CC BY
3
Владикавказский математический журнал 2022, Том 24, Выпуск 3, С. 87-95
УДК 512.62
DOI 10.46698/ x8972-0209-8824-c
СТРОЕНИЕ СЕТЕЙ НАД КВАДРАТИЧНЫМИ ПОЛЯМИ#
С. С. Икаев1, В. А. Койбаев1,2, А. О. Лихачева3
1 Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46; 2 Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53; 3 Сибирский федеральный университет, Россия, 660041, Красноярск, Свободный проспект, 79 E-mail: ikaev.sar@yandex.ru, koibaev-K1@yandex.ru, likhacheva.alyona@mail.ru
Аннотация. Исследуется структура сетей над квадратичными полями. Пусть К = Q(Vd) — квадратичное поле, D — кольцо целых поля K. Система a = (aij), 1 < i, j < n, аддитивных подгрупп поля K называется сетью (ковром) над K порядка n, если airarj С aij при всех значениях индексов i, r, j. Сеть a = (aij) называется неприводимой, если все аддитивные подгруппы aij отличны от нуля. Сеть a = (aij) называется D-сетью, если 1 £ Гц, 1 < i < n. Пусть a = (aij) — неприводимая D-сеть порядка n ^ 2 над K, причем aij — D-модули. Мы доказываем, что с точностью до сопряжения диагональной матрицей все aij являются дробными идеалами фиксированного промежуточного подкольца P, D С P С K, а все диагональные кольца совпадают с кольцом P: a11 = a22 = ... = ann = P, причем aij С P — целые идеалы кольца P при любых i < j, если же i > j, то P С aij. Для любых i, j мы имеем a1j С aij.
Ключевые слова: сети, ковры, поле алгебраических чисел, квадратичное поле. AMS Subject Classification: 20G15.
Образец цитирования: Икаев С. С., Койбаев В. А., Лихачева А. О. Строение сетей над квадратичными полями // Владикавк. мат. журн.—2022.—Т. 24, вып. 3.—С. 87-95. DOI: 10.46698/x8972-0209-8824-c.
1. Введение
Пусть К = Q(\/d) — квадратичное поле, D — кольцо целых поля К, a = (aij) — неприводимая сеть порядка n ^ 2 над K, причем aij — D-модули. Работа посвящена описанию сетей a = (aij) над квадратичным полем К = Q(\/d), причем аддитивные подгруппы aij — ненулевые D-модули. Доказано, что с точностью до сопряжения диагональной матрицей все aij являются дробными идеалами фиксированного промежуточного подкольца P, D С P С K, а все диагональные кольца ац, 1 ^ i ^ n, совпадают с кольцом P.
В [1] для некоторого класса квадратичных полей Q(\/d), точнее, для чисел d, равных
-1, -2, -3, -7, -11, -19, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73,
#Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-02-2022-890.
© 2022 Икаев С. С., Койбаев В. А., Лихачева А. О.
доказано, что с точностью до сопряжения диагональной матрицей из D(n, K) все объявляются идеалами фиксированного промежуточного подкольца P, D С P С K .В перечисленных случаях кольцо целых D квадратичного поля K является областью главных идеалов (см. [2, гл. III, § 2]), а потому при описании сетей можно воспользоваться результатами работы [3], в которой получено полное описание сетей и элементарных сетей над полем частных области главных идеалов. Кольцо целых D произвольного квадратичного поля К = <Q(y/d) не всегда является областью главных идеалов. Так, например, кольца целых полей Q\f—5), Q(\/—6), Q(\/—23) (см. [2, с. 187-189]) не являются областями главных идеалов. В общем случае кольцо целых D квадратичного поля К = Q(\/d) является дедекиндовой областью (см. [4, гл. 9, теорема 9.5]), а потому является, в частности, областью главных идеалов. Этим определяется актуальность предложенного исследования.
2. Кольцо целых квадратичного поля
Квадратичным полем мы называем расширение поля рациональных чисел Q степени 2. Всякое квадратичное поле имеет вид К = Q(\/d), где d ф 1 — некоторое целое рациональное число, свободное от квадратов (см. [2, гл. II, §7, п. 1]). Множество всех целых алгебраических чисел поля K является подкольцом D поля K (см. [2, алгебраическое дополнение, §4]), которое называется кольцом целых поля K (см. также [2, гл. II, §2, п. 4, с. 109]).
