О НЕПРИВОДИМЫХ КОВРАХ АДДИТИВНЫХ ПОДГРУПП ТИПА F4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2023, Том 25, Выпуск 2, С. 117-123

УДК 512.54

DOI 10.46698/i7746-0636-8062-u

О НЕПРИВОДИМЫХ КОВРАХ АДДИТИВНЫХ ПОДГРУПП ТИПА F4#

А. О. Лихачева1

1 Научно-образовательный математический центр СОГУ, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46; 2 Институт математики и фундаментальной информатики СФУ, Россия, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 E-mail: likhacheva. alyona@mail. ru

Аннотация. В статье описаны неприводимые ковры A = {Ar : r £ Ф} типа F4 над полем K, все аддитивные подгруппы Ar которых являются R-модулями, где K — алгебраическое расширения поля R. Интересным фактом оказалось то, что только в характеристике 2 появляются ковры, которые параметризуются парой аддитивных подгрупп. С точностью до сопряжения диагональным элементом из соответствующей группы Шевалле эта пара аддитивных подгрупп становится полями, но они могут быть различными. Кроме того, в работе установлено, что такие ковры А являются замкнутыми. Ранее В. М. Левчук описал неприводимые ковры лиева типа ранга больше 1 над полем K, хотя бы одна аддитивная подгруппа которых является R-модулем, где K — алгебраическое расширение поля R, в предположении, что характеристика поля K отличная от 0 и 2 для типов Bl, Cl и F4, а для типа G2 отлична от 0, 2 и 3 [1]. Для данных характеристик с точностью до сопряжения диагональным элементом все аддитивные подгруппы таких ковров совпадают с одним промежуточным подполем между R и K.

Ключевые слова: группа Шевалле, ковер аддитивных подгрупп, ковровая подгруппа, система корней.

AMS Subject Classification: 20G15.

Образец цитирования: Лихачева А. О. О неприводимых коврах аддитивных подгрупп типа F4 // Владикавк. мат. журн.—2023.—Т. 25, вып. 2.—С. 117-123. DOI: 10.46698/i7746-0636-8062-u.

1. Введение

Пусть Ф — приведенная неразложимая система корней ранга l, Ф(К) — группа Шевалле типа Ф над полем К. Группа Ф(К) порождается своими корневыми подгруппами

Xr(К) = {xr(t) : t € К}, r € Ф.

Подгруппы xr (К) абелевы и для каждого r € Ф и любых t,u € К справедливы соотношения

xr (t) xr (u) = xr (t + u).

Мы следуем определениям В. М. Левчука из [2]. Назовем ковром типа Ф ранга l над К всякий набор аддитивных подгрупп A = {Ar : r € Ф} кольца К с условием

Cij,rsАГ AS С Air+js, r, s, ir + js € Ф, i, j > 0,

#Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда, проект № 22-21-00733. © 2023 Лихачева А. О.

где A = {ai : а € Ar}, а константы Cij,rs = ±1, ±2, ±3 определяются коммутаторной формулой Шевалле

[xs(u),xr (t)] = П Xir+js (Cij,rs(-t)Zuj) , r,s,ir + js € Ф. i,j>0

Всякий ковер A типа Ф над K определяет ковровую подгруппу

Ф(А) = (xr(Ar) : r € Ф)

группы Шевалле Ф(Х), где (M) — подгруппа, порожденная подмножеством M группы Ф(^). Ковер A называется замкнутым, если его ковровая подгруппа Ф(А) не имеет новых корневых элементов, т. е.

Ф(А) П xr (K )= xr (А), r € Ф.

Назовем ковер А неприводимым, если все Ar ненулевые. Примеры незамкнутых неприводимых ковров типа Ai (матричных ковров) указаны в [3], а в [4] указаны примеры таких ковров любого лиева типа над коммутативными кольцами. Основным результатом статьи является

Теорема. Пусть А = {Ar : r € Ф} — неприводимый ковер типа F4 над полем K, все аддитивные подгруппы которого являются R-модулями, где K — алгебраическое расширения поля R. Тогда с точностью до сопряжения диагональным элементом либо Ar = P при всех r € Ф, для некоторого подполя P поля K, либо char K = 2 и

{P, если r — короткий корень, Q, если r — длинный корень,

для двух различных подполей P и Q поля K, удовлетворяющих включениям

P2 С Q С P.

Кроме того, ковер А является замкнутым.

При р > 2 утверждение теоремы установлено в [1], и в этом случае ковер А параметризуется только одним полем.

