CC BY
24
УДК 517.929
О непрерывной зависимости от параметров решения
УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА В ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Л.А. Минаждинова
В статье рассматривается непрерывная зависимость решения от параметров краевых задач для уравнения нейтрального типа. При этом краевая задача сводится к операторному уравнению. Функции, на которых определены операторы, заданы на локально компактном пространстве с мерами, определяемыми самими операторами.
Пусть Т - локально компактное пространство в R, ||-|| - норма в R", Я - положительная мера на Т. Через 1Гр(Л,Т), ре [1,оо) будем обозначать банахово пространство суммируемых в сте-
2
пени р относительно меры X функций х : Т -> І?" с нормой ЦхЦ^ =( jj|*(0|f ,
Dnp([a,b]) - банахово пространство абсолютно непрерывных на [a,b] вектор - функций х, таких, что х є Lnp(m,[a,b]), HD>,[a,6]) = + где m - мера Лебега.
Рассмотрим уравнение
y{t) = fit,a + (HymiSym, teT, (1)
где / : T x Rn x Rn -» R", a є Rn, H :R" Rn - линейный оператор, S : R" -» R" - оператор
внутренней суперпозиции, заданный равенством
va f?(rMr(0), r(t)eT;
(SyXОН л где т:Т-+Т и q:T-+R .
[ о, r(0 g т,
Пусть E = {teT: r{t) є T}. Сужение функции /меры //на множество А обозначим через fA . Через К(Т) обозначено пространство функций у:Т->R с компактным носителем. Придерживаясь обозначений и терминологии Н. Бурбаки [1], пару (л, g) будем называть Я - приспособленной (здесь к\Т -» Г, g\T-> R, g>0, Я - положительная мера на Т ), если функции я- и g
Я-измеримы и для любой функции /є К (Г) отображение t -> git) finit)) Я-интегрируемо.
Всякая Я-приспособленная пара (л, g) определяет на Т меру /л, которая задается равенством
Jf{s)dß(s)= \g(t)f(n{t))dÄ(t), f є К(Т)
Меру ц будем обозначать через n(gX).
К уравнению вида (1) сводится ряд задач для функционально дифференциальных уравнений различных типов, в частности краевая задача для уравнения нейтрального типа на отрезке:
x(t) = f(t, xihit), х(г(Г))), t є [a, b], (2)
*(£) = *(£) = 0, <Ü<Z[a,b], xeD"i[a,b]), где краевое условие задано равенством
ъ
Ix = y/xia) + JV(s)jc:(s)î/s = у (3)
а
Здесь ц/ - постоянная (ихи) матрица, det^^0, элементы (ихя) матрицы ср принадлежат
пространству ÈJm,[а,Ь\), (— + — = 1), yeRn.
Р Ч
Обозначим iFy)it) = fit,a + iHy)it),iSy)it)) и рассмотрим уравнение
y = Fy (4)
Приведем теорему из [2], условия которой обеспечивают существование и единственность решения уравнения (4).
Теорема 1: Пусть существует положительная мера v на Т и число р е [1,оо) такие, что:
1) функция f(-,u,v):T —> Rn v -измерима при и, v е R", ||/(-,а,0)|р v-интегрируема и при всех m,,m2,v,,v2 е Rn и v - почти всюду на Т выполнено неравенство |/(/,MI,v1)-/(/,M2,v2)||^iV||M1 -m2|| + M(0||vi — v2||, где NeR, М:Т—» R v -измеримая, неотрицательная функция;
2) пара (те\Яе\Р) v-приспособлена и существует число К> О такое, что
гя(|#я|Р ve)-Kv ;
3) оператор Н: Lnp (v, Т) -> Lnp (v, Т) непрерывен;
Тогда, если N\\H\\L„^T^L„^vT^ + Kp <1, то существует единственное в пространстве
Lnp(v,T) решение уравнения (4).
