CC BY
12
A UNIVERSUM:
№ 9 (66)_ЛД ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ_сентябрь. 2019 г.
О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ ОПЕРАТОРОВ ВОЛЬТЕРОВСКОГО ТИПА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Исмоилов Хамроали
ст. преп., Андижанский машиностроительный институт,
Узбекистан, г. Андижан E-mail: [email protected]
Саттаров Акмал
ассистент, Андижанский машиностроительный институт,
Узбекистан, г. Андижан E-mail: _ [email protected]
Ибрагимов Санжарбек Салижанович
ассистент, Андижанский машиностроительный институт
Узбекистан, г. Андижан E-mail: sanjari@gmail. com
ON FIXED POINTS OF OPERATORS OF VOLTAIRIAN TYPE WITH PERIODIC COEFFICIENTS
Hamroali Ismoilov
Senior Lecturer, Andijan Engineering Institute,
Uzbekistan, Andijan
Akmal Sattarov
Assistant, Andijan Engineering Institute, Uzbekistan, Andijan
Sanjarbek Ibragimov
Assistant, Andijan Engineering Institute, Uzbekistan, Andijan
АННОТАЦИЯ
В настоящей работе изучается вопрос о существовании и количестве неподвижных точек операторов вольтеровского типа с периодическими коэффициентами. Приведено 3 теоремы и их доказательств для определения числа неподвижных точек. Найдены собственные числа динамической системы вычисления якобиан в разных точках. В результате определены Седловы точки для динамической системы, которая играет важную роль в математическом программирование и теории игр.
ABSTRACT
In this paper, we studied the question of the existence and number of fixed points of operators of Volterra type with periodic coefficients. Three theorems and their proofs for determining the number of fixed points were presented. The eigenvalues of a dynamical system were found for calculating Jacobians at different points. As a result, a Saddle point was defined for a dynamical system that plays an important role in mathematical programming and game theory.
Ключевые слова: неподвижная точка, операторы вольтеровского типа, собственные числа, Седловы точки, семейства квадратичных стохастических операторов, якобиан.
Keywords: fixed point, Volterra type operators, eigenvalues, Saddle points, families of quadratic stochastic operators, Jacobian.
Операторы вольтеровского типа определяются где /к(х) = /к(х,х2,...,хк_ хк+хт) непрерыв-
равенствами. ные функции, удовлетворяющие условиям[1]:
V: хк = хк • (1 + /к), к = 1, m, (1)
а) f (x) > -1, для любого x е S'
m-1
Библиографическое описание: Исмоилов Х., Саттаров А., Ибрагимов С.С. О неподвижных точках операторов вольтеровского типа с периодическими коэффициентами // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2019. № 9(66). URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/7774
б) ^ Хь ■ /к (х) = 0, для всех х е Бт 1
к =1
Легко заметить, что при выполнении этих условий V: Бт-1 ^ Бт-1.
Интересным, с биологической точки зрения, является случай, когда /к (х) - параметры управляющие эволюцией, являются периодическими функциями [2], [3].
В настоящей работе изучается вопрос о существовании и количестве неподвижных точек операторов вольтеровского типа с периодическими коэффициентами.
В симплексе Б1 = {х + у = 1, х > 0, у > 0} рассмотрим семейства квадратичных стохастических операторов (КСО) вида:
V
V
х' = х(1 - ау Бт плу) п1 ' у' = у(1 + ах Бт плу) х' = х(1 - ау соб плу) у' = у(1 + ах соб плу)
где а е (0; 1], п е N. Очевидно, что V(Б1) с Б1. Теорема 1. Пусть а е (0;1] тогда:
1) Для любых КСО число всех неподвижных точек равно п +1.
2) Для любых ^ КСО число всех неподвижных точек равно п + 2.
Доказательство. 1) Решим систему
ау Бт плу = 0 х + у = 1
плу = лк х + у = 1
у = —, к = 0, п п
п - к
Следовательно (п—к;к) е Б1 и при к = 0, п , поп п
лучаем п +1 неподвижную точку. 2) Решим систему
ау соб плу = 0
х + у = 1
плу = — + лк
х + у = 1
1 + 2к ---
у =-, к = 0, п -1
2п
2п -1 - 2к
х=
2п
При к = 0, п -1, получаем п неподвижную точку и видно, что две вершины симплекса неподвижные точки.
