CC BY
85
2005
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Информатика. Прикладная математика
№ 92(10)
УДК 681.3:519.234
ИНТЕРВАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧЕ О ТРАНСФОРМАЦИИ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ СИГНАЛОВ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ПАМЯТЬЮ
А.А. ЕГОРОВА, Д.В. КУЗНЕЦОВ, М.С. МИТЮШИН
Методами интервального анализа решена задача о преобразовании недоопределенных сигналов в линейных динамических системах. Предлагается способ оценивания параметров системы по интервально заданным значениям входных и выходных параметров.
ВВЕДЕНИЕ
При описании процессов, протекающих в реальных системах, практически всегда приходится сталкиваться с проблемой неточно определенных входных параметров. Стандартный прием, используемый в таких случаях, базируется на введении случайных величин, случайных функций, статистические характеристики которых полагаются известными. При этом введение стохастики в модель процесса реализуется максимально упрощенным способом. Так в статистической радиотехнике широко используется модель аддитивного гауссового шума, позволяющего достаточно просто отобразить влияние случайных факторов на передаваемый сигнал. Вопрос об адекватности такой модели порой даже не рассматривается из-за серьезных проблем, возникающих при отказе от гауссовости или аддитивности случайных факторов.
Настоящая работа посвящена исследованию другого подхода к анализу недоопределенных систем. Он базируется на предположении об интервальном задании входных переменных, т. е. полагается установленным, что в силу случайных воздействий значения этих параметров принадлежат некоторым интервалам. Важно, что при этом источник недоопределенности не детализируется, т.е. не делается предположений о том, что неопределенность возникла из-за наличия мультипликативного или аддитивного, гауссового или негауссового шума и т. д.
В работе [1] этот подход рассматривается в применении к системам без памяти. Здесь мы проанализируем трансформацию недоопределенности в динамических системах на примере прохождения сигнала через апериодическое звено (см. рис.1), существенным отличительным признаком которого является наличие памяти (последействия).
Для получения числовых оценок интервальных значений мы воспользуемся программным продуктом ЦшСа1с 3.43, разработанным в НИИ Искусственного интеллекта под руководством А.С. Нариньяни. Настоящая работа посвящена исследованию эффективного метода описания динамических систем, характеризующихся линейными дифференциальными уравнениями, и представляет новый (спектральный) подход к рассмотрению соответствующей задачи интервального анализа [2].
Постановка задачи
Рассмотрим некоторую линейную систему типа “вход-выход” с переходной характеристикой - К(ш; {щ }) . Будем полагать, что параметры {щ } этой системы известны неточно, т.е.
определены интервально - щ е (а0г - Аа0г , щ + Аа0г), г = 1, т . На вход системы подается непрерывный сигнал. Входной и выходной сигналы могут регистрироваться в дискретные моменты времени 1к = к ■ Аt, к е Ъ .
Входной сигнал и ^) представляет собой полезный сигнал s(t), искаженный случайным воздействием п(1) - шумом, относительно которого мы не будем делать жестких ограничений,
предположив лишь, что весь входной сигнал, являющийся некоторым неизвестным функционалом u[s(t), n(t)], занимает конечную полосу частот (—W, W), а частота проводимых измерений такова, что At < ж/W.
Рис. 1. Трансформация недоопределенного сигнала в линейной системе с памятью
Результаты измерений представимы интервально, т.е. в моменты времени tk, k е Z величины входного u(tk) и выходного U (tk) сигналов принадлежат соответственно интервалам (uk —dk,uk +dk) и (Uk — Ak,Uk +Ak). Внутри этих интервалов должны заведомо лежать значения входного s(t) и выходного S (t) полезных (незашумленных) сигналов.
Далее постановка задачи может быть представлена в трех вариантах:
a) известны интервальные значения входных сигналов и внутренних параметров системы. Необходимо оценить интервальные значения выходных сигналов. Прямая задача;
b) известны интервальные значения выходного сигнала и внутренних параметров. Необходимо оценить интервальные значения входного сигнала. Задача косвенных измерений;
c) известны интервальные значения входного и выходного сигналов. Оценке подлежат параметры линейной системы. Задача контроля параметров (состояния) динамической системы.
В основе решения этих трех задач, как инвариантное ядро, лежит задача о нахождении функции, порождающей интервальные отображения.
ПОРОЖДАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Пусть на вход системы поступает недоопределенный сигнал, который подобно случайному процессу задается множеством своих реализаций. Другими словами интервально заданный сигнал - это одна из некоторого множества функций, значения которых в фиксированные моменты времени 1к принадлежат соответствующим заданным интервалам. Если при этом потребовать, чтобы спектр функций был ограничен [3], то мы получаем класс финитных интер-вально заданных функций. Полезные входной и выходной сигналы принадлежат таким классам.
