О нижних оценках сложности для некоторых последовательностей функций многозначной логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

25

УДК 519.95

О НИЖНИХ ОЦЕНКАХ СЛОЖНОСТИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

А. А. Андреев1

Рассматривается задача о реализации функций многозначной логики формулами. Приводятся сверхэкспоненциальные оценки сложности для некоторых последовательностей функций.

Ключевые слова: функции многозначной логики, формулы, сложность формул, реализация функций формулами.

The problem of realization of functions of a multi-valued logic by formulas is considered. Some sequences of functions whose realization complexity exceeds exponential one are presented.

Key words: functions of multi-valued logic, formulas, complexity of formulas, realization of functions by formulas.

Рассматривается задача о реализации функций многозначной логики формулами [1—3]. Известно [4, 5], что в двузначной логике сложность реализации функций формулами над конечными системами имеет не более чем экспоненциальный порядок роста от числа переменных. В работе [6] приведен пример последовательности /n(xi,..., xn) функций 4-значной логики, сложность которых в классе формул над некоторой

с"/2

конечной системой превосходит 2с" , т.е. имеет рост "двойной экспоненты" от числа переменных (см. также [4, 7]). В работе автора [8] строится последовательность функций из Pió, сложность которых в классе формул над некоторой конечной системой превосходит 23". В данной работе описывается метод, позволяющий для любого r ^ 2 при k(r) = r + 3 строить последовательность функций из Pk(r), сложность которых превосходит 2r". В частности, указывается последовательность функций из Pß, сложность которых в классе формул над некоторой конечной системой превосходит 23 . Приводится также точная формула для сложности функций (см. также [9]).

Обозначим через Pk множество всех функций k-значной логики, k ^ 4. Пусть A — конечная система функций из Pk. Будем обозначать через [A] замкнутый класс, порождаемый функциями из A. Пусть / (xo,Xi,..., xn) — функция из [A]; Ф(хо,Х1 ,...,xn) — формула над A, реализующая функцию / и такая, что все входящие в нее символы переменных принадлежат множеству X = {хо,xi,...,xn}; а = (ао, ai,..., an) — набор, компоненты которого принадлежат множеству E = {0,1,...,k — 1}. Обозначим через Р(Ф) число символов переменных и констант, входящих в Ф (сложность формулы), а через ^(Ф) глубину формулы Ф. Положим Ф(а) = /(а). Сложностью функции / £ [A] называется величина La(/) = min£(Ф), где минимум берется по всем формулам Ф в базисе A, которые реализуют функцию /.

Обозначим через En (n ^ 1) множество всех наборов (ai,..., an), таких, что ai,...,an £ E, а через Qn множество всех наборов из En, состоящих только из символов 3,...,k — 1, причем тройки есть обязательно. Определим функции A(x,y), ^(x,y,z), (x,y), где m £ {3,...,k — 1}, и /n(y, xi,..., xn), принадлежащие Pk, следующим образом. Положим

0, если x = 0, y = 2; A(x, y) = ^ 1, если x = 1, y £ E или x = 0, y = 3; 2 в остальных случаях;

|A(x,z), если x = y; [ 3, если x = 3, y = m;

Mx,y,z) = < (x,y) = <

2 в противном случае; 2 в остальных случаях;

0, если y = 0, (xi,...,xn) / Qn; /n (y, xi, ...,xn) = ^ 1, если y = 1, (xi, ...,xn) £ En или y = 0, (xi, ...,xn) £ Qn; 2 в остальных случаях.

Андреев Александр Андреевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sanchez_14@mail.ru. 13 ВМУ, математика, механика, № 6

26

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

Положим В = ^э,..., 1, 2}. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. При всех п ^ 1, к ^ 4 для последовательности /п функций к-значной логики справедливо равенство

Ы/„) = (п + 1) ■ 2п((к-Э)П-(к-4)П) - п.