2. Предварительные результаты

Наряду с группой Ф(К) рассматривают расширенную группу Шевалле Ф(К), которая является расширением группы Ф(К) при помощи всех диагональных элементов Л,(х), где х — К-характер целочисленной решетки корней ZФ, т. е. гомоморфизм аддитивной группы ZФ в мультипликативную группу К * поля К [5, §7.1]. Любой К-характер х однозначно задается значениями на фундаментальных корнях и для любых г € Ф, Ь € К,

Кх)%т (Ь)Ь(х)-1 = Хг (х(г)Ь).

Отметим, что в нашем случае, при Ф типа ^4, группа Ф(К) совпадает с расширенной группой Шевалле ф (К).

Для доказательства основной теоремы нам необходимы следующие леммы.

Лемма 1 [6]. Сопрягая диагональным элементом Н(х) ковровую подгруппу Ф(А), получим ковровую подгруппу

ВДФ(АЖх)-1 = Ф(А'),

определяемую ковром

А = {А'г : г € Ф},

где А'г = х(г)Аг.

Лемма 2 [5]. Любой положительный корень г € Ф+ может быть представлен в виде суммы фундаментальных корней г = Р1 + Р2 + ■■■ + Рк таким образом, что г = р2 + Р2 + ■ ■ ■ + Ре является корнем для всех в ^ к.

Следующая лемма является частным случаем следствия 3.2 из [1] для системы корней типа А.2.

Лемма 3. Пусть {а,Ъ} — фундаментальная система системы корней Ф типа А2, А = {Аг : г € Ф} — неприводимый ковер над полем К, причем все Аг являются К-модулями над полем К, где К — алгебраическое расширение поля К и 1 € А-а П А-ь-Тогда Аг = Р, г € Ф, для некоторого подполя Р поля К.

Хорошо известна (см., например, [7])

Лемма 4. Пусть К — алгебраическое расширение поля К и подкольцо А поля К является К-модулем. Тогда А — поле, причем К С А С К.

Из теоремы 3.1 [8] вытекает следующий результат в случае Ф типа ^4.

Лемма 5. Пусть К — алгебраическое расширение несовершенного поля К характеристики 2, и М — группа, лежащая между группами Шевелле Ф(К) и Ф(К) типа Ф = ^4. Тогда М является ковровой подгруппой Ф(А). Ковер А = {Аг : г € Ф} является замкнутым, и

{Р, если г — короткий корень, Q, если г — длинный корень, для некоторых подполей Р и Q поля К с условиями

К,Р2 С Q С Р С К.

3. Доказательство теоремы

Далее П = {г1,г2,г3,г4} — фундаментальная система корней типа ^4, причем г1, г2 — короткие корни, гз, г4 — длинные корни и сумма {г2 + гз} также является корнем (см. рис. 1).

г1 о—

г 2

-СП

Г 3

х>—

г4

-о

Рис. 1.

Согласно определению фундаментальной системы корней, г = аг1 + вг2 + 7г3 + 6г4, где все а, в, 7, 6 либо неотрицательные, либо неположительные, и г € Ф+. По определению, Н(г) = а + в + 7 + 6 — высота корня. Все фундаментальные корни, очевидно, имеют высоту 1.

В системе корней типа ^4 имеются только две подсистемы корней ранга 2 подсистемы А и В2 (см. рис. 2, 3).

это

Ь а + Ь

Ь

а + Ь_Ь_+ 2а

а

а

аЬ

Ь

Ь 2а а Ь

Ь

Рис. 2 Рис. 3

Коммутаторная формула Шевалле для типа А2 имеет вид

[х0(Ь),хь(и)] = Х(0+Ь)(±Ьи). Данная формула дает условие ковровости

АоАь С Ао+ь.

Для типа В2 справедливы коммутаторные формулы Шевалле

[хо(Ь),хь(и)] = Х(о+ь)(±Ьи)х(2о+ь) (±Ь2и),

[Хо(Ь),Хо+ь(и)] = Х(2о+ь)(±2Ьи), из которых получаем следующие три условия ковровости:

АоАь С Ао+ь,

АоАь С А2о+Ь, 2АоАо+ь С А2о+ь.

(1)

(2)

(3)

(4)

По лемме 1 с точностью до сопряжения диагональным элементом, можно считать, что 1 € Аг, г € П. Для любых двух неколлинеарных корней г, з через Ф(г, з) обозначим подсистему корней, порожденную этими корнями. В силу леммы 3 1 € Аг для всех г € Ф(г1,г2) и Ф(г3,г4) (см. рис. 1). В частности, 1 € Аг при Л,(г) = 1. Индукцией по высоте корня Л,(г) покажем, что 1 € Аг для всех г € Ф+.

