CC BY
32
УДК - 519.6
О НОВОМ ПОДХОДЕ К ПОСТРОЕНИЮ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЭРМИТОВЫХ СПЛАЙНОВ
С.В. Трубников
Предлагается новый подход к построению численных методов решения линейной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Кратко описано семейство новых численных методов, построенное на основе этого подхода.
Ключевые слова: численныеметоды; краевые задачи; обыкновенные дифференциальные уравнения ВВЕДЕНИЕ
В 2008 году был предложен новый подход к численному решению линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, основанный на представлении приближённого решения в виде эрмитова сплайна 5 порядка и принципе обнуления невязки [1, с.128]. В данной работе этот подход обобщён на случай линейной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и на его основе получено семейство новых численных методов.
1. ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Рассматривается краевая задача для системы из п линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1 порядка:
-2Н, (>Ь, - р, М • к =1-2--п • х ^ *]• (1)
,=1
а»>)-«,+£ г, • )• к =1-2,.',п -7 • (2)
,=1
Ук2 (к ){ь )=& + £ К, • у*2 (, №) • к = 1,2,..., 7. (3)
,=1
Здесь п , 7 (0 < / < п) - заданные целые постоянные, а, Ь (а ^ Ь), ак, ук, (к = 1,2,..., п -/, , = ^..^ /), рк, Хк, (к = 1,2,..., I , = 1,2,..., п -/) - заданные вещественные постоянные, кх (к) ( к = 1,2,...,п-/) и к2{к) (к = 1,2,...,/) - заданные массивы целых не повторяющихся чисел из [1, п], к1 (,) ( , = 1,2,..., 7) И к2 (,) ( , = 1,2,... , п — /) - заданные массивы целых не повторяющихся чисел такие, что значения кх (,) не могут совпадать ни с одним значением к1 (&), а значения к2 {,) не могут совпадать ни с одним значением к2(к), dkq (х), рк(х) (к = 1,2,..., п, , = 1,2,..., п) - заданные
непрерывные функции такие, что краевая задача (1) - (3) имеет единственное решение, которое мы в дальнейшем будем называть точным решением и обозначать у(х) = (у1 (х), у2 (х),..., уп (х)).
2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЁННОГО РЕШЕНИЯ И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Для построения приближенного решения краевой задачи (1)-(3) введем на ,равномерную сетку точек х1 = а + к ■ I, (/ = 0,1, , т). Здесь к = {Ь - а)/т - постоянный шаг этой сетки, а т -
заданное натуральное число. Будем искать компоненты непрерывного приближенного решения краевой задачи (1)-(3) в виде эрмитовых локальных сплайнов (2^ — 1) -го порядка:
Укт (х) = X Г;(' -1)']. к ■ +
}=0
х - а ~Н
;0 ^
^Г;-[-(/-1)].к;.вк 2,.,.
при х е [хг._1, х1 ], г - 1,2,...,т, к = 1,2,^, п . (4)
Здесь , - заданное целое число, определяющее порядок сплайна (4), а функции Т;1 (х)
представляют собой многочлены Эрмита
(2, -1)
-го порядка
т; *-1 (х )= ^-1
( 1 ^(к)
к=0 , -;-1
№ ^(х - 1У
т/ *-1 (х )= Г1
7 VI Ь\ ^
к=0 ;!к! ^х
V V / /
(к)
х1+к(х-1)* , 1 = 0,1,...,, -1,
х
(5)
(6)
удовлетворяющие условиям интерполяции:
^рт2,~1 (0) [о, ; * р,
; / Ч/ ;=0,1,. .,,-1, р=0,1,...,,-1,
йхр [1, ] = р,
ахг' (1) [о, ; * р,
----тт^Ч/ 1 = 0,1,...,,-1, р = 0,1,...,,-1.
йхр [1, ; = р,
Приведём их для нескольких значений * .