Положим А = {Л, , , 2}. Установим сначала некоторые свойства формул над А. Пусть

Ф(у, Ж1,... , жп) — некоторая формула над А. Поставим в соответствие формуле Ф дерево Т с корнем V*, в котором висячим вершинам приписаны символы из множества X и {у, 2}. Между вершинами дерева Т и подформулами формулы Ф естественным образом устанавливается взаимно однозначное соответствие, в частности корневой вершине V* соответствует формула Ф, главным подформулам формулы Ф — вершины, смежные с корневой, и так далее, висячим вершинам — выражения вида или 2, 1 ^ г ^ п. Если А — некоторая подформула формулы Ф, а V — некоторая вершина дерева Т, то через уа будем обозначать вершину дерева Т, соответствующую подформуле А, а через А^ — подформулу формулы Ф, соответствующую вершине V.

Раскрасим ребра и вершины дерева Т в белый, черный и зеленый цвета следующим образом. Пусть А — некоторая нетривиальная подформула формулы Ф. Если она имеет вид А = Л(В,С), где В, С — формулы над А, то раскрасим ребро (уа, Ув) в белый цвет, а ребро (уа, ус) в черный. Если А — формула вида А = ^(В,С, В), где В, С, В — формулы, то раскрасим ребра (уа,Ув), (уа, ус) в белый цвет, а ребро (уа,уэ) в черный. И наконец, если А — формула вида ^>т(В, С), где В, С — формулы, т € {3,..., к — 1}, то раскрасим ребро (уа,Ув) в черный цвет, а ребро (уа,Ус) в зеленый. Корень V* дерева Т раскрашивается в белый цвет. Вершина V, отличная от корня, раскрашивается в белый цвет, если все ребра цепи, соединяющей корень V* дерева Т с вершиной V, раскрашены в белый цвет. Вершина V раскрашивается в черный цвет, если все ребра цепи, соединяющей корень V* дерева Т с вершиной V, раскрашены в белый или черный цвет, причем черные есть обязательно. Все остальные вершины раскрашиваются в зеленый цвет. Будем говорить, что подформула формулы Ф белого, черного или зеленого цвета, если сопоставленная ей вершина дерева Т раскрашена в белый, черный или зеленый цвет соответственно. Обозначим через V(Ф) множество всех висячих вершин дерева Т, раскрашенных в белый цвет, а через У(Ф) множество символов, соответствующих вершинам из V(Ф). Очевидно, что имеет место соотношение У(Ф) С X и {у, 2}.

Пусть Ф(у, Ж1,..., жп) — произвольная формула над А, а Т — соответствующее этой формуле дерево с корнем V*, в котором ребра и вершины раскрашены в белый, черный и зеленый цвета описанным выше способом. Несложно получить (аналогично [8]) следующие свойства формулы Ф.

1. Для любой белой подформулы А формулы Ф и любых наборов а, в € Еп+1, таких, что Ф(а) = 0, А(в) = 2, выполняются соотношения А(а) = 0, Ф(в) = 2.

2. Пусть формула Ф реализует функцию /п(у,Ж1,..., жп), А — произвольная белая подформула формулы Ф, в = (во,... ,вп) — произвольный набор из Еп+1. Тогда выполняются следующие соотношения:

a) У(Ф) = {у};

b) если А(а) = 0, то ао = 0;

c) если во = 1, то А(в) = 1;

й) формула А имеет вид Л(В,С) или ^(В,С, В), где В, С, В — формулы.

3. Если В — черная подформула формулы Ф, а А — черная подформула формулы В и набор а из Еп+1 таков, что В (а) = 3, то выполняется равенство А(а) = 3.

Утверждение 1. Пусть формула Ф над системой А реализует функцию /п(у,ж1,...,жп) и этой формуле описанным выше способом сопоставлено раскрашенное дерево. Пусть С — черная главная подформула белой формулы В, а А — черная подформула формулы С. Пусть формула А не принимает ззначение 3 на всех наборах а = (ао,... ,ап) из Еп+1, таких, что ао = 0. Пусть Ф' — формула, получающаяся из формулы Ф заменой подформулы С на константу 2. Тогда формула Ф' также реализует функцию /п.

