О некоторых решениях интегрального уравнения Колмогорова—Чепмена Текст научной статьи по специальности «Математика»

(а)

(б)

УДК 519.21

Р. Н. Мирошин

О НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИЯХ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА—ЧЕПМЕНА

Указанное в заголовке уравнение — определяющее уравнение в теории марковских случайных процессов. В докладе на международном конгрессе математиков в Цюрихе в 1932 г. С. Н. Бернштейн, показав, при каких условиях из этого интегрального уравнения получается дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа, отметил желательность решения уравнения Колмогорова— Чепмена без обращения к дифференциальному уравнению [1]. Реализуя это пожелание,

О.В.Сарманов в 1961 г. при некоторых ограничениях получил частное решение в виде ряда [2]. В настоящем сообщении для процессов с непрерывным временем и с вещественными значениями мы находим общий вид решений этого уравнения, сведя интегральное уравнение к функциональному путем представления решения в форме однократного интеграла от произведения ядер интегральных преобразований с некоторой весовой функцией. Это функциональное уравнение допускает частные решения, с помощью которых подынтегральная функция упомянутого интеграла полностью определяется. Для некоторых классических преобразований (Фурье, Ганкеля) приводятся примеры, когда интеграл выражается в аналитической форме (среди них и известное представление для корреляционной функции гауссовского марковского процесса). Метод, используемый нами в настоящей работе, ранее применялся для вычисления многократных интегралов, встречающихся в представлении моментов числа нулей гауссов- ских марковских процессов первого порядка [3-4].

Рассмотрим одномерный вещественный марковский процесс с непрерывным временем Ь > 0. Он полностью характеризуется начальным распределением (при Ь = 0) и плотностью вероятности перехода и.вАь (х А у) траектории процесса из точки х в момент времени в в малую окрестность точки г в момент времени 1, Ь > в (эта плотность может быть и обобщенной функцией). Плотность вероятности перехода удовлетворяет уравнению Колмогорова—Чепмена

(1)

где — множество значений (на вещественной оси), которые может принимать процесс

Например [6, 7], для следующих классических интегральных преобразований имеем в

(2):

Г1 случае косттпуе-преобра:юпатп1я Фурье

О — [(). со), «>(*) — ь*(х) — у/2/тгсавЛх,

© Р. Н. Мирошин, 2007

— в случае синус-преобразования Фурье

il = [0,oo), ux{x) =vx(x) = л/2/n sin Xx,

— в случае экспоненциального преобразования Фурье

U = (-oo, oo), ux(x) = ALe-iXx, vx(x) = A=eiXx

%/2n %/2n

(интегралы в (2) понимаются в смысле Коши),

— в случае преобразования Ганкеля

il = [0, oo), ux{x) = vx{x) = VXx Jv(Xx), Re(z/) > —1/2,

где Jv (x) — функция Бесселя первого рода [7, 8], i — мнимая единица.

В перечисленных примерах для справедливости (2) достаточно, чтобы непрерывная функция f (Л) была абсолютно интегрируема на конечных интервалах, и тогда интегралы в (2) — обычные интегралы Римана. Положим

п— t(x А z)= Фл(Л)ux(z)vfs,(x)(x)dЛ (3)

JQ

и подберем функции ФА (Л) и fst (Л) вещественных переменных s, t и Л так, чтобы удовлетворялось уравнение Колмогорова—Чепмена (1). Подставив (3) в правую часть (1) и

переставив интегрирование по у и Л, мы, воспользовавшись (2), приводим (1) к виду

ns—t(x А z) = I Ф<т(frtWATtWux(z)vfA(fтt(x))(x)dA, (4)

JQ

однотипному с (3). Сравнивая (3) и (4), приходим к заключению, что уравнение (2) удовлетворяется, если

Ф<т (fTtWATtWvfsT (fTt(X)) (x) = ФstWVf., (x) (x>. (5)

Это уравнение функциональное относительно функций фА (Л) и fstA). В общем виде не ясно пока, как его решать, но некоторые частные решения получить не трудно, чем и

займемся.

