CC BY
37
48
Волны в стратифицированной по плотности двухслойной жидкости конечной толщины с заряженной границей раздела
А. И. Григорьев, М. С. Фёдоров
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000, Россия, e-mail: sris@,univar. ac. ru
В аналитической асимптотической процедуре первого порядка малости исследованы закономерности реализации волнового движения в двухслойной стратифицированной по физикохимическим свойствам жидкости со свободной поверхностью и твёрдым дном. Показано, что наличие твердого дна усиливает эффект.
УДК 532.5
Феномен «мертвой воды», феномен передачи импульса между волнами, порождаемыми в многослойной стратифицированной по физикохимическим свойствам жидкости различными поверхностями, исследовался только для бесконечно глубокой жидкости [1]. Физическая суть этого эффекта заключается в том, что в стратифицированной жидкости амплитуды волнового движения, возникающего на границе стратификации, могут существенно превышать амплитуды волн на свободной поверхности [1-2], и энергия, например винтов судна, идёт на раскачку волн на границе стратификации, тогда как на поверхности волнение остаётся малозначительным, а судно «вмерзает» в поверхность спокойной воды. В естественных условиях феномен для гравитационных волн наблюдается в северных морях при таянии льдов, когда на поверхности солёной воды образуется лужа не смешивающейся с ней более лёгкой пресной. Этот феномен вызывает интерес [3-6] в связи с предсказанием существования аналогичного эффекта в диапазоне капиллярных волн. Наличие на одной из границ электрического заряда приводит к смещению области реализации эффекта в сторону реальных значений коэффициента поверхностного натяжения [3, 7]. Влияние на эффект наличия твёрдого дна, хотя физически и очевидно, до сих пор не исследовано.
1. ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ
Пусть имеются два слоя идеальных несжимаемых несмешиваемых жидкостей, из них верхний - диэлектрик с диэлектрической проницаемостью £, характеризуется плотностью р1 и толщиной h1, а аналогичные характеристики нижнего идеального проводника, лежащего на твёрдом дне слоя, - р2, h2, причем р2 > р1. Введём декартову систему координат, ось OZ которой направ-
лена вверх против силы тяжести (g 11 —е , а ez -
орт декартовой системы координат), а плоскость z = 0 совпадает с границей раздела слоёв в невозмущённом состоянии. При этом поверхность дна описывается уравнением z = -h2; верхний слой занимает пространство 0 < z < h1, а нижний - h2 < z < 0. На границе раздела жидкостей равномерно распределен электрический заряд, создающий в области пространства z > 0 электрическое поле с напряженностью E*.
Проанализируем взаимодействие капиллярно-гравитационных волн, существующих в описанной системе на свободной поверхности и границе раздела сред, которые характеризуются коэффициентами поверхностного натяжения а1 и с2 соответственно.
Уравнения, описывающие форму возмущённых волновым движением свободной поверхности верхней жидкости и границы раздела слоёв, запишем в виде
F1( х, z, t) = z — h1 — £i( x, t) = 0; Fj(x, z, t) = z — ^( x, t) = 0,
где ^1(x, t) и ^2(x, t) - малые отклонения от невозмущённых уровней z = h1 и z = 0 соответственно (N << hi, 1Ы << h2 ), амплитуда которых
(|^i | ~ |^|) принимается в качестве малого параметра задачи.
Математическая формулировка линеаризованной задачи имеет вид
Эи ,■ ( P,)
= —V j
dt 1Р j J
+ g ; divUj = 0; (j = 1; 2); АФ = 0;
Р j’
z = h1+^1(x, t):
dF
dt
z = -hi- (П2, U2) = 0;
+ (U1, V) F = 0; P — Pa — Pai + Ph = 0;
© Григорьев А.И., Фёдоров М.С., Электронная обработка материалов, 2013, 49(2), 48-51.
49
Рис. 1. Зависимости отношения амплитуд Y от толщины нижнего слоя h2 и электрического параметра W: (а) - для первого корня дисперсионного уравнения (для которого реализуется режим «однородной» жидкости); (б) - для второго корня дисперсионного уравнения (для которого реализуется режим «мертвой воды»), рассчитанные при р1 = 1; р2 = 1,02; g = 1; o1 = 60; о2 = 1; h1 = 1; k = 2; e = 80.
