О неравенствах для дисперсии числа нулей некоторыхстационарных гауссовских процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 2

Р. Н. Мирошин

О НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ ДИСПЕРСИИ ЧИСЛА НУЛЕЙ НЕКОТОРЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

Задача вычисления моментов числа нулей случайного процесса все еще актуальна ввиду ее значимости в приложениях (аэродинамике, океанологии, статистической радиофизике и др.) и незначительного количества имеющихся простых результатов. Недавно [1-5] для двух стационарных гауссовских процессов автору удалось получить представление второго момента (дисперсии) через элементарные функции. Ранее существовала только формула для косинус-процесса, являющегося вырожденным случайным процессом. В настоящем сообщении указанные результаты используются для оценок дисперсии снизу или сверху в случае некоторых стационарных гауссовских марковских процессов первого порядка и возвратных процессов первого порядка (теоремы 1 и 2).

Рассмотрим стационарный гауссовский дифференцируемый случайный процесс ^ с нулевым средним и корреляционной функцией р1 = М£о&. В задачах, связанных с подсчетом нулей такого процесса, не теряя общности можно выбрать масштабы по осям координат таким образом, что ро = —р'0 = 1 [1]. Если мы хотим знать результат для произвольных ро и — рО', нужно только в итоговых формулах умножить р на ро, а £ — на ■\/—р'о/ро- Например, для среднего числа нулей щ стационарного гауссовского процесса в интервале [0,£] при ро = —рО' = 1 имеем N1(1) = = ^¡п, а при произвольных ро и р'0 соответственно

t / —р"

Ni(t) = — ■ \ —- (формула Райса). п у Ро

Поэтому далее мы полагаем ро = -p0 = 1.

К сожалению, уже для дисперсии числа нулей в интервале [0, t]

D(t) = M[Vt - Ni(t)]2 = N2(t) + Ni(t) - N2(t), где N2(t) = Шщ(щ - 1), (1)

не говоря о более старших моментах, простые формулы наподобие формулы Райса известны лишь в исключительных случаях, а именно:

— для косинус-процесса, т.е. стационарного гауссовского процесса с корреляционной функцией

pCos = 1 - ß2 + ß2 cos(t/ß), 0 <ß < 1; (2)

— для процесса Уонга, т.е. стационарного гауссовского марковского процесса первого порядка с корреляционной функцией

3 1

Р? = 2<Pw(t) - гДе = ехр{-И/^3}; (3)

— и для стационарного гауссовского процесса с корреляционной функцией

у-2 UI3

рТ = 1-- + П_ при |t| < 2 л/3, (4)

© Р. Н. Мирошин, 2004

являющегося примером локально марковского процесса первого порядка и примером возвратного процесса первого порядка (существование корреляционных функций (4), т.е. продолжимость (4) за пределы интервала < 2а/3, доказана в [4, 6]).

В случае (2) второй факториальный момент N2^) числа нулей представим формулой (см., например, [4, с.149])

г 2 /г

N2^)= =---агсэш /3зи1 — ) при 0 <г< 2тг/3,

п п у 2р,

в случае (3) [1-3] (см. также [4, с.145—146]) — формулой

N2(1) = Щ(Ь) =

t 1 3 + 3^ ~ 12 +

агеэт

^ (г)

(5)

(6)

а в случае (4) [4, с.146—147], [5] —

г 1 3

2 3п 12 п2

1 г

агоэт!---=

2 2А/3

при

О < г < 2л/3. (7)

В настоящей работе мы воспользуемся этими формулами при оценке момента N2(4) (а тем самым, в силу (1), и дисперсии Р(г)) для двух классов стационарных гауссовских процессов:

— .марковских процессов первого порядка с корреляционными функциями [6, 7]

= = гДе = ехР( —> 0, (8)

6 г 6

возвратных процессов первого порядка с корреляционными функциями [7]

¿2 ЬЩ3 ,., . 2

рь(*) = + ПРИ 1^1<ттт{1,1+^362 - 1} 2 6 Ь

(9)

(эти процессы, как доказано в [5], являются также и локально марковскими).

Корреляционные функции (3) и (4) — частные случаи корреляционных функций (8) и (9) соответственно при 6 = 2 и Ь = 1/л/З :

Р?=Р2{Ь), РТ=Р1/^)-Докажем следующие две теоремы.