Учитывая финитность входного сигнала, представим и (¿) в виде
1 г
и{г) = — Г и (а>утёю (1)
2р -а
Доопределив стандартным образом и (а) на всю область частот, получаем [4]:
и (а)=£ сп ехр 1 р•п(2)
. p
— w-n¡ W
J p I p
iw = — ul — n W l W y
(3)
Подставляя (2), (3) в (1), получаем выражение для входного сигнала через его значения в дискретные моменты времени
u (t) = Е un - sin c
W| tn
l W ,
(4)
где un = u(pn/ W) , а sin c( x) = (sin x)/x
Хорошо известное соотношение (4) в рассматриваемом случае приобретает особое звучание. Здесь un - интервально заданные величины, а u(t) - финитная интервально заданная функция. Таким образом, (4) здесь следует рассматривать как функцию, порождающую интервальное отображение F :Rn ® {u(t)}.
Проводя выкладки, аналогичные приведенным выше, нетрудно получить реакцию динамической системы U (t) на недоопределенный сигнал:
U(w) = pn(w;-W,W)Sun'K(iw)expI-iwpn!
1 W I
U(t) = 2W Е un í K (i w) exP |iw
t-
p-n
"W~
\dw.
(5а)
(5б)
Здесь П(^;-0,О) = 0(^+О)-0(^-О), где 0( ) - функция Хевисайда.
Принимая во внимание замечание относительно дискретности процедуры регистрации данных, I в (5 б) следует положить равным 1т = А • т, т е 2.
Перейдем теперь к обсуждению реакции конкретной линейной динамической системы. Рассмотрим простейший случай, когда система описывается дифференциальным оператором вида: 3 = а(ё/&) +1. Здесь а - внутренний параметр системы, также является интервально заданной величиной, т.е. определен неточно. Для K(ш;а) находим
K (1ю; а) = —1— (6)
1 + ia(o
Будем полагать также, что полоса частот финитных функций достаточно велика и пределы интегрирования в (5 б) могут быть отодвинуты в бесконечность. В этом случае соответствующие интегралы могут быть аналитически вычислены:
f Cos(g )dx = (p/2)-eg , f Sin(gx) x -dx = (p/ 2)-eg. [g> 0]
1 + x2 i 1 + x2
in(gr)
(7)
0 * ' ~ 0 Учитывая антисимметрию по у подынтегральной функции второго интеграла в (7), (5б) можно переписать в виде:
р
U (t)
a-W
Е un- К (t;a)
(8)
где
hn (t;a)
exp<! - a
p - n
при t >
12
0
при
при
t = t <
p- n
W
p-n
"W”
p-n
(9)
Нетрудно убедиться, что вид функции отклика (9) соответствует «физически реализуемой» системе.
n=-¥
n
t
Обратимся теперь к вопросу усечения по п суммы в выражении (8). Полагая I = 1т = т • Дt, можно видеть, что членами ряда с номерами п < п0 можно пренебречь. Здесь п0
п0 -1
оценивается из условия малости остаточного члена ряда ^ ехр{- [ж/(а- О)](т - п)}<< 1,
по » т + 3 (а • )1п{1 - ехр(- (ж/\а- О]))}. Это позволяет записать в окончательном виде поро-
ждающую функцию интервальных отображений для рассматриваемой задачи
т-1
/2 + 2 ип' ехР{(ж/[а • о])(т - п)}
и = ж
а-О
(10)
РАСЧЕТ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ДИНАМИЧЕСКОМ СИСТЕМЫ
В этой части работы мы воспользуемся программным продуктом ЦшСа1с 3.43 [5,6] для получения оценок интервальных отображений в рассмотренной динамической системе с порождающей функцией (10). В соответствии с поставленной задачей в первом варианте будем полагать известными интервальные значения входных сигналов в дискретные моменты времени tk и значение параметра динамической системы а . Определению подлежат интервальные значения выходных параметров в те же моменты времени tk. На рис.2 представлены результаты проделанных расчетов.
п=п
Рис. 2. Графики интервально заданного входного и ^) и рассчитанного выходного и^) сигналов
При вычислениях полагалось, что а = 0.003, О = ж/Дt = 103. Для приведенных параметров эффективная память системы оценивается величиной т = 4- Дt, т.е в значение выходного сигнала в момент времени tk вносят вклад интервальные значения входных сигналов в моменты tm, т = (к - 4), к .