Рис. 2. Зависимости отношения амплитуд y от волнового числа k и толщины верхнего слоя жидкости h1: (а) - для первого корня дисперсионного уравнения (для которого реализуется режим «однородной» жидкости); (б) - для второго корня дисперсионного уравнения (для которого реализуется режим «мертвой воды»); (в) - то же, что на рис. 2б, но приведенное в большем масштабе, рассчитанные при р1 = 1; р2 = 1,02; g = 1; о1 = 60; о2 = 1; h2 = 1; W = 3; e = 80.
Рис. 3. Зависимости отношения амплитуд y от плотности нижней жидкости р2 и её толщины h2: (а) - для первого корня дисперсионного уравнения (для которого реализуется режим «однородной» жидкости); (б) - для второго корня дисперсионного уравнения (для которого реализуется режим «мертвой воды»), рассчитанные при р1 = 1; g = 1; O1 = 60; O2 = 1; h1 = 1; k = 2; W = 3; e = 80.
50
Рис. 4. Зависимости отношения амплитуд y от величины коэффициента поверхностного натяжения границы раздела жидкостей о2 и толщины нижнего слоя жидкости h2: (а) - для первого корня дисперсионного уравнения (для которого реализуется режим «однородной» жидкости); (б) - для второго корня дисперсионного уравнения (для которого реализуется режим «мертвой воды»), рассчитанные при р1 = 1; р2 = 1,02; g = 1; o1 = 60; h1 = 1; k = 2; W = 3; e = 80.
Рис. 5. Зависимости отношения амплитуд y от плотности нижней жидкости р2 и толщины слоя верхней жидкости h1: (а) - для первого корня дисперсионного уравнения (для которого реализуется режим «однородной» жидкости); (б) - для второго корня дисперсионного уравнения (для которого реализуется режим «мертвой воды»), рассчитанные при р1 = 1; g = 1; o1 = 60; о2 = 1; h2 = 1; k = 2; W = 3; e = 80.
dF
z = ^ “df + (U2> V) F2 = 0 (П1, U1) = - (П1, U2);
P2 — P — PO + P2 = 0; Ф = Const; z ^ ^:
21 O22E
VO ^ -E.; t = 0:
^1(x, t) = Z cos(k1x); 3t^1(x, t) = 0;
£2(x, t) = ^2 cos(k2x); d£2(x, t) = 0, где Uj - поля скоростей в верхней и нижней жидкостях; Ф - электрический потенциал; п. - вектора нормали к границам раздела; Pj - гидродинамические давления в слое верхней и нижней жидкости; Pa - давление атмосферное; P. - дав-
jE
Здесь и далее аббревиатура (k.c.) обозначает слагаемые, комплексно сопряжённые к выписанным. Подстановка в систему проекта решения в виде 8(t) = dexp(i®t), n(t) = cexp(i®t) позволяет получить выражение для отношения амплитуд волн на различных поверхностях раздела:
(
^ - Y / О) -5(t) 1 1
kW (s-1)2 s [s + th (kh1)]
+ gp1 — k 4------—
, , 00 k th (kh1) 1
P1
kW (s — 1)
0 +
k sh (kh1) 1 s [s + th (kh1)] ch (kh1) (1 = 1; 2);
W - sE*2/4n,
ление электрического поля; P = 0 .. divn ■ -
J J
капиллярные давления на свободной поверхности и границе раздела сред соответственно.
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Решение сформулированной задачи в первом порядке малости по безразмерной амплитуде не представляет трудностей и может быть найдено по аналогии с [3-6]. Выражения для возмущений ^ запишем в виде
^1 = 5(t)exp(ikx)+(k.c.); ^2 = n(t)exp(ikx)+(k.c.).
где индекс j нумерует корни дисперсионного уравнения, которое имеет биквадратный вид:
4 2 A3
о + —• о + — = 0;
A =
1 k2
(
P2
- + -
P1
P1
- + -
P2
k 2sh (kh1) kth (kh1) V kth (kh1) kth (kh2)
A2 =
3 k2W (s — 1)2 "|
gkp1 + k 01 —
v
P1____+ p2
+
P1
th (kh1)
s [s + th (kh1 }]^V th (kh1) th (kh2)
k 2W [1 + s th ( k/?1)] s [s + th (kh1)]
gk (p1 — P2 ) — k 3°2 +-
+
51
A3 =-
Г , ,з k2W(e -1)2 ^
gkpi - k ci +
e [e + th (kh1)]
gk (Pi- P2)- k 3°2 + :
k 2W [i + eth (kh1)]
k 2W (e -1)
e [e + th (kh1)]
72
[e + th (kh1)] ch (kh1)
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЁТОВ
В рассматриваемой системе могут реализовываться два режима волновых движений, соответствующих двум корням - (о2 (k) и О (k) биквадратного дисперсионного уравнения:
о2 =
2
о2 =-
A ( A2 + VA2 - 4 A1A3 ) ’ A ( A2 ~4 A2 - 4 A1A3 ) .
