О непрерывности и дифференцируемости максимальных значений функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 4 (2017). С. 55-59.

УДК 517.17+517.51

О НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ МАКСИМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ

В.А. КЛЯЧИН

Аннотация. В статье рассматриваются функции являющиеся максимальными значениями непрерывных функций на семействах компактных подмножеств. Такие функции используются, например, при исследовании геометрического строения различных равновесных поверхностей - минимальных поверхностей, поверхностей постоянной средней кривизны и т.п. Обычно подобные функции строятся как геометрические характеристики исследуемых поверхностей - расстояние от точки поверхности до фиксированной прямой, радиус описанной сферы и т.п. Одним из ключевых моментов этого подхода является обоснование их непрерывности и дифференцируемости. Это позволяет выводить дифференциальные соотношения для рассматриваемых функций. В настоящей работе вопросы непрерывности и дифференцируемости рассматриваются в более общей постановке - для топологических и метрических пространств. В частности, найдены условия на отображение топологических пространств F : X ^ Т, при которых функция вида p(t) = шахх^р-i(t) д(х) является непрерывной. Кроме этого, для такого рода функций получены условия липшицевости и ¿-выпукл ост и в Rm.

Ключевые слова: метрическое пространство, липшицевы функции, непрерывность, дифференцируемость, ¿-выпуклость.

Mathematics Subjects Classifications: 26В05, 26В35

1. Введение

Один из методов исследования минимальных поверхностей и поверхностей с предписанной средней кривизной основан на использовании так называемой функции обхвата p(t), которая представляет собой максимальное значение расстояния от точки некоторой прямой до точек поверхности лежащих в плоскости ортогональной этой прямой. Для функции обхвата выводятся различные дифференциальные неравенства, из которых, путем интегрирования извлекается определенная информация о строении поверхности в целом. Данный подход был использован в работах В.М. Миклюкова, А.Д. Веденяпина, М.В. Привалова, Н.В. Лосевой, В.Г. Ткачева, В.А. Клячина |1| |7|.

В работе [1] доказано, что для минимальных гиперповерхностей трубчатого типа эта функция является выпуклой вниз и удовлетворяет почти всюду дифференциальному неравенству

p"(t)p(t) > (п - 1)(1 + p'2(t)). В работах |2| |7| аналогичные неравенства были получены для минимальных поверхностей произвольной коразмерности, р-минимальных гиперповерхностей, поверхностей предписанной средней кривизны. Во всех этих случаях доказательство основано на принципе сравнения эллиптических операторов типа средней кривизны, а существование почти всюду вторых производных получается с использованием принципа максимума для специальным образом построенных субгармонических функций в метрике соответствующей поверхности. Так же следует упомянуть классическую теорему Адамара о трех кругах.

V.A. Klyachin, On continuity and differentiability of the maximum values of functions.

©Клячин В.A. 2017.

Поступила 17 мая 2016 г.

В этой теореме утверждается, что для голоморфной функции f (z), заданной в кольце ^ N ^ г3 для всяко го Г\ < г 2 < г3 имеет место неравенство

log ^^ log М(r2) ^ log ^^ log М(ri) +log ^^ log M(гз),

где М(г) = max|^|=r |/(z)|, Это неравенство эквивалентно тому, что функция <p(t) =logM(е*) выпукла вниз для t G (log ri, log r3). Некоторые обобщения этой теоремы можно найти в [8], Доказательство неравенства Адамара также основано на применении принципа максимума, В настоящей статье мы предлагаем доказательства непре-

мальные значения непрерывных и гладких функций не используя факта справедливости принципа максимума или его аналога,

2. Непрерывность

Пусть X и Т топологические пространства и F : X ^ Т - некоторое непрерывное отображение такое, что для каждого предкомпактного множества К С Т прообраз F-1(К) предкомпактен в X, В частности, тогда множества E(i) = F-1(t), t GT компактны. Пусть д : X ^ R - непрерывная функция для которой определим

p(t) = max д(х).

Теорема 1. Предположим, что любое открытое покрытие компакта E(t) является открытым, покрытием E(t') для, всех t' из некоторой окрестности, точки t. Тогда, если отображение F открыто, то функция p(t) непрерывна.

Доказательство. Пусть t0 G Т - некоторая точка и х0 G E(t0) такая, что д(х0) = р(t0)■ Пусть е > 0 произвольно. Поскольку функция д непрерывна, то для каждой точки х G E(i0) можно определить окрестность U(х) такую, что

^(х) - дШ < Уу gU(х).

Совокупность таких окрестностей образует открытое покрытие компактного множества E(t0), Выберем го этого покрытия конечное подпокрытие U(хк), k = 1,..., т. Тогда, в силу открытости отображения F множество U^ 1F(U(хк)) = V(t0) открыто, Пусть V'(t0) такая окрестность точки t0, для которой объединение U^ 1U(хк) является покрытием E(t') для всякого t' G V'(i0). Ясно, что для t' G V'(i0) пересечение E(t') П U(хк) = 0 для некоторого к. Рассмотрим х' G E(t'), д(х') = p(t') и х' G U(хк), Тогда

p(to) = д(хо) > д(хк) > д(х') -е = p(t') - е.

