Обобщенно-уединенные волны в модели предварительно деформированного нелинейного композита Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958

В. Я. Томашпольский

ОБОБЩЕННО-УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ В МОДЕЛИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ДЕФОРМИРОВАННОГО НЕЛИНЕЙНОГО КОМПОЗИТА

Рассмотрены локализованные волны в модели упругого композита, находящегося в предварительно деформированном состоянии. Показано, что в отличие от случая композита без предварительных деформаций, в рассматриваемом случае классические уединенные волны (солитоны) — решения, ответвляющиеся от нулевого решения (состояния покоя), замещаются обобщенно-уединенными волнами, которые являются продуктом нелинейного резонанса солито-на и периодической волны конечного периода. Показано также, что наличие обобщенно-уединенных волн приводит к дисперсионному распаду локализованных возмущений за счет излучения резонансной волны.

В последнее время в теории упругости и ее приложениях сохраняется устойчивый интерес к так называемым композиционным материалам [1]. Для изучения крупномасштабных процессов (с масштабом, сильно превосходящим размер неоднородностей в таких материалах) используется метод осреднений основных уравнений модели [2, 3]. При этом свойства композита, описываемого осредненными уравнениями, обнаруживают существенные различия со свойствами составляющих материал компонентов. В частности, типичным является случай возникновения дисперсии в композите, при том, что в каждом из упругих материалов, составляющих композит, дисперсии нет. Таким образом, композит, состоящий из упругих материалов с нелинейным уравнением состояния, представляет собой диспергирующую среду, в которой могут распространяться волны, являющиеся результатом взаимодействия нелинейных и дисперсионных эффектов, в том числе солитоны — классические уединенные волны.

В настоящей работе рассматривается модель композита, предложенная в работе [4]. В этой модели существует два семейства собственных линейных мод, каждое из которых отвечает одной из ветвей дисперсионного уравнения для линейных волн. В работе [5] эти семейства названы быстрым и медленным в соответствии с фазовыми скоростями бесконечно длинных волн, характеризующих каждую ветвь дисперсионного соотношения: для быстрого семейства эта скорость

больше, чем для медленного. Возникает линейный резонанс длинной быстрой волны и моды медленного семейства с ненулевым волновым числом, что позволяет предположить отсутствие классических уединенных волн — решений, ответвляющихся от нулевого решения, в быстром семействе. При отсутствии предварительных деформаций в композите этот резонанс, однако, на нелинейном уровне не сохраняется, и рассматриваемая модель допускает существование классических уединенных волн, соответствующих как медленному, так и быстрому семейству.

В настоящей работе показано существование семейств уединенных волн — решений, ответвляющихся от нулевого решения (состояния покоя) системы. При этом, в отличие от случая отсутствия предварительных деформаций, в быстром семействе возникают обобщенно-уединенные волны, которые являются продуктом нелинейного резонанса классической уединенной волны и собственной моды, отвечающей резонансному волновому числу.

Постановка задачи. Рассмотрим плоские волны в слабо анизотропной, слабо неоднородной, не ограниченной во всех направлениях упругой среде с постоянной плотностью р0. С этой средой связана декартова лагранжева система координат хк, к = 1, 2, 3. В результате деформации точка с координатами хк подвергается смещению: х'к = хк + тк(х^,1), к, ] = 1, 2, 3. Распространение плоской волны характеризуется зависимостью градиентов перемещений п^ = дю^/дх^ и компонент тензора деформаций е^ = (1/2)(п^ + п^ + п^) только от одной пространственной переменной — координаты х = х3, —то < х < +то, и от времени t. Деформации е1Ь £12 и е22 могут быть ненулевыми постоянными, при этом поворотом системы координат в плоскости волны можно получить равенство е12 = 0. Кроме того, будем полагать, что е33 << е3^, j = 3, т.е. рассмотрим квазипоперечные волны, для которых существенно изменение только сдвиговых деформаций е13, е23 и градиентов перемещений п13, п23.

Упругий потенциал среды задается своим разложением по градиентам перемещений. Ограничимся в этом разложении главными членами [6]:

1 ( 2 2 \ 1 ( 2 2 \ 1 ( 2 2 \2 Ф = 2 Мп13 + п23) + 2 9\п23 — п1з) — 4 кКз + п!2з) ; (1)

здесь константа / определяется через упругие модули среды и постоянные деформации е11 и е22 в плоскости фронта волны; д > 0 — коэффициент анизотропии, вызванной наличием предварительных деформаций е11 и е22; коэффициент к выражается через упругие модули среды [6].

