости регистрации 3 в
пределах перекрытия двух изображений матового экрана распределение освещенности определяется выражением
(11)
VI(-хз,-Уз;х02,У02) + ^I-■/! I(хз2 + Уз2)0Р(з,з)|2 ,
где
V з (хз, Уз;а) = ^
4хзз| —-------------
з1 Яз Я/2
а + ( 6 хз2 + 2 Уз2 )
-4хзУз I Дт--ТТ Iа
ЧЯз Я2/1 ^з ^Яз Я/
v4 ( хз , Уз; х02 , У 02 ; а ) = Г(12хз2 х02 + 12хз х022 + 8хз Уз У02 + 8 Уз х02 У02 + 4хз У 02 + 4 Уз2 У 02 )( а//Я )
8/ |-
+ (12хз х02 + 4 Уз У 02 )( а//Я )
Из вида функций v3 (хз, Уз; а), v4 (хз, Уз; х02, У02; а
следует, что при выполнении пространственной фильтрации дифракционного поля в плоскости голограммы на оптической оси максимально допустимая величина бокового сдвига, определяющая диапазон чувствительности интерферометра с учетом исключения ошибок контроля сходящегося волнового фронта, должна удовлетворять решению уравнения
^-^](°/2)! »г + 4](°/2Г»-0,81=0-
рядка приближения для распределения комплексных амплитуд поля в плоскости фотопластинки на стадии восстановления голограммы в ней локализуется интерференционная картина, вид которой определяется фазовой функцией
Ф0 ( х2 - Ь У 2 )-Ф0 (х2, У 2 ) + ^2 (х2, У 2;Ь ),
где
Если Я < I, то на стадии двухэкспозиционной записи голограммы Френеля используется внеосевая расходящаяся квазисферическая опорная волна с радиусом кривизны г = Я -1, а перед повторным экспонированием фотопластинку смещают в плоскости ее расположения в направлении, противоположном направлению поперечного сдвига матового экрана на величину Ь = а(/-Я)/Я [6]. С учетом третьего по-
^2 (хг, Уг;Ъ) = к з [4хзъ + (6х2 + 2Угг )ъ2 +
8 (/ - Я)
+ 4хгЪз + 4хгу^Ъ -(12х^ + 4у2)Ъс +12хгЪсг -12хгЪгс^,
а распределение освещенности в плоскости регистрации 3 соответствует выражению (11). При этом для величины Я, приближающейся к величине I , уменьшается ошибка контроля сходящегося волнового фронта из-за сферической аберрации голограммы, возникающей в предметном канале.
Следует отметить, что интенсивность при рассеянии света на матовом экране уменьшается до половины ее максимального значения для углов, не превышающих « 100 [18], что значительно меньше ламбертовского угла рассеяния. Так как любая малая область объективной спекл-структуры в плоскости фотопластинки должна получать излучение от всей освещенной поверхности рассеивателя, то с увеличением диаметра контролируемого волнового фронта необходимо увеличивать расстояние между матовым экраном и фотопластинкой на стадии записи голограммы. В связи с этим теряет смысл проведение анализа формирования интерферограмм бокового сдвига в более высоком порядке приближения для распределения комплексной амплитуды поля, чем третий порядок. Однако для Я < /, когда Б > 2^ 1,6Х/5 , необходимо учитывать более высокий порядок приближения для распределения комплексной амплитуды как расходящейся, так и сходящейся квазисферической волны. Так, в случае пятого порядка приближения для распределения комплексной амплитуды расходящейся квазисфе-рической волны максимально допустимая величина бокового сдвига должна удовлетворять решению уравнения
6 (Б2)2 (Я-+ЯУ V^(Б2)4
4 (Б/ 2 )3
^-І (Я 2 )5
а - 0,8Х = 0,
ЧЯ3 Я/2) Я5 а для сходящейся квазисферической волны -1 1 ) 15
6 (Б/ 2 у
Я3
Я 2/
2Я
■( °/2)
а - 0,8Х = 0.
Эти уравнения записаны с учетом того обстоятельства, что для а < Б/2 основной вклад в изменение фа-
зы вносят слагаемые
16Я
к
-(15x3^ 2 + бхзіа) по сравне-
нию со слагаемыми
16Я5
(20х| а3 + 15х^а4 + 6х3а5 ).
240,8ХЯ3 < Б < 261,6ХЯ5,
240,8Х/3 < Б + Б0 < 260,8X15,
240,8Хг3 < Б0 < 261,6Хг5.
