О величине индуцированных зарядов и электростатического диполя вытянутого проводящего сфероида, расположенного коллинеарно однородному электростатическому полю Текст научной статьи по специальности «Физика»

О величине индуцированных зарядов и электростатического диполя вытянутого проводящего сфероида, расположенного коллинеарно однородному электростатическому полю

Н. Ю. Колбнева, *С. О. Ширяева, Ю. Б. Кузьмичев

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль,150000, Россия, e-mail: [email protected]

Аналитическим путем в сферической системе координат переходом от сфероидальных координат в линейном приближении по квадрату эксцентриситета найдены величина и положения центров индуцированных зарядов и величина поляризационного диполя.

Ключевые слова: сфероидальная капля, электростатическое поле, центры индуцированных зарядов, индуцированный диполь.

УДК 532.59:534.1

ВВЕДЕНИЕ

В многочисленных технических и технологических приложениях приходится иметь дело с каплями и жидкокапельным аэрозолем во внешних электростатических полях. Классический пример: туман в приземном электростатическом поле или облачные капли во внутриоблачном электростатическом поле (отметим, что характерный масштаб возможных пространственных вариаций электрического поля много больше размеров отдельных капель) [1-4]. Можно добавить и электрораспыление жидкостей различной природы, жидкометаллические источники ионов, масс-пектрометрию нелетучих жидкостей с электростатическим способом ввода испытуемой жидкости в разрядную систему, ионные коллоидные реактивные двигатели и многое другое [5-8]. При этом проблема неоднократно исследовалась и экспериментально, и теоретически [9-12]. Приходится сталкиваться с незаряженной каплей во внешнем электростатическом поле и в задачах расчета электромагнитного излучения от незаряженных облаков [13]. Причем расчет излучения от нелинейно-осциллирующих капель [14] будет связан с осцилляциями именно диполей. При теоретическом расчете характеристик капель приходится сталкиваться с тем обстоятельством, что они в электростатическом поле поляризуются и становятся с электростатической точки зрения диполями. Аналитические выражения для потенциала электростатического поля сфероидальной капли во внешнем электростатическом поле и поверхностной плотности ее заряда давно известны в сфероидальных координатах [15-18] (см., например, [18, с. 41, 44]. Но сложность аналитического перехода от сфероидальных координат, например к сферическим

весьма затрудняет использование результата [15-18]. В этой связи представляется целесообразным выполнить необходимый переход и рассчитать поляризационные заряды и величины поляризационных диполей.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим задачу об определении величин и положений центров индуцированных зарядов и величины индуцированного диполя в сферической системе координат переходом от сфероидальных координат.

Пусть незаряженный проводник сферической формы радиуса Я находится в однородном постоянном электрическом поле напряженностью Е0. Примем, что внешней средой является вакуум с диэлектрической проницаемостью в* = 1.

Проводимость внутренней среды будем принимать достаточно высокой, чтобы характерное время перераспределения поляризационного заряда по поверхности было много меньше гидродинамического времени и электрическое поле в окрестности сферы можно было считать электростатическим в любой момент времени и характеризовать потенциалом Ф(г, 9).

Потенциал в окрестности сферы (или сфероида) удовлетворяет обычному уравнению Лапласа.

Естественные граничные условия для напряженности электростатического поля Е (г, 0) в

окрестности жесткой электропроводной сферы (или сфероида) определены в виде:

E (r, 0)|

■Ё0 = E0ez; E (r, 0)| ^

^ 0,

где ez

r" " " ' \r=R

орт декартовой системы координат,

Ё (r, 0) = VO(r, 0).

© Колбнева Н.Ю., Ширяева С.О., Кузьмичев Ю.Б., Электронная обработка материалов, 2017, 53(1), 9-15.

Проводящую жесткую сферу (или сфероид), индукционно-заряженную во внешнем электростатическом поле, можно представить как систему двух индуцированных зарядов, равных по величине, но с противоположными знаками, разнесенными на некоторое расстояние порядка радиуса сферы (диполь).

Решим сформулированную задачу, перейдя от тривиальных, уже решенных для сферы, к проблематичным, - для сфероида.

ПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРОВ

ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ ЗАРЯДОВ СФЕРЫ

Начнем с простейшей задачи: определим искомые величины для твердой электропроводной сферы.