Уравнения для величин и13 и щ23, определяемые упругим потенциалом Ф, являются гиперболическими:

д 2щ з = ( \, . = 1,2. (2)

дЬ2 дж2 \ ди,-3 )' '

Возникновение дисперсионных членов в этих уравнениях возможно при переходе к описанию упругой среды с учетом неоднородно-стей [3]. В настоящей работе в качестве таких неоднородностей будем рассматривать включенные в упругую матрицу упругие стержни, параллельные оси ж и однородно распределенные в среде. В этом случае уравнения (2) модифицируются за счет слагаемых, отвечающих изгиб-ной энергии стержней:

одЧз = (дФ ^ _ т д^из г = 12 (3)

дЬ2 дж2\ дПг3) дж4 ' ' '

где т > 0 — постоянная, определяемая жесткостью стержня на изгиб.

В настоящей работе рассмотрим случай предварительно деформированного композита: при ж ^ имеем и¿3 ^ п0{, г = 1 ,2, где константы и01 и и02 характеризуют предварительную деформацию и13 и и23 соответственно.

После подстановки в уравнения (3) щ + вместо иа, где щ — возмущение и^3 на фоне и0{, г = 1 ,2, введения автомодельной переменной £ = ж _ УЬ, где V — постоянная скорость распространения волны, и однократного интегрирования с использованием условий убывания на бесконечности получим

т„ 2 К 2 Т^2\ К 3 3К 2 К 2 —щ = ^--щ--и0, _ У щ--щ--иоЩ--щи-_

Ро \\ Ро Ро ' ) Ро Ро Ро 7

2К К 2 2к \ / / \

----щ^2--Uоi щ , г,] = 1 ,2 , г = ]; (4)

Ро Ро Ро )

здесь = (/ _ д)/ро; ^2 = (/ + д)/ро; точкой обозначается дифференцирование по £.

При отсутствии предварительной деформации (т.е. при = 0) эти сравнения имеют солитонные решения [5].

Линейные резонансы. Для дальнейшего анализа приведем некоторые свойства дисперсионного соотношения системы (3).

Дисперсионное соотношение, получаемое в результате подстановки в уравнения (3) выражений щ = А1 ехр(г(кж _ шЬ)) и щ2 = = А2 ехр(г(кж _ шЬ)), имеет вид

•2 т^4 V- к2)( ш2 _ тк4 _ v+ к2) =0, (5)

(и2 - mk4 - v- А (ш2 - mk4 - v+ k2>| V Po J\p0 J

где

1/ 4К( 2 2 ч

v± = - + ^2--(u0l + u02j ±

Po

i-

2к „ п Л2 8к

±4/ + ß2---(u0i + ) - 4^1 ß2 + —(^1^02 + ^2^0i) =

Po J P0

1 f - 2K(u21 + u02) ±\jK2(u01 + U02)2 - 2Kg(u02 - U01) + g2^

(заметим, что подкоренное выражение неотрицательно при любых значениях и01, И02).

При наличии изотропии (при д1 = д2 = Д, 9 = 0) получим

3к I 2 | 2 \ К / 2,2 \

= Д--(и01 + > = Д--(И01 + и(в) ■

Р0 Ро

Дисперсионное соотношение имеет две ветви: ш1)2 = = к у/v± + тр-1к2. Из выражений (6) следует, что величины v- и v+ при различных значениях и01, и02 могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Легко видеть, что V— > 0, если значения и01, и02 удовлетворяют неравенствам

2 + 2 6 2 _ 2 > /2 + 3д2 .

и01 + и02 6 2к' ^02 и01 > 6^9 .

если второе неравенство не выполнено, то требуется выполнение неравенства _

2 + 2 6 2/ - у//2 + 392 - 69К2 - <)

и01 + и02 6 3к ■

Будем рассматривать только случай V— > 0.

Из соотношения (5) видно, что кривые дисперсионного соотношения симметричны по отношению к осям ш и к, поэтому достаточно рассмотреть случай ш > 0, к > 0.

Взаимное расположение быстрой (для v+) и медленной (для V—) ветвей дисперсионного соотношения показано на рис. 1.

В настоящей работе будем рассматривать волны, движущиеся со скоростями, близкими к Положим V2 = у± — v±v, где V > 0 — малый безразмерный параметр.

Из рис. 1 видно, что при фиксированном значении фазовой скорости V прямая ш = ^ на положительной полуоси к имеет не более

двух точек пересечения с обеими ветвями. В случае V2 = V— — V— V, где V > 0, прямая и = ^ не пересекает ветвей при к > 0; следовательно, решением системы будет простая уединенная волна. В случае V2 = v+ — v+v, V > 0, прямая и = ^ при к > 0 пересекает медленную ветвь; следовательно, имеет место резонанс длинной мед-

ленной и короткой быстрой РисЛ' Взаимное расположение ветвей

дисперсионного соотношения ш = ш(к):

волн. 1 — быстрая ветвь, 2 — медленная ветвь,

Бегущие волны описы- 3 — ш = кУ ваются динамической системой, эквивалентной уравнениям (4):

щ = и3, U 2 = и4,

Uз = ai(v±) ui — ßU2 + Fi, U4 = «2(v±) U2 — ßUi + F2,

(7)

