CC BY
19
О новых точных решениях задачи электростатики проводников
П. А. Поляковa, Н. Е. Русаковаb, Ю. В. Самухинас
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра общей физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: apolyakovpa@mail.ru, b rusakova@physics.msu.ru, c samukhina@physics.msu.ru Статья поступила 04.07.2014, подписана в печать 27.07.2014.
Найден новый класс проводящих фигур, допускающих аналитическое решение основной задачи электростатики. Получены аналитические формулы для поверхностной плотности распределения заряда для трех фигур этого класса.
Ключевые слова: задача электростатики, аналитическое решение, поверхностная плотность распределения заряда.
УДК: 537.2. PACS: 41.20.Cv.
Введение
Известно считанное количество аналитических решений задач электростатики, которые подробно рассматриваются в классических учебниках, например [1, 2]. Может показаться, что этими примерами исчерпаны все возможные точные решения и для всех остальных задач электростатики решения могут быть получены либо приближенно, либо численно. Тем не менее до настоящего времени находятся новые оригинальные решения, например [3-20]. В настоящей работе предлагается новый класс нетривиальных аналитических решений задач электростатики заряженных проводников в вакууме.
1. Постановка задачи
Для определения указанного нового класса аналитических решений рассмотрим стандартную постановку задачи электростатики для заряженного проводящего тела в вакууме, а именно уравнение Лапласа для потенциала электростатического поля ф и граничное условие Дирихле, задающее постоянное значение потенциала на поверхности проводящего тела фЕ:
Дф = 0, (1)
фЕ = const. (2)
Хорошо известно, что в сферической системе координат уравнению Лапласа (1) во внешней области будет удовлетворять функция, определяемая суммой ряда по шаровым функциям [21]:
n
ф(г, 0, = 0+1 • YkО Ф), (3)
n=0 k=-n
где Y/k(0, ф) — сферические функции [1].
Решению уравнения Лапласа будет также удовлетворять любая конечная сумма ряда (3). Решение внешней граничной задачи Коши (1), (2) будет получено, если нам удастся подобрать такие коэффициенты ank , при которых потенциал (3) на поверхности Е нашего проводящего тела будет равен заданной константе фЕ в любой точке поверхности, т. е.
N n
Фе=ЕЕ 0+v • Yko Ф).
Выражение (4) относительно обратного радиуса 1/г является полиномом степени п + 1, поэтому решение уравнения (4) для общего случая имеет аналитический вид только для полиномов не старше 4-го порядка, т. е. когда п < 3. В этом случае имеется 4 аналитических решения задачи Коши (1), (2) для замкнутых фигур, определяемых равенством (4). Форма поверхности этих фигур (г = г(в, ф)) задается аналитическими выражениями, определяемыми корнями соответствующих полиномиальных уравнений. В частности, при п = 0 имеем случай однородно заряженной сферы. В настоящей работе рассмотрены новые аналитические решения для случаев п = 1 и п = 2. Подробно проанализированы три новые проводящие фигуры, для которых найдены точные аналитические формулы, описывающие поверхностную плотность распределения заряда.
В случае, когда нет зависимости от полярного угла ф (осесимметричный случай), формула (3) преобразуются к виду [1]
I й\ Рп(С0Ч в)
ф(г, в) = ^ ап гп+1 , (5)
п=0
где Рп(ео8 в) — полиномы Лежандра порядка п, ап = апи при и = 0.
2. Уравнение поверхности и поверхностное распределение заряда для осесимметричного случая при п = 1
Для осесимметричного случая при п = 1 из (5) имеем следующее уравнение поверхности:
1
4^0
(о ± a*P1 (cos 0)) = ф, ф е [0; 2^), (6)
n=0 k=—n
rn+1
(4)
где е0 — электрическая постоянная, а1 и а0 — некоторые постоянные, ф — постоянный потенциал поверхности рассматриваемой фигуры. Параметр а0 имеет смысл суммарного электрического заряда д, распределенного по поверхности, задаваемой уравнением (6).