Найдем положение центров индуцированных зарядов сферы, находящейся в однородном постоянном электрическом поле напряженностью Е0, полагая, что поверхностная плотность заряда на сфере с(9) определяется выражением 3Е

0) =—°С08 0 [18, с. 30], 9 - полярный угол. у ' 4п

Направим вектор напряженности электрического поля вдоль оси г от положительного заряда к отрицательному.

Положение центров индуцированных зарядов сферы определяется системой уравнений (1)-(3):

д++ д-= 0;

(1)

R<+> =

— j rdq+;

Si -

п

r = R;0 < e <-;0 < ф < 2п 2

(2)

#-> =

— j rdq-;

S2 -

п

r = R;— < e < п;0 < ф < 2п 2

(3)

отрицательный

где q+ - положительным и q_ индуцированные заряды.

В выражении (2) положительный индуцированный заряд определен в виде:

q+ = J dq+ = J о (9) • dSх = J о (9) • r2 sin 9^9^ф. (4)

Подставив величину поверхностной плотности индуцированного заряда на полусфере в (4) и взяв интеграл по поверхности 51, получим выражение для положительного индуцированного заряда:

3

q+=T R2 Е0-

(5)

Для нахождения положения центра заряда в (2) выпишем выражение для радиус-вектора:

r = r (ex sin ecosф + ey sin es^ + ez cos e); (6)

где ex, ey, ez - орты декартовой системы координат, не зависящие от положения точки пространства, в которой они определяются.

Приняв во внимание, что = R^, и подставив выражения индуцированннного заряда (5) и радиус-вектора (6) в условие (2), получим выражение положения центра заряда вдоль оси z:

R(+>= 2 R. z 3

Аналогичным образом для второй половинки сферы, определяемой поверхностью S2 в выражении (3), получим решения для величины отрицательного индуцированного заряда:

q-=-3 R2 Е0

и положения его центра:

R(-)=--R.

(см. рис. 1).

Рис. 1. Схема расположения поляризационных зарядов в сфере.

В итоге индуцированный диполь для незаряженной сферы во внешнем электростатическом поле определим выражением [19]:

p = R3E

0 z'

(7)

ПЕРЕХОД ОТ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА, ПОЛУЧЕННОГО В СФЕРОИДАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ, В СФЕРИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ КООРДИНАТ

Для нахождения характеристик электростатического поля проводящего сфероида, помещенного во внешнее однородное электростатическое поле, найдем выражение электростатического

3

+ S

потенциала сфероида в удобной для практического использования сферической системе координат, осуществив переход от известного решения, полученного в сфероидальных координатах

(%, С, Ф).

Выражение для потенциала электростатического поля вокруг вытянутого сфероида в сфероидальных координатах имеет вид [18, с. 41]:

Ф = - E0 z Л -

Arth

(

Art^n -i -4

a V a

v

2 2 Z - + - P

a2 + % b2 + ^

= 1,

(9)

где г и р - цилиндрические координаты. Решения уравнения (9) примут вид:

= 2{"(«2 + Ь2) + г2 + р2 ± ±^(-(а2 + Ь2) + г2 + р2)2 + 4(г2 + а2 ( -Ь2)))

% = 2 {-(а2 + b2) + z2 + р2 +

z2 =

(% + а 2)(Z + а 2) 2 ( % + b2 )( Z + b2 )

; Р г.2 „2 •

2 г.2

а - b

- а

Полуоси эллипсоида а, Ь выражаются через эксцентриситет в виде соотношений:

-1/3 / „ч1/6

= R (1 - г2 у1'3; b = R (1 - ^ )

где e = i -I —I - эксцентриситет сфероида.

(8)

(12)

Подставив в (8) полученное выражение для соотношения (11) - для г и р, (12) - для полуосей а и Ь, получим выражение электрического потенциала сфероида в сферических координатах в линейном по квадрату эксцентриситета приближении:

где сфероидальная координата определяется как корень уравнения

Ф(, 0) = EM (^)

Л

2е2 R3

Т E0

( R3

Rr -1

vr У

3R2

(13)

P1 (^ ) + TT P3 (^)

2 r2

где

(10)

Значения и отличаются лишь знаком перед радикалом в (10). Несложно видеть, что

-(а2 + Ь2) + г2 + р2 < <^(-(а2 + Ь2) + г2 + р2)2 + 4(Ь2г2 + а2 (р2 - Ь2)).

.Р3(ц) - осесимметричные полиномы Лежандра [20]; ц = со89.