Конструкция меры v, которая обеспечивает выполнение условия 2 в теореме 1, приведена в
СО Л
[2]. В частности, показано, что меру v можно задать сходящимся рядом v = , где ß > 1,
Aq = Я, Я,+] = тЕ , Лх ), при условии, что Я(г-1 (A)n{teE: \q(0| > 0}) < аЛ(А) + А, для любого Я-измеримого множества А и при некоторых a,AeR, а, А > 0.
В условиях вышеприведенной теоремы v - почти всюду на Т выполняется
—(0 = lim < К* <оо, что является необходимым и достаточным условием непрерыв-
dv к(е)->0,(ее v(e)
ности оператора внутренней суперпозиции S: Lnp (v, Т) -» L"p (v, Т).
Рассмотрим вопрос о непрерывной зависимости решения уравнения (4) от параметров. Обозначим F = F0 и запишем уравнение (4) в виде
У = Р0у. (5)
Наряду с уравнением (5) рассмотрим последовательность уравнений
y = Fky = fk(t,ak + (Hky)(t),(Sky)(t)), (6)
где операторы Sk : Lnp(vk,T) -> Lnp(vk,T) заданы равенствами:
va ¡Ук({МчШ 4(t)eT;
(ЗД(0Н n w,wr гдQTk-T^T и qk:T^R.
[ 0, тк(!)€Т,
Обозначим Ek={teT: тк (?) е Т}. Здесь будем предполагать, что для числа р е [1,оо) и поло-
Р Р
жительной меры Л пары (jkEk > ЯкЕк ) ЛЕк -приспособлены и \qk Ек ограничены. Далее, существуют такие числа ак и Ак, что для любого Я-измеримого множества А с Т множество хк~х (А) n{teEk :\qk (¿)| > 0} Я -измеримо и
Л(тк~1 (А) о {/ е Ек : |qkEk (/)| > 0}) < акЛ(А) + Ак, к = 0,1,...
Тогда, как следует из теоремы 1 для каждого к = 1,2,..., существует мера vk такая, что оператор
Sk : Ср (Т) -» 1Ур (Г) непрерывен и существуют ограниченные в существенном относительно vk
dМк_
производные , где цк = тЕк(|qkEi \Р Vk).
В [3] доказана теорема, обеспечивающая сходимость последовательности операторов {Sk} в пространстве Lnp(v0,T):
Теорема 2: Пусть существуют положительные числа g*k gl, g*, g* такие, что для мер vk, k = 0,1,... выполнены неравенства
g*vо ^g*nvо ёУо £g\• (7)
Последовательность vra/sup—^-(7) ограничена числом К*и lim v0(EkAE0) = 0. Тогда, ес-
teT dvk k-ко
ли последовательность {qk} сходится в пространстве Lnp(v0,T) к q0, а последовательность {rk} сходится по мере vQ к т0, то для любого yeLnp(yk,T) üm (Vq = 0 •
Условия (7) означают, что меры vk абсолютно непрерывны относительно vQ и классы эквивалентности в пространствах (Г) совпадают для всех к = 0,1,...; нормы в 1?р (Г) эквивалентны.
Докажем теорему:
Теорема 3: Пусть для каждого к = 0,1,... выполнены условия теоремы 1. Тогда, если:
1) выполнены условия теоремы 2;
2) ||Лv)~/о('»V)IL»(l/0j) = 0> u,vzR";
3) последовательность чисел {Nк) ограничена;
4) последовательность операторов {Нк} сходится равномерно к оператору Н0, т.е. 1Я* ПРЫ к^СО;
5) существуют числа Рк> 0, такие, что ЦЯ^Ц^ Г) < Pk , к = 0,1,... и число
L, такое, что NkPk + (K*kg*kg*l)p <L< 1;
6) lim ||а*-а0 ¡ = 0;
7) v0(T)< оо,
то последовательность решений {ук} уравнений (6) сходится в пространстве Lnp(v0,T) к решению уравнения (5).
Доказательство. Для краткости норму Lnp(v0,T) обозначим ||| .