Доказательство. Пусть С — черная главная подформула белой формулы В, а А — черная подформула формулы С, формула А не принимает значение 3 на наборах а = (ао,..., ап) из Еп+1, таких, что ао =0, 7 = (7о,... ,7п) — произвольный набор из Еп+1, В' — формула, получающаяся из формулы В заменой подформулы С на константу 2. По свойству 2,й формула В имеет вид ^(В, С) или Л(В, С), где В, С — белые формулы. Далее считаем, что формула В имеет вид ^(В, С), второй случай рассматривается аналогично. Пусть С(7) = 3. Согласно свойству 3, имеем А(7) = 3. Значит, формула С не принимает значение 3 на всех наборах а = (ао,..., ап) из Еп+1, таких, что ао = 0. Рассмотрим следующие случаи.

Пусть 7о = 1. Из свойства 2, с следует, что В(7) = ^(7) = 1. В силу соотношений ^(1,1,С) = ^(1,1, 2) = 1 верны равенства В(7) = В'(7) = 1 и Ф(7) = Ф'(7) = 1.

Пусть 70 = 0, (71,... ,7„) / фп. Тогда по определению функции /п имеем Ф(7) = 0. Согласно свойству 1, В(7) = 0. Из определения функции ^ следует, что С(7) = 2, и на рассматриваемых наборах формулы Ф и Ф' принимают одинаковые значения.

Пусть 70 = 0, (71, ...,7п) € Qn. Тогда по определению функции /п имеем Ф(7) = 1. Если В (7) = Р(7) = 1, то В(7) = 1 вне зависимости от значения, принимаемого формулой С, поэтому В(7) = В'(7) = 1. Если ^(7) = Р(7) = 0, то С(7) € {2, 3}, так как в противном случае В(7) = 2, и по свойству 1 имеем Ф(7) = 2, а это неверно. Но по условию С(7) = 3, следовательно, С(7) = 2, и можно заменить С на 2 без изменения реализуемой функции. В остальных случаях (т.е. при ^(7) = Р(7) =0,1 или при В (7) = Р(7)) получаем В(7) = В'(7) = 2.

Пусть 70 / {0,1}. По свойству 2,(1 каждая белая подформула формулы Ф имеет вид или ^(В, Р, 7), или Л(В, 7), где В, Р, 7 — формулы; В, Р — белые формулы. Это означает, что для любой белой подформулы формулы Ф найдется цепь, у которой все вершины и ребра белые и которая соединяет вершину, соответствующую этой подформуле, и некоторую висячую белую вершину. Возьмем произвольную белую подформулу О формулы Ф и вершину вышеописанной цепи, соседнюю с висячей. Соответствующая ей формула, очевидно, имеет вид ^(у,К, Р), ^(К, у, Р) или Л(у, Р), где К, Р — формулы. Поэтому такая формула на наборе 7 принимает значение 2 при любых значениях формулы Р. А из свойства 1 следует равенство 0(7) = 2. Тогда из равенств ^(2, 2,С) = ^(2, 2, 2) = 2 получаем, что формулы Ф и Ф' на рассматриваемых наборах принимают одинаковые значения.

Таким образом, формулы Ф и Ф' реализуют равные функции. Утверждение доказано.

Утверждение 2. Пусть формула Ф над системой А реализует функцию /п(у,X,...,хп) и этой формуле описанным выше способом, сопоставлено раскрашенное дерево. Если Р(Ф) = Рщ(/п)7 то каждая нетривиальная черная подформула формулы Ф на некотором наборе принимает значение 3 и имеет вид (Рт(Р, О), где т € {3,...,к — 1}; Р, О — формулы.