Возьмем функцию fst(X) так, чтобы

fsT (МЛ))= fstW. (6)

Тогда уравнение (5) упрощается:

Фsт (ЫЛ))ФА(Л) = Фst (Л), (7)

причем из (6)-(7) при т = t следует

ftt (Л) = Л, Ф«(Л) = 1. (8)

На этом этапе мы исключили из уравнения (5) известную функцию vx, и разделили его на два: (6) и (7), — первое из которых содержит только одну неизвестную функцию fstA). Предположим, она пропорциональна Л :

fst (Л)= A(s,t) ■ Л. (9)

Тогда в силу (9) имеем из (7) и (8) уравнения

Л(в,Т)Л(Т,г)= А(в,Ь), в < Т < Ь, (10)

Фзт (Л(т1)Л)Фтл(Л) = Ф8-(Л), (11)

причем Л(б, в) = 1 и Ф3з(Л(в,1;)А) = 1 (как и должно быть согласно (8)).

Решение функционального уравнения (10) в пространстве непрерывных функций (а других мы не рассматриваем) известно:

А(в,Ь) = У(Ь)Н(в), в < Ь, (12)

где У(Ь) —произвольная непрерывная не обращающаяся в нуль функция. Решение уравнения (11) ищем в виде

%вЬ(А) = exp{-g(A)B(в,t)} , (13)

где В(в,Ь) > 0, а неотрицательная функция g(A) —однородная функция степени V, т.е. при к > 0

g(kA) = ^ g(A). (14)

Подставив (13)-(14) в (11), находим, что В(в,Ь) удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

ЩТ,Ь)]иВ(в,Т) + В(Т,Ь) - В(в, Ь) = 0, в < Т < Ь. (15)

Положим в (15), используя функцию У(Ь) из (12),

В(в,Ь) = a(t)Y»(t) - а(в)т-(в)^(Ь), (16)

где а(Ь) > 0 — произвольная непрерывная вещественная функция, ц — вещественное число. В этом случае равенство (15) выполняется, причем функция

Н(Ь)= а(Ь)<уа-" (Ь) (17)

должна быть функцией неубывающей (в силу В(в,Ь) > 0).

Таким образом, одно из частных решений уравнения Колмогорова—Чепмена (1) имеет вид

пвАг(х А г) = ( e-g(x)B(s'Ь)Ux(z)vA{s,t)x(x)dA, (18)

в котором функции A(в,Ь) и В(в,Ь) определены соответственно равенствами (12) и (16), а g(A) удовлетворяет (14) и при этом функция (17) не убывающая.

Более простое решение уравнения (1) получается при A(в,Ь) = 1, когда функциональное уравнение (11) принимает форму

Фт (Ллт.(Л) = ^), аналогичную (10), и удовлетворяется при

**■81^) = $x(Ь)/$x(в), в < Ь, для любой непрерывной вещественной

функции *x(Ь), не обращающейся в нуль. 24

Таким образом, среди решений уравнения Колмогорова—Чепмена находятся функции вида

K.вAЬ(x * г) = [ -*X<f\■u\(z)v\(x)dX. (19)

Зп Ух(Б)

Они являются частными случаями (18) при A(в,Ь) = 1, В(в,Ь) = а(Ь) — а(в), Шх(1) = ехр{-дЛ)а(1)}.

Если представление (18) (или (19)) таково, что

Пв—ь(x * г) > 0, / Пв—ь(x * z)dz < 1, (20)

Зп

то Пв—ь(x * z) можно отождествить с плотностью вероятности перехода некоторого марковского процесса.

Перейдем к примерам. В них левая часть (3) выражается аналитически. От примера к примеру варьируем ФА (Л) и вид функций их(х), Ух(х), используя перечисленные выше классические интегральные преобразования.