В симплексе
Б2 = {х + у + 2 = 1, х > 0, у > 0, 2 > 0} рассмотрим семейства КСО вида:
х' = х(1 - ау Бт пл2 + Ь2 Бт плу) у'= у(1 + ах Бт плх - С2 Бт плх) и 2 ' = 2(1 - Ьх Бт плу + су Бт плх) х' = х(1 - ау соб плх + Ь2 соб плу) у' = у (1 + ах соб плх - С2 соб плх) х' = 2(1 - Ьх соб плу + су соб плх)
где а,Ь,с е (0;1], п е N
Легко заметить, что V(Б2) с Б2.
Теорема 2. Пусть а = Ь = с тогда:
1. Для КСО а) все точки дБ2 неподвиж-
г Д 1 1,
ные и С(3,3,3) - внутренняя
отталкивающая неподвижная точка;
(п -!)(" - 2)
Ь) Существует не менее----внутренних
неподвижных точек (п >3).
2. Для ^ КСО а) С (1,1,1) - внутренняя отталкивающая
неподвижная точка;
Ь) (1; 0; 0) (0;1;0) и (0;0;1) являются Седло-выми.
Доказательство. 1. а) Пусть х = 1, у = 2 = 0 тогда, очевидно: х' = х и у' = 2' = 0 , т.е. вершина (1; 0; 0) неподвижная точка. Теперь берем (х; у;0) точки, тогда очевидно х' = х , у' = у, 2 ' = 0 т.е. (х; у;0) неподвижные точки. Это означает, что все точки у дБ2 неподвижные. Посмотрим якобиан динамической систем ^ъ и здесь а = Ь = с :
3 (х) =
1 - ау Бт пл2 + Ь2 Бт плу х(-а Бт пл2 + Ь2пл соб плу) х(-аупл соб пл2 + Ь Бт плу)
у(а Бт пл2 + с2пл Бт плх) 1 + ах Бт пл2 - с2 Бт плх у (ахпл соб пл2 - с Бт плх) 2(-Ь Бт плу + супл соб плх) 2(-Ьхпл соб плу + с Бт плх) 1 - Ьх Бт плу + су Бт плх
и
х=
п
где С (—,—,—) является неподвижной точкой
0 3 3 3
динамической системы Ки3. Тогда из (С0) - Л/| = 0 находим собственные числа якобиана в точке Сое 82:
1 -Я
1 . nn ann nn 1 ann nn . nnч
-(-a sin--1--cos—) -(--cos--+ a sin—)
3 3 3 3 3 3 3 3
1 . nn ann nn
-(a sin---cos—) 1-Я
3 3 3 3
1 . nn ann nn 1 ann nn . nn
-(-a sin--1--cos—) -(--cos--ъ a sin—)
3 3 3 3 3 3 3 3
1 ann nn . nn - (-cos--a sin —)
3 3 3 3
1-Я
= 0
1 . nn ann . nn.
и обозначим через p =- (a cos--1--sin —)
3 3 3 3
Отсюда детерминант имеет вид:
b) Решим систему
1-Я p -p -p 1 -Я p p -p 1 -Я
= 0 .
Далее получим
(1 -Я)■ (Л2 -22 + 1 + 3р2) = 0 Собственные числа этого уравнения следующие: Я = 1, Я = 1 - 2>/3рг и Я = 1 + 2%/3р1.
Это означает, что С0 (^, ^, является внутренней отталкивающей неподвижной точкой (рис.1. и рис.2.).
-ay sin nnz + bz sin nny = 0 ax sin nnz - cz sin nnx = 0 -bx sin nny + cy sin nnx = 0
x + y + z = 1
полученную из УпЪ.