Доказательство. Рассмотрим произвольную нетривиальную черную подформулу А формулы Ф. Очевидно, что в цепи, соединяющей корень дерева с вершиной А, все вершины черные или белые. Корень дерева белый, А — черная формула, значит, в рассматриваемой цепи найдется некоторая белая формула с главной черной подформулой. Пусть С — черная главная подформула белой формулы В, а А — черная подформула формулы С. Допустим, что формула А ни на одном наборе не принимает значение 3. Тогда, заменив формулу С на константу 2, получим формулу Ф'. В результате этой операции уменьшится сложность формулы. Кроме того, согласно утверждению 1, формулы Ф и Ф' реализуют равные функции. Следовательно, формула Ф не является минимальной, что противоречит условию. То есть в формуле Ф каждая нетривиальная черная подформула принимает значение 3 на некотором наборе. Так как функции ^ и Л не принимают значение 3 ни при каких значениях аргументов, каждая нетривиальная черная подформула формулы Ф имеет вид ^>т(Р, О), где Р, О — формулы, а т € {3,... , к — 1}. Утверждение доказано.

Утверждение 3. Пусть формула А имеет вид

где тр € {3, ...,к — 1} для всех р = 1, 2,...,в, а Я1,..., Я5+1 — формулы над А, в ^ 1. Пусть также т5+1 = 3. Тогда формула А на произвольном, наборе 7 из Еп+1 принимает значение 3 тогда и только тогда, когда для всех р = 1,...,в + 1 выполняется соотношение Яр(7) = тр, и значение 2 в остальных случаях.

Утверждение 4. Пусть А, В и С — формулы над А, и пусть формулы В и С могут принимать только значение 2 или 3. Тогда формулы Л(Л(А, В),С) и Л(Л(А, С),В) реализуют равные функции.

Доказательство утверждений 3 и 4 несложно получить из определений функций Л и <^т.

Лемма. Пусть Ф — произвольная формула над А, реализующая функцию /п(у,ж!,...,жп) из и имеющая вид

Ф = Л(Л(...Л(Л(у,^),^2),...),^у), где ^1,..., Z^v — формулы над А, к ^ 4, п и N — натуральные числа. Пусть Р(Ф) = Рщ(/п). Тогда

N ^ (к — 3)п — (к — 4)п.

Доказательство. Рассмотрим произвольную нетривиальную формулу Zi над А, 1 ^ г ^ N. Она раскрашена в черный цвет. По утверждению 2 формула Zi имеет вид

фтг (^т2 (. (<Ртв (#8+Ъ#8),#8_1), . . .^2)^1),

где тр € {3,... ,к — 1} для любого р = 1,2,...,в, а Н1,Н5+1 — формулы над А, в ^ 1, причем тривиальна. Заметим также, что формулы Н1,... , Н8 и их подформулы зеленые, а все остальные подформулы формулы 2^ черные. Для удобства положим т5+1 = 3. Из утверждения 2 следует, что существует набор 7 из Еп+1, такой, что 2^(7) = 3.

Рассмотрим все формулы, реализующие функцию /п. Покажем, что среди формул минимальной сложности найдется формула, у которой все зеленые подформулы тривиальны.

Предположим, что найдется число р € {1,...,в}, такое, что формула Нр имеет вид Л(А, С) или ^(А, В, С), где А, В, С — формулы. Согласно определению функций Л и выполняется соотношение Нр(7) € {0,1, 2}. Тогда равенство 2^(7) = 3 противоречит утверждению 3.

Предположим, что найдется р € {1,..., в}, такое, что формула Нр имеет вид фь(А, С) для некоторого Н € {3,..., к—1}, а соответствующий индекс тр не равен 3 (т.е. у формулы 2^ есть черная подформула вида фтр(В,фь(А, С)), А, В, С — формулы). Согласно определению функции фь, выполняется соотношение Нр(7) € {2, 3}. Но, согласно предположению, тр € {4,...,к — 1}. Тогда равенство 2^(7) = 3 противоречит утверждению 3.