Теорема 1. Для стационарного гауссовского процесса с корреляционной функцией (8) при всех г > 0 имеет место неравенство

N2(1) 9

1 + <5У2 + <5 / / 3

3

4

1 + 6/'

(10)

в котором символ 9 означает знак (<) при 6 > 2, знак (>) при 6 < 2 и знак (=) при 6 = 2, а момент N2? (г) определен формулой (6).

Теорема 2. Для стационарного гауссовского процесса с корреляционной функцией (9) при 0 < Ы < 2тш{1,1 + 3&2 — 1} имеет место неравенство

3Ъ2М2(г) <>

(11)

в котором символ ♦ означает знак (<) при 3Ь2 < 1, знак (>) при 3Ь2 > 1 и знак (=) при 3Ь2 = 1, а момент N2^(1) определен формулой (7).

Доказательство теорем основано на сравнении подынтегральных функций в следующих интегралах, представляющих факториальные моменты N2(4), N2? (г) и N^(1) в

2

2

г

2

п

2

правых и левых частях неравенств (10)—(11) (формула Штейнберга, Шультейса и др., модифицированная в [1]):

«) = 4 [\t-T)F(T)dT, Р(т) = ^Щ(1 + аЬёа), (12)

п2 Jo (1 - p2)

D(t) = k7k8 , sin a = k6/k2 , 2a G [-п,п], (13)

k7 = (1+ p)(1 - r) - q2, kg = (1 -p)(1 + r) - q2, k6 = p(pr + q2) -r, k2 = 1 -p2 - q2. (14) Здесь приняты обозначения p = pT = M£o£T , q = -dp/dT , r = -d2p/dT2. Именно, мы будем сравнивать D(t), 1 -p2, sin a для корреляционных функций (8) ps(t) и (9) pb(T) с такими же величинами для корреляционных функций (3) pW и (4) pm, т.е. соответ-

ственно с

(1-р2)4, | прир = рй(г), р = р(т), (15)

х4(2 - х)4 х2(2 - х)2(3 - х)(1 + х) 1 - х

1446^ . -збьЗ-' — п?и Р = Рь(т), х = Ът. (16)

Наиболее трудоемко доказательство теоремы 1. Оно опирается на леммы 1-5. Лемма 1. Для процесса с корреляционной функцией (8) имеет место неравенство

4

1 - р2 4 - р2 Доказательство. Рассмотрим функцию

Г(р) = (4 - р2)(1 - р2)2 - 4(1 -р2) = (х)/62,

где х = р2 € [0, 1],

Г (х) = 4(1 + 6 - х8/2)2 - (3 - х)262 = Г2(х)Г3(х), Г2(х) = 2(1 + 6 - х8/2) + (3 - х)6 > 0 при всех х € [0,1], 6 > 0, Г3(х) = 2(1 + 6 - х8/2) - (3 - х)6. Таким образом, знак Г(р) определяется знаком функции ^3(х) в интервале 0 < х < 1. Так как для х € [0,1] производная от Гз(х) по х, равная (1 -х8/2-1)6, неотрицательна при 6 > 2, Г3(х) не убывает при 6 > 2, mаxГ3(х) = Г3(1) = 0, т.е. Г3(х) < 0. При 6 < 2 эта производная неположительна, так что Г3 (х) не возрастает, min Г3(х) = Г3 (1) = 0 и, следовательно, Г3(х) > 0. Наконец, Г3(х) = 0 при 6 = 2. Таким образом, Г(р) Ф 0, что и доказывает лемму.

Лемма 2. Для процесса с корреляционной функцией (8) при 6 > 2 справедливо неравенство

к8(р) ^(1 + 6)(2 + 6)

УЫ= (1-^(1 + ^)"-12-'

Доказательство. Обозначим числитель производной У' функции У(р) как

2(р) = к8(1 - р2) + (2 + 4р)к8, где кв = Л8(р). (17)

Последовательно дифференцируя 2(р) по р, имеем

2'(р) = к8(1 - р2) + (2 + 2р)к8, (18)

2"(р)= к8"(1 - р2) + 2к8 + 6к8, (19)

2"'(р) = к84 (1 - р2) + (2 - 2р)к8" + 6к1 (20)

где, как нетрудно проверить,

к8 = 1 - р2+й - (1+2/5)(р - р1+6), к8' = -(2 + 5)у1+<5 - (1 + 2/5)[1 - (1 + 5)уй],

к8" = (1 + 5)(2 + 5)(у<5-1 - р6), (21)

к8''' = (1 + 5)(2 + 5)[(5 - - 5р6-1\,

кв(4) = (1 + 5)(2 + 5)(5 - 1)[(5 - 2)у<5-3 - 5рй-2].