Имеет место неравенство:
bk-Уо\10 = ИУк ~^о10 ^llF^o -^oll0 + ¡РкУк-ркУо\у0 (8)
Справедливы оценки:
\\ркУо -^ot0 =\\fk(-^k+HkyQ,Sky0)-f0(-,a0+H0y0,S0y0)\lo <
-II fk(’’ak +НкУоЛУо)-/к(;ОСо+НоУоЛУо)\10 +
+||Л(-,«0 + H0yQ,S0y0)-M-,a0 + Н о^о^о^о)!^ •
Из условия 1 теоремы 1 следует, что
\\fk(-,ak+Hky0,Sky0)-fk(-,a0+H0y0,S0yQ)\lo < Nk\ak-а0+(Нк -#0Ы10 +
+М*(0|Кл - ■Voll,, — -а/dv0(l)y +N„lnt -ЯоЦ^ +
Г
_1_
+^1(0|Кл-^оГо|111 = Af.K+ ЛГ,И* -Н0||и^„о .||Л||„о + +М,(0||^Л-^Л||Го,
и с учетом условий данной теоремы получим, что
lim \\fk(-,ak+Hky0,Sky0)-fk(-,a0+HQyQ,S0yQ)\\ =0.
К—>00 г0
Из условия 2 данной теоремы, следует, что
lim I fk(•,а0 + Н0у0, S0yQ)-М-’ао+ноУо>S0y0)|L = 0 ■ ¿->00 "у0
Значит
limflF^o-Fo^L =0
Оценим \\Fkyk -/^0Ц0
Л->00
(9)
IIРкУк -F^olt0 =\fk(-’ak +нкУоЛУк)-/к(-’<хк + Н ky0,Sky0)\ln ^ мк\\Нк(Ук -Л)|
Mi/0
+
-Л) 1„ — «Л\ |л -Го||„„ + Ыи,„ -11(Л -^)IL •
vo
ии0
sk \10^у0 ^ (К*g*g*1У ’ к = о»1—»так как
1М„„ = (||(ЗД(0||'’Л'0)'’ '(Л/*Л('Жг.(0)Г‘Л'о>' ä sФеМЇУ^Х-dvtY =
g*
= —l-(||j(5)|f^)p = -\-^y^s)\P^-dVkY ^ (—)р(|^)ґ^)р <
— t ~ t 8* t
(gf) (gf)
II p d^k
X
<(^)Р(|І^)ІҐ^о)Р =(La.)P
g* r g*
"•'o
Таким образом,
І\РкУк -^0І10 ^ (*Л +(*У*У)|л-у0\Іо <ЦУк-у0\Іо Из (8), (10) получим ||л -у0\Іо <\\рку0 -^0||Ио + Цук -у0Цо ,
IIУ к ~ Уо Ц0 * у^ІІ^^о " ^Уо 10 > и из (9) следует, что Нт \ук - = 0.
Теорема доказана.
ПРИМЕР
Рассмотрим уравнение нейтрального типа
У(0“*0+/(*ь(0),
100'
где г0(О =
4t,t є
0;
_1_
12
3,tG 12’12 при T= [0,1].
, 10 4t------,te
3
И
12
;i
Краевое условие зададим равенством
К1) + Я0) = 0.
Краевая задача (11) , (12) сводится к операторному уравнению
(Ю)
(И)
(12)
j і
= Т7»л + x(r0(t)),
100 “
где K(t,s) =
—, 0<i<s<l. 2
i
и их решения связаны равенством y(t) = J/sT(i,5)x(Ä)ifc.
Рассмотрим последовательность возмущенных уравнений нейтрального типа
где Tk(t) =
4k + l 1
------1------,te 0;
к 12 к L
1 А 11ч -,t є(—;—),
З 12 12
4к + \ Ш + \
t--------—-—,te
12
к 12 к
с краевыми условиями
U
12
;1
у(1) + у(0) = -,к = 1,2,.... к
Краевые задачи (14), (15) сводятся к операторному уравнению
x(0=Ä(i+ Р^М^) + ;ф-*(0)
и их
J 1
решения связаны равенством y(t) = — + f.K(/,s)x(,s)ifc.
