О решении интегрального уравнения Колмогорова-Чепмена в виде ряда Текст научной статьи по специальности «Математика»

О РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА—ЧЕПМЕНА В ВИДЕ РЯДА

Р. Н. Мирошин

С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, 7(812)4284285

Уравнение Колмогорова—Чепмена лежит в основе теории марковских случайных процессов. В 1932 г. С. Н. Бернштейн [1], сведя это уравнение при некоторых предположениях к дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка параболического типа, отметил желательность непосредственного решения интегрального уравнения. Это пожелание частично реализовал О. В. Сарманов в 1961 г., найдя для стационарного процесса несколько решений в виде билинейных рядов [2]. В 2007 г. нам удалось найти решения [3], представимые однократными интегралами, используя интегральные преобразования [4]. В настоящем сообщении мы обобщаем результаты О. В. Сарманова, отказавшись от ограничительных предположений о стационарности марковского процесса и симметрии плотности распределения значений процесса относительно начального и конечного момента времени. Кроме того, мы получили решения в виде рядов, отличных от билинейных.

Рассмотрим одномерный марковский процесс с непрерывным временем t > 0 и значениями в некотором интервале Q на вещественной оси. Он характеризуется плотностью начального распределения ps(x) и плотностью вероятности перехода ns^t(x ^ у) траектории процесса из точки x в момент времени s в малую окрестность точки z в момент времени t, t > s (эта плотность может быть и обобщенной функцией). Плотность вероятности перехода удовлетворяет уравнению Колмогорова—Чепмена [5]:

ns^i(x ^ z) = ns^T(x ^ y)nT^t(y ^ z) dy , s < т < t. (1)

Jo

Найдем решение уравнения (1) в виде ряда

nS^t(x ^ y)=^2 ast(n)Un(y)Vfst (n)(x), (2)

n=0

в котором функции un(x) и vn(x) вещественной переменной x ортонормированы при x £ Q, т. е.

/ Un(x)vm (x)dx = Smn, (3)

■Jo

где Smn —символ Кронекера (Smn = 1 при m = n и Smn = 0 при m = n), а fst(n) — целочисленная вещественная функция.

Подставив (2) в (1) и переставив суммирование и интегрирование в правой части, мы приводим (1), воспользовавшись (3), к уравнению

ОО ОО

J2ast(n)un(z)vfst(n)(x) =Y^ asT (fTt(n))aTt(n)un(z)vfST (n)(fTt(n))(x),

n=0 n=0

© P. H. Мирошин, 2009

выполняющемуся, в частности, при

авг{п)УМп){х) = а8Т (¡тг(п))атг(п)у^т (п)(^(п)) (х). (4)

Пусть в (4)

1зт (1тг(п))= $эг(п). (5)

Тогда уравнение (4) упрощается:

а5г(п)= а,цт (1тг(п))а,тг(п), (6)

причем из (5)-(6) для монотонных а^(п) при т = Ь следует

1и(п) = п, аа(п) = 1.

На этом этапе мы исключили из уравнения (4) известную функцию уп и разделили его на два — (5) и (6), — первое из которых содержит только одну неизвестную функцию /ег(п). Предположим, она пропорциональна п:

¡зь(п)= Л(з,Ь) ■ п, (7)

где Л(з,Ь) —целочисленная функция. Подставив (7) в (5), видим, что Л(з,Ь) определяется уравнением

Л(з,Ь) = Л(з,т) ■ Л(т,Ь), з < т < Ь. (8)

Решение уравнения (8) известно (см., например, [6]):

Л(з,Ь) = ^(Ь)/1(з), 3 < Ь, (9)

где ^(Ь) —произвольная не обращающаяся в нуль функция и такая, что Л(з,Ь) целочисленна. Например, ^(Ь) = N[*+Ч, где N — целое число, а [Ь] —целая часть Ь > 0. Решение уравнения (6) ищем в виде

авг(п) = ехр{—д(п)Б(з,Ь)} , (10)

где Б(з,Ь) > 0, а неотрицательная функция д(п) —однородная функция степени V, т. е. при к > 0

д(кп) = к д(п). (11)

Подставив (10)—(11) в (6), находим, что Б(з,Ь) удовлетворяет функциональному уравнению

[Л(т, Ь)]1'Б(з, т) + Б(т, Ь) — Б(з, Ь) =0, з < т < Ь, решенному в [3], а именно

Б(з,Ь) = а(Ь)^(Ь) — а(з)^^-и (з)^и (Ь),

где а(Ь) > 0 — произвольная непрерывная вещественная функция, ц — вещественное

число, ^(Ь) та же, что и в (9). В силу Б(з,Ь) > 0 функция

Н(Ь) = а(Ь)^-и (Ь)

должна быть функцией неубывающей.