Подставляя (21) в (20), посредством тождественных преобразований получаем Z''' (р) = (5 - 2)(1 + 5)(2 + 5)р6-3(1 - р)х(р), где X(р) = 5 - 1 - (3 + 5)р2. Очевидно, в корне р0 уравнения X(р) = 0 функция (19) Z''(р) имеет максимум. Из (21) следует, что

I ks(0) = 1, k8(0) = -(2 + S)/S < 0, fcg(°) = k8"(0) = 0, \ k8(i) = k8(1) = k8'(i) = 0, k8"(1) = -(1 + S)(2 + s) < 0,

(22)

так что (см. (19)) Z"(0) = -6(2 + S)/S < 0, Z"(1) = 0. Тем самым указанный максимум Z''(уо) необходимо положителен и неизбежно в (0,уо) есть корень у1 уравнения Z''(у) = 0. При переходе через него Z''(у) меняет знак с минуса на плюс, т.е. Z'(у) имеет в минимум. Так как по (18) и (22) Z'(0) = 2(S — 2)/S > 0 и Z'(1) = 0, необходимо, чтобы этот минимум был отрицателен, а в (0, yi) корень у2 уравнения Z'(у) = 0, при переходе через который функция Z'(y) меняет знак с плюса на минус. Поэтому Z(у) имеет в у>2 максимум и в силу (17) и (21) Z(0) = (S — 2)S > 0, Z(1) = 0, так что функция Z(у) неотрицательна, т.е. Y' > 0 и функция Y(у) не убывает в [0,1]. Следовательно, используя правило Лопиталя, имеем

V, , г V, , W) (l + s)(2 + ö)

тахУ(у) = lim У (у) = ——- =-—-,

—12 12

что и требовалось доказать.

Лемма 3. Для процесса с корреляционной функцией (8) при S > 2 справедливо неравенство

к7 (у) (2 + S)

Доказательство проводим по схеме доказательства предыдущей леммы. Именно, обозначаем числитель производной Y'(у) как

Z(у) = k7(1 — у2) — (2 — 4у) k7, где k7 = k7(у). (23)

Последовательно дифференцируя Z (у) по у, имеем

Z '(у) = k7' (1 — у2) — (2 — 2у^7, (24)

Z'' (у) = k7''(1 — у2) — 2k7' + 6k7, (25)

Z '''(у) = k74) (1 — у2) — (2 + 2y)k7'' + 6k7',

(26) 59

где функция hi и ее первые четыре производные имеют вид кг = 1 - ф2+6 + (1 + 2/5)^ - ф1+й), h7' = -(2 + S)p1+s + (1 + 2/S)[1 - (1 + S)ps], hr" = -(1 + 5)(2 + S)^s—1 + ф3), (27)

h7'" = -(1 + 5)(2 + S)[(S - 1)фй—2 + S^s-1], hr(4) = -(1 + S)(2 + S)(S - 1)[(S - 2)<fs-3 + S^s-2], и при этом в силу S > 2

k7(0) = 1, h7 (0) = 1 + 2/S > 0, h'7'(0) = h'7" = 0,

hi(1) = 0, h7(1) = -2(2 + S) < 0, h'7'(1) = -2(1 + S)(2 + S) < 0, (28)

k7'"(1) = -2(1 + S)(2 + S)(2S - 1) < 0. Из (28) и (23)-(26) для S > 2 вытекает:

Z'''(0) < 0 при S < 3, Z'''(0) = 0 при S > 3,

Z''(0) = 6(2 + S)/S > 0, Z''(1) = 4(2 + S)(S - 2) > 0, (29)

Z'(0) = 2(S - 2)/S > 0, Z'(1) = 0, Z(0) = (2 - S)/S) < 0, Z(1) = 0.