2 к J
Проверим для уравнений (13) и (16) выполнение условий теоремы 3.
£„=[0;1], Ек=[
1
12(4Jfc + l)
;1], £0^=[0;
1
12(4*+ 1)
4к + \
]•
v0 =
4ß 10 .1. ß
^ -т +—£■(-)- —
ß
* + 1
4/7-1 12 3 (/7-І)
о и vк = 77 1
2 К 4k+1
ß-\
10 Л
т +—є(~) 12 v3
ß
(y0_l)(ffi±l)_l)
* &
Здесь £•(/) - единичная атомическая мера, сосредоточенная в точке t и ß > 1.
lim у0(£0Д£л) = 0, Лг = 1,2,...
£->00
Имеют место оценки — v0 < vÄ < v0, k = 1, 2,..., отсюда g* = —, g - 2 .
2 2
dvt
(0 =
2/3
4Jt + l
/7 + 1
А
t Ф -
t = -
1
. d/ik f 4 2/0 К - vrazsup—^(0 -
/єГ
4/7 + 1
(13)
(14)
(15)
(16)
Последовательность {гА} сходится к г0 в каждой точке /е[0;1], значит, последовательность {тк} сходится по мере у0 к г0.
Таким образом, последовательность операторов £* : (Е) -» Щ (Г), заданных равенством
(ЗД = *(г*(0), ' е [0,1] сходится по норме к оператору (£0*) = х(г0(0).
(Я0*х0 = |*(мЖ^ = (Я**ХО, к = 1,2,..., т.е. последовательность операторов {Нк} схо-о
дится равномерно к оператору Я0.
Справедливы оценки ||#Лдг||^ ||дс||^ <^-||х||^, т.е. линейные операторы Нк огра-
ничены, а следовательно и непрерывны и Рк = ^, к = 1,2,...
£ + 1
\/ка,щ,\х)-/ка,и2,л>2)\ <—ц -м2|+|у!-у2\.
к +1
Последовательность ограничена, Мк (0 = 1-
Таким образом, для уравнений (13) и (16) выполнены условия существования и единственности решений.
Далее имеем
& + 1
lim |/*(-»«,v)-/o(-,«,v)L = Um
А-» оо у0 оо
200Ä:2 ЮО* Q
j 1
—- jR(t, s)x(s)ds + x(rk (0) - х(т0 (/))
= 0.
vo
1 I
NkPk+(K*g*g^)p = -*±I + (-M-)/> <1, * = 1,2,..., /?>1, /?>1.
S 5 ' 200Ä. V4^ + ^ И F
lim |ак - or0| = lim = 0, у0(Г) < да.
к->со к->оо 2к
Все условия теоремы 3 выполнены и, следовательно, последовательность решений {хк} уравнения (16) сходится в пространстве X” (у0,[0,1]) к решению jc0 уравнения (13). Значит последовательность решений {ук} задач (14), (15) сходится в пространстве Z)”(v0,[0,1]) к решению у0 краевой задачи (11), (12).
Литература
1. Бурбаки, Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер / Н. Бурбаки. - М.: Наука, 1967. -396 с.
2. Плышевская, Т.К. О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений в лебеговых пространствах / Т.К. Плышевская. - Магнитогорск: Магнитогорский горно-
металлургический институт, 1988. - Деп. в ВИНИТИ 22.02.89. - № 1186. - В 89.
3. Минаждинова, Л.А. О сходимости последовательности операторов внутренней суперпозиции / Л.А. Минаждинова // Вестник ЮУрГУ, Серия «Математика, физика, химия». - 2007. -Вып. 9. - №19(91). - С. 42-47.
Поступила в редакцию 13 декабря 2007 г.
