О нелинейных волнах на заряженной границе раздела двух движущихся сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

J

УДК 532.592.2:537.29

И. Н. Алиев, С. О. Юрченко

О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ НА ЗАРЯЖЕННОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД

При решении задачи о распространении волн по заряженной горизонтальной поверхности раздела двух жидкостей в выведенном дисперсионном уравнении получено слагаемое, нелинейное по частоте волны и отношению плотностей жидкостей. Полученное дисперсионное соотношение исследовано в различных предельных случаях. Рассмотрены понятия диспергирующих сред и волн. Предпринята попытка строгой их классификации. Исследованы эффекты влияния электрического поля на эволюцию волновых пакетов.

Результаты исследований последнего десятилетия XX века показали, что в линейной теории поверхностных волн, казалось бы, не осталось неисследованных вопросов. Однако иногда в рамках традиционного подхода удавалось выделить некоторые специфические явления, такие, например, как бифуркационное ветвление решений хорошо известного дисперсионного уравнения движения волн малой амплитуды на поверхности вязкой несжимаемой жидкости без учета [1], а затем и с учетом электрического поля [2], однако в последние годы отмечен повышенный интерес к нелинейной постановке задач исследования указанного явления. Появление ряда диссертаций, тесно связанных с нелинейными эффектами, является подтверждением сказанному (см., например, [3], там же и обширный обзор литературы). При этом, в работах подобной тематики, как правило, рассматриваются линейные волны, дополняемые затем поправками, нелинейными по амплитуде; реже — вопросы эволюции волновых пакетов, несмотря на то, что последние занимают более чем важное место в нелинейной теории. Однако, интересно заметить, что в отличие, например, от нелинейной оптики, многие выводы которой получаются сравнительно простым образом (причем они обозримы и хорошо проверяются на многочисленных экспериментах), в нелинейной теории неустойчивости заряженной поверхности жидкости, к сожалению, результаты, как правило, весьма громоздки, что не позволяет уловить каких-либо значимых закономерностей.

Указанные соображения, а также последние работы авторов [4, 5] говорят о том, что из линейной теории распространения волн на заряженной поверхности раздела движущихся сред конечной глубины

удается извлечь новые результаты, имеющие особое значение для построения нелинейной теории.

Постановка задачи. Очевидно, что в реальной ситуации на поведение заряженной границы жидкости накладываются различные факторы, такие, как вязкость, тяжесть, поверхностное натяжение, влияние электрического поля, фоновое движение одной жидкости по отношению к другой, и не всегда удается выделить вклад отдельных компонентов. Поэтому представляется необходимым одновременное рассмотрение всех стабилизирующих и дестабилизирующих поверхность факторов. В классической постановке рассматривается распространение волн на заряженной границе раздела двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей различных плотностей р', р, имеющих толщины к1, к2 верхнего и нижнего горизонтальных слоев соответственно, причем верхняя жидкость — идеальный диэлектрик — движется с постоянной скоростью и, нижняя — вязкая проводящая. Вывод дисперсионного уравнения аналогичен представленному в работе [5], и проводится по методике, описанной в работах [2, 6].

Исходными уравнениями являются уравнения неразрывности и Навье-Стокса, линеаризованные в случае малости амплитуды волны по сравнению с ее длиной:

övx 1 dp + V I id 2ux + d 2Vx dz2

dt p dx ^ dx2

dvz 1 dp + V ( <d 2vz + d2Vz' dz2

dt p dz у dx2

övz dz dvx + x = dx 0,

g;

где их, — горизонтальная и вертикальная компоненты скорости жидкости, д — ускорение свободного падения, р — давление, V — кинематическая вязкость жидкости.

Для верхней (идеальной) жидкости ищем потенциал поля скоростей в виде [7]

Ф = Ф1 + Ф2;

Ф1 ~ ехр [г(кх — шЬ)] еЬ [к(Н1 — г)]; Ф2 = их,

где и — скорость фонового движения верхней жидкости относительно нижней; к,ш — волновое число и частота синусоидальной волны.

В качестве граничных условий используются условия равенства давлений и нормальных скоростей на границе раздела, а также равенство касательных напряжений нулю на границе контакта с идеальной жидкостью.