Таким образом,

некоторые частные решения уравнения Колмогорова-Чепмена (1) имеют вид

Ж

Пв^г(х ^ у) = ^2ехр{—д(п)Б(з,Ь)}ип(у^А(3^)п(х), з < Ь,

п=0

где целочисленная функция Л(з,Ь) определена равенством (9), д(п) удовлетворяет (11),

Б(з,Ь) = (Ь)[Ь(Ь) — Л.(з)], з < Ь,

а функция Н(Ь) не убывающая.

Другой класс частных решений уравнения (1) ищем в форме

Ж

пв^г(х ^ у) = ^2 авг(п)и{(п)(у)ъ^(п)(х) (12)

п=0

с целочисленной функцией ](п) > 0. Используя (12) в (1), находим, что (1) удовлетворяется, если

аег(п) = а8т(п) ■ атг(п), з < т < Ь.

Это уравнение такое же, как (8), так что его решением является

а5г(п) = фг(п)/ф5(п),

где фг(п) —любая непрерывная по Ь функция, не обращающаяся в нуль.

Таким образом,

среди решений уравнения Колмогорова-Чепмена находятся функции вида

7Гв^(х -► у) = ^2 ^^гиПп)(у)уПп)(х), (13)

п=0 фе(п)

в которых фг(п) - непрерывная по Ь функция, не обращающаяся в нуль.

Если

ns^t(x ^ у) > 0, / ns^t(x ^ y)dy < 1

Jo

то ns^t(x ^ y) можно отождествить с плотностью вероятности перехода некоторого марковского процесса.

Результаты Сарманова [2] — частный случай представления (13). Он рассматривал стационарный марковский процесс с pt(x) = p(x), p(t,x,y) = no^t(x ^ y)p(x) при симметричности последней функции относительно x и y:

p(t, x, y) = p(t, y, x) .

В качестве Q взят интервал вещественной оси [a, b], а fn(x) далее — собственные функции ядра ________

P(t,x,y)/y/p(x)p(y),

ортонормированные с весом p(x):

/ p(x)(fm(x)pn(x) = Smn

o

(это равенство — частный случай (3) при «„(ж) = у>„(ж), и„(ж) = р(ж)у>„(ж)). При этих предположениях Сарманов нашел решение уравнения (1) в виде билинейного ряда [2]

по^(ж ^ у) = р(у)

1 + У%хр(—А„г)у„(у)у„(ж)

„=1

(14)

где А„ > 0 таковы, что А1 < А2 < • • • < А& < • • •, т. е. (14) —частный случай (13) при / (п) = п, ^г(п) = ехр(—А„£).

Сарманов [2] привел и три примера справедливости (14).

Пример 1. Когда П = (—оо, оо), р(х) = ехр(—ж2/2)/а/27г, X/. = к А, <рк(х) = Ни{х) — полиномы Эрмита [7], ряд (14) суммируется к плотности вероятности перехода марковского гауссовского стационарного процесса

1

7Ш7Т^ШехрП-

ж2 ж2 + у2 — 2Джу

2(1 — Д2)

(15)

где Д = ехр(—А£) —нормированная корреляционная функция, А > 0.

«Разредив» ряд (14) путем выбрасывания из него членов с нечетными номерами п, Сарманов показал, что стационарной плотностью вероятности перехода будет и функция

ехр(ж2/2)

2а/27га/1 - Д2

ехр

ж2 + у2 — 2Джу ж2 + у2 + 2Джу

2(1 - Д2) + ехр 2(1 - Д2)

(16)

где Д = ехр(—А£), Ак = 2Ак, А > 0. Это пример (13) с /(п) = 2п. Заметим, что если в последней формуле между экспонентами поставить знак «минус» вместо знака «плюс», сузить область значений процесса до интервала П = [0, то) и зачеркнуть первую двойку в знаменателе, мы получим плотность вероятности перехода некоторого стационарного марковского процесса, но при £ > 0

рЖ

/ по^(ж ^ у)^у < 1.

