Формирование интерферограмм бокового сдвига для контроля волнового фронта при двухэкспозиционной записи голограммы Габора амплитудного рассеивателя с учетом более высокого порядка приближения. II Текст научной статьи по специальности «Физика»

В.Г. Гусев

ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕРФЕРОГРАММ БОКОВОГО СДВИГА ДЛЯ КОНТРОЛЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА ПРИ ДВУХЭКСПОЗИЦИОННОЙ ЗАПИСИ ГОЛОГРАММЫ ГАБОРА АМПЛИТУДНОГО РАССЕИВАТЕЛЯ С УЧЕТОМ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ПРИБЛИЖЕНИЯ. II

В третьем порядке приближения для распределения комплексной амплитуды поля рассматривается формирование интер-ферограмм бокового сдвига в полосах бесконечной ширины для контроля формы волнового фронта при двухэкспозиционной записи голограммы Габора амплитудного рассеивателя. Показано, что из-за сферической аберрации голограммы на стадии ее восстановления с выполнением пространственной фильтрации дифракционного поля на оптической оси в плоскости формирования действительного изображения рассеивателя возникают ошибки контроля как расходящегося, так и сходящегося волнового фронта. Полученные оценки величины погрешности позволяют определить диапазон чувствительности интерферометра, в пределах которого они могут быть исключены.

Известно [1,2], что в голографических интерферометрах бокового сдвига, в основу работы которых положено выполнение необходимых условий для суперпозиции когерентных диффузно рассеянных матовым экраном полей, ограничивается диапазон чувствительности из-за фазовых искажений в канале формирования внеосевой опорной волны. Это ограничение снимается в случае двухэкспозиционной записи голограммы Габора амплитудного рассеивателя для контроля формы как расходящегося [3], так и сходящегося [4] волнового фронта. При этом механизм образования интерферограммы бокового сдвига в полосах бесконечной ширины сводится к следующему. На стадии двухэкспозиционной записи голограммы осуществляется совмещение в ней идентичных объективных спеклов двух экспозиций путем поперечного сдвига амплитудного рассеивателя, освещаемого когерентным излучением с контролируемым волновым фронтом, и фотопластинки. При этом для фиксированной величины поперечного сдвига амплитудного рассеивателя, определяющей диапазон чувствительности интерферометра, необходимая величина и направление поперечного сдвига фотопластинки зависят от радиуса кривизны волнового фронта, его знака и расстояния между амплитудным рассеивателем и фотопластинкой. Кроме того, при выполнении условий совмещения идентичных объективных спеклов двух экспозиций в плоскости фотопластинки одновременно оказывается компенсированным линейный фазовый множитель между спекл-полями двух экспозиций из-за квадратного фазового распределения для комплексной амплитуды квазисферической осевой опорной волны. Как и в случае двухэкспозиционной записи голограммы Френеля матового экрана [2], совпадение объективных спеклов двух экспозиций в плоскости голограммы Габора амплитудного рассеивателя обеспечивает на стадии ее восстановления условие образования интерферограмм бокового сдвига в полосах бесконечной ширины. При этом интерференционные картины также локализуются в плоскости изображения амплитудного рассеивателя и в плоскости голограммы. В результате этого их регистрация возможна только при выполнении пространственной фильтрации дифракционного поля в соответствующих плоскостях. Однако, по сравнению с [2], интерференционные картины характеризуют только контролируемый волновой фронт. Кроме того, когда пространственная фильтрация дифракционного поля про-

водится в плоскости голограммы, то на регистрируемую интерференционную картину, локализующуюся в плоскости мнимого изображения рассеивателя, накладывается помеха в виде дефокусированной интерференционной картины в плюс первом порядке дифракции [3]. В результате этого регистрация интерференционной картины, характеризующей контролируемый волновой фронт и локализующейся в плоскости голограммы, оказывается возможна только при выполнении пространственной фильтрации дифракционного поля в плоскости формирования действительного изображения рассеивателя [3,4]. Помимо этого, к особенностям двухэкспозиционной голограммы Габора амплитудного рассеивателя для контроля волнового фронта следует отнести и возможность ее восстановления с помощью полихроматического источника света [4,5] с последующей регистрацией ахроматических интерференционных полос. В цитируемых выше работах анализ образования в когерентных диффузно рассеянных полях интерферо-грамм бокового сдвига был выполнен в параболическом приближении для распределения комплексной амплитуды поля, которое не учитывает возможных ошибок контроля из-за аббераций голограммы.

В настоящей статье анализируется формирование интерферограмм бокового сдвига в полосах бесконечной ширины для контроля волнового фронта при двухэкспозиционной записи голограммы Габора амплитудного рассеивателя с учетом третьего порядка приближения для распределения комплексной амплитуды поля с целью получения оценки ошибок контроля, что позволяет определить диапазон чувствительности интерферометра, в пределах которого они могут быть исключены.

Рис. 1. Схема записи (а) и восстановления (б) двухэкспозиционной голограммы Габора: 1 - амплитудный рассеиватель; 2 - фотопластинка-голограмма; 3 - плоскость регистрации интерферограммы; р - про-странственный фильтр; Л - положительная линза

Согласно рис. 1, а, амплитудный рассеиватель 1, находящийся в плоскости (х^), освещается когерентным излучением с контролируемой расходящейся квазисферической волной с радиусом кривизны Л. Рассеянное излучение с когерентным фоном регистрируется за время первой экспозиции на фотопластинке 2 в плоскости (х2,у2). Перед повторным экспонированием осуществляется смещение амплитудного рассеивателя в плоскости его расположения, например, в направлении оси х на величину а, а фотопластинки в том же направлении на величину Ъ.