Предположим, что найдется р € {1,...,в}, такое, что формула Нр имеет вид фь(А, С) для некоторого Н € {3,...,к — 1}, а соответствующий индекс тр равен 3 (т.е. у формулы 2^ есть черная подформула вида фэ(В,фь(А, С)), А, В, С — формулы). Заменим формулу фтр(В,фь(А, С)) на формулу фтр(фь(В, С), А) и построим аналогичным образом раскрашенное дерево, соответствующее новой формуле. Заметим, что в результате этой операции общее количество зеленых вершин в дереве уменьшится, а сложность формулы не изменится. Покажем, что формулы, которые мы меняем друг на друга, реализуют одну и ту же функцию. Действительно, обе они принимают значение 3 на наборах а из Еп+1, таких, что А(а) = 3, В(а) = 3, С(а) = Н (что следует из определения функций фтр и фь), и значение 2 на всех остальных наборах. Применяя такую операцию замены подформулы к различным зеленым подформулам формулы Ф, пока это возможно, получим некоторую формулу минимальной сложности, которая реализует /п и у которой все зеленые подформулы тривиальны. В дальнейшем будем говорить только о таких формулах.

Покажем, что среди подформул Нр формулы 2^ встречаются только переменные из множества X, причем каждая ровно по одному разу.

Предположим, что для некоторого р € {1,... ,в + 1} формула Нр имеет вид у. Рассмотрим набор а = (ао,..., ап), такой, что ао = 0. Для этого набора имеем Нр(а) = 0. Тогда из утверждения 3 следует, что на этом наборе формула 2^ не обращается в константу 3. Тогда, согласно утверждению 1, можно заменить формулу 2^ на константу 2, причем функция, реализуемая формулой Ф, не изменится. Произведем такую замену для всех подформул 2^ формулы Ф, среди которых есть подформула вида у.

Если среди подформул формулы 2? есть константа 2, то в силу равенств фт(2, А) = фт(А, 2) = 2 (где т € {3,...,к — 1}, а А — формула) получим, что формула 2? реализует константу 2. Это значит, что либо 2? тривиальна и равна 2, либо Ф не минимальна. Второй случай невозможен по условию леммы. Таким образом, если формула 2? нетривиальна, то среди ее тривиальных подформул (т.е. подформул Нр) могут встречаться только переменные из множества X.

Предположим, что среди подформул формулы 2^ найдутся две одинаковые переменные из множества X, например Нр и Нд, но при этом соответствующие им индексы тр и тя не равны (р, д € {1,..., в + 1}, р = д). Тогда ни для какого набора в из Еп+1 не могут одновременно выполняться соотношения Нр(в) = тр и Нд(в) = тд. Согласно утверждению 3, при всех в € Еп+1 имеет место соотношение 2Дв) = 2. Тогда из равенства £(Ф) = £щ(/п) следует, что формула 2^ тривиальна и равна 2, что неверно.

Предположим, что среди подформул формулы 2^ найдутся две одинаковые переменные из множества X, например Нр и Нд (р, д € {1,...,в + 1}, р < д). Тогда соответствующие индексы тр и тд равны (другой случай уже рассмотрен). Заменим формулу фтр(В,Нр) на формулу В, формулу, получившуюся при такой замене из формулы 2^, обозначим 2/. Покажем, что формулы 2^ и 2/ реализуют равные функции. Согласно утверждению 3, формулы 2^ и 2/ принимают значение 3 на произвольном наборе в, если при каждом г = 1,...,в + 1 для формулы 2^ (соответственно при каждом г = 1,...,в + 1, г = р для формулы 2/) верно равенство

Нг (в) = тг. (1)

Формулы Нр и Нд — это одна и та же переменная, индексы тр и тд равны. Тогда в наборе равенств (1) для формулы 2^ есть два одинаковых (Нр(в) = тр и Нд(в) = тд), а набор равенств (1) для формулы 2/ составляют те же равенства, за исключением равенства Нр(в) = тр. Значит, формулы 2^ и 2/ равны 3 на одних и тех же наборах. Согласно утверждению 3, рассматриваемые формулы могут принимать

только значения 2 и 3, следовательно, формулы Zг и Z/ реализуют равные функции. При этом сложность формулы Zi' меньше, чем сложность формулы Zi. Поскольку формула Ф минимальна, рассматриваемый случай невозможен.