Разделим обе части равенства (6) на величину а0/4пе0г0, равную потенциалу проводящей сферы радиуса г0 с суммарным зарядом д = а0. Тогда уравнение поверхности (6) примет следующий безразмерный вид:
Фх2 - х т kP1 (cos 0) = 0,
(7)
где
х-- k--^-
Л< — , гС — ,
Го а0г0
Ч>
(8)
(ро ц/(4тге0г0)'
При выборе знаков « + » и « —» имеем две идентичные фигуры, зеркально симметричные относительно друг друга. Для определенности ограничимся знаком « —». Данное уравнение имеет два корня, но физический смысл имеет только один. В результате из (7) получим следующее уравнение поверхности в ранее введенных безразмерных сферических координатах:
х(в) =
1 + а/1 + 4Ф& cos в 2Ф '
0;2тг),
(9)
где
1 + ЛШРХ (cos в) ^ 0. (10)
Соотношение (10) накладывает ограничения на значения параметров Ф и k.
Исследуем далее распределение плотности заряда на поверхности (9). Известно, что напряженность электрического поля, создаваемого проводником вблизи его поверхности, равна
Е = - = |VH, to
(П)
x(0)sin6>
где о — плотность распределения зарядов по поверхности проводника. Из (11) для плотности заряда для безразмерных величин (8) получим
о =
4717-2
m
1
(12)
Введем безразмерную плотность заряда а = ст/сто, где сто = д/47гг^ — плотность распределения заряда по поверхности сферического проводника радиуса го. Тогда, используя введенные выше обозначения, получим из (12) окончательную формулу для безразмерной поверхностной плотности распределения заряда:
1
о =
2/ecos в
хце) хце)
k sin в
(13)
На рисунке, а, б приведены форма поверхности (9) и распределение заряда по поверхности фигуры (13) соответственно при значениях параметров Ф = 1 и к = 0.25 в сечении плоскостью, перпендикулярной плоскости Оху (ось г на рисунке горизонтальна). Эти значения параметров являются критическими, при превышении данных значений полученная поверхность будет разрывной.
<т вшб
x(0)cos0
д~ cos8
x(0)sin0
»■sine
x(0)cos0
0.4
0.2
-0.4^ '<^0.2 s0.4
-0.2
-0.4
acosO
Осесимметричный случай при п = 1. Форма поверхности тела вращения, определяемая формулой (9), в сечении плоскостью, перпендикулярной плоскости ху (а); распределение заряда по поверхности тела вращения, определяемое формулой (13), в сечении плоскостью, перпендикулярной плоскости ху (б). Осесимметричный случай при п= 2. Форма поверхности тела вращения, определяемая формулой (16), в сечении плоскостью, перпендикулярной плоскости ху (в); распределение заряда по поверхности тела вращения, определяемое формулой (17), в сечении плоскостью, перпендикулярной плоскости ху (г)
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
59
3. Уравнение поверхности и поверхностное распределение заряда для осесимметричного случая при n = 2
Для осесимметричного случая при n = 2 из (5) имеем следующее уравнение поверхности:
1 /оо ± * 4те0 V r r3
(cos 0})
= ф.
Введем безразмерные параметры
к = £/го, £ = а2/а0. (14)
С учетом (14) уравнение поверхности примет вид
Фх3 - x2 т кР2 (cos 0} = 0. А. Рассмотрим случай со знаком «+»:
(15)
Фх3 - х2 + кР2(ео8 в) = 0.
Данное уравнение имеет три корня, два из которых мнимые. Действительный корень определяется выражением
х,(0} = зф +
21/3
3Ф (l(0} + V-4 + L2(0})
L(0} + у/-4 + L2(0})
1/3
3 • 21/3Ф
(16)
где введено обозначение L(0) = 2 - 27Ф2к(-1 + 3 cos2 0). При этом существует ограничение на параметры Ф и к:
-4 + (2 - 27Ф2к(-1 + 3 cos2 0))2 ^ 0.
Произведя расчеты, аналогичные разделу 2, получим окончательную зависимость безразмерной плотности распределения заряда по поверхности тела от азимутального угла, параметра к и безразмерного потенциала Ф:
а =
Л
3к(—1 + 3 cos2 0} 2х4(0}
1
х2(0}
,2 + 9к2 cos2 0 sin2 0
х8(0}
(17)
где х1(в) определяется формулой (16).
На рисунке, в, г показаны форма поверхности фигуры (16) и поверхностное распределение заряда (17) при критических значениях параметров к = 0.25, Ф = 0.76 в сечении плоскостью, перпендикулярной плоскости Оху (ось г на рисунке горизонтальна).
Б. Рассмотрим случай, когда в уравнении (15) перед параметром к стоит знак « — »:
(18)
Фх3 — х2 — кР2(ео8 в) = 0.