Дисперсионное уравнение в случае волн, распространяющихся вправо, имеет вид [4, 5]

(2 - Х)(1+Ш(^2) - х) +

(X -1) +

th(khO

+ (Q(k) + K(k, ш))-= 2(1 + th(k^)) X;

X

, (Uk - ш)2 th(kh2)

K (k, ш) = —а •

ВД =

v2k4 th(khi)' Y k2 — 4na2k + (1 — a)pg th(kh2) pv2k2 k

р' гш

а ; Х То ,

р "к2

где а — поверхностная плотность электрического заряда проводящей жидкости, 7 — совокупный коэффициент поверхностного натяжения. В силу симметрии задачи при переходе

к ^-к, и ^-и (1)

вид дисперсионного уравнения не должен меняться, поэтому для волн, распространяющихся как вправо, так и влево, получим

(2 - х) (1 + - х) + + (ВД + К(к, ш)) х

(X — 1) +

х-= 2 (1 + |th(kh2)|) ^Г—X;

X

K (k ) (Uk — ш)2

K (k, ш) = —а-

v2k4

th(kh2)

th(kh1)

(2)

Q(k) = Yk2 — 4na2 |k| + (1 — a)pg th(khO

ру2к2 к

Как нетрудно убедиться, дисперсионное соотношение (2) получено в линейном приближении по амплитуде волны (все слагаемые, пропорциональные квадрату амплитуды, отбрасывались) и инвариантно относительно преобразований (1).

Важнейшим свойством нелинейных диспергирующих волн является то, что в дисперсионное соотношение, связывающее частоту и волновое число, входит амплитуда [8].

При фоновом движении верхней жидкости квадратичная поправка по амплитуде не появляется, равно как и для давления рЕ электрического поля при известном потенциале поля [9] над колеблющейся

поверхностью заряженного проводника

Ф = 4па (a exp [i (kx — wt) — kz] — z),

pE = — E = — = —2na2(1 + 2ak exp [i (kx — wt)] +

+ a2k2 exp [2i (kx — wt)] + a2 (ik) exp [2i (kx — wt)]) =

= —2na2 — 4na2k£,

где E — напряженность электрического вблизи поверхности проводящей жидкости, ф — потенциал электрического поля.

Из сказанного следует, что выражение (2) не будет дополняться поправками, связанными с электрическим полем и движением верхней жидкости, зависящими от амплитуды, что полностью согласуется с линейной теорией, описанной в работе [8].

Общие свойства дисперсионных соотношений. Дисперсионные эффекты сразу после открытия Расселом уединенной волны и первых работ Рэлея и Буссинеска, Стокса, Кортевега, Де-Фриза, а позднее — Бюргерса, Хопфа и Коуэла, стали стержнем дискуссий, на который нанизывались самые различные проблемы исследований нелинейных волн (см., например, [10-12]). Однако несмотря на большое число работ, посвященных данной тематике, и широкий спектр приложений, в множестве классических изданий нет однозначного определения диспергирующих волн и их классификации по дисперсионным свойствам. Можно предложить классификацию волн по характеру изменения фазовой скорости при длине волны, стремящейся к бесконечности. Так,

w(k)

волна называется недиспергирующей, если —-— = c0, c0 — постоян-

k

ная; слабодиспергирующей, если lim W (k) = c0, c0 = 0, и дисперги-

k^0 k

- т w (k)

рующей, если не существует конечного предела lim —-—.

k^0 k

Еще более неясным остается понятие диспергирующей среды, которое, по-видимому, является несколько некорректным. Дело в том, что диспергировать могут только волны в среде, но окончательное дисперсионное соотношение формируется исходя из физических уравнений среды и множества допущений и требований, которые накладываются на характер движения среды, причем гипотезы о ее свойствах при различных допущениях могут не меняться. К примеру, при одних условиях волна может быть диспергирующей, а при других — слабодиспергирующей. Ярким примером тому являются гравитационные и капиллярные волны на поверхности бесконечно глубокой емкости с жидкостью и емкости конечной глубины: при бесконечно глубокой емкости капиллярные и гравитационные волны являются диспергирующими, а для жидкости в емкости конечной глубины эти же волны

являются слабодиспергирующими. Более того, при определенном сочетании капиллярной постоянной и глубины емкости дисперсии может и не быть вовсе. При этом среда остается неизменной. Можно, конечно, подразумевать под диспергирующими среды, допускающие существование диспергирующих волн, но такая классификация не дает предварительной информации, а требует решения задачи определения дисперсионного соотношения, о главных свойствах которого пойдет речь далее.