Таким образом, для любой нетривиальной подформулы Zi среди Нр встречаются только переменные из множества X, причем каждая не более одного раза.

Допустим, что найдется тривиальная подформула Zг формулы Ф, которая представляет собой переменную у. Тогда формула Zг не принимает значение 3 на всех наборах а = (ао,..., ап) из Еп+1, таких, что ао = 0. Следовательно, согласно утверждению 3, можно заменить формулу Zг на константу 2. Произведем такую замену для всех подформул Zг формулы Ф, для которых это возможно. В результате получим, что переменная у может встречаться в формуле Ф только в качестве белой подформулы.

Тривиальная подформула Zг формулы Ф может быть константой 2 или переменной из множества X. То есть либо все тривиальные подформулы формулы Zг принадлежат множеству X, либо Zг есть константа 2.

Покажем, что если Zг не представляет собой константу 2, то в нее входят все переменные из множества X и верно неравенство ) ^ п.

Рассмотрим произвольную формулу Zi, 1 ^ г ^ N, содержащую хотя бы одну переменную из множества X. Пусть в нее входит в + 1 переменная из множества X, например Ж1, ...,ж8+1, причем без ограничения общности для всех 1 ^ р ^ в + 1 формула Нр — это переменная жр. Предположим, что в + 1 < п. Тогда для набора 5 = (50,..., 5п), где 50 = 0, 51 = т1,..., 58+1 = т5+1, 55+2 = ... = 5п = 2 (т^ — соответствующие индексы из представления формулы Zi, к = 1,...,в + 1), согласно утверждению 3, выполняется соотношение Zi(5) = 3. По определению /п(5) = 0, тогда Ф(5) = 0. В соответствии со свойством 1 каждая белая подформула формулы Ф на этом наборе принимает значение 0. Формула Zг является главной подформулой некоторой белой формулы Л(А, Zi), где А — формула. Тогда в силу определения функции Л верно равенство Zi(5) = 2. Мы получили противоречие. Таким образом, в каждую из подформул Zi, не представляющую собой константу 2, входит не менее п переменных из множества X.

Покажем, что константа 2 не может встречаться в формуле Ф.

Возьмем произвольную подформулу Zг формулы Ф, 1 ^ г ^ N. Если она нетривиальна, то, согласно утверждению 3, она может принимать только значение 2 или 3. Если же она тривиальна и верно неравенство п ^ 2, то она может принимать только значение 2. Тогда из утверждения 4 следует, что в формуле Ф можно менять местами подформулы Zг и для произвольных г, ] € {1,..., N}. Если же п = 1, то в минимальной формуле Ф всего одна подформула Zг и утверждение о возможности менять местами формулы Zг и остается в силе.

Допустим, что все формулы , 1 ^ ] ^ N, представляют собой константу 2. Тогда для набора (0, 3,..., 3) € Еп+1 из равенства Л(0, 2) = 0 получим соотношение Ф(0, 3,... , 3) =0, что неверно. Значит, в формуле Ф найдется нетривиальная подформула Zi. Поменяем местами Zг и Zl (г ^ 2). Далее будем считать, что подформула Zl нетривиальна.

Пусть А — нетривиальная белая формула. Покажем, что формулы Л(А, 2) и А реализуют одинаковые функции. Пусть а — произвольный набор из Еп+1. Если А(а) = 0, то и Л(А(а), 2) = 0. Если А(а) = 1, то и Л(А(а), 2) = 1. А если А(а) = 2, то Л(А(а), 2) = 2. Поскольку Zl нетривиальна, можно заменить Л(А, 2) на А для всех подформул Zг формулы Ф, представляющих собой константу 2. Следовательно, константа 2 не будет встречаться в качестве подформул минимальной формулы Ф.

Таким образом, мы показали, что среди подформул Zг (1 ^ г ^ N) формулы Ф нет тривиальных. Нетривиальные же содержат по крайней мере п переменных из множества X. То есть мы доказали соотношение ^ п для произвольного г, 1 ^ г ^ N.