Записанная таким образом двухэкспозиционная голограмма Габора на стадии ее восстановления освещается когерентным излучением со сходящейся

квазисферической волной с радиусом кривизны Л+/, где / - расстояние между плоскостями (хьу!), (х2,у2). На оптической оси в плоскости (х3,у3) формирования действительного изображения рассеивателя проводится пространственная фильтрация дифракционного поля с помощью непрозрачного экрана р с круглым отверстием, и регистрируется интерференционная картина контроля волнового фронта, которая локализуется в плоскости голограммы. Положительная линза Л строит изображение голограммы в плоскости (х4,у4).

Без учета постоянных множителей в третьем порядке приближения распределение комплексной амплитуды поля, соответствующее первой экспозиции, в плоскости фотопластинки определяется выражением

і I I 1 1 2

и1 (х2>У2)~ 11 [1 -1 (х1 <Уі)]ехРу'—(х12 + Уі2)-—Т(х12 + Уі2) -ф(Х1 ,У1)

I ік

х ехр і■

12/

( Х1 - Х2 ) + ( Уі - У 2 )

ехр

ік 8/3

(Х1 - х2 ) + (У1 - У 2 ) Г ¿х1аУ1 ,

(1)

где к - волновое число; г (х1,у1) - амплитуда поглоще- характеризующая фазовые искажения контролируе-ния рассеивателя, являющаяся случайной функцией координат; ф (х1, у1) - детерминированная функция,

мого волнового фронта, например, из-за аберраций

ния рассеивателя, являющаяся случайной функцией

формирующей его оптической системы.

Выражение (1) представим в следующей форме:

1 (х2,У2) ~ ехР<1'к ^(х2 + Уг ) -8]Т(х22 + Уг ) |([§(х2,У2)-р(х2,У2)] (

ікЦ 1 (х2 + у2 )

2/

(2)

®Ф( х2, У2 ) ®Ф1 (х2, У 2 ) ®Ф2 ( Х2, У2 ) ®Фз ( Х2, У2 )} ,

где ® - символ операции свертки; 5 (х2, у2) - дельтафункция Дирака; ц1 = Я/ (Я +1) - масштабный коэффициент; ^ (х2 , У2 ) , Ф (Х2 , У2 ) , Ф1 (Х2 , У2 ) , Ф2 (Х2 , >2 ) , Ф3 (х2, у2) - фурье-образы соответственно функций

* (X, У),

_ -—

ехр [--ф(Х1, У1)], ехр -—(х12 + у2 )

8Л

^1 (Х^ У1; Х2,У2 ) = -Т-2(6х12Х2 + 6У12У22 - 4х13Х2 -8/

- 4 Х12 У1У2 + 2 Х12 Уг - 4 Х1Х2 - 4 Х1У2 У12 + 8 Х1У1Х2 У2 -

- 4 Х1Х2 Уг + 2 х2 У12 - 4 х2 У1У2 - 4 У13 У2 - 4 У1 у2 )-

фазовая функция, характеризующая внеосевые волновые аберрации третьего порядка.

Используя условия * (х1, у1) << 1 [6,7], найдем амплитуду т (х2, у2) пропускания голограммы при усло-

ехр

ік / 2 + 2\2 8/7(Х1+ У1)

, ехр ['^1 (^ У1; х2, У 2)]

вии выполнения ее записи на линейном участке кривой почернения фотоматериала. Без учета регулярной составляющей, занимающей на стадии восстановле-с пространственными частотами ; У2І^І; А - ния голограммы малую область пространства в плос-

длина волны когерентного источника света, исполь- кости регистрации 3 (рис. 1, б), она определяется вы-зуемого для записи и восстановления голограммы; ражением

*к^1 ( х2 + Уг ) ®Ф* ( Х2, У 2 ) ®Ф1* ( Х2, У 2 ) ®Ф2* ( Х2, У2 ) 1 Х

1 ] 1 (3)

®Ф( х2, У2 ) ®Ф1 (Х2, У2 ) ®Ф2 ( Х2, У2 ) ®Ф3 ( Х2, У2 ) 1 + кХ.

Т1 ( х2, У2 ) ~ ІЄХр гкц1

хі^ (х2, У2) ®ехр

2/

2/ 2 (х2 + У2 )

где к.с. означает компле^сн1ое сопряжение. рое слагаемое т(+1) (х2 , у2) - в (+1) порядке.

Первое слагаемое - Т1 ) (Х2, у2 ) - в выражении (3) Соответствующее второй экспозиции распределе-определяет на стадии восстановления голограммы по- ние комплексной амплитуды поля в плоскости фотоследующую дифракцию волны в (-1) порядке, а вто- пластинки принимает вид

і I I 1 1 2

і(х2,у2)~ 11 [1 -1 (х1 + аУ1)]ехрIі 1к —(х2 + у2)-8^3(х2 + У12) -ф(х1,У1)

ік

х ехр і — 1 2/

( х1 - х2 + Ъ )2 + (У1 - У2 )2

2Я ік

ехр і- 8/з

( х1 - х2 + Ъ )2 + (У1 - У2 )2

Г ^х1о'у1.

Если Ь = а (Я +1)/ Я [3], то амплитуда т2 (х2, у2) = = т(2 1 (х2, у2) + т2+1) (х2, у2) пропускания голограммы, которая обусловлена второй экспозицией, определяется выражением

Т2 ( Х2 , У2 ) ~ jeXP

~1Т

(x2 + У22)

)exp(;kax2//)Ф (x2,y2)®exp(/kax2//)Ф1 (x2,y2)

® exp (- /kaxJ R) ф2 (x2, У2)} (x2, У2) ® exP

/k h (x22 + У2) 2/

® exp ( - /kax2/ /) Ф ( x2, у2 ) (

(5)

В используемом приближении распределение комплексной амплитуды волны когерентного излучения в плоскости (х2,у2) (рис. 1, б) для восстановления голограммы принимает вид

® exp(-/kax2//)Ф1 (x2,y2) ® exp(/kax2/R)Ф2 (x2,y2) ® exp(/kax2/R)Ф3 (x3,y3) } + к.с.