Такое же выражение получается, если найти распределение электрического поля в окрестности вытянутого сфероида непосредственно в сферических координатах.

РАСЧЕТ ПОТЕНЦИАЛА ВЫТЯНУТОГО СФЕРОИДА НЕПОСРЕДСТВЕННО В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Краевая задача для нахождения электростатического потенциала Ф(г, 9) в сферических координатах имеет вид:

Ясно, что один корень уравнения (9) отрицателен, другой - положителен. В области вне сфероида координата изменяется в диапазоне 0 < < да. Поэтому следует взять

r (0)

= const;

+}/(-(a2 + —2) + z2 + p2 )2 + 4 (—2z2 + a2 (p2 - —2)) J.

Связь координат z, p, с координатами ^ выражается формулами:

Чтобы получить выражение для электрического потенциала незаряженного эллипсоида во внешнем электростатическом поле в сферической системе координат (r, 9, ф), координаты z, p представим в виде:

z = r cos 9; p = r sin 0. (11)

ДФ( r, 0 ) = 0; Ф( r, 0 )| Ф(г , 0 )

4- <j)(, УФ) = 0;

£ = [г = г (0) ;0 < 0 < п;0 < ф < 2п],

где г = г(9) - уравнение вытянутого сфероида.

Представим искомый потенциал электростатического поля в окрестности сфероидальной поверхности в линейном по квадрату эксцентриситета приближении:

Ф( г, 0 )*Ф(0)( г, 0 ) + Ф(1)(г, 0 ) + О (е4), где Ф(0)( г, 0) - электрический потенциал нулевого порядка малости по е2 и Ф(1)(г, 0) - электрический потенциал первого порядка по е2.

Решив последовательно соответствующие краевые задачи различных порядков малости (см.

приложение), получим решение, совпадающее с

(13).

РАСЧЕТ ПОВЕРХНОСТНОЙ ПЛОТНОСТИ ИНДУЦИРОВАННОГО В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ ЗАРЯДА НА ВЫТЯНУТОМ СФЕРОИДЕ НЕПОСРЕДСТВЕННО В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Учтем, что величина поверхностной плотности индуцированного заряда на сфероиде г(9) определяется формулой [21]:

о (и, E 4nv >

*=r(е):

(14)

где Е - напряженность электрического поля в его окрестности. Орт нормали к поверхности сфероида п определяется выражением:

У(г - г (0))

n =

|v(r - r (е ))|

r (е)

В нашем случае

n = e -

1 8h(е)

"е-

г ае

Учитывая, что Е = -УФ, и подставив в (14) выражение для нормали, получим поверхностную плотность индуцированного заряда на вытянутом сфероиде в линейном по е2 приближении. Она будет определена выражением:

3Ео Г, 2 Г 3 2 о = —0ц,| 1 -е I —ц 4п | ^ 5

Такое же выражение мы найдем, используя формулу для поверхностной плотности индуцированного заряда, полученную в [15-18] в сфероидальных координатах, совершая переход к сферическим.

ПЕРЕХОД ОТ ВЫРАЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОЙ ПЛОТНОСТИ ЗАРЯДА, ПОЛУЧЕННОГО В СФЕРОИДАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ, В СФЕРИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ КООРДИНАТ

Распределение индуцированных зарядов по поверхности незаряженного проводящего эллипсоида во внешнем однородном поле определено формулой [18, с. 44]:

о = —

8Ф

4п 8n

1 8Ф

4=0

4nh1 84

= E

4=0

0 4nn(z

где

2a h

4=0

Для вытянутого сфероида имеем:

,(-)= 4 i, - ^

a l a

-3/2 i

Arth

(15)

(16)

(17)

Элемент длины вдоль направления нормали в эллипсоидальных координатах задан в виде:

4=0 =

У4П

2ab2

(18)

Подставив (16)-(18) в (15), получим выражение для поверхностной плотности заряда в вытянутых сфероидальных координатах (а > Ь = с):

о = E0 z--¡=

1 —

f

f

Arth

Л

1-

Л-1

(19)

1

Сфероидальная координата ^ при c ^ b вырождается в

п = -ь2.

(20)

Сфероидальная координата ^ выражается формулой:

Р

(z Wa2 - b2 )2

(21)

.(z-^й^)

- a

Чтобы перейти от выражения (19) для поверхностной плотности индуцированного заряда, записанного в сфероидальной системе координат, к выражению в сферических координатах, подставим в (19) сфероидальные координаты ^ в виде (20)-(21), выражение (11) для г, р, в сферических координатах и соотношение (12) для полуосей а, Ь.

