О нелокальной чувствительности недоопределенных моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Информатика. Прикладная математика

№ 92(10)

УДК 681.3:519.234

О НЕЛОКАЛЬНОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ МОДЕЛЕЙ

А.А. ЕГОРОВА, Д.В. КУЗНЕЦОВ

Обсуждаются источники недоопределенности математических моделей и методы интервального анализа, используемые для их описания. Получены интегральные уравнения для граничных функций интервальных отображений с порождающей функцией, описывающей квазистатическую систему типа «вход-выход».

1. Источники недоопределенности моделей

Общепризнанной основой теоретических исследований реальных систем и протекающих в них процессов в разнообразных приложениях являются технологии математического моделирования, которые условно можно разделить на две группы: технологии построения математических моделей (ММ) и технологии их исследования.

В процессе построения ММ исследуемой системы обязательно реализуется загрубление последней: отбрасываются полагаемые несущественными факторы, вводятся аппроксимирующие приближения - рабочие гипотезы (постулаты модели). Выписываемые функциональные связи и уравнения модели представляют собой упрощенное отображение реальных связей системы. Отметим, что уточнение модели, уменьшение ее загрубленности встречает порой серьезные препятствия, вызванные недостаточной изученностью вопросов в той предметной области, где реализуется моделирование.

Поясним сказанное на примере. Пусть исследуется сложная динамическая система под управлением. Представим себе, что существует некоторая детерминированная, адекватная задаче ММ:

X = !г ^.^ Хп ; ит ) г 1 П

Ук = ¥к ^.^ Хп; U1,..., ит) к = 1Р (1)

Хг (0) = Х0г

Здесь хг, г = 1, п - параметры вектора состояния системы, а ук - наблюдаемые переменные.

Пусть в силу недостаточной изученности объекта моделирования в качестве динамических переменных выделено только г величин х1,...,хг, г < п, и соответственно используется только г динамических уравнений ММ (1). (п - г) незадействованных переменных мы назовем "немыми" параметрами. Понятно, что г - мерное пространство с элементами х = (х1,х2,...хг) не является пространством состояний со всеми вытекающими последствиями. На динамику xj,

] = 1, г оказывают влияние "немые" переменные, которые также зависят от времени (в упрощенной модели в г - мерном пространстве). Понятно, что адекватность “урезанной” модели под угрозой: вместо одной ее траектории в пространстве состояний, мы получаем пучок, определяемый возможными значениями немых переменных.

Корректный переход к усредненной траектории, даже в случае известного начального распределения немых переменных, невозможен в силу того, что задача эволюции этого распределения неизмеримо сложнее исходной динамической задачи. Перевод же переменных из разряда немых в разряд явных, предполагающий, по крайней мере, их четкую дефиницию, упирается в недостаточную проработанность предметной области. Поэтому с "размытостью" функциональных связей при моделировании сложных систем приходится осознанно мириться. Возможная вариабельность уравнений модели, порожденная их приближенностью, является

первым источником неопределенности ММ.

Чувствительность результатов исследования к этому аспекту приготовления ММ в рамках классической парадигмы, не рассматривающей бифуркационные явления и катастрофы, проявилась, в частности, в предпочтительности построения так называемых грубых моделей [1], топологически устойчивых в пространстве состояний, или, следуя В.И. Арнольду, - "мягких моделей" [2]. Эти свойства моделей можно установить, лишь начав их исследование. Это подчеркивает то обстоятельство, что деление технологий математического моделирования на технологии построения и исследования весьма условно. Возможным подходом к преодолению описанной проблемы является введение вместо обычных математических функций нечетких отображений, учитывающих вариабельность связей модели [3,4].

Потеря информации, вызванная отбрасыванием немых переменных в приведенном выше примере, компенсируется мнением экспертов, задающих нечеткие отображения, основанным на их личном опыте - на наблюдаемых ими ранее реализациях поведения анализируемой (или сходной) системы. Субъективизм таких оценок, связанный с нерепрезентативностью этой выборки, остается за рамками теории нечетких множеств, что существенно сдерживает продвижение исследований в этом направлении.

Появление второго источника недоопределенности ММ связано со следующим. Получение аналитических результатов при исследовании реальных (возникающих в приложениях) ММ встречается исключительно редко, и совокупность параметров модели - ее входные данные -приходится задавать численно. Очевидно, что в реальной ситуации эти параметры задаются с некоторой ошибкой, т.е. достоверно можно утверждать лишь то, что то или иное числовое значение параметра принадлежит некоторому интервалу. Этот аспект неопределенных моделей лежит вне области их создания, полностью принадлежит группе технологий исследования ММ, и в этом отношении замкнут. При его исследовании можно абстрагироваться от первого источника неопределенности, уйти от проблем предметной области, полагая математические уравнения строгими и в этом смысле детерминированными.