Согласно лемме 2, любой положительный корень г € Ф+ может быть представлен в виде суммы фундаментальных корней г = р1 + ... + Рк + Рк+1, где сумма р1 + ... + Рк является корнем. Обозначим ее через з, а фундаментальный корень Рк+1 через р. Высота г больше или равняется 2. По предположению индукции 1 €

Для системы корней типа ^4 становятся возможными только следующие три случая, когда сумма корней з и Р является корнем:

1) {з, р} — фундаментальная система типа А2;

2) {з,р} — фундаментальная система корней типа В2;

3) |в| = \р\ = 1, |в+р| = у/2.

а

а

В случае 1), 2) из условий ковровости (1) и, соответственно, (2) получаем включение As Ap С Ar, следовательно, 1 € Ar .В случае 3) из условия ковровости (3) следует включение A2Ap-s С A2s+(p-s) = Ar, следовательно 1 € Ar. Аналогично индукцией по модулю высоты корня получаем, что 1 € Ar, r € Ф-.

Итак, мы установили включения 1 € Ar для всех r € Ф. Поскольку группа Вейля действует транзитивно на корнях одинаковой длины, а любой фундаментальный корень лежит в подсистеме корней типа A, то в силу леммы 3 каждая аддитивная подгруппа Ar является полем и, более того, A-r = Ar. Покажем, что Ar = P для всех коротких корней и Ar = Q для всех длинных корней, причем мы не исключаем совпадения полей P и Q.

По лемме 2 любой положительный корень r € Ф+ представим в виде r = s + p, где p — простой корень и h(p) = 1, h(s) = h(r) — 1. Возможны три случая:

1) {s,p} — фундаментальная система типа A2;

2) {s,p} — фундаментальная система типа B2;

3) s,p — короткие корни и они порождают подсистему корней типа B2.

В каждом из этих трех случаев по отдельности индукцией по высоте корней покажем, что Ar совпадает с P или Q в зависимости от длины корня r.

В случае 1) сразу получаем равенство Ar = Ap в силу индуктивного предположения и леммы 3, где Ap совпадает с P или Q.

В случае 2) корень p может быть как коротким, так и длинным. Пусть p — короткий корень. Тогда из условий ковровости ApAs С Ar и ArA-s С Ap получаем включения P С Ar и соответственно Ar С P. Отсюда Ar = P. Случай, когда p — длинный корень, рассматривается аналогично, нужно только поменять местами корни p и s.

В случае 3) разность s — p является корнем, p — короткий корень и {p, s — p} — фундаментальная система типа B2. Поэтому в силу индуктивного предположения Ap = P, а As-p = Q. Сейчас из условий ковровости ApAs-p С Ar и A-pAr С As-p получаем включения Q С Ar и соответственно Ar С Q. Отсюда Ar = Q.

Таким образом, мы установили, что A совпадает с P или Q в зависимости от длины корня r. Если char = 2, то ковер определяется одним полем и, следовательно, определяемые им ковровые подгруппы совпадают с группой Шевалле, и поэтому он является замкнутым. Действительно, из условий ковровости AaAb С Aa+ и 2AaAa+ С A2a+ (условия (3) и (4) соответственно) вытекают включения PQ С P и соответственно 2PP С Q. Так как P и Q поля char = 2, то из последних двух включений, очевидно, следует равенство P = Q. Если char = 2, то из условия ковровости A^A5 С A2a+b получаются только включения P2 С Q С P. Отсюда, ковровая подгруппа Ф^) является промежуточной между группами Шевалле Ф^) и Ф(P) над полями Q и соответственно P. Поэтому в силу леммы 5 ковер является замкнутым. Теорема доказана.

Литература

1. Левчук В. М. О порождающих множествах корневых элементов групп Шевалле над полем // Алгебра и логика.—1983.—Т. 22, № 5.—С. 504-517.

2. Левчук В. М. Параболические подгруппы некоторых АВА-групп // Матем. заметки.—1982.—Т. 31, № 4.—С. 509-525.

3. Койбаев В. А. Элементарные сети в линейных группах // Тр. ИММ УрО РАН.—2011.—Т. 7, № 4.— C. 134-141.

4. Куклина С. К., Лихачева А. О., Нужин Я. Н. О замкнутости ковров лиева типа над коммутативными кольцами // Тр. ИММ УрО РАН.—2015.—Т. 21, № 3.—C. 192-196.

5. Carter R. W. Finite Groups of Lie type.—London: Wiley and Sons, 1985.—556 p.

6. Койбаев В. А., Куклина С. К., Лихачева А. О., Нужин Я. Н. Подгруппы групп Шевалле над локально конечным полем, определяемые набором аддитивных подгрупп // Матем. заметки.— 2017.—Т. 102, № 6.—С. 857-865. DOI: 10.4213/mzm11038.

7. Койбаев В. А., Нужин Я. Н. к-Инвариантные сети над алгебраическим расширением поля к // Сиб. мат. журн.—2017.—Т. 58, № 1.—С. 143-147. Б01: 10.17377^2^2017.58.114.