(7)
При , = 2
Т03(х) = 1 -3х2 + 2х3, Т13(х)= х - 2х2 + х3 Т23 (х) = -х2 + х3, Т33 (х) = 3 х2 - 2х3, (8)
При , = 3
Т05 (х) = 1 -10х3 +15х4 - 6х5, Т5 (х) = х - 6х3 + 8х4 - 3х5, Т25 (х) =1 х2 - — х3 + — х4 -1 х5,
0Ч/ 12 2 2 2
Т35 (х) = 1 х3 - х4 + — х5,
2 2
Т45 (х) = -4х3 + 7х4 - 3х5, Т55 (х) = 10х3 - 15х4 + 6х5. (9)
При , = 4
Т07 (х) = 1 - 35х4 + 84х5 - 70хб + 20х7, Т1 (х)= х - 20х4 + 45х5 - 36хб + 10х7,
15
2 2 ' 3 '' 6 3
5д ,5 13
Т27(х) =1 х2 -5х4 +10х5 -15х6 + 2х7, Т37(?) =1 х3 -2х4 + х5 -2хб +1
Т47 (х) = -1 х4 +1 х5 -1 х6 +1 х7, Т57 (?) = 5 х4 - 7 х5 +— х6 - 2х
6
6 2 2 6 2 2
Т67 (х) = -15х4 + 39х5 - 34х6 +10х7, Т77 (х) = 35х4 - 84х5 + 70х6 - 20х7. (10)
В представлении (4) величины QkJ1 (к = 1,2,...,п ; ; = 0,1,...,, -1; 1 = 0,1,...,т) - постоянные, полностью определяющие непрерывное приближенное решение ут (х) = (у1т (х), у2т (х),..., упт (х)). При любых значениях этих постоянных функции у1т(х), у2т(х), ... , упт(х) являются непрерывными
функциями вместе со своими производными до (, — 1) -го порядка на [а,Ь], кроме того, из условий интерполяции (7) следуют полезные условия: й у (х )
= к; , к = 1,2,..., п, 1 = 0,1,...,, -1, 1 = 0,1,2, —, т . (11)
ах1
3. ФОРМУЛИРОВКА УСЛОВИЙ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРИБЛИЖЁННОГО РЕШЕНИЯ. ПРИНЦИП ОБНУЛЕНИЯ НЕВЯЗКИ
Определение 1. Невязкой к -го дифференциального уравнения системы (1) на непрерывном приближенном решении ут (х) = (у1т (х), у2т (х),..., упт (х)) назовем функцию
Ккт ^ = йУк,х ^ ~^йк, ^у,т ^ рк ^, к _ 1,2,..., п , х £[а, Ь^ .
(12)
,=1
Определение 2. Вектор-функцию Ит(х) = (^1т(х),Я2т(х),...,Япт(х)) будем называть вектором невязки системы дифференциальных уравнений (1), а функции Якт (х) - её компонентами.
Определение 3. Согласно (8) множество {Qk 0 г : к = 1,2,..., п; 1 = 0,1, ..., т } можно
интерпретировать как приближенное сеточное решение задачи (1)-(3), а множества { Qk ■ г:
х=0
= 1,2,__,n ; j = 1,2,...,5 — 1; i = 0,1,...,m } - как множества сеточных аппроксимацийпроизводных
-го порядка к -х компонент решения задачи (1)-(3) в узлах Xi.
Определение 4. С другой стороны, непрерывное приближенное решение
У т (x) = {y1m (х \ y2 т (х )>..., У пт (х)) задачи (1)-(3) можно интерпретировать как результат кусочно-
многочленной интерполяции сеточного решения.
Из определения невязки и её компонент (9) следует, что непрерывное приближенное решение Ут (x) = (y1m (х), У2т (х)>..., Упт (х)) краевой задачи (1)-(3) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений:
<dyrm (x)' yqm(x)-Pk(x) = Rkm(x), k = 1,2,..., n, x G[a’ ^ (13)
dx g=1
Граничные условия для этих дифференциальных уравнений выберем такие же, как и для точных решений:
Уф ) т («) = ak + Z Ykq ■ Уцд ) т (а) , к = 1,2,..., П _ 1 . (14)
q=\
Ук2 (к ) т (Ь)=Рк + \q • Ук2 (q ) m ib ) , к = 1,2,..., l . (15)
q=1
Таким образом, непрерывное приближенное решение краевой задачи (1)-(3) удовлетворяет краевой задаче (13)-(15).
Определение 5. Введем погрешности компонент непрерывного приближенного решения Укт (х)
как функции skт (x), определенные на [a, b]:
Чт(x)= Укт(х)- Ук(х) x e[a,b] (16)
Вычитая из уравнений (13)-(15) уравнения (1)-(3), получим краевую задачу для погрешностей sk т (x):
ddr-id» (xKm (x). R„ (x), к = !.2. '. n , x Ф- bl , (l7)
dx q=1
£к, (к) m (a )=£ 7кq -^(q ) m (a) , к = 1,2,..., П “ l . (18)
q=1
n-l
Sk2 (к) m (b q '£кг (q) m (Ь )
q=1 , к = 1,2,...,l. (19)
Определение 6. Наряду с погрешностью непрерывного решения введем погрешности компонент сеточного решения
Ч mi = Skm (X, )= Укт (Х, )“ Ук (Х, )= Qk 0 i “ Ук (Х, ) , i = 0,1, — , т , к = 1,2,..., П . (20)
Пусть на множестве вектор-функций w(x) = {w1 (x), w2(x),...,wn(x)) (определенных на [a,Ь), к которому принадлежат векгор-функции У (x) = (y (х), У2 (x),..., Уп (х)) , У т (x) = {уы (*), У2т (ХУпт (х))
и eт(x) = (s1m (x),s2m (x), ... , Snm^), введена норма ||w|| . А на множестве вектор-функций
V(X)=(v/1 (xW2 (x),...,^n (x )) (определенных на [a, b]), к которому принадлежат вектор-функции p(x)= (P1 (4 P2 М-.^ Pn (x)) И R m (x)= (R1m (X), R2 m W— Rnm (X)), ВВеДенаИОрма Щ p .