Неизбежная недоопределенность входных данных порождает недоопределенность выходных параметров модели, причем соотношение между этими недоопределенностями определяются уравнениями модели.

Эта роль детерминированных уравнений была положена А. С. Нариньяни в основу нового подхода к проблеме [5-7].Он основывается на процедуре уменьшения первичной недоопре-деленности выходных параметров ММ за счет использования информации, заключенной в ее уравнениях.

2. Исследование недоопределенных моделей. Подход Нариньяни

Рассмотрим основные идеи подхода А.С.Нариньяни к исследованию моделей со вторым источником недоопределенности. Кратко их можно сформулировать в виде следующих положений, частично проиллюстрированных на рис. 1

1. Построенную ММ можно симметризовать по отношению к входным и выходным параметрам, рассмотрев последние как "точки контакта" моделируемой системы с окружающей ее средой. Такая симметризуемость допустима, поскольку еще до решения любой реальной задачи можно указать разумный (быть может, и очень большой) интервал значений выходных параметров. Тогда само решение будет сводиться к сжатию этого интервала до пределов, допускаемых неопределенностью модели.

2. Второе положение связано с "расщепимостью" точек контакта. Это означает, что любой параметр ММ можно одновременно рассматривать и как заданный, и как уточняемый.

Рис. 1. Точки Х1, Х2, Х6 - точки контакта системы с окружающей средой, пунктирные линии

отображают связи в субмоделях А и В

Поясним сказанное на примере. Пусть ММ представляет собой систему п уравнений с т входными и п выходными параметрами: Фг. (х^..., хп, хп+1 ...хп+т) = 0 г = 1, п (2)

Пусть ни одно уравнение системы не может быть разрешено относительно Х1, но, по крайней мере, для одного из них допустимо представление вида х1 = / (х1,..., хп, хп+1 ...хп+т ) (3)

В этом случае, согласно принципу расщепления, х1, фигурирующий в правой части (3), может рассматриваться как заданная величина (в соответствии с замечанием положения 1), а х1 в левой части - как уточняемая величина.

3. Из приведенного примера легко прослеживается третье положение. При реализации итерационной процедуры сжатия интервала недоопределенного выходного параметра можно использовать субмодели (лишь одно из уравнений ММ), полнота которых также следует из замечания пункта 1 относительно разумных интервалов ожидаемых значений параметров.

4. Решение задачи (по Нариньяни) достигается итерационной процедурой сжатия интервалов при известной последовательности выбора субмоделей. При этом решение - интервал допустимых значений выходного параметра - на (п+1) шаге определяется как пересечение интервалов п-го шага с интервалом, определяемым соотношением (3) на (п+1) шаге [6].

Переходя к обсуждению реализации выстроенного подхода и его эффективности, отметим следующие важные аспекты развития теории:

1. Скорость сходимости итерационной процедуры зависит от "эффективности" сжатия на каждом шаге или группе шагов, объединяемых в квазипериод.

2. Гипотетически интервальные значения входных параметров можно получить, решая ММ при всевозможных наборах значений входных параметров из заданных диапазонов. Будем называть такие интервальные значения истинными. При этом возникает вопрос о возможности выбора конечного множества субмоделей, применение итерационной процедуры к которым дает последовательность интервалов, сходящихся к истинным.

3. Локальная и нелокальная чувствительности ММ

Обсудим первый аспект очерченной проблемы. К нему примыкает задача исследования чувствительности ММ, т. е. оценка отклонений выходных параметров модели, порожденных малыми изменениями входных параметров. Обычно такой анализ проводится для моделей типа "вход-выход", допускающих представление отображения множества входных параметров во

множество выходных в виде явных функций: уг = /г (х1,..., хт ) г = 1, п. (4)

В ЭУ' •

В этом случае частная производная —- определяет чувствительность ^го выходного

параметра ММ к вариации k-го входного па

m

Ayj дается простым соотношением: Ay. = ^

к=1

раметра. Оценка модуля возможных отклонений

Эуг

'Axk- (5)

Появление модуля в (5) (в отличие от формулы для линейной части приращения функции многих переменных) связано с тем, что xk е [xk -Axk, Хк +Axk ],к = 1, m и знаки отклонений при различных значениях k - независимы. Очевидно (5) справедливо только в случае достаточно "хороших" функций, таких, что выполняется жесткое условие:

Эу. — -

—- @ const xk е [xk -Axk, Xk +Axk ] (6)

Эхk

Учитывая, что границы разумных ограничений, о которых упоминалось в связи с симметризацией модели, могут быть достаточно широки, соотношение (6) не может быть использовано как рабочее в итерационной процедуре интервального сжатия - нужны оценки интервалов выходных параметров, справедливые для широкого диапазона вариации входных параметров. С учетом сказанного традиционные оценки интервальных значений выходных параметров (соотношение (5)) будем называть локальной чувствительностью модели, а отображения вида:

Ау. =Ф-^..^xk;А^..,AxkX j =1 n , (7)

справедливые в широком диапазоне значений Ax., - нелокальной чувствительностью ММ.