В одном из режимов амплитуда внутренней волны (волны на границе стратификации) n(t) меньше амплитуды 5(t) внешней волны (на свободной поверхности) примерно в exp(-kh1) раз, то есть волновое возмущение экспоненциально затухает по мере увеличения глубины, как в однородной жидкости. Второй режим, при котором амплитуда внутренней волны n(t) существенно превышает амплитуду внешней 5(t), характерен именно для стратифицированной жидкости. Волновое движение в этом режиме и получило название эффекта «мёртвой воды».
На рис. 1а и б приведены зависимости отношения амплитуд у- от глубины нижнего слоя жидкости h2 и параметра W в двух описанных режимах волнового движения. Видно, что как в режиме «мёртвой воды», так и в режиме «однородной» жидкости отношение амплитуд заметно зависит от глубины h2 только при малых h2, и эта зависимость приходится на длинные волны (малые значения волнового числа). От параметра W отношение амплитуд у- практически не зависит.
Из рис. 2, на котором приведена зависимость отношения амплитуд у- от толщины верхнего слоя h1 и волнового числа k, видно, что в режиме «однородной» жидкости заметно зависит от h1 и k только при малых их величинах, а в режиме «мёртвой воды» сильная зависимость от h1 и k имеет место при больших h1 и k. На рис. 2в приведена та же зависимость, что и на рис. 2б, но в более крупном масштабе.
Из рис. 3 видно, что отношение амплитуд у-убывает с ростом плотности нижней среды р2 в режиме «однородной» жидкости и увеличивается в режиме «мёртвой воды».
На рис. 4 приведены зависимости отношения амплитуд волн у- от толщины нижнего слоя h2 и
+
коэффициента поверхностного натяжения поверхности раздела с2. Несложно видеть, что в режиме «однородной» жидкости зависимость от с2 отсутствует, а с уменьшением толщины h2 отношение амплитуд уменьшается. В режиме «мёртвой воды» отношение амплитуд растет с уменьшением и h2, и с2.
На рис. 5 приведены зависимости отношения амплитуд волн у- от толщины верхнего слоя h1 и плотности нижней жидкости р2. Зависимости от плотности жидкости оказываются слабыми в обоих случаях, а зависимости от толщины слоя верхней жидкости - противоположными.
Расчеты показывают, что наличие твердого дна усиливает проявление эффекта «мёртвой воды».
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 09-01-00084.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сретенский Л.Н. О волнах на поверхности раздела двух жидкостей с применением к явлению «мертвой воды». Журнал геофизики. 1934, 4(3), 332-367.
2. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 815 с.
3. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Федоров М.С. Капиллярный аналог эффекта «мертвой воды» в стратифицированной жидкости с заряженной границей раздела сред. ЖТФ. 2010, 80(7), 8-17.
4. Григорьев А.И., Федоров М.С., Ширяева С.О. Вол-
новое движение в поле силы тяжести на свободной поверхности и на границе стратификации слоисто-неоднородной жидкости. Нелинейный анализ. Изв. РАН. МЖГ. 2010, 74(5), 130-140.
5. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Фёдоров М.С. Взаимодействие гравитационных волн, бегущих по различным поверхностям раздела в слоистонеоднородной жидкости. Электронный журнал «Исследовано в России». 2010, (20), 260-268. http://zhurnal. ape. relarn. ru/ articles/2010/020.pdf.
6. Григорьев А.И., Фёдоров М.С., Ширяева С.О. Нелинейный анализ особенностей взаимодействия капиллярных волн конечной амплитуды в слоисто-неоднородной жидкости. ЖТФ. 2011, 81(11), 31-39.
7. Григорьев А.И., Фёдоров М.С., Ширяева С.О.
Влияние электрического поля на капиллярный эффект «мёртвой воды». ЖТФ. 2012, 82(6), 9-19.
Поступила 12.03.12
Summary
In analytical asymptotical procedure of first power of smallness the regulations of realization of a waves motion are studied in twolayered liquids stratified with regard to their physico-chemical properties with a free surface and hard bottom. It is shown that existence of hard bottom enhances the effect.