Наша работа посвящена исследованию сетей над квадратичными полями, поэтому напомним некоторые определения. Система о = (oij), 1 ^ i,j ^ n, аддитивных подгрупп о^ поля K называется сетью (ковром) [5, 6] над полем K порядка n, если oirorj С oij при всех значениях индексов i, r, j. Сеть о = (oj) мы называем неприводимой, если все аддитивные подгруппы oij отличны от нуля. Через D(n, K) обозначим группу обратимых диагональных n х n матриц над полем K. По сети о и любой матрице d = diag(ei,..., en) из D(n,K) можно определить сопряженную сеть п = dod-1, где nij = eioijе-1. Сеть о = (oij) порядка n ^ 2 над K назовем D-сетью, если 1 € oii, 1 ^ i ^ n. Из сетевого условия следует, что все диагональные аддитивные подгруппы оц D-сети о являются кольцами с единицей.
В настоящей работе мы рассматриваем неприводимые D-сети о = (о^) аддитивных подгрупп <7ij над квадратичнным полем К = Q(\/d), причем аддитивные подгруппы о^ — ненулевые D-модули (D — кольцо целых поля K).
Предложение 1 [2, гл. II, §7, теорема 1]. Пусть d =1 — целое рациональное число, свободное от квадратов. Кольцо целых D квадратичного поля Q(y/d) совпадает с кольцом
D = Z[e] = Z + Z0 = {x + ув : x,y € Zj,
где в = Vd при d = 2, 3(mod 4) и в = при d = l(mod 4).
При d = 2, 3(mod 4) мы имеем и в удовлетворяет уравнению x — d = 0. Если
же d = l(mod4), то в удовлетворяет уравнению х2 — х + = 0. Заметим, что | = ■
Предложение 2. Пусть R — промежуточное кольцо, D С R С K. Тогда либо R = K, либо R является дедекиндовой областью и совпадает с кольцом частных R = S-1D для некоторой мультипликативной системы S С D.
< Пусть R = K. Согласно [4, теорема 9.5] кольцо целых D является дедекиндовой областью, причем группа классов идеалов (фактор-группа дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов) кольца D конечна (см. замечание из [4, гл. 9]). Поэтому
некоторая степень всякого идеала кольца Э является главным идеалом кольца Э. Таким образом, выполнены все условия следствия 2.6 из [7], согласно которому всякое промежуточное кольцо К, Э С К С К, совпадает с кольцом частных К = 5-1Э для некоторой мультипликативной системы 5 С Э (см. [4, гл. 9, упражнение 1]). >
Следующее утверждение хорошо известно (см., например, [4, предложение 3.11 (1)]).
Лемма 1. Пусть К — область целостности, К —поле частных кольца К. Рассмотрим кольцо частных 5-1К (для некоторой мультипликативной системы 5 кольца К). Всякий идеал кольца 5-1К имеет вид 5-1А для некоторого (целого) идеала А кольца К.
Из леммы 1 и предложения 2 вытекает следующее предложение.
Предложение 3. Пусть К — промежуточное кольцо, Э С К С К, К = 5-1Э (здесь 5 — мультипликативная система, 5 С Э). Тогда всякий идеал кольца К имеет вид 5-1А для некоторого (целого) идеала А кольца целых Э квадратичного поля К.
Определение 1 [4, гл. 9]. Пусть К — область целостности и К — ее поле частных. К-модуль М С К называется дробным идеалом кольца К, если хМ С К для некоторого ненулевого элемента х € К.
Если мы положим хМ = А С К, то, очевидно, А — целый идеал кольца К и М = х-1 А. Следовательно, всякий дробный идеал имеет вид ¿А, £ € К, для некоторого целого идеала А кольца К. Идеал вида ¿К, £ € К, называется главным дробным идеалом.
В [7] дается следующее определение. Пусть К — произвольная область и К ее поле частных. Будем говорить, что область К обладает (^К)-свойством, если всякое промежуточное подкольцо, лежащее между К и К является кольцом частных кольца К.