Поскольку E(t') П U(хк) = 0, то найдется у' G E(t') П U(хк), Тогда

p(t') = д(х') > д(у') > д(хо) -£ = р(to) - е.

Так, что для t' G V'(t0) выполнено

|p(t') - p(io)| <e.

Следовательно функция p(t) непрерывна. Теорема доказана.

Рассмотрим пример. Пусть в круге В = {х G R2, |х| < 1} задана функция

F(х) = e~r cos3irr, г= |х|.

Тогда

E( ) = { х G В : F( х) = }. Положим д(х) = х^. Тогда, как те сложно видеть, функция p(t) = maxs(t) д(х) имеет разрыв в точке t = е~r° cos 3^r0, г 0 = 2/3 - (1/(3^)) arctan(1/(3^)). При этом заметим, что

О НЕПРЕРЫВНОСТИ H ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ МАКСИМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

57

отображение, заданное функцией F(х) не является открытым в окрестности окружности г = г0.

Пусть теперь X = (X, dx) - метрическое пространство. Через К(X) мы обозначим метрическое пространство компактных подмножеств К е X, снабженное стандартной метрикой Хауедорфа

dx (К,, К2) = max{max min dx (х, у), max min dx (x, у)}.

У&К2 x€Ki y&Ki xeK2

Пусть F : T ^ К(X) некоторое непрерывное отображение, и д : X ^ R непрерывная функция. Положим T^(t) = F(t), t е Т.

Теорема 2. Если функция д(х) равномерно непрерывна, то функция

p(t) = max q(x)

непрерывна.

Доказательство. Пусть задано е > 0. В силу равномерной непрерывности функции д(х) найдется 5 > 0, такое, что если dx(х',х") < то 1д(х') — д(х")1 < е. Пусть t0 е Т. Поскольку отображение F непрерывно в точке t0, то для ö > 0 найдется такая окрестность V(t0) точки t0 что для всякой точки t е V(to) будет выполнено

dK(E(t), E(to)) <S.

В силу компактности множеств T.(t0) и T.(t) найдутся точки х0 е T.(t0) и х' е ^(t) такие, что

g(xo) = p(to), д(х') = p(t). А также найдутся точки у0 е T.(t0) и у' е ^(t) такие, что

dx(х0,у') = min dx(х0,у) yez(t)

dx(х',у0) = min dx(х',у).

yes(to)

По определению расстояния Хауедорфа получаем

dx(х0,у') < ö, dx(х',у0) < ö. (1)

Тогда, будем иметь

p(t) — p(t0) = д(х') — д(Х0) ^ д(х') — д(у0) < £, p(t) — P(t0) = д(х') — д(Х0) > д(у') — д(Х0) > —£, в силу неравенств (1). Таким образом, для всякого t е V(t0) будет выполнено lp(t) — p(t0)l < е. Теорема доказана.

3. Липшицевость и ¿-выпуклость

Предположим, что пространство Т является метрическим с метрикой dx-

Теорема 3. Пусть отображение F : Т ^ К(X) и функция д : X ^ R удовлетворяют условиям Липшица:

dK(F(t\), F(t2)) ^ L0dT(t,,t2),

и

lg(xi) — g(x2)l ^ Lidx(xx,x2).

Тогда функция

p(t) = max g(x)

xeF (t)

удовлетворяет условию Липшица:

lp(ti) — p(t2)| ^ L0L,dT(tl,t2).

Доказательство. Рассмотрим некоторые t1,12 G Т и х1 G E(tp(ti) = д(х1), х2 G E(t2), p(t2) = д(х2). Выберем y1 G E(t 1), у2 G E(t2) такие, что dx(х-\_, у2) = minzeS(t2) dx(х-\_, z), dx(х2, у1) = mlnzeS(tl) dx(х2, z). Поскольку отображение F

dK(E(t 1), E(t2)) ^ LodT(t 1, t2).

Следовательно

dx(х1, У2) ^ LodT(t 1, t2)

и

dx(х2, У1) ^ LodT(t 1, t2).

Таким образом, получаем

p(t 1) = д(х1) > g(У1) > д(х2) - L^x(У1,х2) > р(t2) - LoL^T(t 1, t2),

и

p(t2) = д(х2) > g(У2) > д(х1) - L^x(У2,х{) > p(t 1) - LoL^T(t2, h). Следовательно

|p(t 1) - p(t2)| ^ LoL1d(t 1, t2).

Теорема доказана.

Пусть П С Rm - область в Rm и F : П ^ Rp, р < т С ^гладкое отображение с rankdF = р. Мы предположим, что для всех t G Rp множество F-1(t) = E(t) компактно в П. Рассмотрим С2-гладкую функцню д : П ^ R и положим

p(t) = max д(х).

Теорема 4. Функция р(F(х)) является локально 8-выпуклой, т.е. для, любой точки х0 G Жт найдется окрестность U(х0) и выпуклая функция ь(х) такие, что функция р(F(х)) + у(х) выпукла, в U(х0).