)( x2, У 2 ) ~ exp I*

2 (R + /)

( x2 + y2 )"

( x2 + y2 ) +Фб ( x2, y2 )

(6)

где фо(х2,у2) - детерминированная функция, характе- теля по схеме Габора, например [8], то анализ процес-

ризующая возможные фазовые искажения волны, на- са восстановления рассматриваемой двухэкспозици-

пример, из-за аберраций формирующей ее оптической онной голограммы можно проводить в порядках дисистемы. фракции раздельно. Тогда без учета пространствен-

Так как в когерентных диффузно рассеянных по- ной ограниченности поля из-за конечных размеров

лях корреляция волн (-1) и (+1) порядков дифракции голограммы распределение его комплексной ампли-

наблюдается только в случае записи голограммы фо- туды в плоскости (х3,у3) (рис. 1, б) для (+1) порядка

кусированного изображения амплитудного рассеива- дифракции определяется выражением

+J) ( x2, У2 ) ~ I} [Tl+J) ( x2, У2 ) + T2+J) ( x2, У2 )] U0 ( x2 , У2 ) exp ^ [( x2 - x3 )2 + ( У2 - Уз )2 ]

^xp {- 8/31-(x2 - x3 )2 + (У2 - У3 )2 ] [ ^Г2^У2.

(6)

В результате подстановки в (6) соответствующих получим выражений для т j+J) (x2, У2), t2+j) (x2, У2), Щ (X2, У2)

,(+j)

(x3, У3) ~ exp <!/k

1 (x32 + y32) - (x32 + y32 )2

2/

[t (x3, У3)A (x3, У3; x2, У2) X

/k 1 2 2\ {.

x exp - 2,j/(x3+ Уз)_ exp і г

k f 1 1 8 I R3 + /3

®Ф 4 ( x3 , У3 ) X

/k

2ц1/

( x32 + У32 )

/k

2ц1/

(x32 + У32 )

exp [/ф (x3 - a, У3 )]x (7)

+1 (x3, У3) A (x3 + a//R, У3; x2, У2) exp

exp "{8^ [( x3 - a )2 + У32 ] } exp ^ [( x3 + a^R )2 + У32 ] ^[0ф4 (x3 , У3 ) exp - 277 (x32 + У32 ) ®Ф0 (x3 , У3 ) ®Ф2 (x3 , У3 ) ®Ф3 (x3 , У3 ) ®Ф5 (x3 , У3 )} ,

exp \ -/ і ф (^Jx2 - a, ^jУ2 ) + 8R71_(^Jx2 - a) + ^2У2

где A (x3, У3; x2, У2 )=1111 exp[->1 (xj,yj;x2,У2)]exp{/k[(xj -x3)x2 + (yj -У3)У2]//}dxjdyjd^^ —}

- комплексная функция, являющаяся результатом вычислений в каждой точке голограммы; Ф0 (x3, у3),

Ф2 (x3 , y3 ), Ф3 (x3 , y3 ), Ф4 (x3 , у3 ) , Ф4 (x3 , y3 ),

Ф5 (х3, У3) - фурье-образы соответственно функций exp [¿Фо (x2, У2)], exp - (x2 + У2 )

8/3

( |ij x2 + a//R) + ^2 У2 /k

exp

-(x2 + У22)

exp [/v 2 (x2, У2; x3, Уз)], exp {-/ [Ф (M”jx2, ^j У2) + fRr + /tV (x22 + У22 )2

8 (Я + / )3

с пространственными частотами х3/ X/, у3/ X/;

¥2 (х2,У2;хз,Уз) имеет вид функции ¥ (х1;ух;х2,у2) при соответствующей замене переменных, то есть

, yj

2, y 2 , а x2,

У2

, Уз ■

Из выражения (7) следует, что в плоскости (х3,у3) функция модулирует в указанной плоскости спекл-

формирования действительного изображения ампли- поле.

тудного рассеивателя световое поле представляет со- Совпадение идентичных спеклов двух экспозиций бой объективное спекл-поле. Причем по сравнению с в плоскости формирования изображения рассеивателя

дифракционным пределом [9] объективный спекл обуславливает локализацию в ней интерференцион-

уширен на величину, которая определяется шириной ной картины бокового сдвига в полосах бесконечной

ширины, характеризующей контролируемый волновой фронт [3]. При этом из-за внеосевых волновых

функции

Ф 4 (x3, Уз) exp

/k

2^/

(x32 + Уз2)

®Фо (x3,Уз)(

®Ф2 (x3,Уз) ®Ф3 (x3,Уз )®Ф5 (x3,Уз).

аберраций, которые содержаться в выражении для функции А (х3, у3; х2, у2), ее контрастность уменьшается с удалением от оптической оси. При выполнении

Кроме того, информация о неизвестной фазовой пространственной фильтрации дифракционного поля

функции, характеризующей контролируемый волно- в плоскости (х3,У3) на °птическ°й оси положим, что

вой фронт, содержится, с одной стороны, в пределах диаметр фильтрующего отверстия не превосходит пе-

каждого индивидуального объективного спекла в риод изменения функции, которая является результа-

плоскости (х3,у3). С другой стороны, эта фазовая том суперпозиции волн

к ( 1 1 V о п\2

A ( xt , уз; x2, y2) x exp і/

Ф(x3, Уз)

І /k

+A(xt + a//R, Уз; x2, У2 ) exp [/ф(xt - a, У3)] exp (xt - a ) + У32

( x32 + Уз2 )