о

Это пример ряда (13) с /(п) = 2п + 1, М2„+1 = р(ж)Н2„+1(ж), «2„+1 = Н2„+1(ж), т.е. ряда, получающегося из ряда типа (14) вычеркиванием членов с четными номерами п.

Как говорит Сарманов [2], «интересно отметить», что сумма ряда типа (13)—(14) с /(п) = 4п, ^г(п) = ехр(—4А£), ^„(ж) = Н4„(ж) есть знакопеременная функция при достаточно малом £ и поэтому не может быть плотностью вероятности перехода, хотя и удовлетворяет уравнению Колмогорова—Чепмена.

Пример 2. Когда П = [0, то), /(п) = п, р(ж) = ж“е-х/Г(1 + а), а > —1,

и„(ж) = р(ж)Ь^(ж), «„(ж) = Ь^(ж), ^г(п) = ехр(—Ап£), где Ьа(ж) —нормированные обобщенные полиномы Лагерра [7], переходной плотностью распределения стационарного марковского процесса оказывается сумма ряда типа (13) (см. [2])

Р(У)

1 + £ ьа(ж)ьа(у)е-„л‘ „=1

Г(1 + а)е~хг ехр(-1^) ,2^

^ г//а ХЬ\а/2^(°\ 1 _

жуе

-Л*

(жуе Лг)а/2р(ж) V 1 — е

-лг

(17)

в которой /а(ж) при ж > 0 — функция Бесселя.

Пример 3. Когда П = [-1,1], согласно Сарманову [2], неотрицательная функция

представима в виде ряда (13)—(14) с и„(ж) = (2п + 1)Р„(ж), «„(ж) = Р„(ж), Л„ = Ап, А > 0, р(ж) = 1/2, где Р„(ж) —ортогональные и нормированные (с весом р(ж) = 1/2) на отрезке [-1,1] полиномы Лежандра [7].

Наконец, приведем примеры не стационарных переходных плотностей, разлагаемых в ряд (13).

Пример 4. Рассмотрим гауссовский нормированный марковский процесс с нулевым средним, характеризуемый начальной плотностью распределения р(ж) = ехр(—ж2/2)/а/27г и корреляционной функцией (см. [6])

где в < £, ^(¿) > 0 не убывает. В этом случае пя^(ж ^ у) совпадает с правой частью (15), в которой Д определяется формулой (19). Соответственно, разложив правую часть (15) в билинейный ряд типа (13), находим, что этот ряд имеет вид (13) с /(п) = п,

П = (—оо, оо), м„(ж) = (1/а/27г) ехр(-ж2/2)Я„(ж), -у„(ж) = Я„(ж), ^(«0 = [^(¿)] ”/2-

Выбрасывая из этого ряда члены с четными номерами п, получаем плотность вероятности перехода вида (16), в которой Д определяется формулой (19), т. е. получаем пример ряда (13) с /(п) = 2п.

Аналогичным образом, выбрасывая из указанного ряда члены с нечетными номерами п, получаем плотность вероятности перехода вида (16), в которой фигурные скобки заменены знаком модуля, перед вторым слагаемым вместо знака «плюс» стоит знак «минус», а Д определяется формулой (19). Это пример ряда (13) с f (п) = 2п + 1.

Подобным же путем обобщаются и формулы (17)—(18), если в них заменить ехр(—А£) на Д(в,£) = ^(в)/^(£), в < ¿. Это будут примеры ряда (13) с /(п) = п, но с разными областями П.

Литература

1. Бернштейн С. Н. О зависимостях между случайными величинами // Собр. соч. Т. 4. М.: Наука, 1964. С. 235-254.

2. Сарманов О. В. Исследование стационарных марковских процессов методом разложения по собственным функциям // Труды Матем. ин-та АН СССР. Т. 60. М.: Наука, 1961. С. 238259.

3. Мирошин Р. Н. О некоторых решениях интегрального уравнения Колмогорова—Чепмена // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 4. С. 22-29.

4. Мирошин Р. Н. О многократных интегралах специального вида // Матем. заметки. 2007. Т. 82, №3. С. 401-410.

5. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедический словарь. М., 2003. 912 с.

6. Мирошин Р. Н. Случайные процессы и поля. СПб., 2003. 284 с.

7. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.,

(18)

(19)

1971. 1108 с.

Статья поступила в редакцию 18 марта 2008 г.