ПРИМЕР 1. Очевидно [7], что если и\(х) = v\(x) = А2/ж соб Xx, Q = [0,оо) и

g(x)= / ^^^(Х) dX = *2/Тг / f(X)coвXxdX,

Зп Зо

то косинус-преобразование Фурье функции

ЫК) = f(aX)vx(y) = y*f(aX)coвXy, у>0, (21)

имеет вид

rh(X)uxxdX=~ rf(aX)cosXycosXxdX = *lg(**)+g(1**)}, (22)

Зо пЗо 2аЬ V аЗ \ а ^

т.е. правая часть равенства (22) допускает представление (3). Если теперь положить а = \3(в,Ь), Ь > в, и при этом

f(XfJ(в,Ь)) = *т, Ь>в, (23)

то можно отождествить (22) с функцией (19):

у + х\ / 1у — х1 \

(24) , У + x A I

TTв*Ь(X*У) ) У2ТтР(в,Ь) *Щ,+р

Чтобы получить конкретное аналитическое выражение в правой части (24), достаточно выбрать в таблицах косинус-преобразований Фурье функции типа (23). Например (см. [8, с. 494, 3.898(2)]), при

f (Л) = ехр(—Л2/2) (25)

имеем

2 х2 g{x) = ехр(-у)

2

Взяв а2 = f32(в,Ь) = а(Ь) — а(Б), где а(Ь) —не убывающая непрерывная функция, не

обращающаяся в нуль, находим, что (23) выполняется при

Шх© = ехр(—Л2аА)/2),

Таким образом, функция (26)—решение уравнения Колмогорова—Чепмена (1). Аналогично, когда в (21)

/(А) ехр(—А),

I И .

по таплитиш (

2 /'■’ . а

— I I (аХ) сов Хх сов Ххц1\ ——

I

//- I {у I .к)2

/О —1■ !/}■

I

I

а~ I (,у - .г)

(28)

смнус-преобрадшианне Фурье от функции

- ^/2/тт/{п\) «111 А у, у > О,

имеет вид [7]

п г

V

/■| (А) «1т1 Хх (IX — I /(аА) я!п Ху я!п Хх (IX

-/

1 1

2^ а

Ш - -,:1 ^ ( и \ а'

- и

(30)

Если а — !}(», () > 0, /. > у, и /(«.А) — т0 получаем сразу из (30), что

футтктшя

тг* -» у)

О

У + ж

(31)

\/27Г/^(я.

где о = а(Ь) — а(в) > 0, Ь > в, причем выполняется уравнение (1) в силу (19) и А\(Ь) = ехр(-а(Ь)Х).

Так как и для функции (26), и для функции (28) справедливы соотношения (20) (неравенство заменяется точным равенством), обе эти функции могут быть отождествлены с плотностями вероятности перехода и.вАь(х А у) некоторых марковских процессов.

ПРИМЕР 2. Когда, как в синус-преобразовании Фурье,

является решением уравнения Колмогорова—Чепмена (1), так как имеет представление (19) в силу (30).

В частности, равенство (31) справедливо для функции (25) при /32(в,Ь) = а(Ь) — а(в) > 0 и для функции (27) при в(в,Ь) = а(Ь) — а(в), где а(Ь) не убывает, Ь > в. Соответствующие функции ПвАь(х А у) удовлетворяют (20), но при в < Ь и конечном

х со знаком строгого неравенства, т. е. они могут быть отождествлены с плотностями вероятности перехода некоторых марковских процессов. Эти процессы отличаются от рассмотренных в конце примера 1, в частности, и тем, что в любой следующий за начальным момент времени Ь > в число возможных траекторий, вышедших из начальной точки х < ж, уменьшается, поскольку при конечном х вероятность траектории процесса оказаться в наличии в момент Ь меньше единицы. Если использовать метафору, отождествляя траекторию процесса с ручейком, истекающим из родника в точке х и прокладывающим себе путь по песку, то ручеек будет существовать после истечения с вероятностью, меньшей единицы. Своего рода спонтанное исчезновение траекторий.

ПРИМЕР 3. Приведем пример функции и.вАь(х А у), которая является решением уравнения (1), но не может быть плотностью вероятности перехода марковского процесса, так как не интегрируема по у в Q (т.е. не выполняется второе соотношение в (20)). Таковой [8, с. 436, 3.762(3)] является функция

где 0 < а < 1. Эта функция имеет представление (3), в котором при а = а(Ь) — а(в) > 0, Ь > в, справедливо

равенство

ЛвЬ = 1-а = Фх(г)/Фх(в), фх(г) = 1^4

т. е. она удовлетворяет уравнению (1).