В итоге имеем выражение в линейном по квадрату эксцентриситета приближении:

3E0 r f1 1 2 f 13 2

о = —-— u I 1--e I--u

4n R 1 2 l 15

(22)

Подставив уравнение поверхности сфероида в (22), получим выраже-

r (е )« R (1 +1 e2 P2 (u )

ние поверхностной плотности заряда в сферических координатах в линейном по е2 приближении:

о = -

3E 4п

f f 3 ^ f1 - e2 f 5 - u2 „

V у/

ПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРОВ ИНДУЦИРОВАННЫХ ЗАРЯДОВ СФЕРОИДА

Определим положение центров индуцированных зарядов сфероида с поверхностной плотностью заряда с, находящегося в однородном электростатическом поле напряженностью Е0.

2

V

z

Vz =

Направим вектор напряженности электрического поля вдоль оси г.

Положение центров индуцированных зарядов сфероида определится выражениями:

R(+) =

—j rdq+;

1+ s3

S3 -

r = r(e);0 < e <^;0 < ф < 2п

(23)

R(-) =

— jrdq-;

S4 -

r = r (e); П < e < п;0 < ф < 2п

(24)

где уравнение поверхности вытянутого сфероида r(9) в сферических координатах с началом в его центре в линейном по квадрату эксцентриситета e2 приближении имеет вид:

r (9)« R (1 + 3 e2 P2 (ц))« R + h (9). (25)

В выражении (23) положительный индуцированный заряд определен в виде

q+ = J dq+ = J adS3 = J or2 sin 9d9dф. (26)

S3 S3 S3

Величина поверхностной плотности индуцированного заряда на сфероиде r(9) в выражении (26) определяется формулой (14).

Взяв интеграл (26) , получим величину положительного индуцированного заряда:

q+= 4R 2 ('+15e 2).

Его положение определяется (23):

R(+)= 2 R |1 +1 e2 z

Аналогичным образом для второй половинки сфероида, определяемой поверхностью 54 в выражении (24), получим решения для величины отрицательного индуцированного заряда:

q = - - R 2Е011 +—e2 Ч- 4 01 15

и положения его центра на оси г:

■2 я Г.+1,

3 ^ 3 (см. рис. 2).

Величина образующегося диполя при этом будет:

R(-) =-2 RI 1+1 e2

или

Рис. 2. Схема расположения поляризационных зарядов в сфероиде.

p = q+ • 2 R(+)- ez

p « R3E01 1 + ±e2 !• e.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе найдены величины индуцированных зарядов на сфере, во внешнем однородном электростатическом поле, а также величина эквивалентного диполя для сферы. Переходом (в известном аналитическом выражении для потенциала в сфероидальных координатах) от сфероидальных координат к сферическим получено аналитическое выражение для электростатического потенциала вытянутого сфероида (во внешнем однородном электростатическом поле) в линейном приближении по квадрату эксцентриситета. Оно же получено прямым решением краевой электростатической задачи в сферической системе координат. Найдена величина эквивалентного диполя для сфероида.

ПРИЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Электрический потенциал в нулевом по квадрату эксцентриситета приближении. Решим систему уравнений:

АФ0 (r, 0) = 0; (1П)

граничные условия:

Фо(г, 0)| ^^-Е/ cos 0;

Фо(г, 0)| r=R = const; (2П)

условие незаряженности сферы

4- С£(и, УФ о )dS = 0;

S = [r = R;0 < 0 < п;0 < ф < 2п] (3П)

и условие эквипотенциальности:

4

(, VO о ))

r=R

= 0.

(4П)

В виде рядов по полиномам Рп(ц) найдем решение уравнения (1П) для электрического потенциала Ф0(г, 9), удовлетворяющего граничным условиям:

да . ,

Ф0 (г,0)=!(( + впг-{п+1))рп (ц). (5П)

п=0

Из условия (2П) поведения электрического потенциала Ф0(г, 9) на бесконечности получим решение:

Л = -Е0. (6П)

Подставив соотношение (6П) в решение уравнения Лапласа (5), запишем выражение для электрического потенциала в виде:

да

Ф0 (г,0) = -Е0ГР1 (ц) + ХВпг-(п+1Р (ц). (7П)

п=0

Подставив выражение (7П) для потенциала в условие эквипотенциальности (4), выразим константу Вп в виде:

B = Eo R3.