Эта система имеет место при всех комбинациях
р а рай
точки (х = —, у = —, 7 = —), здесь 0< —, —, — <1, и п п п п п п
р + а + й = п. Число решений уравнения р + а + й = п в целых неотрицательных числах р, q и
(п - 1)(п - 2)
d, равно
2
2. а) Посмотрим якобиан динамической системы V, и здесь a = b = c :
J (x) =
1 - ay cos nnz + bz cos nny -x(a cos nnz + bznn sin nny) x(aynn sin nnz + b cos nny) y(a cos nnz + cznn sin nnx) 1 + ax cos nnz - cz cos nnx -y(axnn sin nnz + c cos nnx) -z(b cos nny + cynn sin nnx) z(bxnn sin nny + c cos nnx) 1 - bx cos nny + cy cos nnx
Г(1 1 1, _ _ где С (—,—,—) является неподвижной точкой 0 3 3 3
динамической системы УпА. Тогда из
J (C0)-я/| = 0
находим собственные числа в точке С0 е S2
1 -Я
1 . nn ann . nn 1 ann . nn nn,
— (a cos--1--sin—) -(-sin--+ a cos—)
3 3 3 3 3 3 3 3
1 nn ann . nn, ,
-(a cos--1--sin—) 1 - Я
3 3 3 3
1 nn ann . nn 1 ann . nn nn
— (a cos--1--sin—) -(-sin--+ a cos—)
3 3 3 3 3 3 3 3
1 ann . nn nn
— (-sin--+ a cos —)
3 3 3 3
1-Я
= 0
1 . nn ann . nn ч
и обозначим через q = — (a cos--1--sin—).
3 3 3 3
Отсюда детерминант имеет вид:
1- Я -q q q 1- Я -q - q q 1 - Я
Далее получим
(1-Я)■ (Л2 -22 + 1 + 3д2) = 0 Собственные числа этого уравнения следующие: Л = 1, Л = 1 - 2*J3qi и Л = 1 + 2>/3д7, q > 0.
Это означает, что С0 является внутренней
отталкивающей неподвижной точкой (рис.3. и рис.4.).
Ь) Вычислив якобиан динамической системы ^ в точке (1; 0; 0) находим собственные числа
1 -Л а Ь
0 1 + а-Л 0
= 0 .
0 0 1 - Ь-Л Далее получим
(1 -Л) ■ (1 + а-Л)(1 - Ь-Л) = 0 Собственные числа этого уравнения следующие:
Л = 1, Л = 1 + а, Л = 1 - Ь.
Это означает, что (1;0;0) является Седловой точкой. Аналогично можно показать, что (0;1;0) и (0;0;1)
являются Седловыми точками динамической системы.
Утверждения. Пусть а, Ь, с е (0;1] тогда:
1. Для ^ к.с.о. а) все точки д82 неподвижные;
.. (п -1)(п - 2)
Ь) существует не менее ----внутренних
неподвижных точек (п >3).
2. Для ^ к.с.о. (1;0;0), (0;1;0) и (0;0;1) являются седловыми;
Доказательство. Проводится аналогично доказательству теоремы 2.
В симплексе
Б2 = {х + у + 2 = 1, х > 0, у > 0, 2 > 0} рассмотрим семейства квадратичных стохастических операторов вида:
Vи5:
х ' = х(1 - ау Бш пл2 + Ь2 соб плу) у' = у(1 + ах б1и пл2 - с2 соб плх) 2' = 2(1 - Ьх соб плу + су соб плх)
где а,Ь,с е (0;1], п е N
Легко заметить, что V(Б2) с Б2. Теорема 3. Пусть а, Ь, с е (0;1] тогда:
1. (х;1 - х; 0) являются неподвижной точкой;
п ■ (п -1)
2. существует не менее - внутренних не-
2
подвижных точек (п > 1).
Рисунок 1. п=3. Рисунок 2. п=4.
Рисунок 4. п=3.
Рисунок 5. п=2.
Рисунок 6. п=3.
Рисунок 9. п=2. Рисунок 10. п=3.
Список литературы:
1. Ганиходжаев Р.Н. Квадратичные стохастические операторы, функция Ляпунова и турниры. Математический сборник, 1992 г., т.183, №8 с.129-141.
2. Ганиходжаев Р.Н. Исследования по теории квадратичных стохастических операторов //Автореф. доктор. дис.., Ташкент, 1994 г. 30 стр.
3. Курганов К.А. Асимптотическое поведение траекторий дискретных динамических систем, порожденных квадратичными стохастическими операторами вольтеровского типа//Автореф. канд. дис., Ташкент, 1994 г. 35 стр.
4. Полиа Г., Сеге Г. «Теорема и задачи в анализе» том 1,11, Пер. с нем. - 3-е изд., М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1978. Ч.1 - 392с.; Ч.2 - 432с.