Рассмотрим подформулу Zг формулы Ф, 1 ^ г ^ N. Она имеет вид

(. ..^тв (Hs+1,Hs), . . . ,Н1).

Поскольку ) ^ п, в формулу Zг не входят переменная у и константа 2, переменные из множества X входят без повторений и мощность множества X есть п, то в каждую формулу Zг входят все переменные из множества X.

Построим по формуле Zг набор в = (в1,...,вп). Если для некоторого числа к у формулы Zг есть подформула вида ^>тр(А, ж^), где А — формула, то положим = тр. Если для некоторого числа к у формулы Zг есть подформула вида <^тв(ж&, Н), то положим = 3. Так как в формуле Zг встречаются все переменные из множества X ровно по одному разу, то такой набор по формуле Zг определяется однозначно. Будем называть его набором, соответствующим формуле Zi. Заметим, что он будет лежать

в множестве Из утверждения 3 следует, что для набора в выполняется равенство Zj(0, вп) = 3

и что ни для какого другого набора из множества такое равенство выполняться не может.

Рассмотрим произвольный набор в = (в1,... , вп) из . Допустим, что среди подформул Z не найдется формулы, соответствующей этому набору. Тогда на наборе в ни одна из подформул Z не обратится в 3, и, значит, в силу равенства Л(0, 2) = 0 выполняется соотношение Ф(0, в1,..., вп) = 0, что противоречит определению функции Полученное противоречие показывает, что N не меньше, чем число способов выбрать набор в. Множество наборов, состоящих из цифр 3,...,k — 1, имеет мощность (k — 3)n. Множество наборов, состоящих из цифр 4,...,k — 1, имеет мощность (k — 4)n. Множество представляет собой разность этих множеств, т.е. N ^ (k — 3)n — (k — 4)n. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1 на основе приведенных утверждений полностью повторяет доказательство теоремы из [8]. В ходе доказательства формула Ф, реализующая функцию преобразуется и одновременно строится формула G над A, также реализующая В итоге получаются формулы Ф^ над B и Gn над A, реализующие функцию такие, что сложность формулы Ф^ удовлетворяет неравенству ¿(Ф^) ^ ¿(Ф), а глубина — соотношению ) = D(Gn). При этом все нетривиальные белые подфор-

мулы формулы Ф^ имеют вид ^(A, A, B), а формулы Gn — вид Л(А, B) соответственно; A, B — формулы. Следствие. При всех n ^ 1 для последовательности функций 6-значной логики верно равенство

Ы/п) = (п + 1) ■ 2п(3П-2П) — n. Аналогичными рассуждениями несложно получить следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть m, r — произвольные натуральные числа. Тогда при всех k ^ r + 3 существуют конечная система A Ç и система fn(xi,..., xn) функций из множества [A], такие, что при n —> œ выполняется соотношение

L®(/n) £ mr".

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00508) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2003.

2. Лупанов О.Б. О сложности реализации функций алгебры логики формулами // Проблемы кибернетики. Вып. 3. М.: Физматгиз, 1960. 61-80.

3. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

4. Угольников А.Б. О глубине и сложности формул, реализующих функции из замкнутых классов // Докл. АН СССР. 1988. 298, № 6. 1341-1344.

5. Угольников А.Б. О глубине формул в неполных базисах // Математические вопросы кибернетики. Вып. 1. М.: Наука, 1988. 242-245.

6. Угольников А.Б. О сложности реализации формулами одной последовательности функций 4-значной логики // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 3. 52-55.

7. Угольников А.Б. О сложности реализации формулами одной последовательности функций многозначной логики // Математические вопросы кибернетики. Вып. 2. М.: Наука, 1989. 174-176.

8. Андреев А.А. Об одной последовательности функций многозначной логики // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 6. 52-57.

9. Андреев А.А. Об одной последовательности функций многозначной логики // Мат-лы XI Междунар. семинара "Дискретная математика и ее приложения". М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2012. 88-90.

Поступила в редакцию 29.10.2012