ПРИМЕР 4. Известно [8, с. 724, 6.615], что при йе(Л) > —1/2, х > 0, у > 0

где 1и (х) —модифицированная функция Бесселя первого рода [7, 8]. Если взять а = а(Ь) — а(в) > 0, Ь > в, то, обозначив (32) как ПвАь(х А у), видим, что (32) удовлетворяет уравнению (1), поскольку

ПРИМЕР 5. Выясним, при каких условиях будет марковским гауссовский процесс с нулевым средним и корреляционной функцией Рй, в < Ь. Первых две конечномерных плотности распределения этого процесса суть

2

— I А 0 сой А у сой А:к с/А

Г(1 - а)

'/Хх ,7,,(Ах-).

О

охр

(33)

- >1>, г-. |

20к1

где Ц„-( РяяРи — Р*/ |Я]. Разделив (34) на (ИЗ), получаем плотность вероятности перехода

Применим к (35) экспоненциальное преобразование Фурье (см. [7, т. 11):

I — г)<:‘аА(£г - охр {—^Г"Л2 | -г'-^Лх|. (36)

Если теперь обратить преобразование Фурье (36), т.е. умножить (36) на ехр(- 1Хх)/2п и

Чтобы функция (37) удовлетворяла уравнению Колмогорова—Чепмена, достаточно, чтобы выполнялись равенства (10) и (16) с V = 2. Если взять

то (10) оказывается справедливым, а (16) справедливо при Л = 1, причем функция Н(Ь) = а(Ь)/У(Ь) должна быть неубывающей. Последнее условие вместе с (39), как известно (см., например, [9]), и характеризует гауссовский марковский процесс.

Таким образом, плотность вероятности перехода гауссовского марковского процесса с нулевым средним — частный случай представления (18) решения уравнения Колмогорова—Чепмена при V = 2, л = 1.

ЗАМЕЧАНИЕ. Можно съэкономить умственные усилия на понимание наших утверждений, если воспользоваться понятием в-функции. Именно, при названных выше условиях

где Б(х) — «ядро» линейного функционала, сопоставляющего непрерывной в нуле функции р(х) ее значение в нуле:

Поэтому переход от (1) к (4) осуществляется следующим путем:

— подставляем (3) в правую часть (1),

— посредством перестановки последовательности интегрирований выделяем внутренний интеграл по у, который в силу (40) равен

проинтегрировать по Л в пределах (—оо,оо), то получим [7, т. 1]

(37)

Это равенство — частный случай (18) при

(38)

[ и>-1 Ь/)1’и* (А,) (у¥у = £(А1 - )); (42)

.} П

— используя определение (41) и формулу (42), берем один из интегралов по Ai или X2 (удобнее по Xi), так что остается только интеграл по X2, в котором полагаем X2 = X и получаем (4).

Summary

R. N. Miroshin. On some solutions of the Chapman—Kolmogorov integral equation.

Some solutions of the Chapman—Kolmogorov integral equation are found by means of integral transformations and illustrated with examples.

Литература

1. Бернштейн С. Н. О зависимостях между случайными величинами // Собр. соч. Т. 4. М.: Наука, 1964. С. 235-254.

2. Сарманов О. В. Исследование стационарных марковских процессов методом разложения по собственным функциям // Труды Мат. ин-та АН СССР. Т. 60. М.: Наука, 1961. C. 238-259.

3. Мирошин Р. Н. Сходимость рядов Райса и Лонге—Хиггинса для стационарных гауссов- ских марковских

процессов первого порядка // Теор. вероятн. и ее примен. 1981. Т.26, №1. С. 101-120.

4. Мирошин Р. Н. Об одном классе многократных интегралов // Мат. заметки. 2003. Т. 73, №3. С. 390-401.

5. Прохоров Ю. В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М., 1967. 496 с.

6. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление, изд. 2-е. М., 1974. 542

с.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. М., 1969. 344 с.; Т. 2. М., 1970. 328 с.

8. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / Изд. 5-е. М., 1971. 1108 с.

9. Мирошин Р. Н. Случайные процессы и поля. СПб., 2003. 284 с.

Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.