2 [ { /k exp 18/3

(x3 + a//R )2 + у2

Тогда из-за достаточной малости диаметра фильтрующего отверстия, когда

Ф 3 (x3, Уз) = 5 (x3, Уз), exp і /k

1 / 2 + 2\2

87 (x3+ y3)

• = 1, exp 1 /k

1 i 2 + 2\2

8R? ( x3+ y3)

=1,

распределение комплексной амплитуды поля на выходе пространственного фильтра определяется выражением

,(+j)

(x3, Уз) ~ p (x3, Уз) exp

(x32 + y32 )

t (x3, Уз) exp

/k

2^j/

(x32 + y32 )

®Ф2 ( x3, Уз ) ®Ф5 ( x3, Уз ) ®][ф 4 (x3, Уз) + Ф4 (x3, Уз)] exp - ( x32 + Уз2)

(8)

где р (х3, у3) - функция пропускания пространственного фильтра [10].

Положим, что положительная линза Л (рис. 1, б) с тому, что изменяется распределение в субъективных

фокусным расстоянием / находится в плоскости формирования действительного изображения амплитудного рассеивателя. Кроме того, для сокращения записи будем считать, что / = //2 и /1 = I, где /1 - рас-

спеклах в плоскости регистрации 3 (рис. 1, б) интерференционной картины без изменения ее вида, определим распределение комплексной амплитуды поля в плоскости (х4,у4). Без учета несущественного для

стояние между плоскостями (х3,у3) , (х4,у4). Тогда, ис- дальнейшего рассмотрения характери-

пользуя приближение Френеля, так как учет более зующего распределение фазы сферической волны с

высокого порядка приближения приводит только к радиусом кривизны /, оно принимает вид

и (+1) ( х4, у 4 ) ~ {^1 ( х4, у 4 ){ехр |-г ф ( М"1Х4, М"1у4 ) + ^ (“4 + 41 ( Х1 + у2 )

+ exp [-/ф (-|ij x4 - a, -|ij У4)] exp j- % (x4 + a/ |ij )2 + y2

8R l

8 ^ R3 /

2 1 І /k ^4 exp j

8/3

( x4 - a/1I^R )2 + у2

(9)

/k ^4 ~2T

( x42 + У4 )

)p(x4, У4 ),

где 7*1 (х4, у4), Р (х4, у4) - фурье-образы соответственно функций

гк

t ( xt , Уз) exp

2^j/

(x32 + Уз2 )

®ф0 (хз, Уз) ® ф2 (хз, Уз) ® ф5 (хз, Уз), Р (хз, Уз! с пространственными частотами х4/ X/, у4/ X/.

Из-за медленности изменения с координатной функции

exp [-/Ф(-^jx4 ,-^jУ4 )] +

+ exp {-/ [ф (-|ijx4 - a,-|ijУ4 ) + y (x4, У4; |ija )]},

где v (x4, У4; ^a)=8 [4x4 - ■/tr]^+

+(6 x42 + 2 У42) f -Rj+y-RT) a 2 +4 x4y42 -~^) ^a

R3 /2 R

вынесем ее в выражении (9) из-под знаков интегралов в плоскости регистрации 3 (рис. 1, б) определяется

сверток. Тогда распределение освещенности /(+1)(x4,y4) выражением

I(+1) (*4, У 4) ~ {1 + cos [ф(-Ц1 х4 - а, -|МУ4)-ф(-ЦЛ, -|мУ4) + у (Х4, У4; i^a) ]} X

(10)

exp

ik ц1

~2Г

(Х4 + У42 )

exp

ikм-ц [ 1 + 1 V 2

8 I R3 /з

2 Г

-у4 )

>F1 ( Х4, У4 ) ®Р ( Х4, У4 )|

Из (10) следует, что в плоскости формирования изображения голограммы субъективная спекл-структура промодулирована интерференционными полосами. Интерференционная картина имеет вид ин-терферограммы бокового сдвига в полосах бесконечной ширины, которая характеризует контролируемый волновой фронт. Причем фазовые искажения волны когерентного излучения, используемого для восстановления голограммы, как и оптическое несовершенство подложки фотопластинки, которое можно учесть при анализе в качестве дополнительного слагаемого к функции ф0 (х2, у2), не приводят к изменению вида

регистрируемой интерференционной картины. Однако она может быть искажена из-за сферической волновой аберрации голограммы, если функция

V (х4, у4; ц1а) не равна нулю. Из ее вида следует, что

в случае контроля квазиплоского волнового фронта, когда ц1 = 1 и перед повторным экспонированием фотопластинки необходимо одинаковое ее поперечное смещение с амплитудным рассеивателем,

V (х4, у4; а) = 0 , тогда как аберрации голограммы имеют место. Это связано с тем, что на основании выражения (5) Ф1 (х2, у2) = 5 (х2, у2), а для составляющей Ф 2 (х2, у2) объективного спекла в плоскости фотопластинки отсутствует угол наклона. Тогда как в известном методе контроля волнового фронта, основанного на совмещении объективных спеклов двух экспозиций в плоскости фотопластинки для формирования интерферограмм бокового сдвига в полосах бесконечной ширины путем изменения угла наклона волнового фронта и смещения фотопластинки перед

повторным экспонированием [5,11], угол наклона составляющей Ф 2 (х2, у2) объективного спекла не равен нулю. Это обстоятельство приводит в указанном методе к ошибкам контроля как расходящегося или сходящегося волнового фронта, а также квазиплоско-го. Следовательно, в рассматриваемом методе контроля волнового фронта с увеличением его радиуса кривизны по сравнению с расстоянием между амплитудным рассеивателем и фотопластинкой на стадии двухэкспозиционной записи голограммы уменьшается ошибка контроля. Ее исключение, когда Я Ф да, а диаметр Б контролируемого волнового фронта удовлетворяет используемому приближению, то есть

240,8Х/3 < Б (2Я + /)/Я < 261,6Х/5 , возможно путем

ограничения диапазона чувствительности интерферометра. Для этого найдем максимально допустимую величину а < Б/2 бокового сдвига, при которой еще

можно считать, что V (х4, у4; Ц1а) = 0. Так как в дифференциальной интерферометрии максимальное изменение фазы имеет место на оси сдвига и критерий точности определения фазы составляет величину 0,1 • 2п [12], то на основании выражения для функции

V (х4, у4; Ц1а) максимально допустимая величина бокового сдвига, при которой исключается ошибка контроля, является результатом решения уравнения

6 (¥+(с/ 2)2 а2 +4 (¥- 2)3 а - 0^=0.