Максимальная чувствительность интерферометра была получена для величины бокового сдвига а = 1,147 ± 0,002 мм (Ь = 4,922 ± 0,002 мм). В этом случае на стадии восстановления записи при выполнении пространственной фильтрации дифракционного поля в плоскости голограммы на оптической оси вид зарегистрированной интерферограммы контроля волнового фронта представлен на рис. 2,а. Диаметр фильтрующего отверстия составлял 1 мм.
Рис. 2. Интерференционные картины бокового сдвига в полосах бесконечной ширины, локализующиеся: а - в плоскости изображения матового экрана; б - в плоскости голограммы
Интерференционная картина на рис. 2, а характеризует сферическую аберрацию, и распределение интенсивности в ней соответствует выражению
1 ( хз, Уз)
і I к
■ 1 + СОБ 1 — 18
1
1
4 х31 -г - 2 31 Я3 Я/2
В эксперименте двухэкспозиционная запись голограмм Френеля матового экрана выполнялась согласно рис.1 на фотопластинках типа Микрат ВРЛ с помощью излучения Не - №-лазера на длине волны Х = 0,6328 мкм. Геометрические параметры схемы: I = 316 ± 0,1мм, Я = 96 ± 0,1мм, г = 412 ± 0,1мм, 0 = 9°50'± 10', Б = 26±0,1мм, Б0 = 32±0,1 мм, где Б0 - диаметр опорного пучка в плоскости фотопластинки. Формирование анаберрационных волновых фронтов как в предметном, так и в опорном каналах обеспечивалось за счет использования параксиальной области линз для малоапертурного лазерного пучка. Для указанных геометрических параметров схемы записи голограммы распределение комплексных амплитуд поля как в плоскости матового экрана, так и в плоскости фотопластинки удовлетворяет третьему порядку приближения, то есть
+(6 х2+2 у2) (Я-+ЯУ)а 2+4 Х3 у2 (р - ¿т )а ][
При этом величина сферической волновой аберрации, выраженная в длинах волн, на краю контролируемого волнового фронта равняется 6,4 X, а ошибка, обусловленная сферической аберрацией голограммы в предметном канале, составляет 1,7 X. Выполнение пространственной фильтрации дифракционного поля вне оптической оси приводит к изменению осесимметричного вида интерференционной картины (рис. 2, а) из-за внеосевых волновых аберраций голограммы в предметном канале.
Регистрация интерференционной картины на рис. 2, б осуществлялась при выполнении пространственной фильтрации дифракционного поля на оптической оси с диаметром фильтрующего отверстия 2 мм в плоскости формирования изображения матового экрана. Она характеризует внеосевые волновые аберрации в опорном канале, и распределение интенсивности в ней соответствует выражению
I (х3, У3) ~1+соб
12 (х2 - с2) +4 у
йс-12х2й с
где слагаемые -12кх2Ь2 с/8г3 обусловлены астигматизмом, для которого форма интерференционных полос - эквидистантные полосы. Так как ширина интер-
к
5
ференционной полосы довольно большая - 16 мм, то можно считать, что интерференционная картина на рис. 2, б характеризует в основном внеосевую волновую аберрацию типа комы [13]. В окрестности точки с координатами х2 = у2 = 0 , где проводится пространственная фильтрация для регистрации интерференционной картины на рис. 2,а, ширина интерференционной полосы составляет примерно 1 мм, что ограничивает диапазон чувствительности интерферометра. Это связано с тем, что дальнейшее существенное увеличение сдвига матового экрана приводит к значительному увеличению частоты интерференционных полос на рис. 2, б, так как требуемая при этом величина Ь значительно больше а.
Следует отметить, что проведенные исследования наряду с исследованиями [18,19] осевого астигматизма положительной линзы при одноэкспозиционной записи голограммы сфокусированного изображения амплитудного рассеивателя по схеме Габора, где наблюдается искажение гиперболических интерференционных полос из-за сферической аберрации голограммы, указывают на необходимость учета нелинейной зависимости отклика свободного пространства от угловой частоты для протяженного, в отличии от [20], объекта.