Данное уравнение имеет 3 корня, два из которых мнимые. Из (18) получаем следующее уравнение поверхности в безразмерных сферических координатах:
Х2(0}= 3Ф +
21/3
3Ф (m(0} + V—4 + M2(0})
(Ы(0} + /—4 + M2(0} )
1/3
3 • 21/3Ф
(19)
где введено обозначение M(0) = 2+27Ф2к(-1+3 cos2 0).
Аналогично описанному выше алгоритму получим выражение для безразмерной плотности распределения заряда по поверхности данной фигуры вращения:
а =
Л
3к(—1 + 3 cos2 0} 2x4(0}
+
1
х2(0}
,2 + 9к2 cos2 0 sin2 0
х| (0}
где х2(0) определяется формулой (19).
Заключение
Таким образом, в настоящей работе показано, что существует конечный класс новых аналитических решений задач электростатики, который определяется возможностью аналитического решения уравнения для полинома N-й степени. В общем случае аналитическое решение возможно для полиномов не старше 4-го порядка.
В работе показано, что имеются новые трехмерные проводящие фигуры, которые допускают решение задачи электростатики. Подробно исследованы три фигуры (одна несимметричная и две симметричные). Для этих фигур получены аналитические формулы для поверхностной плотности распределения заряда. Исследованы особенности распределения заряда и построены соответствующие графики.
Список литературы
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. 4-е изд. М., 2005.
2. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М., 1954.
3. Polyakov P.A., Rusakova N.E., Samukhina Yu.V., Giudje-nov I. // Math. and Natural Sci. 2013. 3. P. 33.
4. Поляков П.А., Русакова Н.Е., Самухина Ю.В. // Сборник трудов 21-й Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». 2013.
5. LeknerJ. // J. of Electrostatics. 2010. 68. P. 299.
6. Ping Zhu, Yi Jie Zhu. // J. of Electrostatics. 2012. 70. P. 25.
7. Kolikov K., Ivanov D., Epitropov Y., Bozhkov S. // J. of Electrostatics. 2012. 70. P. 91.
8. Ciftia O. // J. of Electrostatics. 2013. 71. P. 102.
9. Le Ru E.C, Etchegoin P.G. // J. Chem. Phys 2009. 1309. Р. ???.
10. Jiang Z. // J. of Electrostatics. 2003. 58. P. 247.
11. Giuliani G.F., Vignale G. ???. Cambridge University Press, 2005. P. 13.
12. Bernu B., Delyon F., Duneau M., Holzmann M. // Phys. Rev. B. 2008. 78. P. 245110.
13. Ciftja O. // J. Math. Phys. 2011. 52. P. 122105.
14. Ciftja O. // Phys. Lett. 2010. A 374. P. 981.
15. Ciftja O. // Eur. J. Phys. 2011. 32. P. 55.
16. Ciftja O. // Mod. Phys. Let. 2009. B 23. P. 3055.
17. Aghamohammadi A. // Eur. J. Phys. 2011. 32. P. 633.
18. Ishizuki M.I., Takemiya H., Okunishi T., Takeda K. // Phys. Rev. B. 2012. 85. P. 155316.
19. Akbar S., Lee I.-H. // Phys. Rev. B. 2001. 63. P. 165301.
20. Zhu P. // J. Yunnan Noumal Univ. 2005. P. 42.
21. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Аб-рамовица, И. Стиган. Пер. с англ. под ред. В. А. Диткина, Л.Н. Карамзиной. М., 1979.
On new exact solutions to the problem of electrostatics of conductors P. A. Polyakova, N.E. Rusakovab, Yu. V. Samukhinac
Department of General Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: apolyakovpa@mail.ru, b rusakova@physics.msu.ru, c samukhina@physics.msu.ru.
A new class of conducting figures that allow an analytical solution of a main task of electrostatics was found. Analytical formulas for the surface density of the charge for three figures of this class were obtained.
Keywords: the problem of electrostatics, analytical solution, surface charge density. PACS: 41.20.Cv. Received 4 July 2014.
English version: Moscow University Physics Bulletin 6(2014). Сведения об авторах
1. Поляков Пётр Александрович — докт. физ.-мат. наук, профессор, профессор; тел.: (495) 939-14-89; e-mail: polyakovpa@mail.ru.
2. Русакова Наталья Енчуновна — канд. физ.-мат. наук, ассистент; тел.: (495) 939-14-89, e-mail: rusakova@physics.msu.ru.
3. Самухина Юлия Владимировна — аспирант; e-mail: samukhina@physics.msu.ru.