Теперь исследуем, как и в лемме 2, монотонность поведения функций Z(к)(ф), к = 0,1, 2, 3, на интервале [0,1]. Из (26) и (27) находим, что

Z'''(ф) = -(S - 2)(1 + S)(2 + S)(1 + ф)ф6—3Х(ф),

где X(ф) = S - 1 - (3 + 6)ф2. При переходе через положительный корень фо уравнения X(ф) = 0 функция (26) Z'''(ф) меняет знак с минуса на плюс, т.е. функция Z''(ф) имеет минимум. Он или положительный, или отрицательный. В первом случае функция Z'(i^) монотонно возрастает (ибо в силу (29) Z''(^>) > 0), а это противоречит (см.(29)) тому, что Z'(0) > 0, Z'(1) = 0. Поэтому возможен только второй случай: minZ''(ф) = Z''(ф0) < 0. Так как Z''(0) > 0, Z''(1) > 0 в силу (29), функция Z''(ф) необходимо имеет два нуля ф— и ф+ таких, что 0 < ф— < фо < ф+ < 1. При ф = ф— имеем максимум функции Z'(ф), а при ф = ф+ —ее минимум, причем в силу Z'(1) = 0 (см. (29)) минимум необходимо отрицателен. Таким образом, в (ф—, ф+) есть корень ф2 уравнения Z'^) = 0, в котором Z'(ф) имеет максимум. Так как по (29) Z(0) =< 0 и Z(1) = 0, необходимо есть в (0, ф2) корень фз уравнения Z(ф) = 0, при переходе через который функция Z' (ф) меняет знак с минуса на плюс, т.е. Y(ф) имеет в фз минимум. При остальных значениях ф функция Y(ф) монотонна. Следовательно, максимум Y(ф) достигается на концах интервала [0,1]:

max Y (ф) = max {Y (0),Y(1)} =

Г1 k7 , h7 (1) 2 + S 1 = maxil, lim ---ф-—} = = —— > l

1 (1 -ф)(1 + ф)з; -8 4 ~

(использовалось правило Лопиталя и (28)), что и требовалось доказать.

Лемма 4. Для процесса с корреляционной функцией (8) при S > 0 справедливо неравенство

D ф (1+<5)(2 + <5)2

(1 - ф)4 48

Доказательство при 6 > 2 следует из определения Б = к7к% и лемм 2 и 3, а при 6 < 2 оно приведено в [6, с.103, лемма 12].

Лемма 5. Для процесса с корреляционной функцией (8) при 6 > 0 справедливы неравенства

п V , г, V ( т втаУ-, где ср = ехр--. .

2 л/4 - V2 V V1 + 6)

Эта лемма фактически является переформулировкой леммы 9 на с. 102-103 нашей монографии [6], где даны неравенства для к2 и т66 = кб6/у.

Доказательство теоремы 1. Согласно леммам 1, 4, 5 имеем в равенстве (12) оценку

^(т) 9 К(6) • ^(т), (30)

где обозначено у = ехр (—т/уГ+£),

Поэтому в силу (12) и (30) имеем неравенство

N2(1) 9 К(6) • М2и,(г), (32)

в котором

2 /■4

лг2ш И = -2 / (* - Г) ^ (г) ¿г. (33)

Соотношения (31) и (33) показывают, что в правой части (32) стоит интеграл, совпадающий в силу (15) при 6 = 2 с (6) (т.е. с N2"(г)) и при остальных 6 отличающийся от N2^) только значением у = ехр(—т/л/1 + <$) в подынтегральной функции (для процесса Уонга у = ехр(—г/а/З)). Сделав в (33) напрашивающуюся замену переменной г = т\ -\/(1 + 6) /3, мы и придем к утверждению теоремы.

Доказательство теоремы 2. Оно проще предыдущего, так как проще функции кI (т) для корреляционной функции (9). Заменим т на х/Ь. Будем иметь из (14)

к7

х(2 - х) 12 Ъ2

3

1 +

8(3Ь2 - 1)

(2 - х)3

х2(3 - х) (1 + х)(2 - х)2 ±~Р =-7ПЗ-. 1 +Р =

1 , 4(352 — 1) (1 + ж)(2 — ж)2 _

(35)

6Ь2 ' 6 Ь2

Найдем знак разности

ВД = (3 - ж)2(1+ж)2/г7/г8 - 9(1 -р2)2 = 8(ЗЬ2 - 1) • ^ ~ х)2^х){2 ~ х)¥(х), (36)