Таким образом, как и в случае двухэкспозиционной записи голограммы Фурье матового экрана для
контроля волнового фронта, из-за внеосевых волновых аберраций квазисферической внеосевой опорной волны ограничивается диапазон чувствительности дифференциального интерферометра на основе двухэкспозиционной записи голограммы Френеля матового экрана. Кроме того, по сравнению с голограммой Фурье, ошибки контроля как сходящегося, так и расходящегося волнового фронта возникают в предметном канале не только из-за внеосевых волновых аберраций, но и из-за сферической аберрации. Причем эти ошибки уменьшаются с увеличением радиуса кривизны контролируемого волнового фронта, и они отсутствуют в случае контроля квазиплоского волнового фронта.
При выполнении пространственной фильтрации дифракционного поля в плоскости двухэкспозиционной голограммы Френеля матового экрана на оптической оси можно исключить ошибки контроля сходящегося или расходящегося волнового фронта путем ограничения диапазона чувствительности интерферометра. Определенная для этой цели максимально допустимая величина бокового сдвига зависит от диаметра контролируемого волнового фронта, его радиуса кривизны, расстояния между матовым экраном и фотопластинкой и длины волны когерентного источника света, используемого на стадиях записи и восстановления голограммы.
ЛИТЕРАТУРА
11. Оптический производственный контроль. Под ред. Л. Малакары. М.: Машиностроение, 1985. 400 с.
12. Гусев В.Г. Голографический интерферометр сдвига с диффузно рассеянными полями // Оптика и спектроскопия. 1989. Т. 66. Вып. 4. С.921-924
13. Гусев В.Г. Голографический метод контроля волнового фронта плоской формы // Электронная техника. Сер.11. Лазерная техника и оптоэлектроника. 1990. Вып. 4. С. 63-67.
14. Гусев В.Г. Формирование в диффузно рассеянных полях голографических интерферограмм сдвига // Оптика и спектроскопия. 1993. Т. 75. Вып. 3. С. 691-695.
15. Гусев В.Г. Пространственная фильтрация голографических интерферограмм бокового сдвига для контроля волнового фронта // Изв. вузов. Физика. 2000. № 8. С. 58-63.
16. Гусев В.Г. Формирование голографических интерферограмм бокового сдвига для контроля волнового фронта // Оптический журнал. 2000. Т. 67. № 3. С. 62-65.
17. Гусев В.Г. Формирование голографических интерферограмм бокового сдвига для контроля волнового фронта // Изв. вузов. Физика. 2000. № 12. С. 8-14.
18. Гусев В.Г. Регистрация трехэкспозиционной голографической интерферограммы для контроля волнового фронта // Оптика и спектроскопия. 1990. Т. 69. Вып. 4. С. 914-917.
19. Гусев В.Г. Двухэкспозиционная запись и восстановление безлинзовой голограммы Фурье матового экрана для контроля волнового фронта // Оптический журнал. 2001. Т. 68. № 5. С. 48-52.
20. Гусев В.Г. Пространственная фильтрация голографических интерферограмм бокового сдвига для контроля волнового фронта с учетом более высокого порядка приближения // Изв. вузов. Физика. 2001. № 7. С. 33-37.
21. Франсон М. Оптика спеклов. М.: Мир, 1980. 158 с.
22. Кольер Р., Беркхарт К., Лин П. Оптическая голография. М.: Мир, 1973. 670 с.
23. Гусев В.Г. Форма полос интерференционной картины, локализующейся в плоской двухэкспозиционной голограммы Френеля для контроля волнового фронта // Изв. вузов. Физика. 2001. № 5. С. 93-94.
24. Джоунс Р., Уайкс К. Голографическая и спекл-интерферометрия. М.: Мир, 1986. 327 с.
25. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 846 с.
26. Островский Ю.И., Бутусов М.М., Островская Г.В. Голографическая интерферометрия. М.: Наука, 1977. 339 с.
27. Kurtz C.N. Transmittfnce characteristics of surface diffusers and the design of nearly bandlimited binary diffusers // Journ Opt. Soc.Am. 1972. V. 62. P. 982-989.
28. Гусев В.Г. Запись и воспроизведение голограммы Габора для формирования в диффузно рассеянных полях интерференционных картин // Оптика атмосферы и океана. 2001. Т.14. № 3. С. 187-188.
29. Гусев В.Г. Формирование в диффузно рассеянных полях интерференционных картин в случае записи голограммы сфокусированного изображения амплитудного рассеивателя по схеме Габора // Оптика атмосферы и океана. 2002. Т. 15. № 7. С. 626-631.
30. Meier R. W. Magnification and third-order aberrations in holography // Journ. Opt. Soc.Am. 1965. V. 55. P. 987-994.