Далее мы ограничимся рассмотрением случая однозначного интервального отображения, когда каждому набору интервалов входных параметров соответствует только один интервал допустимых значений каждого выходного параметра. Это ограничение нельзя считать очень жестким, поскольку неоднозначные отображения всегда можно свести к однозначным, увеличивая размерность задачи. Поясним сказанное простым примером. Пусть соотношение (2) име-

2 2 V2

ет вид: Ф(x1,x2) = x1 + x2 -1 = 0, гдех1 - выходной параметр задачи, х2 е (0,-^-).

Значение выходного параметра определяется двумя функциями: х1 = +д/1 - x2 и соответствующая область его допустимых значений представляет объединение двух интервалов

(-1, -“"i2) и (^^,1), каждый из которых порожден своей ветвью. Каждую из ветвей мы будут

рассматривать как отдельную порождающую функцию интервального отображения. Кроме того, будем полагать, что исследуемые модели лишены памяти, т. е. выходные значения параметров модели в любой момент времени t зависят от входных параметров в тот же момент времени. Это ограничение более серьезное, т.к. при этом из рассмотрения исключаются ММ, включающие в себя функционалы. Начнем с рассмотрения нелокальной чувствительности одномерной модели, описываемой уравнением у = j(x) .

Нас будут интересовать характеристики интервального отображения Fj, порожденного функцией j и устанавливающего бинарное отношение на I(R)- множестве интервалов в R -

Fj : I(R) ® I(R) . Напомним [8], что наше интервальное отображение определяется как объединенное расширение: Fj(х) = ^j(х), X = [a, b] e I(R). (8)

xeX

Однако более удобным для получения практических результатов является представление Fj (х) через так называемые граничные функции Fj (х) = (f (a, b | j), f2 (a, b | j)). (8а)

Смысл соотношения (8а) заключается в том, что существуют некоторые функции f и f2, зависящие от границ интервала входных параметров a, b , порождающей функции j и определяющие границы изменения выходного параметра. Соотношение (8а) является по существу определением граничных функций.

Из сказанного ранее относительно исследования недоопределенных моделей следует, что вычисление граничных функций (8а) является одной из ключевых задач.

4. Граничные функции интервальных отображений

Очевидно, в случае монотонной зависимости y = j(х) вопрос о граничных функциях решается просто. Например, если имеет место монотонное убывание, то

b \j) = j(b) f2 (a b \j) = j(a)

Любую функцию j можно представить в виде суперпозиции монотонно неубывающей -j1 и монотонно невозрастающей - j2 функций

j(Х) = jj(Х) + j2(Х) .

Используя принцип расщепления, можно получить оценки для граничных функций:

b \j) >j(a) + j2(b) b \j) < jj(b) + j2(a) .

Оценки вида (9) приняты в интервальном анализе [8], однако полученные решения являются грубыми, и представляет интерес исследования подходов к их уточнению.

Выведем уравнения для определения граничных функций. Будем полагать для простоты, что j( х) - дифференцируема. Для построения уравнений воспользуемся методом погружения. Рассмотрим множество интервалов (a, х)i(a, b). Пополнив его вырожденным отрезком [a, a], введем для него обозначив -1 (a, b). Для одного из элементов этого множества - [a, a] результат очевиден: fi(a,a | j) = f2(a,a | j) = j(a). (10)

Проанализируем, как меняется граничная функция f1 [a, х| j], как функция х на интервале (a,b). Из определения f следует:

f1 [a, х + dc | j] = minf [a, х | j], j(х + dc}+ в(дх), (11)

или

df1 [a, х | j] = f1 [a, х + &c | j]- f1 [a, х | j] = min{0, j(х + dc) - f1 [0, х | j]}+ o(dc) =

- max{o, f1 [a, х | j] - j(х) - j (х) • dc}+ o(dc)

В силу дифференцируемости j(х) граничная функция f1 [a, х | j] является кусочногладкой и, следовательно, разность f1 [a, х | j] - j(х), по крайней мере, непрерывна по х . Из теоремы о локальном сохранении знака непрерывной функции и малости d х следует, что правая часть (12) может быть меньше нуля лишь при выполнении двух условий:

а)/ [а, х ф] = ф( х)

б) - ф (х) > 0

Тогда правую часть (12) можно переписать в виде

д[/ [а, х | ф] - ф(х)] • д[- ф (х)] • ф (х) ¿х + в(ёх) .