Выясним общие свойства законов дисперсии для линейных систем, которые в общем случае для волн, бегущих вправо, запишем в неявном виде как

в (ш,к) = 0, £ ~ ехр [г (кх - ш£)].

Тогда переход к дисперсии волн, бегущих влево, может быть осуществлен как

£ ~ ехр [г (-кх - ш£)] = ехр [-г (кх - (-ш£))].

Сохранение знака мнимой части не случайно и связано с фундаментальными свойствами распределения энергии в системе, так как частоту можно представить в виде

Переход (3) сохраняет знак коэффициента затухания, т.е. условие устойчивости (или неустойчивости) волны во времени и характер обмена энергией в исследуемой системе. Итак, из проведенных рассуждений следует

Если рассматривать только действительную частоту и коэффициент затухания и если существует обратная функция в-1, то

Таким образом, из общих соображений мы получили подтверждение очень важного и известного следствия — частота волнового движения является нечетной функцией по отношению к волновому числу к, а коэффициент затухания — четной.

(3)

ш = ш + ¿в.

G (Яе[ш] + i Гш[ш], —k) = G (— Яе[ш] + i Im^],k).

ш(—k) = Re [G-1 [G (Re[<^] + i 1ш[ш], —k)]] =

= Re [G-1 [G (— Re[ш] + iIm^],k)]] = —ш (k), в (—k) = Im [G-1 [G (Re[<^] + i 1ш[ш], —k)]] =

= Im [G-1 [G (— Re[ш] + iIm^],k)]] = в (k).

(4)

Следует особо отметить, что условие (4) является значительно более сильным, чем простое требование нечетного или четного характера разложения ш по степеням к, так как допускает четные и нечетные продолжения для любых показателей степени р:

Как нетрудно заметить, для любых показателей степени р, /1[к] является четной функцией, а /2[к] — нечетной, к примеру, затухание Ландау ионно-звуковых волн в плазме описывается дисперсией вида

где коэффициенты перед степенями волнового числа к — некоторые вещественные числа.

На показатель степени р тоже накладывается одно важное ограничение: в связи с инвариантностью относительно системы отсчета любое выражение ш(к) должно обращаться в нуль при к ^ 0, откуда следует р > 0.

Запишем теперь в общем виде дисперсионное соотношение для волн, бегущих как вправо, так и влево, в виде

Полученные результаты следуют уже из соображений вещественности [8, 10], так как исходная система физических уравнений движения среды вещественна, а мнимая единица г может появиться лишь в результате подстановки члена, пропорционального ехр [г (кх — ш£)]. Поэтому в этом случае закон дисперсии определяет зависимость переменной гш от гк в виде нечетной функции. По тем же причинам, разложение коэффициента затухания является четной функцией к.

Для законов дисперсии нелинейных волн характерна зависимость частоты волны не только от значения волнового числа, но и от амплитуды волны, и заранее построить ряд их особенностей относительно разного рода преобразований не удается, что, по-видимому, само по себе является главной замечательной особенностью таких соотношений и множества явлений, охватываемых ими.

Зная дисперсионное соотношение в виде (5), можно восстановить дифференциальное уравнение, которому соответствует уравнение линейной бегущей волны.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами можно записать в виде

f (k) = kP, fi (k) = |k|P , f2 (k)= k |k|P-1 .

[10, 11]

w = cok — ßk3 — i8 |k|,

P (w,k) = 0;

P (w,k) = G (w,k) G (w, —k).

(5)

где в — некоторый многочлен. При подстановке в это уравнение элементарного решения вида ^ а: ехр [г (ш£ - кх)] дифференцирование приведет к появлению множителей гш и -гк. Поэтому дисперсионное соотношение имеет вид (для волны, бегущей вправо)

в (гш, -гк) = 0.

Идеальные жидкости. Линейная теория "мелкой воды". Вернемся к выражению (2) и рассмотрим предельный случай идеальной жидкости, получающийся при переходе V ^ 0:

2 7к2-4па2 |к| +(1 - а)рд, . ,тТ1 .2 Л(кМ

ш2 ---'—1—--— к Ш(кй2) + а (ик-ш)2 , „, { =0.