где 0 < х < хъ х1 = 2тт{1,1 + ^ЗЪ2 - 1},

+ (37)

(2 - х)(1 + х)

Очевидно, при 3Ь2 - 1 > 0 функция (37) положительна. Она положительна и при

3Ь2

- 1 < 0. Действительно, так как

= 2(352 — 1)(1 — 2х)

[ J (2-х)2(1 + х)2 '

максимум функции У(х) имеется только при х = 1/2 и равен У(1/2) = (1 + 24Ь2)/9 > 0. Следовательно, на концах интервала 0 < х < х\ достигается минимум

ттУ(ж) = тт{У(0),У(ж1)} = тт{362,1 + (\/ЗЬ2 - 1)2/(1 + Ж1)},

который положителен.

Таким образом, знак (36) совпадает со знаком выражения 3Ь2 1, и в соответствии с определением Б = к7к8 и символа О мы заключаем из (36), что X(х) ♦ 0, т.е.

^ О , , (38)

1 -p2 (3 - x)(1 + x) '

В формуле sin а = для корреляционной функции (9) pb(t) при t = x/b несложно

получить из (14)

3

к6 = ^^ [24 Ъ2 - 6(Ь2 + 3)ж + 18ж2 - 7ж3 + ж4], 3

к2 = ^ [24Ъ2 - 9(Ь2 + 1)ж + 6ж2 - ж3]. Рассмотрим разность

2кб-(1-х)к2 = .(362 - 1).

Ее знак совпадает со знаком выражения 3b2 — 1, и поэтому

1x

sin а <0> —-—. (39)

Неравенства (38)-(39) приводят к неравенству

■íb2N2(t) <> N^ibtV3), (40)

в котором

= тЛ - ^т(х) = ^ + , sinam = . (41)

2п2 J0 (3 — x)(1 + x) 2

Равенства (41) определяют N2(t) для процесса с корреляционной функцией (4) (т.е. с b = 1/л/З, см. (16)), так что (40) совпадает с приведенным в формулировке теоремы 2 неравенством.

Следствие. Из теоремы 1 при S I 0, когда при конечных t

ps(t) ^ po(t) = (1 + \t\)e-t,

имеем неравенство

N2(t)>-±=N?(tV3),

в котором N2(t) —второй факториальный момент числа нулей в интервале [0,t] стационарного гауссовского процесса с нулевым средним и корреляционной функцией po(t). Пример. В случае S =1 в корреляционной функции (8) из (12)—(14) находим, что

N2{t) = \ í\t-r)F(r)dr, F(r)= + ±^(í+atga), (42)

п2 Jo 1 + 2ф — ф2

где sin а = ф(1 + ф)/(1 + 3ф). Упростить интеграл (42) не удается, но оценку снизу мы сразу получаем из теоремы 1 и формулы (6), полагая S =1:

2i

312 t 13/. e-t'^2

Н--т=--тт: Н—т arcsm

2^2 ' 12 ' 7г2 V 2

Summary

R. N. Miroshin. On inequalities for the variance of the number of zeros of some stationary normal processes.

Inequalities indicated in the title are obtained for correlation functions (8)-(9) (Theorems 1,2). Литература

1. Мирошин Р. Н. О дисперсии числа нулей гауссовского стационарного процесса // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 1 (№1). С. 40-47.

2. Мирошин Р. Н. Моменты числа нулей процесса Уонга на большом интервале времени // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1991. Вып. 4 (№22). С. 70-73.

3. Мирошин Р. Н. Степенной отрезок асимптотического ряда для моментов числа нулей процесса Уонга на большом интервале времени // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1995. Вып. 2 (№8). С. 36-42.

4. Мирошин Р. Н. Случайные процессы и поля (учебное пособие). СПб., 2003.

5. Мирошин Р. Н. Моменты числа нулей стационарных гауссовских локально марковских процессов первого порядка на малых интервалах времени // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып. 1 (№1). С. 24-31.

6. Мирошин Р. Н. Пересечения кривых гауссовскими процессами. Л., 1981.

7. Мирошин Р. Н. Марковские и возвратные стационарные гауссовские процессы второго порядка // Теория вероятн. и ее примен. 1979. Т. 24, №4. С. 847-853.

Статья поступила в редакцию 14 октября 2003 г.