Лемма 2 [7, следствие 2.6]. Если К — нетерова область, то следующие условия эквивалентны:
(1) К обладает (^К)-свойством;
(2) К — дедекиндова область и группа классов идеалов кольца К — периодическая. Напомним (см. доказательство предложения 2), что кольцо целых Э — дедекиндова
область и группа классов идеалов кольца Э конечна, поэтому из леммы 2 следует, что кольцо целых Э обладает (^К)-свойством.
ненулевыми Э-модулями (здесь Э — кольцо целых поля К). Мы покажем, что кольца (с 1) ац и а22 совпадают: ац = 022 = К, кольцо К содержит кольцо целых Э: Э С К. Далее, а12, а21 — дробные идеалы кольца К.
По определению ^-сети кольца ац, 022 содержат 1, а в силу того, что они — Э-мо-дули, то оба этих кольца содержат кольцо целых Э поля К.
Замечание 1. 1. Область целостности К является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда всякий ненулевой дробный идеал обратим [4, гл. 9].
2. Пусть А — дедекиндова область, 5 — мультипликативное множество в А. Тогда 5-1А либо является дедекиндовой областью, либо совпадает с полем частных кольца А [4, гл. 9, упражнение 1].
Предложение 4. Пусть К — область целостности и К — ее поле частных, Q — промежуточное подкольцо, К С Q С К. Если К обладает ^К)-свойством, то Q также обладает ^К)-свойством.
3. ^-сети второго порядка
порядка 2 над полем К, причем все а^ являются
< Пусть Ь — промежуточное подкольцо ^ С Ь С К. Покажем что Ь = для некоторого мультипликативного множества Д1 С ^\{0}.
По условию Q = Б-1Д, Ь = Д-1Д, где Д, 5 — мультипликативные множества из Д\0. Покажем вначале, что (ясно, что ДБ — мультипликативная система)
Ь = (ДБ )-1Д. (1)
(С) : \ е Ь = Ь ■ С} = Д":Д ■ Б'1 Я = — = ^ € Г1,Г2 е Д, / е Д, § е Б.
Обратно
г г Г 1
(5) : т- е (РБ)~1К -». — = -.- е Д_1Д • З^Д = Д • <5 = Д, е Б.
/ «
Далее, согласно [4, гл. 3, упражнение 3] мы имеем
(ДБ )-1 Д = Д-1 (Б-1Д) = Д-^,
где Д1 — образ множества Д при естественном вложении Д ^ Б-1Д = Q (при котором г —>■ у). Теперь из (1) мы имеем Ь = >
В дальнейшем, К — поле частных области Д.
Из предложения 4, леммы 2 и замечания 1 (2) вытекает следующее утверждение.
Предложение 5. Пусть К — поле частных области Д. Пусть, далее, Д — деде-киндова область, обладающая ^Д)-свойством. Тогда всякое промежуточное кольцо Ь, Д С Ь С К, является дедекиндовой областью и обладает (^Д)-свойством. В частности, группа классов идеалов кольца Д, а также группа классов идеалов промежуточного кольца Ь являются периодическими группами.
Напомним следующее определение [4, гл. 9]: Д — область целостности и К — ее поле частных; Д-модуль М С К называется дробным идеалом кольца Д, если хМ С Д для некоторого ненулевого элемента х е К. Если мы положим хМ = А С Д, то, очевидно, А — целый идеал кольца Д и М = х-1А. Следовательно, всякий дробный идеал имеет вид ¿А, £ е К, где А — целый идеал кольца Д. Напомним, что идеал М называется целым, если он содержится в кольце Д. Идеал вида ¿Д, £ е К, называется главным дробным идеалом.
Лемма 3. Пусть Д — дедекиндова область, обладающая ^Д)-свойством. Пусть, далее, Q, Ь — промежуточные подкольца, причем Д С Q С Ь С К; В — ненулевой (дробный) идеал поля К (относительно кольца Ь) и В — (дробный) идеал поля К (относительно кольца Q). Тогда Ь = Q.
