Численные методы решения начальных и краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.62

© В. Г. Пименов

Vladimir .Pimenov@usu. ru

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНЫХ И КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, численные методы, интерполяция, запаздывание, опережение.

Abstract. General approach to constructing numerical methods for functional-differential equations is considered. The general approach consists of distinguishing the finite dimensional and infinite dimensional phase components. As an example, Runge-Kutta-like methods are described.

К настоящему времени разработано достаточно много алгоритмов численого решения начальной задачи для дифференциальных уравнений с запаздываниями различных видов (см. обзоры [1; 2; 3]). Предлагаемый мною общий подход к конструированию численных методов основан на идее разделения конечномерной и бесконечномерной составляющих в фазовой структуре функционально-дифференциального уравнения (ФДУ) и интерполяции с заданными свойствами, состоящей во введении промежуточного элемента между изначально непрерывной (бесконечномерной) системой ФДУ и априори дискретной численной моделью. В качестве интерполяционных процедур предложена интерполяция вырожденными сплайнами и экстраполяция продолжением. Такой подход позволяет строить численные методы,

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант 01-01-00576) и Конкурсным центром Министерства образования (грант Е 00-1.0-88).

являющиеся полными аналогами методов, известных для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), и на их основе создавать программное обеспечение для решения широкого класса задач моделирования систем с запаздыванием [4], в том числе и для решения задач управления такими системами.

Проиллюстрируем сказанное на примере явных методов типа Рунге-Кутты для задачи

х = /(г,ж(г),ж4(-)),

ж(г0) = Жо, ж<0(-) = {у0(«), -Т < 5 < 0}.

Здесь

ж*(') = (ж(* + 5), ^ 5 < 0}> /: [*(Ь*о + Щ X Жг х <Э[—т,0) -> Жг;

в > 0 — величина временного интервала, г > 0 — величина интервала запаздывания, Жг — /-мерное евклидово пространство; <2[—т, 0) — пространство /-мерных кусочно-непрерывных на [—т, 0) функций у(-), допускающих конечное число разрывов первого рода и непрерывных справа в точках разрыва.

Пусть = £о +пА, п = 0,1... Ж, А = в/И, г/А = т. Приближение точного решения х{1„) = хп в точке будем обозначать через ип €Е . Дискретной предысторией модели в момент Ьп назовем множество {щ}п = {щ е Жг, п — тп ^ I ^ п}. Оператором интерполирования / дискретной предыстории модели назовем отображение I: {щ}п ^ и(-) € — т, £„]. Для любого

а > 0 оператором экстраполирования Е предыстории модели назовем отображение Е: {щ}п —> и(-) € Я\рп^п + «А]-

Назовем гаши>1.м явным методом типа Рунге-Кутты — ЯРК (с интерполяцией I и экстраполяцией Е) численную модель вида

к

щ = х0, ип+1 = ип + А Ы(ип, п = 0 ... N — 1,

г=1

^1 (ип,Щп(-)) = /&п,ип,Щп(-)),

г-1

hi{Um Uln (')) = / {^П + °jA, Ujl + А 'У ^ bijhj(un, Щп (•)), и*„+а;д('))-

i=l

Здесь предыстория модели определяется соотношениями

Следующее утверждение устанавливает достаточные условия порядка сходимости.

Теорема 1. [5, 6] . Если, ЯРК-метод имеет невязку порядка pi > 0, интерполяция предыстории модели имеет порядок р2 > 0, экстраполяция предыстории модели имеет порядок Рз > 0, то метод сходится, причем порядок сходим,ост,и ЯРК-метода р не меньше минимума из чисел Р1,Р2,Рз-

Отметим, что в рамках общей линейной схемы численного решения ФДУ можно получить также необходимые и достаточные условия порядка сходимости [7].

В настоящее время на основании этого подхода разрабатываются численные методы решения краевых задач для ФДУ запаздывающего, а также опережающего и опережающе-запаздываю-щего типов. При этом существенно используется трактовка решений ФДУ, предложенная Н.В. Азбелевым [8].

Возникающие для этих задач алгоритмы значительно отличаются от известных для ОДУ. Так, при реализации простейших дискретных схем для задачи

x(t) = A(t)x(t) + B(t)x(t — г) + C(t)x(t + г) + D(t), t 6 [a, b],

x(t) = <p(t), t 6 [a, — r, a), x(t) = ip(t), t 6 (b, b + r], x(a) = жо

возникает задача решения линейных систем большой размерности определенной структуры (с четырехдиагональной матрицей). Отметим, что приведенная задача опережающе-запаздывающего

y°(t + s^to) при t + s < to,

1({щ}п) при tn^T^t + S<tn,

Е{{щ}п) при tn S$ t + s s$ tn + aA.

типа возникает при применении принципа максимума J1. С. Пон-трягина к линейно-квадратичной задаче оптимального управления для систем с запаздыванием и по этой причине вызывает повышенный интерес.

Список литературы

1. Холл Д., Уатт Д. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979. 312 с.

2. Bellen A. Constrained mesh methods for functional differential equations // International Series of Numerical Mathematics. Verlag. Basel, 1985. P. 52-70.

3. Baker C.T.H., Paul C.A. H., Wille D. R. Issues in the numerical solution of evolutionary delay differential equations // Advances in Comput. Math. 1995. Vol. 3. P. 171-196.

4. Kwon W.H., Kim A. V., Pimenov V. G., Lozhnikov A.B., Han S. H., Onegova О. V. Time-Delay System Toolbox (for use with MATLAB). Beta Version. Seoul National University. Seoul, 1998. 114 p.

5. Ким А. В., Пименов В. Г. О применении i-гладкого анализа к разработке численных методов решения функционально-дифференциальных уравнений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 104-126.

6. Пименов В. Г. Функционально-дифференциальные уравнения: численные методы. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 1998. 80 с.

7. Пименов В. Г. Общие линейные методы численного решения дифференциально-функциональных уравнений / / Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, I" 1. С. 105-114.

8. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.