Для (-1) порядка дифракции распределение комплексной амплитуды поля на выходе пространственного фильтра (рис. 1, б) принимает вид

,(-1)

( Хз, Уз) ~ Р ( Хз, Уз) exP

(x32 + Уз )

t (- *3, - Уз) exp

®Ф2 (*3, Уз) ®ф5 (*3, Уз) ®exp

exp

ik

4lV

ik

(хз2 + Уз2 )

ik

2ц11 [Ф4 С

( хз2 + Уз2 )

®Ф 0 ( Хз, Уз ) ®

,Уз) + Ф4 (Хз,Уз)]х

(11)

2ц11

( Хз2 + Уз2 )

где Ф4 (Хз, Уз), Ф4 (Хз, Уз) - фурье-образы соответственно функций

exp

1 1

яз /з

'Уг )

exp ^ i <{ф ( М1Х2 - а, М1У 2 ) + —J ( М1Х2 - а ) +Ц12 У2

8 R L

8l3

( М1Х2 + a//R )2 +М1У2

с пространственными частотами Х^^1, У^Х/ . при exp [-ф(-Хз, Уз )]+exp{-i [ф(-Хз - а, уз )+у(хз , Уз;а)]} по

этом для вывода выражения (11) учитывалось медленность изменения с координатой функции сравнению с функцией exp [-ik (x3 + y^ У4м ■'], и в

пределах диаметра фильтрующего отверстия В приближении Френеля распределение ком-Ф (-х3 - а, -у3) - ф (-х3, -у3) + у (х3, у3; а) < п. плексной амплитуды поля в (-1) порядке дифракции в

плоскости регистрации 3 определяется выражением

1 ( х4 , У4 ) ~ {F2 ( Х4 , У4 ) ieXP V'

Ф (-^lx4 , -Ц У4 ) + ^ fRF +1?) (x2 + У42 )2

+ exp [гф(-^iX4 - a -^iУ4 )] exp V i^RT[(x4 + a/¡1 )2 + У 4 ] [exP j [(x4 - al/¡1R)2 + У42 ]

(12)

® exp

ik ¡1 ~2Г

(x2 + y2)

где F2 (x4, y4) - фурье-образ функции

ik

t (- X3, - Уз) exp

2^1l

(x32 + Уз2 )

)exp

ik

4M-1l

( хз2 + Уз2 )

>P ( x4, У4 ) ,

®Ф0 (X3 , Уз ) ®ф2 (хз , Уз ) ®Ф5 (хз , Уз )

с пространственными частотами х4/XI, у4/XI, а распределение освещенности I( 1 (х4, у4 ) принимает вид I(-1) (х4, У4) ~ {1 + cos [ф (-ц 1 х4 - а,-¡1У4) -ф(-ц^, -¡1У4) + у (х4, У4; ¡1а) ]} х

№ ( х4 ,у4 ) ®Р (х4 ,у4 )|2 .

ik ц1 ( 2 . 2\ ikMq f 1 , 1 V 2 , 2\2

jexp _ 2l ^ х4 + У4 ) ® exp _ 8 IR3 + lз J (х< + У4 )]

В свою очередь, регистрируемое распределение освещенности в плоскости (х4,у4) (рис. 1, б) является результатом сложения выражений (10), (13). При этом необходимо учитывать следующее обстоятельство. Если R > l, то в плоскости голограммы будет присутствовать распределение фазы расходящейся сферической волны для (-1) порядка дифракции с радиусом кривизны / (R +/)/(R -/). В результате этого пространственная протяженность интерференционной картины в (-1) порядке дифракции в два раза меньше, чем в (+1) порядке. Это следует из выражений (9), (12), согласно которым световое поле отлично от нуля в пределах области существования функции

exp [-ikц1 (х^ + у2 У2l J® t (-ц1х4, -ц1 у4) для (+1) порядка фильтрации и exp [гкц1 (х^ + У4)/1J®

®t (-2ц1 х4, -2ц1 y4)exp [гкц1 (х^ + у4 lJ для (-1) порядка. Чтобы пространственная протяженность интерференционной картины в (-1) порядке дифракции соответствовала (+1) порядку, необходимо на стадии восстановления голограммы проводить ее освещение излучением со сходящейся квазисферической волной с радиусом кривизны r < (R +/) //R. При этом в плоскости формирования действительного изображения амплитудного рассеивателя, находящейся на расстоянии l' < (R +1) l/2R от голограммы, уменьшается

масштаб интерференционной картины. В связи с этим необходимо уменьшать тогда допустимый диаметр фильтрующего отверстия при проведении пространственной фильтрации дифракционного поля, что может являться причиной уменьшения контрастности регистрируемой интерфференционной картины из-за увеличения размера субъективного спекла [13]. Если

(13)

же на стадии двухэкспозиционной записи голограммы R < I, то на стадии ее восстановления излучением со сходящейся сферической волной с радиусом кривизны г = R +1 в плоскости голограммы для (-1) порядка дифракции присутствует в распределении комплексной амплитуды поля распределение фазы сходящейся сферической волны с радиусом кривизны / (R + /)/(/ - R). В результате этого пространственная

протяженность регистрируемой интерференционной картины в (-1) порядке дифракции соответствует пространственной протяженности в (+1) порядке при выполнении фильтрации дифракционного поля на расстоянии I от голограммы.