Ц, и > 0

Здесь д( ) - обобщенная функция Хевисайда: д(и) = -

(13)

(14) (15)

[0, и < 0

Переходя к пределу при ¿х ® 0, из (11) и (12) находим уравнение погружения й

йх

У1 к х 1 ф] = д[/1[а х 1 ф] - ф( х)] •д[- ф(х)] • ф(х).

(16)

Интегрируя (16) с учетом (10) получаем следующее нелинейное интегральное уравнение

х

для / : /:[a, х 1 ф] = ф(а) + / д[/1(a, # 1 ф) - ф(Х)] • д[- ф (Х)]ф'(Х)йХ . (17)

а

Численно его решение можно получить, используя следующее представление:

/(х„+1) = ф(а) + Т д[/1(х ) - ф( х )] • дф( х ) - ф( хг+1)] • ф( хг+1) - ф( х )]. (17а)

г=0

Преобразуем далее (17), интегрируя по частям. Учитывая, что

й д[ф(х)] = ¿Ф(х)] • Ф' (х) = т V

йх хеП Ф(х)

Ф' (х), где П = {х : Ф(х ) = 0}, получаем:

А[a, х 1 ф] = ф(а) [1 - д[- ф (а)И + ф(х) • д[/(х) - ф(х)] д[-ф(х)]-- Т ф(Л) • ^ к'(Л) - ф (Л)] + Т ф(Л) • д[/1(Л) - ф(Л)] • 8вп{ф" (Л)}.

(18)

ЛеП

Здесь

Лев

П = {Л: / (Л) = ф(Л), а < Л < х} в = {Л: ф' (Л) = 0, а <Л< х ,

1, и > 0 Б§п(и) = <¡0, и = 0,

-1, и < 0

Отметим, что в силу (15) производную /1 (х) в (18) следует понимать как производную слева.

В силу громоздкости (18) проиллюстрируем смысл членов уравнения на простом примере, когда порождающая функция имеет вид ф(х) = 1 - х б1п(^х). Соответствующие графики представлены на рис. 2.

х

Рис. 2 - Графики порождающей - ф(х) и граничной - / (0, х | ф) функций

Отметим, что граничная функция либо совпадает с j(х), либо постоянна. В областях первой группы поведение граничной функции описывает второй член уравнения (18). При этом суммы, фигурирующие в (18), внутри этих областей вклада не создают, поскольку для первой суммы sgn[fk - jj = 0, а для второй аналогичные условия создает требование j' = 0 .

Сложнее, как ни странно, выглядит описание плато. Значение граничной функции на k-м плато определяется k-м членом последней суммы в (18), который “включается” в т. хк

(см. рис. 2). Эта константа обнуляется в т. х"к k-м членом первой суммы (18). Между к-ым и (к+1) плато суммы дают нулевой вклад.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баутин Н.Н., Леонидович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1990.

2. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. - М.: НЦНМО, 2000.

3. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. - М.: Радио и Связь.

4. Аверкин А.Н. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта; Под ред. Д.А.Поспелова. - М.: Наука, 1986.

5. Нариньяни А.С. Модель или алгоритм: новая парадигма информационной технологии // Информационные технологии, № 4, 1997.

6. Нариньяни А.С. Недоопределенность в системах представления и обработки знаний // Изв. АН СССР Техническая Кибернетика, №5, 1986. С. 3-28

7. Разработка новых интеллектуальных технологий для решения экономических задач в интересах органов государственной власти и управления / Отчет РосНИИ искусственного интеллекта, 1996.

8. Шокин Ю.Н. Интервальный анализ. - Новосибирск.: Наука, 1981.

SUB-DEFINITION MODELS NON-LOCAL SENSIBILITY Egorova A.A., Kuznetsov D.V.

Sources of mathematical model sub-definition and methods of interval analysis used for there description are being discussed in the article. Integral equations for boundary functions of interval mappings with the engendering function, describing input/output quasistatic systems are obtained as a result.

Сведения об авторах

Егорова Алла Альбертовна, окончила МГТУГА (1983), доктор технических наук, профессор кафедры МГТУ ГА, автор более 55 научных работ, область научных интересов - оптимизация и автоматизация принятия управленческих решений в условиях неполной определенности.

Кузнецов Денис Валерьевич, 1981 г.р., окончил МГУ им М.В. Ломоносова (2003), аспирант МГТУ ГА, область научных интересов - моделирование недоопределенных, нечетко заданных систем.