CC BY
38
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 20, вып. 6, 2015
УДК 517.929
РАЗРАБОТКА ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ г -ГЛАДКОГО АНАЛИЗА
© А. В. Ким, А. В. Иванов
Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения; г -гладкий анализ; инвариантная производная; функционалы Ляпунова-Красовского; метод динамического программирования; численные алгоритмы; принцип максимума Понтрягина. В работе обсуждается применение г -гладкого анализа к развитию теории функционально-дифференциальных уравнений. Дан обзор полученных в этом направлении основных результатов и представлены последние достижения, связанные с численным решением ФДУ с неограниченным последействием и теорией принципа максимума для систем с последействием.
г -Гладкий анализ [1-4] — методология и совокупность методов исследования функционально-дифференциальных уравнений, основывающиеся на:
1. Концепции разделения конечномерных и бесконечномерных составляющих в структуре и свойствах функционалов и ФДУ;
2. Применении теории инвариантной производной и соответствующего дифференциального исчисления функционалов.
Применение теории г -гладкого анализа позволило:
1) Построить завершенную теорию метода функционалов Ляпунова-Красовского для систем с последействием [1-3];
2) Развить теорию численных методов решения функционально-дифференциальных уравнений [5];
3) Разработать конструктивные алгоритмы теории аналитического конструирования регуляторов для систем с последействием [6];
4) Обосновать метод динамического программирования для систем с последействием [3, 4], в терминах инвариантно дифференцируемых функционалов Беллмана.
Получаемые на основе г -гладкого анализа результаты являются полными аналогами конечномерных теорий: при отсутствии последействия, все результаты переходят с точностью до обозначений в соответствующие результаты теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
В настоящее время г -гладкий анализ применяется к разработке численных алгоритмов для ФДУ с неограниченным последействием и теории принципа максимума Понтрягина для систем с последействием.
Численные алгоритмы для систем с неограниченным последействием. Правые части ФДУ с неограниченным последействием
(1) х(г) = /(г,х(г),х(г + в)), -т<в < о[/(г,х,у(): [¿с, в]х кп х д(-г, о] ^ кп]
являются комбинациями конечномерных функций и операторов последействия [2-4].
(2) Т[Ь,у(-)]: К х Я(-ж, 0] ^ кп
1760
ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 20, вып. 6, 2015
Т е о р е м а 1. Предположим, что в системе (1) последействие задается оператором неограниченного запаздывания первого типа. Если численный .метод
Uo = xo
ui+i = ui + AEk=1aihi(ui,utl(•)),l = 0, ...,N - 1, hi(ui,utl (•)) = f (ti,ui,utl (•), hi(ui,utl (•)) = f (ti + ai A, ui + AEj-Xbijhj (щ,щ1 (•)),utiд(0) имеет невязку порядка р1, интерполяция модели имеет порядок p2 > 0, экстраполяция предыстории модели имеет порядок p3 > 0 , то метод сходится и имеет порядок сходимости p не меньше минимума из pl,p2,p3 ■
К принципу максимума Понтрягина для систем с последействием.
К настоящему времени на основе i -гладкого анализа показано, аналогично конечномерному случаю, связь принципа максимума Понтрягина и метода динамического программирования для ФДУ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ким А.В. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. Екатеринбург: УрГУ, 1992.
2. Ким А.В. i -Гладкий анализ и теория функционально-дифференциальных уравнений. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1996.
3. Kim A.V. Functional Differential Equations. Application of i -smooth calculus. Kluwer academic publishers. The Netherlands, 1999.
4. Kim A. V. i-Smooth analysis. Theory and applications. Wiley & sons publishing house, 2015.
5. Ким А.В., Пименов В.Г. i -Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений, М. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2004.
6. Квон В.Х., Ким А.В., Кормышев В.М., Пименов В.Г., Солодушкин С.И. Аналитическое конструирование и синтез регуляторов в системах с последействием. Екатеринбург: УрФУ, 2010.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты №№ 14-01-00065, 14-01-00477), программы президиума РАН «Фундаментальные науки - медицине».
Поступила в редакцию 9 сентября 2015 г.
Kim A.V., Ivanov A.V. DEVELOPMENT OF THE FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL THEORY BASED ON APPLICATION OF i-SMOOTH ANALYSIS
Application of i -smooth analysis to the theory of functional-differential equations is presented. The review of already obtained in this direction results is given, open questions are discussed.
Key words: functional-differential equations; i -smooth analysis; the invariant derivative; Lyapunov-Krasovskii functional; numerical algorithms; Pontryagin maximum principle.
Ким Аркадий Владимирович, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, заведующий сектором, e-mail: [email protected]
Kim Arcadii Vladimirovich, Institute for Mathematics and Mechanics named after N.N. Krasovskii of UB RAS, Ekaterinburg, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Head of Section, e-mail: [email protected]
Иванов Алексей Витальевич, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, программист, e-mail: [email protected]
Ivanov Alexey Vital'evich, Institute for Mathematics and Mechanics named after N.N. Krasovskii of UB RAS, Ekaterinburg, the Russian Federation, Programmer, e-mail: [email protected]
1761