р V ^ V )

(6)

Уравнение (6) позволяет рассматривать волны, движущиеся как вправо, так и влево. Об изотропности уравнения (6) говорить не приходится в связи с наличием фонового движения, т.е. выделенного направления и нарушения симметрии задачи.

Рассмотрим предельные случаи уравнения (6).

Пусть верхняя жидкость гораздо легче нижней, т.е. а ^ 0. Тогда имеем

ш2 = 7к2 - 4^2 |к| + ^кШ(кМ. (7)

р

Дисперсионное соотношение разложим в ряд по к до членов четвертого порядка:

ш2 = ^ (1 - (Р, - £) к"

и представим в соответствии с формой (5) в виде

Р (ш, к) = 0;

Р (ш, к) = (ш2 - с0к2 - 2вс0к4)2 - 4£2к6;

С0 = в = — ; i =2па2

(8)

2 \Р£ 3 / Р

считая Л,2 = Л,.

Дисперсионное соотношение (8) инвариантно относительно смены знака к. Следует однако отметить, что при рассмотрении диспергирующих волн для случая одной волны (например, бегущей вправо) достаточно разложения ш(к) в ряд до 3-й степени по к. Последнее означает, что в выражении (8) и в аналогичных ему в дальнейшем можно отбросить члены старше 6-го порядка по к.

Рассмотрим случай, когда а не слишком мало, а слой верхней жидкости является бесконечно толстым, т.е. к^1 ^ то. При этом будем

рассматривать только величины не старше четвертого порядка малости по к, тогда

ш2-дНк2 (1 - — |к| +(— - кА +аН (ик - ш)2 |к| =0. (9)

V рд \рд 3/ /

Для представления уравнения (9) в виде, аналогичном (8), сгруппируем слагаемые, содержащие модуль к, в правой части, возведем в квадрат обе части уравнения и получим

Р (ш,к) = 0;

2 (10)

Р (ш, к) = (и2 - с0к2 - 2вс0к4)2 - (28к2 + аН (ик - ш)2) к2.

Уравнение (10) уже не инвариантно относительно смены знака перед к. Так же можно рассматривать задачу распространения волн на незаряженной границе раздела между двумя идеальными жидкостями, когда верхняя имеет фоновое движение со скоростью и.

В заключение рассмотрим случай длинных волн на заряженной границе раздела слоев двух жидкостей малой толщины. Для этого, как и ранее, разлагаем составляющие уравнения (6) до 4-го порядка по к включительно:

.2 , ,2 ( 4па2 , ( 7 Н2 \ ,2

и2 - gh?k2 1 - — |k| + ^ - ^ к2 + рд \рд 3

+ а (Uk - и)2 h? (l + 3 (h? - hl) k2) =0. (11)

Отсюда так же, как в (8) и (10), получаем дисперсионное соотношение в виде

Р (ш, к) = 0; Р(ш,к) =

= (ш2-с20к2-2всок4+а (ик-ш)2 Ь^^Н2к2^ -452к6,

(12)

Л Н2 где Ь = —. Н\

Таким образом, для случая волн малой амплитуды на "невязкой мелкой воде" можно выделить несколько характерных случаев дисперсионных соотношений вида (8), (10), (12):

— слой жидкости малой толщины с заряженной поверхностью, верхний слой жидкости отсутствует,

Р (ш, к) = (ш2 - с20к2 - 2рсок4)2 - 4б2к6;

— слой жидкости малой толщины, верхний слой бесконечно толстый и движется с фоновой скоростью и; поверхностный заряд на границе раздела отсутствует,

Р (и, к) = (и2 - с0к2 - 2вс0к4)2 - а2Л2 (ик - и)4 к2;

— слой заряженной жидкости малой толщины, верхний слой бесконечно толстый и движется с фоновой скоростью и,

Р (и, к) = (и2 - с0к2 - 2всок4)2 - (2£к2 + аЛ (ик - и)2)2 к2;

— верхний и нижний слой имеют соизмеримые толщины, значительно меньшие длины волны, поверхность раздела заряжена, верхний слой движется с фоновой скоростью и,

P (ш,к) =

= - с2к2 - 2всок4 + a (Uk - w)2 b (l+l^1-^h2к2) ) 2-4^2к6.