1 X
Определение 7. Будем называть линейную краевую задачу (1)-(3) устойчивой по правым частям
(у p )
дифференциальных уравнений (1) на паре пространств v x’ x’, если существуют постоянные Д> 0 и С > 0 такие что для любой вектор-функции x) = (^1 (x),^2 (x),...,^n (x)), удовлетворяющей условию
||у||p < A, краевая задача
ddX~ ~tdkq (x). yq =Wk(x), к = 1,2,...,n , x e[a, b], (21)
dx q=1
у*1(к) т {а)=^Гк, • у*: (,) т (а), к - 1,2,..., п 7 . (22)
, = 1
у*2 (к) т (Ь )=Х ^к, • у*2 (,) т (Ь ) , к = 1,2,..., 7 . (23)
,=1
имеет единственное решение у^ (х) = у (х), у2 (х),..., у^ (х)) и выполняется неравенство
уЦ ^с -IМ
(24)
Теорема 1. Если краевая задача (1)-(3) устойчива по правым частям дифференциальных
= 0.
т \\Т
уравнений на паре пространств , и Нш||к II = 0, то Нш||е
Доказательство: Так как Нш Ит (х 1 = 0, найдется натуральное число М такое, что для всех
т > М будет выполнено: Ит (х)1 < А . Пусть далее т > М . Заметим, что краевая задача (17) - (19)
совпадает с задачей (21) - (23), если у(х)= Ит (х). Положим у(х )= к т ( х). Тогда из устойчивости задачи (1)-(3) по правым частям дифференциальных уравнений (1) на паре пространств (Ух, Рх ) следует, что существует единственное решение задачи (17) - (19), ет(х)= (е1т (х),е2т(х), ... , гпт (х)), и должно выполняться неравенство (24), которое в нашем случае примет вид:
(25)
Из неравенства (25) непосредственно следует утверждение теоремы.
Теорема 2. Пусть на [а, Ь] компоненты невязки Як т (х) удовлетворяют условию Липшица и при
каждом значении к и т на этом отрезке задана сетка точек \х™ 11 = 0,1,..., кт }, покрывающая [а, Ь], а
расстояние от любой точки [а, Ь ] до ближайшего узла сетки не превышает положительной постоянной
кт, причем кт ^ 0 при т . Пусть значения неизвестных постоянных Qkji, определяющих
непрерывное приближённое решение, при каждом натуральном значении т, единственным образом определяются из условий обнуления невязки в узлах сетки
х)= 0, } = 1,2,...,кт (26)
Тогда
Нш шах|Якт(хт| = 0. (27)
тхЕ[а,Ь| ■) I
Доказательство: Зафиксируем произвольное натуральное значение т . Модули компонент невязки Ккш (х) также удовлетворяют условию Липшица и, следовательно, являются непрерывными и ограниченными функциями на [а, Ь] и имеют максимумы на этом отрезке. Обозначим константу Липшица
хт
для модулей невязки Ь . Пусть х * - одна из точек максимума модуля невязки Якт (х 1, а 1 -
ближайший узел сетки, в котором модуль невязки обращается в 0. Расстояние между этими точками
х, - х * < кт . (28)
Запишем условие Липшица для модулей невязки Якт (х)|:
Кт(х *)-К х ^ Ь ■ \х * -х;|. (29)
Учитывая (25), а также то, что \Якт(х *)| = шах|Якт(х)|, Ккт(х1 = 0, из (26) получим:
I I х<=[а ,Ь | I I
ВД.]&кт (х 1 ^ Ь ■ кт ^ 0 ПРИ т .
х^[а ,Ь\' 1
Отсюда следует утверждение нашей теоремы.
Замечание 1. В качестве сетки }, фигурирующей в условиях последней теоремы, можно
выбрать исходную равномерную сетку с узлами х1 = а + к ■ 1 или всевозможные её сгущения.
Замечание 2. Помимо доказанных теорем, очевидно, справедливы следующие утверждения.
к
1. Из сходимости приближенного непрерывного решения к точному непрерывн. решению следует сходимость приближенного сеточного решения к точному сеточному решению.
2. При достаточной степени гладкости точного решения краевой задачи, позволяющей использовать оценку погрешности интерполяции, будет справедливо и обратное утверждение: из сходимости приближённого сеточного решения к точному сеточному решению следует сходимость непрерывного приближённого решения к непрерывному точному решению.