O0 (r,0) = EorPi (ц)

i R3 \

\ -1

r3

V y

жении по e имеет вид:

AOi(r, 0) = 0;

°i(r. 0)| 0;

oi( r'0 \ r=r (0)=const;

^ çf(, VOi )dS = 0;

( VO1 \r

r (0)

= 0.

тах для осесимметричного случая, записывается в виде:

да

Ф1 (г, 0 ) = Е ВпГ-(п+1)Рп (Ц). (13П)

п=0

Подставим разложение (13П) в условие экви-потенциальности:

°1 (r,0 )

ÖO0 (r, 0)

dr

h (0 ) = 0,

откуда выразим константы Bn в виде:

2

в = 5 E0 R3e2;

3

B3 = -E0R5e2.

3 5 0

Подставив значения В], В3 в уравнение (13П) при выполнении условия незаряженности сфероида (12П), получим решение электрического потенциала в линейном по квадрату эксцентриситета приближении:

2e2 R3

f

3 R2

Л

(8П)

Подставив выражения для констант (6П), (7П) в разложение (5П) при выполнении условия незаряженности сферы (3П), получим решение электрического потенциала в нулевом по квадрату эксцентриситета приближении:

(9П)

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ В ЛИНЕЙНОМ ПО КВАДРАТУ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА ПРИБЛИЖЕНИИ

Математическая формулировка задачи для электрического потенциала в линейном прибли-

(10П)

(11П)

S = [r = r(0);0 < 0 < п;0 < ф < 2п];(12П)

Решение уравнения Лапласа (10П), удовлетворяющее граничным условиям (11П) в электростатической задаче в сферических координа-

ф1 (r,6) = -—-гE0 P (ц)+-—P3 (ц) . (14П)

5 r V 2 r y

Складывая (9П) и (14П), получим (13).

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 14-01-00170-a.

ЛИТЕРАТУРА

1. Амелин А.Г. Теоретические основы образования тумана при конденсации пара. М.: Химия, 1966. 294 с.

2. Грин Х., Лейн В. Аэрозоли - пыли, дымы и туманы. Л.: Химия, 1969. 428 с.

3. Качурин Л.Г. Физические основы воздействия на атмосферные процессы. Л.: Гидрометеоиздат, 1990. 464 с.

4. Мазин И.П., Хргиан А.Х., Имянитов И.М. Облака и облачная атмосфера. Справочник. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 647 с.

5. Габович М.Д. УФН. 1983, 140(1), 137-151.

6. Bailey A.G. Atomization and Spray Technology. 1986, 2, 95-134.

7. Fenn J.B., Mann M., Meng C.K., et al. Science. 1989, 246(4926), 64-71.

8. Feng Z.C., Beard K.V. J Fluid Mech. 1991, 227, 429-447.

9. Wilson C.T., Taylor G.I. Proc Cambridge Phil. Soc.

1925, 22, 728-730.

10. Григорьев А.И., Синкевич О.А. Известия АН СССР. МЖГ. 1985, (6), 10-15.

11. Cheng K.J. Phys Lett. 1985, A112(110), 392-396.

12. Ширяева С.О., Волкова М.В., Григорьев А.И. ЖТФ. 2005, 75(3), 34-42.

13. Ширяева С.О., Колбнева Н.Ю., Григорьев А.И., Артемова Т.К. ЖТФ. 2015, 85(4), 20-27.

14. Ширяева С.О. ЖТФ. 2002, 72(4), 15-19.

15. Стреттон Дж. А. Теория электромагнетизма. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1948. 540 с.

16. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: Иностранная литература, 1954. 604 с.

17. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. М.: Наука, 1970. 503 с.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1957. 532 с.

19. Ширяева С.О. ЖТФ. 2000, 70(6), 20-26.

20. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский

В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975. 436 с.

21. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.:

Наука, 1989. 504 с.

Поступила 30.09.15 После доработки 04.01.16 Summary

By analytical way, in a spherical system of coordinates, transition from spheroidal coordinates in a linear approach on a square of eccentricity sizes and provisions of the centers of the induced charges and dipole size were found.

Keywords: spheroidal drop, electrostatic field, centers of induced charges, induced dipole.