В случае контроля сходящегося волнового фронта с радиусом кривизны R > I на стадии записи голограммы перед повторным экспонированием фотопластинку смещают в направлении смещения рассеивателя на величину Ь = а (R - / )^ [4]. На стадии восстановления голограммы ее освещают излучением с расходящейся квазисферической волной с радиусом кривизны г = R -1. Затем на расстоянии I от голограммы, где формируется действительное изображение рассеивателя, на оптической оси проводится пространственная фильтрация дифракционного поля и регистрируется интерференционная картина, которая локализуется в плоскости голограммы и характеризует контролируемый волновой фронт. В третьем порядке приближения для комплексной амплитуды поля, когда диаметр Б контролируемого волнового фронта удовлетворяет условию

240,8Х/3 < £ (2R - /)/R < 261,6Х/5 ,

распределение освещенности в плоскости регистрации интерференционной картины для (+1) и (-1) порядков дифракции принимает вид

[ г! ^2 ( 2 . 2\ гк^4 ( 1 1 V 2 + 2\2

1ехр 2 _ 2/ ^ Х4 + у4 ) ® ехр _ 8 1 яз - /з ](Х4 + у4)_

1( 1 ( Х4 , У4 ) ~ I1 + С08 [Ф (-^ 2 Х4 - « М"2 У4 )-Ф (-^2 Х4 , -^2 У4 ) + V' ( Х4 , У4 ; ^2« ) ]} Х

^2' ( Х4, У4 ) ®Р ( Х4, У4 )| 2 ,

[ гк|д2 ( 2 . 2\ гкМ"2 ( 1 1 2 , 2 \2

1ехр _ 2/ ^ Х4 + у4 ) ® ехр _ 8 1 яз - /з ](Х4 + у4)_

(15)

\г -^ И« + ( 6х.2 + 2 у42) (-1 - ^ ка2 + 4Х, у2 -±

где ц2 = Я/(Я -/) - коэффициент масштабного преобразования;

¥( Х4- ,У4; ) - 8 ^ 4 ^ л/2 у 2 ч 4 ^ Л21 у 2 ^4 ^ л/2 к

- фазовая функция, обусловленная сферической вол- - фурье-образы соответственно функций новой аберрацией голограммы; ^'(х4, у4), ^2' (х4, у4)

гк

М-2«

г ( Х3 , Уз) ехр

( Хз + уз2 )

®ф0 (Хз,Уз)®ф2 (Хз,Уз)®ф5 (Хз,Уз),

г (-Хз, -Уз) ехр

Не

(Хз2 + Уз2 )

_ 2М'2/

с пространственными частотами Ф5 (хз, Уз) - фурье-образ функции

гк

„ гк

®ехр--------------

|_ 4М

Х4/X/, У4/X/;

( Хз2 + Уз2 )

®фо (Хз,Уз)®ф2 (Хз,Уз)®ф5 (Хз,Уз)

ехр

2 Г У2 )

8 (Я - / )з 4

с пространственными частотами хз /X/, уз /X/ .

Из вида функции у' (х4, у4; |д2а) следует, что для

исключения ошибки контроля волнового фронта из-за сферической аберрации голограммы максимально допустимая величина бокового сдвига, при которой можно считать, что у' (х4, у4; |д 2 а) = 0, должна удовлетворять решению уравнения

Яз- -к)(0/2 )2 а 2+

Я" - Я2 ) (°!2 )з а - °,8Х-°.

Кроме того, как и в случае контроля расходящегося волнового фронта, когда Я > /, пространственная протяженность регистрируемой интерференционной картины в (-1) порядке дифракции в два раза меньше, чем в (+1) порядке. Чтобы ее протяженность в (-1) порядке дифракции соответствовала (+1) порядку, необходимо на стадии восстановления голограммы проводить ее освещение когерентным излучением со сходящейся квазисферической волной с радиусом кривизны г < (Я - /) //Я . Тогда пространственная

фильтрация дифракционного поля должна проводиться в плоскости формирования уменьшенного действительного изображения амплитудного рассеивателя на расстоянии /'' < / (Я - /)/2Я от голограммы.

Если на стадии записи голограммы радиус кривизны сходящегося контролируемого волнового фронта меньше расстояния между амплитудным рассеивателем и фотопластинкой, то, как и в [14], перед повтор-

ным экспонированием фотопластинку смещают в направлении, противоположном направлению смещения рассеивателя, на величину Ь = а (/-Я)/Я . На стадиии

восстановления голограммы ее освещают когерентным излучением со сходящейся квазисферической волной с радиусом кривизны г - / - Я . Затем на расстоянии / от голограммы на оптической оси проводится пространственная фильтрация дифракционного поля и регистрируется интерференционная картина, которая локализуется в плоскости голограммы и характеризует контролируемый волновой фронт. В третьем порядке приближения для комплексной амплитуды поля, когда диаметр Б контролируемого волнового фронта удовлетворяет условию

240,8Х/з < Б//Я < 261,6Х/5 , распределение освещенности в плоскости интерференционной картины для (+1) и (-1) порядков дифракции имеет вид, аналогичный выражениям (14), (15) с учетом коэффициента масштабного преобразования, равного величине Я/(/- Я). Кроме того, в силу формирования двух

действительных изображений амплитудного рассеивателя в порядках дифракции [14] пространственная протяженность регистрируемых интерференционных картин в (+1) и (-1) порядках получается одинаково.