3

Выражения для функций P(w, к) в представленном виде служат для корректного определения законов дисперсии, инвариантных относительно координатных преобразований, и необходимы для анализа временной эволюции волновых пакетов.

Временная эволюция волновых пакетов. Вернемся к средам со слабой дисперсией. Поставим задачу: проследить за временным изменением некоторого предварительно заданного профиля волны. Зная закон дисперсии, решение для любого момента времени запишем в виде [11]

сю

Ф (ж, t) = — х (к) exp [i (кж — wt)] dk; 2n J

с -с (13)

х (к)=/ф(ж, 0)exp[—ikx]dx.

-с

Рассмотрим простейший случай дисперсии волн на заряженной поверхности покоящейся жидкости с дисперсией (7). Будем считать, что плотность поверхностного заряда не является критической, и все волны являются устойчивыми. Разложим частоту w в ряд по к и рассмотрим только моду, соответствующую волнам, бегущим вправо:

¿ m .Í в ¿2 \ ,2 ^

= cok — —к |к| — (^ — ^к3. (14)

w = °оМ 1 - з|к1+( £ - 2С4 Jк'2) =

о \°о *чо/ /

2

со V 2c;

С учетом дисперсии (14) профиль (13) можно записать в виде

сю

Ф(х,€) = ^ j exp [г (kx - c0kt + 8k |k| t + tßk3)]x

—с сю

x Ф (x', 0) exp [-ikx'] dx'dk,

Ф(х,г) = / Ф(х', 0) в (х,х',г) йх',

— ю

Ь2 п п 8

х - СоЬ ^ х, -3 - в ^ в,--> 8.

2с0 со

Здесь в(х,х',г) — функция Грина для поставленной задачи, которую можно вычислить следующим образом:

сю

в (х,х',г) =— ехр [г (к (х - х') + 8к |к| г + гвк3)]йк = 2п .1

= — 2 cos (k (х - х') + t8k2 + tßk3)dk = 2п '

k (3tß)1/3 = u,

x - x' 8t1/3

1/3 = c, — = k

(3tß) 1

n (3tß)

1/3 2(3ß )2/3

сю

1/3 j cos ^u (Z + 3k2) + u^j dk.

— 3k

Отсюда видно, что окончательно, с учетом обратных переходов от движущейся системы координат к исходной

G (x, x', t)

1

\fn (3tß) 0

1/3 (Ai (Z+3k2) +Л (Z, k))

1

\fn (3tß)

1/3F (Z,K) ,

Л (Z, k) = ^^ cos u

Vn J *

—3k

(u (Z + 3k2) + ^ du;

(16)

Z=

x - x' - c0t

8t1/3

82

1/3

, К =

(3i)I/3< 2C0- ß) • 32/4 2c3- в

82

2/3

При 8 = 0 получаем уже известное решение задачи [см., например, 11, 13].

10 -7.5 -5 -2.5 0 2.5

б

Рис. 1. Вид (а) и линии уровня (б) функции Л(£, к)

На рис. 1 приведены вид и линии уровня функции Л(£, к), которая, как видно, имеет осциллирующую структуру — бесконечное множество "бугров". При интегрировании (15) необходимо учитывать зависимость параметров £ и к как от времени, так и от разности х - х'. Укажем некоторые замечательные особенности функции Л(£, к): к — то, Л(£, к) — 0; к » 1, Л(С,к) — Л1(С + 3к2); к — 0, Л(с,к) — 0; с —У ±то, Л(С,к) — 0.

На рис.2 приведены вид и поверхности уровня функции ^(С, к), полученной по соотношениям (16). Следует отметить ряд важных свойств этой функции:

к — 0, ^ (С, к) — Л1(С); к — то, ^(£, к) — 0; С — ±то, ^(С, к) — 0.

Рис. 2. Вид (а) и линии уровня (б) функции .Р(С, к)

Функция ^(£, к) имеет множество локальных максимумов и минимумов — "бугров" и "впадин", обусловленных интерференцией Л-функции и функции Эйри.

Указанные свойства функции ^(£, к) говорят о том, что при значе-

ниях времени

t

72c3( в - 4

73

2 \ 2

(к ~ 1) оказываются значительными эффекты влияния электрического поля на эволюцию волнового пакета.