< По условию В — ненулевой идеал поля К (относительно Q и Ь). Согласно предложению 5 кольца Q и Ь дедекиндовы и обладают ^Д)-свойством, причем группа классов идеалов кольца Q и группа классов идеалов кольца Ь являются периодическими группами. Тогда
а Ь
Вт = ¿1<3, Вп = г2Р => Втп = аС2 = ЪР - е д С I,
Ь а
следовательно, ^ — обратимый элемент кольца Д, а потому = ^Д = Р. \>
Лемма 4. Пусть К — дедекиндова область, обладающая ^К)-свойством. Пусть, далее, К1, К2 — промежуточные подкольца, К С Кг С К, г = 1, 2. Если В — ненулевой (дробный) идеал колец К1 и К2, то В — ненулевой (дробный) идеал кольца К1 П К2.
< По условию В — К1 -модуль и В — К2-модуль, следовательно, В — К1 П К2-модуль. Далее, по определению (дробного) идеала мы имеем ¿1В С К1 и ¿2В С К2 для некоторых ¿1 = € К, ¿2 = € К, где (напомним, что К — поле частных кольца К) й, Ьг € К, аг = 0, Ьг = 0, г = 1, 2. Так как В является К1 П К2-модулем и К С К1 П К2, то агВ С ЬгКг С Кг, г = 1,2. Поэтому
й1й2В = й1(й2В) С й1К2 С К2, й1й2В = й2(й1В) С й2К1 С К1,
откуда й1й2В С К1 П К2. Следовательно, В — (дробный) идеал кольца К1 П К2. >
Предложение 6. Пусть К — дедекиндова область, обладающая ^К)-свойством. Пусть, далее, К1, К2 — промежуточные подкольца, К С К» С К, г = 1,2. Если В — ненулевой идеал К1 и В — идеал К2, то К1 = К2.
< Согласно лемме 4 В — ненулевой идеал пересечения К1П К2. Если в лемме 3 теперь положить Q = К1П К2 и Ь = К1, то мы получим К1П К2 = К1. Аналогично К1П К2 = К2. Следовательно, К1 = К2. >
Предложение 7. Пусть К — дедекиндова область, обладающая ^К)-свойством. Рассмотрим неприводимую В-сеть аддитивных подгрупп
а11 а12
а =
а21 а22
поля К, причем а^ являются К-модулями, для всех г = 1, 2. Тогда кольца (с единицей) а11 и а22 совпадают: а11 = а22 = Р, причем Р — подкольцо поля К, содержащие кольцо К. Далее, а12а21 — целый идеал кольца а11 = а22 = Р.
< По условию а^ = 0 (в силу невырожденности сети а) для всех г = 1, 2. По определению В-сети а подгруппы ац и 022 являются кольцами, которые содержат единицу, 1 € агг, г = 1, 2. Далее, так как агг — К-модули и 1 € агг, то К ■ 1 С агг, поэтому агг — промежуточные подкольца, К С ац С К, г = 1, 2. Рассмотрим произведение В = 012021. Подгруппа В отлична от 0. По определению сети а мы имеем В С а11 и В С а22, причем по определению сети подгруппа В является ац-модулем и а22-модулем. Следовательно, В — целый идеал кольца а11 и В — целый идеал кольца а22, причем В = 0. Тогда, согласно предложению 6 (положив К1 = ац, К2 = 022), мы имеем ац = 022. >
4. Описание В-сетей над квадратичным полем
Из предложения 7 вытекает следующее предложение.
Предложение 8. Пусть К — дедекиндова область, обладающая (^К)-свойством, К — поле частных области К. Рассмотрим неприводимую В-сеть аддитивных подгрупп
а=
/ац а12 ... а1„\
а21 а22 ••• а2п
(2)
\ап1 ап2
г/
поля К, причем а^ являются К-модулями, для всех г, ] = 1,..., п. Тогда ац = ... = апп = Р — подкольцо поля К, содержащие кольцо К, К С Р С К. Далее, а^- — Р-модули
и а^— идеал кольца Р для всех г, ] = 1,..., п. В частности, а^ являются дробными идеалами кольца Р для всех г, j.