Следует отметить, что при рассеянии света на амплитудном экране максимальный угол рассеяния значительно меньше ламбертовского угла. Так как любая малая область объективной спекл-структуры в плоскости фотопластинки на стадии записи голограммы должна получать излучение от всей освещенной поверхности рассеивателя, то с увеличением диаметра контролируемого волнового фронта необходимо увеличивать расстояние между амплитудным рассеивателем и фотопластинкой. В связи с этим отсутствует необходимость в проведении анализа формирования интерферограмм бокового сдвига в полосах бесконечной ширины для контроля волнового фронта в бо-

лее высоком порядке приближения для распределения комплексной амплитуды поля, чем третий порядок.

В эксперименте двухэкспозиционная запись голограмм амплитудного рассеивателя по схеме Габора выполнялась согласно рис. 1, а на фотопластинках типа МикратВРЛ с помощью излучения Не - №-лазе-ра на длине волны X = 0,6328 мкм с целью регистрации интерферограмм бокового сдвига, которые характеризуют сферическую аберрацию голограммы. Для этого использовались следующие геометрические параметры схемы ее записи: Я = / = 31° мм, Б = 2° мм, Б0 = 4° мм, где Б0 = Б/ц1 - диаметр голограммы.

Формирование анаберрационного расходящегося волнового фронта обеспечивалось за счет использования параксиальной области линзы для малоапертурного лазерного пучка. Для указанных геометрических параметров схемы записи голограммы распределение комплексной амплитуды поля удовлетворяет третьему порядку приближения, то есть

240^Яз < Б < 261^Я5,

2< Б + Б0 < 260^/5.

На рис. 2, а представлено распределение освещенности в плоскости голограммы, когда перед повторным экспонированием величина поперечного сдвига амплитудного рассеивателя составляла а - 3 ± 0,002 мм, а фотопластинки - Ь - 5,995 ± 0,002 мм. Его регистрация осуществлялась при освещении голограммы когерентным излучением со сходящейся квазисфериче-ской волной с радиусом кривизны г - 620 мм и проведении пространственной фильтрации дифракционного поля на оптической оси на расстоянии 310 мм от голограммы с помощью апертурной диафрагмы диаметром 2 мм объектива Л (рис. 1, б). Из вида функции у (х4, у4; ц1а) распределение освещенности на рис. 2, а соответствует выражению

I(х4, у4)~1 + cos

16R

-( 6x4 + 2 y4 ) a

----Дх4

R 4

где А - величина, характеризующая отклонение от условия, при котором образуется интерференционная картина бокового сдвига в полосах бесконечной ширины. Введение расстройки А приводит к формированию интерферограммы бокового сдвига в полосах конечной ширины, которая более чувствительна к локальным изменениям фазы. Однако в голографической интерферометрии с использованием когерентных диффузно рассеянных полей формирование ин-терферограмм бокового сдвига в полосах конечной ширины для контроля волнового фронта возможно в случае двухэкспозиционной записи голограммы Фурье [1,15] или квази-Фурье [16] матового экрана. Это объясняется тем, что несовпадение идентичных спек-лов двух экспозиций в плоскости голограммы на одинаковую величину А приводит к локализации составляющей интерференционной картины, обусловленной расстройкой, в дальней зоне дифракции, где и формируется изображение матового экрана для вышеуказанного типа голограмм. В рассматриваемом случае, с

одной стороны, неоднородные фазовые изменения приводят к образованию интерференционной картины, локализующейся в плоскости голограммы и в плоскости изображения амплитудного рассеивателя. С другой стороны, однородному сдвигу в плоскости голограммы объективных спеклов второй экспозиции от условия, необходимого для их совпадения, соответствует интерференционная картина, представляющая собой систему эквидистантно расположенных интерференционных полос, локализующихся в дальней зоне дифракции. Поэтому для регистрации достаточно контрастной интерференционной картины бокового сдвига в полосах конечной ширины, которая локализуется в плоскости голограммы и в плоскости изображения амплитудного рассеивателя, необходимо, чтобы величина А «0,11 мм была соизмерима с размером объективного спекла в плоскости фотопластинки-голограммы. Это связано с тем, что с уменьшением величины А увеличивается период эквидистантно расположенных интерференционных полос, следовательно, увеличивается глубина их локализации [17]. В результате этого из-за сферической аберрации голограммы для характерного случая, когда на стадии ее двухэкспозиционной записи радиус кривизны расходящегося волнового фронта равен расстоянию между амплитудным рассеивателем и фотопластинкой, форма регистрируемых интерференционных полос - система эллипсов с центром на оси сдвига на

расстоянии

4R2 д/3'

а от оптическои оси.

Рис. 2. Распределение освещенности в плоскости голограммы, когда: a) R = l = 310 мм; б) R = 200 мм, l = 310 мм

В случае, когда R Ф l, вид зарегистрированной ин-терферограммы бокового сдвига в полосах конечной ширины, которая характеризует сферическую аберрацию голограммы, представлен на рис. 2, б. На стадии записи голограммы использовались следующие геометрические параметры: R = 200 мм, l = 310 мм,

D = 20мм, D0 = 51 мм. Для указанных параметров распределение комплексной амплитуды поля как в плоскости амплитудного рассеивателя, так и в плоскости фотопластинки также удовлетворяет третьему порядку приближения. Перед повторным экспонированием величина поперечного сдвига амплитудного рассеивателя составляла а = 2,375 ± 0,002 мм, а фотопластинки -b = 6,09 ± 0,002 мм. Регистрация интерференционной картины осуществлялась при освещении голограммы когерентным излучением со сходящейся квазисфери-ческой волной с радиусом кривизны r = 510 мм и проведении пространственной фильтрации дифракционно-

го поля на оптической оси на расстоянии 310 мм от голограммы с диаметром фильтрующего отверстия 2 мм.