Для доказательства теоремы нам понадобится следующая

Лемма 1. Пусть Н(х),х G Rm непрерывная функция такая, что для, некоторого а G R, а > 0 и для каждой точки х0 G Rm существует квадратичная, функция вида, г(х) = -а1х - х012 + (х - х0,[) + к(х0) такая, что Н(х) > г(х) в некоторой окрестности, точки х0. Тогда функция Н(х) + а1х12 выпукла вниз.

Доказательство. Имеем

И(х) + а^2 = Н(х) + а1х - х012 - 2а(х0, х - х0) + +а|х0|2 > -а1х - х012 + ([, х - х0) + !г(х0)+ +а1х - х012 - 2а(х0,х - х0) + а1х012 = = Н(х0) + а|х012 + (-2ах0 + [,х - х0). Это неравенство показывает, что график функции Н(х) + а1х12 лежит выше гиперплоскости, заданной уравнением хт+1 = Н(х0) +а1х012 + (-2ах0 + [,х - х0), а это в свою очередь означает, что функция Н(х) выпукла вниз.

Доказательство теоремы 4. Зафиксируем точку t0 G Rp. Найдется точка х0 G П, такая, что р(t0) = <7(х0). Поскольку rankdF = р, то отображение F открыто, а следовательно функция p(t) непрерывна согласно теореме 1, Пусть U(х0) некоторая окрестность точки х0 и V(t0) = F(U(х0)). Рассмотрим функцию Н(х) = p(F(х)). Ясно, что д(х) ^ Н(х), х G U(х0) и д(х0) = Ъ(х0). Поскольку функция д(х) дважды непрерывно дифференцируема, то существует постоянная а > 0 такая, что для каждой точки х0 и подходящего вектора [ G Rm будет выполнено Н(х) > д(х) > -а1х-х012 + ([,х-х0) + Ъ(х0) в некоторой окрестности точки х0. Согласно лемме функция Н(х) +а|х|2 является выпук-( F( х))

О НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ МАКСИМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

59

В общем случае в условиях теоремы 4 невозможно доказать дифференцируемоеть функции p(F(х)) в каждой точке. Рассмотрим пример. Пусть в прямоугольнике [0,^] х [-к, к] задана функция g(x) = cos х\ sinх2. Положим F(ж) = х\. Тогда

p(t) = maxд(х) = | cost\,t Е [0,^].

XI =t

Таким образом p(F(х)) = \ cos х\\ и эта функция не дифференцируема в точках отрезка Х\ = п/2.

Теорема 5. Пусть С2-гладкое отображение F(х) таково, что отображение

Н(х) = (у,х),у = F(х), х = (хр+1, ...,хт) является диффеоморфизмом области П на область П' = Н(П). Тогда, функция

p(t) = max g(x)

xeT,(t)

является, локально 5-выпуклой.

Доказательство. Пусть х = G(y,x) отображение, обратное к Н(х). Тогда функция h(y,x) = g(G(y, х)) является С2-гладкой в области П'. При этом

max h(y, х) = p(z).

y=z

Тогда, применяя теорему 4 для функции h(у, х) и отображения F'(у,х) = у, получаем, что функция р(у) локально ¿-выпуклой в Rm. То в окрестноети U каждой

точки найдется выпуклая функция v(у, х).; что функция р(у) + v(y,x) выпуклая.

Тогда функция

max [р(у) + v(y,x)} = p(z) + max v(y,x)

(y,x)£U,y=z (y,x)£U,y=z

также является выпуклой в Rp. Отсюда получаем требуемое.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Веденяпин А.Д.,Миклюков В.М. Внешние размеры mрубчатых минимальных гиперповерхностей 11 Мат. сб. 1986. Т. 131. С. 240-250.

2. Привалов М.В. Некоторые свойства, функции обхвата трубчатой гиперповерхности постоянной средней кривизны // Тез. докл. VI научн. конф. ВолГУ. Волгоград, 1989. С. 64.

3. Ткачев В.Г. Теорем,а, о радиусе просвет,а, минимальной поверхности // Мат. заметки. Т. 59. 1996. № 6. С. 657-660.

4. V.G. Tkachev External geometry of p-minimal surfaces // Geometry from Pacific Rim, Eds.: Berrick/Loo/Wang. Walter de Gruvter k, Co., Berlin-New York. 1997. P. 363-375.

5. Лосева H.B. О некоторых свойствах седловых гиперповерхностей, трубчатого типа // Докд. РАН 1994. Т. 336. № 4. С. 444-445.

6. Клячин В.А., Миклюков В.М. Максимальные гиперповерхности трубчатого типа в пространстве Минковского // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1991. Т. 55, № 1. С. 206-217.

7. Клячин В.А. Оценка, протяженности трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности // Сиб. мат. ж. 1992. Т. 33, № 5. С. 201-206.

8. Миклюков В.М. Геометрический анализ. Волгоград, Изд-во ВолГУ, 2007. 532 с.

Владимир Александрович Клячин, Волгоградский государственный университет, пр-т Университетский, 100, 400062, г. Волгоград, Россия E-mail: klchnv@mail. ru