Теорема 1. К = <0>(\/^) —квадратичное поле, —кольцо целых поля К, а = (ст¿у) — неприводимая В-сеть аддитивных групп а^ поля К порядка п ^ 2, причем для любых г, j аддитивные группы а^ являются Э -модулями. Тогда для некоторого промежуточного подкольца Р, Э С Р С К, сеть а имеет вид (2) из предложения 8. Далее, сеть а = (а^-) сопряжена диагональной матрицей из В(п, К) с В-сетью п = (п^) дробных идеалов п^ кольца Р и имеет вид
Р п12 п1з . . п1п\
п21 Р п2з . . . п2п
п= пз1 пз2 Р. . . п2п
\пп1 пп2 ппз . .. Р
где п^ С Р — целые идеалы кольца Р при любых г < j, если же г > j, то Р С п^. Для любых г, j имеют место включения п^- С п^^-.
< 1) Согласно [4, теорема 9.5] кольцо целых Э является дедекиндовой областью, причем группа классов идеалов (фактор-группа дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов) кольца Э конечна (см. 1) замечание в [4, гл.9]). По лемме 2(1) кольцо Э обладает (^Е)-свойством. Первая часть теоремы теперь следует из предложения 8, т. е.
/Р а12 ... а!„\ а21 Р ... а2п
а
\ап1 ап2
Р
Так как сеть а = (а^) неприводима, то аддитивные подгруппы а^ — ненулевые дробные идеалы кольца Р, Э С Р С К.
2) Покажем, что сеть а сопряжена диагональной матрицей с сетью п = (п^), у которой все Р-модули п^, лежащие ниже главной диагонали, содержат 1. Рассмотрим ненулевые элементы в подгруппах ац-1 для всех г = 2, 3,..., п. Предположим это элементы ац-1, г = 2, 3,..., п. Положим
(021)
¿3
й = й2 Рассмотрим сеть
Нетрудно проверить, что
1
а32а21
й4
1
а4заз2а21
. . .
1
апп— 1ап-1п- 2 . . . а21
п = (п,) = йай
1
1 € п21, 1 € пз2, ..., 1 € ппп-1, 1 € пгг-1, г = 2, 3, . . . , п.
Пусть теперь г > j. Тогда
пгг-1пг-1г-2 . . . п^'+у С п^ 1 € п^.
Таким образом, мы показали что 1 € п^ для любого г >
3) Покажем теперь, что Р С п^ при г > j и п./ С Р при г <
Пусть г > j. Согласно доказанному п. 2) мы имеем 1 € п^^, но тогда Ра^^ С а^, откуда Р ■ 1 С п^, поэтому Р С п^.
Пусть теперь г < Покажем, что а^ С Р. Действительно, пусть Ь е Оу. Имеем 1 е Oji, так как ^ > г. Тогда
Ь= Ь 1 С Р С Р.
4) Покажем, что для любых г, j имеют место включения п^ С п^. Пусть г > 1. Тогда согласно доказанному п. 2) мы имеем 1 е пгь Откуда
= 1 ■ П1, С С п^. >
Литература
1. Койбаев В. А. О строении элементарных сетей над квадратичными полями // Владикавк. мат. журн.—2020.—Т. 22, вып. 4.—С. 87-91. DOI: 10.46698/h3104-8810-6070-x.
2. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел.—М.: Наука, 1985.
3. Дряева Р. Ю., Койбаев В. А., Нужин Я. Н. Полные и элементарные сети над полем частных кольца главных идеалов // Зап. науч. семинаров ПОМИ РАН.—2017.—Т. 455.—С. 42-51.
4. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру.—М.: Мир, 1972
5. Боревич З. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями // Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—1978.—Т. 75.—С. 22-31.
6. Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика.—1983.—Т. 22, № 4.—С. 421-434.