Исходя из описанных выше соображений, можно сформулировать общий принцип (принцип обнуления невязки) постановки условий для определения неизвестных величин Qkji (к = 1,2,..,п;
7 = 0,1,..., $ — 1; i = 0,1,..., т), которые могли бы (в определенных условиях) обеспечить сходимость непрерывного приближенного решения краевой задачи ут (х) к точному решению у(х) при т ^ да. В условиях теоремы 1 - эти условия должны обеспечивать предельное обнуление невязки:
Нш||к II = 0. (30)
т 77 ' ’
т^ади и^х
А в условиях теорем 1 и 2 можно использовать условия обнуления невязки в узлах сетки (26). Условия (26) можно дополнять требованиями обнуления в этих узлах производных невязки или любыми другими условиями (например, проекционными соотношениями метода Галёркина), которые обеспечивают выполнение условия предельного обнуления невязки (30).
После подстановки в сформулированные условия обнуления невязки представлений (4) получается линейная алгебраическая система относительно неизвестных постоянных Qк^ i,
определяющих приближённые непрерывное и сеточное решения задачи (1)-(3), после решения которой получаются значения всех неизвестных постоянных и приближённое решение задачи (1)-(3).
При формулировке конкретных условий обнуления невязки необходимо выбирать количество условий совпадающим с количеством неизвестных. Кроме того, полученная линейная система должна быть не вырожденной и допускать применение достаточно эффективных методов решения. Рассмотренный ниже пример показывает, что этого можно добиться.
Для получения апостериорной оценки погрешности получаемых таким путём приближённых решений задачи (1)-(3) можно воспользоваться более или менее грубыми аппроксимациями решений задачи (17)-(19), поскольку после получения значений всех Qkji компоненты невязки Якт (х) будут полностью определены.
В представлении компонент приближённого решения (4) имеется свободно задаваемый натуральный параметр $, определяющий порядок используемых сплайнов. Поэтому одни и те же условия обнуления невязки позволяют построить параметрическое семейство новых численных методов с параметром $ .
4. ПОСТРОЕНИЕ СЕМЕЙСТВА НОВЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
В качестве примера применения описанного общего подхода коротко рассмотрим построение одного семейства новых численных методов решения задачи (1)-(3). Для определения неизвестных постоянных Qkji (к = 1,2,..., п ; 7 = 0,1,..., $ — 1; i = 0,1,..., т) используем следующие условия
обнуления невязки:
^Ккт^ (х‘) = 0, ] = 0,1,..., $ - 2, г = 0,1,..., т, к = 1,2,..., п . (31)
дХ
Ект | | = 0, г = 1,2,..., т, к = 1,2,..., п . (32)
2
Недостающие п уравнений получим из граничных условий (14) и (15). Условия (31) позволяют линейно выразить неизвестные Qkji (7 = 1,2,...,$ — 1) через величины Qk0г. После подстановки этих выражений в представление (4) и условия (32), (14) и (15) получается линейная система относительно оставшихся неизвестных постоянных Qk0 { (к = 1,2,..., п ; / = 0,1,..., т) следующего вида:
I• а,0+1К, • а,0, = Л, к = П, і = 1,2,...,т. (33)
5=1 ,=1
Оцк) 00 =ак Укд • 0цд) 00 , к _ 1,2,..., П _ 7 , (34)
д=\
ак1 (к) 0 т = Рк • ак2 (д) 0 т ’ _ , ,..., . (35)
4=1
Как видно из (33), в матрице системы можно выделить блочную двухдиагональную структуру и
прогонки. После решения системы (33)-(35) получаются значения k0 1, а затем и всех остальных неизвестных.
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Отметим несколько особенностей описанного общего подхода. Компоненты приближённого решения получаются в виде сплайнов (4), которыми легко манипулировать (интегрировать, дифференцировать и т. п.).
При формулировании условий, приводящих к предельному обнулению невязки (30), требования обнуления невязки и её производных можно формулировать не только в узлах сетки, но и между ними (например, условия (28)). Можно использовать для этой цели проекционные соотношения из метода Галёркина. Это позволяет получить широкое множество разнообразных численных методов для решения задачи (1)-(3).
Эффективность полученных таким путём численных методов зависит от того, насколько удачно подобраны условия обнуления невязки и требует отдельного исследования.
The new approach to the building of numerical methods for a linear boundary problem for system of the ordinary differential equations is proposed. The set of new numerical methods constructed on the basis of this approach is short described.
The key words: numerical methods; boundary problems; the ordinary differential equations
Список литературы
1. Трубников С. В. Новый подход к численному решению линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка / Вестник Брянского государственного технического университета. №3. Брянск: БГТУ, 2008. С. 128-137.
Об авторе
Трубников С. В. - зав. кафедрой информатики и прикладной математики Брянского
государственного университета, [email protected].