¿2

Все проведенные рассуждения касались случая в - тт"з = 0. Рас-

2со ¿2

смотрим дисперсию в такой среде, для которой в - тт"о = 0. Тогда

2 Со

Рис. 3. Вид функции Ф(С)

вместо (15) получим

G (x,x',t) = — I exp

i [k (x — x') — c0k + — k \k\ t

dk =

oo

= — cos

П J

0

k (x — x') + —k2t c0

dk =

= ~ I cos [(u + u2]du = - л/ — Ф (Z), П V Co 0 ~

- f—ti П V Co

где С =(х - х0 у ^ •

Из графика функции Ф(£) (рис.3) видно, что при положительных значениях аргумента Ф(£) стремится к нулю, при отрицательных имеет бесконечный незатухающий осциллирующий "хвост".

Заключение. В работе выявлены основные свойства законов дисперсии для поверхностных волн и на основе самых общих соображений показано, что частота является четной функцией волнового числа, а коэффициент затухания — нечетной. Для полученного дисперсионного уравнения выделено несколько характерных случаев, соответствующих различным режимам. Полученные выражения положены в основу анализа временной эволюции волновых пакетов. Получена функция Грина задачи об эволюции профиля волн, распространяющихся на поверхности тяжелой заряженной жидкости с учетом поверхностного натяжения.

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Антонюк П. Н. Дисперсионное уравнение для плоской капиллярно-гравитационной волны на свободной поверхности вязкой несжимаемой жидкости // ДАН СССР. - 1986. - Т. 286. - № 6. - С. 1324-1328.

2. А л и е в И. Н., Ф и л и п п о в А. В. О волнах, распространяющихся по плоской поверхности вязкой проводящей жидкости в электрическом поле // Магнитная гидродинамика. - 1989. - № 4. - С. 94-98.

3. Белоножко Д. Ф. Нелинейные движения заряженной поверхности жидкости / Дисс.... д-ра физ.-мат. наук. - Ярославль, 2004. - 278 с.

4. А л и е в И. Н., К а р а с е в а В. П., Ю р ч е н к о С. О. Учет нелинейных эффектов в динамике движения топлива в реактивных двигателях малой тяги / Труды Шестой Международной научно-технической конференции "Чкалов-ские чтения". - Егорьевск, - 2007. - С. 79-80. Некоторые вопросы динамики движения топлива в реактивных двигателях малой тяги / Труды XIX Всероссийской межвузовской научно-технической конференции "Электромеханические процессы в энергетических установках". - Казань, - 2007. - С. 125-127.

5. А л и е в И. Н., Ю р ч е н к о С. О., Н а з а р о в а Е. В. Особенности комбинированной неустойчивости заряженной границы раздела движущихся сред // Инженерно-физический журнал. - 2007. - Т. 80. - № 5. - С. 64-69. К вопросу о неустойчивости границы раздела двух сред конечной толщины // Инженерно-физический журнал. - 2007. - Т. 80. - № 6. - C. 127-133.

6. Л е в и ч В. Г. Физико-химическая гидродинамика. - М.: Наука, 1959. - 699 с.

7. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986. - 736 с.

8. У и з е м Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977. - 622 с.

9. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1982. - 620 с.

10. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Физическая кинетика. - М.: Наука, 1979. - 526 с.

11. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. - М.: Наука, 1973. - 175 с.

12. Т а б о р М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. - М.: УРСС, 2001.-318 с.

13. А л и е в И. Н., М и л ь в и д с к и й А. Р., Н а у м о в И. А. Капиллярные волны на поверхности тонкого слоя заряженной проводящей жидкости // Инженерно-физический журнал. - 2002. - Т. 75. - № 5. - С. 86-87.

Статья поступила в редакцию 26.02.2007

Исмаил Новрузович Алиев родился в 1945 г., окончил в 1969 г. Московский инженерно-физический институт (МИФИ). Д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры "Физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 60 научных работ в различных областях физики.

I.N. Aliev (b. 1945) graduated from the Moscow Engineering and Physical Institute in 1969. D. Sc. (Phys.-Math.), professor of "Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of over 60 publications in the various fields of physics.

С.О. Юрченко родился в 1986 г. — студент МГТУ им. Н.Э. Баумана.

S.O. Yurchenko (b. 1986) — student of the Bauman Moscow State Technical University.