7. Gilmer R., Ohm J. Integral domains with quotient overrings // Math. Ann.—1964.—Vol. 153, № 2.— P. 97-103.
Статья поступила 29 июня 2022 г. икаев сармат сосланович
Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л аспирант
РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: ikaev.sar@yandex.ru
Койбаев Владимир Амурханович
Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л профессор кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46; Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, ведущий научный сотрудник E-mail: koibaev-K1@yandex.ru https://orcid.org/0000-0002-5142-2612
Лихачева Алена Олеговна Сибирский федеральный университет, член научного коллектива, проект
«Комбинированные и структурные вопросы групп лиева типа над полями и над кольцами»
РОССИЯ, 660041, Красноярск, Свободный проспект, 79 E-mail: likhacheva.alyona@mail.ru https: //orcid.org/0000-0001-7782-8322
. Хетагурова,
. Хетагурова,
Vladikavkaz Mathematical Journal 2022, Volume 24, Issue 3, P. 87-95
ON THE STRUCTURE OF NETS OVER QUADRATIC FIELDS Ikaev, S. S.1, Koibaev, V. A.1,2 and Likhacheva, A. O.3
1 North-Ossetian State University after K. L. Khetagurov, 46 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia; 2 Southern Mathematical Institute — the Affiliate of VSC RAS, 53 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia; 3 Siberian Federal University, 79 Svobodny Ave., Krasnoyarsk 660041, Russia E-mail: ikaev.sar@yandex.ru, koibaev-K1@yandex.ru, likhacheva.alyona@mail.ru
Abstract. The structure of nets over quadratic fields is studied. Let K = Q(v d) be a quadratic field, D the ring of integers of the quadratic field K. A set of additive subgroups a = (aij), 1 < i,j < n, of a field K is called a net of order n over K if airarj C aij for all values of the index i, r, j. A net a = (aij) is called irreducible if all additive subgroups aij are different from zero. A net a = (aij) is called a D-net if 1 £ Tii, 1 < i < n. Let a = (aij) be an irreducible D-net of order n ^ 2 over K, where aij are D-modules. We prove that, up to conjugation diagonal matrix, all aij are fractional ideals of a fixed intermediate subring P, D C P C K, and all diagonal rings coincide with P: an = a22 = ... = ann = P, where aij C P are integer ideals of the ring P for any i < j, if i > j, then P C aij. For any i, j we have aij C aij.
Key words: nets, carpets, algebraic number field, quadratic field.
AMS Subject Classification: 20G15.
For citation: Ikaev, S. S., Koibaev, V. A. and Likhacheva, A. O. On the Structure of Nets Over Quadratic Fields, Vladikavkaz Math. J., 2022, vol. 24, no. 3, pp. 87-95 (in Russian). DOI: 10.46698/x8972-0209-8824-c.
References
1. Koibaev, V. A. On the Structure of Elementary Nets Over Quadratic Fields, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2020, vol. 22, no. 4, pp. 87-91 (in Russian). DOI: 10.46698/h3104-8810-6070-x.
2. Borevich, Z. I. and Shafarevich, I. R. Number Theory, Academic Pres, New York-London, 1966.
3. Dryaeva, R. Y., Koibaev, V. A. and Nuzhin, Ya. N. Full and Elementary Nets over the Quotient Field of a Principal Ideal Ring, Journal of Mathematical Sciences, 2018, vol. 234, no. 2, pp. 141-147. DOI: 10.1007/s10958-018-3990-y.
4. Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G. Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, 1969.
5. Borevich, Z. I. Subgroups of Linear Groups Rich in Transvections, Journal of Soviet Mathematics, 1987, vol. 37, no. 2, pp. 928-934. DOI: 10.1007/BF01089083.
6. Levchuk, V. M. Remark on a Theorem of L. Dickson, Algebra and Logic, 1983, vol. 22, no. 4, pp. 306-316. DOI: 10.1007/BF01979677.
7. Gilmer, R. and Ohm, J. Integral Domains with Quotient Overrings, Mathematische Annalen, 1964, vol. 153, no. 2, pp. 97-103.
Received June 29, 2022 Sarmat s. Ikaev
North-Ossetian State University after K. L. Khetagurov, 46 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia, Graduate Student E-mail: ikaev.sar@yandex.ru
Vladimir a. Koibaev
North-Ossetian State University after K. L. Khetagurov, 46 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia, Professor;
Southern Mathematical Institute — the Affiliate of VSC RAS,
53 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia,
Leading Researcher
E-mail: koibaev-K1@yandex.ru
https://orcid.org/0000-0002-5142-2612
Alena o. Likhacheva
Siberian Federal University,
79 Svobodny Ave., Krasnoyarsk 660041, Russia,
Member of the Scientific Team
E-mail: likhacheva. alyona@mail. ru
https://orcid.org/0000-0001-7782-8322