Из вида функции у (х4, у4; ц1а) распределение освещенности на рис. 2, б соответствует выражению

I (х4, у4) ~ 1 + cos

8

4 х

4 'R3

1

Rl2

3

а

-(6 х4 + 2 )

1 1 I 2 2

- + Rl ка

R

■ 4 Х4 У4

1

1

R3 Rl2

3

а

- у Дх4

В этом случае форма интерференционных полос -кривые третьего порядка, которые характеризуют сферическую аберрацию с предфокальной дефокусировкой. Причем их асимметрия обусловлена слагаемым к(6x4+ 2у!)| -1 + ^-|ц,2а2 . Введение зафо-81 4 ’ У Яз /Я2)

кальной дефокусировки, когда перед повторным экспонированием фотопластинки величина ее поперечного сдвига превышает величину, которая необходима для формирования интерферограммы бокового сдвига в полосах бесконечной ширины, приводит к изменению вида интерференционной картины на рис. 2, б. Форма интерференционных полос в этом случае становится характерной для сферической аберрации с зафокальной дефокусировкой, например, [18]. В свою очередь, введение зафокальной дефокусировки при регистрации интерференционных картин бокового сдвига, когда Я=/, приводит к противоположному относительно оптической оси смещению центра эллиптических интерференционных полос.

Таким образом, анализ формирования интерферо-грамм бокового сдвига в полосах бесконечной ширины для контроля формы волнового фронта при двухэкспозиционной записи голограммы амплитудного рассеивателя по схеме Габора с учетом третьего порядка приближения для распределения комплексной

амплитуды поля показал следующее. Как для расходящегося, так и для сходящегося волнового фронта из-за сферической аберрации голограммы возникает ошибка контроля. При этом она уменьшается с увеличением радиуса кривизны волнового фронта относительно расстояния между амплитудным рассеивателем и фотопластинкой на стадии записи голограммы. В отличие от известного метода духэкспозиционной записи голограммы, в котором для формирования ин-терферограмм бокового сдвига в полосах бесконечной ширины осуществляется совмещение объективных спеклов двух экспозиций путем изменения угла наклона волнового фронта и сдвига фотопластинки, отсутствует ошибка в случае контроля квазиплоского волнового фронта. Кроме того, как для расходящегося, так и для сходящегося волнового фронта можно исключить ошибку контроля из-за сферической аберрации голограммы путем ограничения диапазона чувствительности интерферометра. Определенная для этой цели максимально допустимая величина бокового сдвига зависит от диаметра контролируемого волнового фронта, его радиуса кривизны, расстояния между амплитудным рассеивателем и фотопластинкой и длины волны когерентного источника света, используемого на стадиях записи и восстановления голограммы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гусев В.Г. Голографический интерферометр сдвига с диффузно рассеянными полями // Оптика и спектроскопия. 1989. Т. 66. Вып. 4. С. 921-924

2. Гусев В.Г. Пространственная фильтрация голографических интерферограмм бокового сдвига для контроля волнового фронта // Изв. вузов. Физика. 2000. № 8. С. 58-63.

3. Гусев В.Г. Формирование голографических интерферограмм бокового сдвига для контроля волнового фронта // Изв. вузов. Физика. 2000. № 12. С. 8-14.

4. Гусев В.Г. Форимирование интерферограмм бокового сдвига для контроля волнового фронта в случае двухэкспозиционной голограммы Габора // Изв. вузов. Физика. 2000. № 10. С. 41-48.

5. Гусев В.Г. Формирование в диффузно рассеянных полях интерферограмм бокового сдвига для контроля волнового фронта при двухэкспозиционной записи голограммы Габора // Оптика атмосферы и океана. 2001. Т. 14. № 1. С. 12-17.

6. Gabor D. Microscopy by reconstructed wavefronts // Proc. Roy. Soc. (London). 1949. A197. P. 454-487.

7. Gabor D. Microscopy by reconstructed wavefronts // Proc. Roy. Soc. 1951. B64. P. 449-469.

8. Гусев В.Г. Абберации голограммы Габора при формировании в диффузно рассеянных полях интерферограммы бокового сдвига для контроля волнового фронта // Оптический журнал. 1998. Т. 65. № 2. С. 36-40.

9. Франсон М. Оптика спеклов. М.: Мир, 1980. 158 с.

10. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 846 с.

11. Гусев В.Г. Запись и воспроизведение голограммы Габора для формирования интерферограмм // Оптика атмосферы и океана. 2003. Т.16. № 2. С. 98-104.

12. Вест Ч. Голографическая интерферометрия. М.: Мир, 1982. 497 с.

13. Джоунс Р., Уайкс К. Голографическая и спекл-интерферометрия. М.: Мир, 1986. 327 с.

14. Гусев В.Г. Формирование голографических интерферограмм бокового сдвига для контроля волнового фронта // Оптический журнал. 2000. Т. 67. № 3. С. 62-65.

15. Гусев В.Г. Формирование в диффузно рассеянных полях голографических интерферограмм сдвига // Оптика и спектроскопия. 1993. Т. 75. Вып. 3. С. 691-695.

16. Гусев В.Г. Формирование интерферограмм бокового сдвига в диффузно рассеянных полях для контроля волнового фронта при двухэкспозиционной записи безлинзовой квази-Фурье голограммы // Оптика атмосферы и океана. 2001. Т.14. № 2. С. 125-130.

17. Клименко И.С., Рябуко В.П., Федулеев Б.В. Проявление тонкой структуры спекл-полей при их когерентном сложении // Письма в ЖТФ. 1983. Т. 9. С.1381-1385.

18. Оптический производственный контроль / Под ред. Л. Малакары. М.: Машиностроение, 1985. 400 с.