Известно, что при расчетах ЦшСа1с 3.43 не полностью “стягивает” выходные интервалы, что, в частности, послужило основой для исследований, приведенных в работе [1]. Поэтому представляет интерес анализ обратного преобразования - по интервальным значениям выходного сигнала оценить исходные интервальные значения входного сигнала. Сопоставление исходных данных прямой задачи с результатами расчета обратной задачи позволяет сделать некоторые выводы относительно сходимости процедуры сжатия, используемой в ЦшСа1с 3.43.
Соответствующие результаты представлены на рис. 3.
б
Рис. 3 - а - обратное преобразование, восстановление исходных интервально заданных сигналов на итСаЬс 3.43; б - сопоставление исходного интервально заданного (сплошные линии) и восстановленного
(пунктирные линии) процессов
Из зависимостей, представленных на рис. 3б, видно, что после реализации прямого и обратного преобразований имеет место увеличение недоопределенности входного сигнала. Однако, поскольку интервальные значения восстановленного сигнала поглощают соответствующие области значений исходного, результаты следует признать непротиворечивыми. Наблюдаемое уширение “чулка”, внутри которого лежит график зашумленного сигнала, порождено двойным преобразованием, тогда как в практических задачах такое преобразование реализуется однократно. Это позволяет рассчитывать на то, что при решении реальных задач уширение (неполнота сжатия интервальных оценок) будет заметно меньше.
Теперь остановимся на задаче восстановления параметров системы, когда по зарегистрированным входным и выходным сигналам оцениваются параметры системы и решается вопрос о ее исправности. Из-за зашумленности измерений обычно приходится прибегать к методам статистической проверки гипотез, полагая, что шум аддитивен и гауссов [7]. В рассматриваемом подходе в таких гипотезах нет необходимости. Задавая для (10) интервальные значения входных и выходных сигналов, можно оценить интервальные значения параметров системы.
Проиллюстрируем это на рассмотренной модели. Взяв в качестве исходных данных интервальные значения, представленные на рис. 2, полученные для точного значения параметра а = 0.003, мы провели оценку этого параметра. UniCalc показал, что значения оцениваемого параметра принадлежат интервалу (0.0019323, 0.0049693).
Заключение
В работе обсуждается новый подход к анализу функционирования линейных динамических систем в условиях неполноты информации как о сигналах, преобразуемых в системе, так и о параметрах самой системы. Подход не предполагает введения жестких дополнительных гипотез относительно шумового процесса, искажающего сигнал. Предполагается лишь, что полный спектр зашумленного сигнала ограничен, и интервал между измерениями не слишком велик.
На простом примере апериодического звена показана работоспособность метода.
Подход может быть полезен как при решении прямой и обратной задач трансформации сигналов в линейных четырехполюсниках, так и в задачах диагностики состояния динамических систем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Егорова А.А., Кузнецов Д.В. О нелокальной чувствительности недоопределенных моделей // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Информатика. Прикладная математика (статья в данном Вестнике).
2. Шокин Ю.Н. Интервальный анализ. - Новосибирск, Наука , 1981.
3. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в технике и физике. - М.: Наука, 1971.
4. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.: Сов. Радио,
1974.
5. Нариньяни А.С., Липатов А.А. Графическое представление недоопределённых функций в решателе UniCalc: Науч. сессия МИФИ-2001. Сб. науч. тр. в 13 т. - М.: МИФИ, 2001.
6. Разработка новых интеллектуальных технологий для решения экономических задач в интересах органов государственной власти и управления. // Отчет РосНИИ искусственного интеллекта, 1996.
7. Глухов В.В. Техническое диагностирование динамических систем. - М.: Транспорт,
2000.
INTERVAL ANALYSIS IN TRANSFORMATION OF UNDERDEFINED SIGNAL PROBLEM
FOR LINEAR SYSTEMS WITH MEMORY
Egorova A.A., Kuznetsov D.V., Mitushin M.S.
A transformation problem of sub-defined signals in linear dynamic systems is solved using the interval analysis methods. We present a system parameter estimation technique using the intervals of given values of input and output signals.
Сведения об авторах
Егорова Алла Альбертовна, окончила МГТУ ГА (1983), доктор технических наук, профессор МГТУ ГА, автор более 55 научных работ, область научных интересов - оптимизация и автоматизация принятия управленческих решений в условиях неполной определенности.
Кузнецов Денис Валерьевич, 1981 г.р., окончил МГУ им М.В. Ломоносова (2003), аспирант кафедры прикладной математики МГТУ ГА, область научных интересов - моделирование недоопределенных и нечетко заданных систем.
Митюшин Михаил Сергеевич, 1983 г.р., студент МГТУ ГА, область научных интересов -недоопределенная математика, исследование недоопределенных систем.