8. Нужин Я. Н. Группы, лежащие между группами Шевалле типа В;, С;, ^4, над несовершенными полями характеристики 2 и 3 // Сиб. мат. журн.—2013.—Т. 54, № 1.—С. 157-162.

Статья поступила 3 марта 2022 г. Лихачева Алена Олеговна

Научно-образовательный математический центр СОГУ, математик-исследователь

РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46;

Институт математики и фундаментальной информатики СФУ, ассистент кафедры алгебры и математической логики РОССИЯ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 E-mail: likhacheva. alyona@mail. ru https://orcid.org/0000-0001-7782-8322

Vladikavkaz Mathematical Journal 2023, Volume 25, Issue 2, P. 117-123

ON IRREDUCIBLE CARPETS OF ADDITIVE SUBGROUPS OF TYPE F4

Likhacheva, A. O.1'2

1 North Caukasus Center for Mathematical Research NOSU, 46 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia;

2 School of Mathematics and Computer Science SibFU, 79 Svobodny Ave., Krasnoyarsk 660041, Russia E-mail: [email protected]

Abstract. The article describes irreducible carpets A = {Ar : r £ $} of type F4 over the field K, all of whose additive subgroups Ar are R-modules, where K is an algebraic extension of the field R. An interesting fact is that carpets which are parametrized by a pair of additive subgroups appear only in characteristic 2. Up to conjugation by a diagonal element from the corresponding Chevalley group, this pair of additive subgroups becomes fields, but they may be different. In addition, we establish that such carpets A are closed. Previously, V. M. Levchuk described irreducible Lie type carpets of rank greater than 1 over the field K, at least one of whose additive subgroups is an R-module, where K is an algebraic extension of the field R, under the assumption that the characteristic of the field K is different from 0 and 2 for types Bi, Cl, F4, while for type G2 it is different from 0, 2, and 3 [1]. For these characteristics, up to conjugation by a diagonal element, all additive subgroups of such carpets coincide with one intermediate subfield between R and K.

Keywords: Chevalley group, carpet of additive subgroups, carpet subgroup, commutative ring.

AMS Subject Classification: 20G15.

For citation: Likhacheva, A. O. On Irreducible Carpets of Additive Subgroups of Type F4, Vladikavkaz Math. J., 2023, vol. 25, no. 2, pp. 117-123. (in Russian). DOI: 10.46698/i7746-0636-8062-u.

References

1. Levchuk, V. M. Generating Sets of Root Elements of Chevalley Groups Over a Field, Algebra Logika, 1983, vol. 22, no. 5, pp. 504-517 (in Russian).

2. Levchuk V. M. Parabolic Subgroups of Certain ABA-groups, Mathematical Notes, 1982, vol. 31, no. 4, pp. 259-267. DOI: 10.1007/BF01138934.

3. Koibaev, V. A. Elementary Nets in Linear Groups, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2011, vol. 17, no. 4, pp. 134-141 (in Russian).

4. Kuklina, S. K., Likhacheva, A. O. and Nuzhin, Ya. N. On Closedness of Carpets of Lie Type Over Commutative Rings, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2015, vol. 21, no. 3, pp. 192196 (in Russian).

5. Carter, R. W. Finite Groups of Lie Type, London, Wiley and Sons, 1985, 556 p.

6. Koibaev, V. A., Kuklina, S. K., Likhacheva, A. O. and Nuzhin, Ya. N. Subgroups, of Chevalley Groups over a Locally Finite Field, Defined by a Family of Additive Subgroups, Mathematical Notes, 2017, vol. 102, no. 6, pp. 792-798. DOI: 10.1134/S0001434617110190.

7. Koibaev, V. A. and Nuzhin, Ya. N. k-Invariant Nets Over an Algebraic Extension of the Field k, Siberian Mathematical Journal, 2017, vol. 58, no. 1, pp. 109-112. DOI: 10.1134/S0037446617010141.

8. Nuzhin, Ya. N. Intermediate Subgroups in the Chevalley Groups of Type Bl, Cl, F4, and G2 over the nonperfect fields of characteristic 2 and 3, Siberian Mathematical Journal, 2013, vol. 54, no. 1, pp. 119-123. DOI: 10.1134/S0037446613010151.

Received March 3, 2022 Alena O. Likhacheva

North Caukasus Center for Mathematical Research NOSU,

Research Mathematician

46 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia;

School of Mathematics and Computer Science SibFU, Assistant of the Department of Algebra and Mathematical Logic 79 Svobodny Ave., Krasnoyarsk 660041, Russia E-mail: likhacheva. alyona@mail. ru https://orcid.org/0000-0001-7782-8322