где ß = 2кт 1 u01u02; a(V2), i = 1, 2, — функции, зависящие от ско-

рости распространения волн:

/т/2\ Ро( 3к 2 к 2 т/2

ai(V ) = — [ßi--Uoi--U0j — V

m\ po Po 0

i,j = 1, 2 i = j;

нелинейные функции Fi, i = 1, 2, имеют вид

2

2к

Представим систему (7) в матричном виде:

dw л/ ^ ^, — = A(v± )w + F (v,w), d4

где w = (ui, U2, U33, U4)т, (0, 0, Fi, F2)т,

A V2

0 0 1 0

0 0 0 1

ai(V 2) —ß 0 0

—ß «2(V 2) 0 0

к

vv±po к 3 3к 2 к

Fi = -Ui--U3--UoiU2--UiU~--U00 UiUj--UoiUj

m mm m 0 m m 0

2

Рис.2. Изменение собственных значений матрицы Л(У2) в комплексной плоскости спектрального параметра Л при прохождении V через нуль:

а — для V2 = v- — v- V, б — для V2 = v+ — v+v

Характеристическое уравнение | A(V2) — XI| = 0 имеет следующий

вид:

X4 — X2(аг(V2) + а^V2)) + ах{V2) а2(V2) — ß2 = 0.

(8)

Это же уравнение можно получить из дисперсионного соотношения заменой Л = гк, V = &/к. Из соотношения (5) следует, что характеристическое уравнение (8) принимает вид

X2 — m ("+ — V2)) (X2 — Р0 (V- — V2)) = 0.

Ро

m

(9)

Расположение собственных значений в комплексной плоскости спектрального параметра Л при прохождении V через нуль изображено на рис. 2.

При V2 = v± на мнимой оси лежат следующие корни характеристического уравнения (9): при V2 = v- — нуль второго порядка; при V2 = v+ — нуль второго порядка и два ненулевых значения Л = ±гд, где _

Ч = Л/ Ро т-1 — V-).

Солитонные решения. При V2 = v- — V имеем простую бифуркацию, для которой на рис. 2, а представлено изменение собственных значений матрицы Л(у2) (корней уравнения (9)), перемещающихся с действительной оси на мнимую при прохождении V через нуль. Положим т = т0 + т1, где т0 £ Е0, т1 £ Е1, Е0 и Е1 — соответственно

центральное и гиперболическое подпространства фазового пространства (7). Согласно теореме о центральном многообразии [7], для достаточно малых V и т0 имеем

т>1 = Ф(^то),

где

Ф^, w0) = 0(v|w01, |w0|^. Представим далее w0 в виде

wo = ао ^0 + a

(10)

где и — собственный и присоединенный векторы матрицы A(v-), A(v-)^0 = 0, A(v-= ^0,

/

^0 =

V

ß

ai(v-) 0 0

<Pi =

/

0

ß

V ai(v-) /

Для достаточно малых V и а = {а0, ах}т, таким образом, динамическая система четвертого порядка (7) сводится к системе второго порядка, которая в переменных а0 и а1 имеет вид

а о = а1,

VV-Р0 2 2ч 2 (11)

(3,1 =-ао--(^01 в + ио2«1^—)) а2 + V ао + а0) + О (а-2).

m

m

Система (11) получена скалярным умножением системы (7) на присоединенный и собственный векторы матрицы )т: Л(v-)т = 0, )т = . Эти векторы задаются соотношениями

/

^0 =

ai(v-)2 + ß2

ß

ai(v-)

\

V

/

^i =

ai(v- )2 + ß2

/

0

\

ß

V ai(v-) у

Векторы г = 0,1, нормированы так, что ■фj) = , г,^ = 0,1; здесь — символ Кронекера,(-, ■) — обычное скалярное произведение в С4. Проведем в системе (11) следующее масштабное преобразование:

а0 =

VV-P0

2K(u0iß + U02ai (v-))

z =

/

VV-P0

m

e

0

1

1

0

0

0

Тогда уравнения системы (11) после исключения а1 представим в виде

3

Ъ0 = Ь> — 3 Ь2 + O(v), (12)

где штрихом обозначено дифференцирование по С• В главном приближении по V для V > 0 уравнение (12) имеет решение

bo = ch-2(Q + O(v). (13)

Следовательно,

а0 = ^--¡ТТ-1—ТГсЬ оА/-ч + ОV ), а1 = аО-

2к(ио1в + ^а^-)) \2 V т )

(14)

Более того, оказывается, что для малых V решение (14) является точным для полной системы (11), оно четно и экспоненциально убывает на обеих бесконечностях.

Обозначим через а* = (аО, аЦ)т главную часть по V в решении (14). Тогда для v0 > 0 и достаточно малых V Е (0, существует семейство солитонных решений а = (а0,а1)т полной системы (11). Более того, верна следующая оценка:

|а — а*| 6 c0v2 ехр^—а0\[уу_рот~1, (15)

где с0 зависит только от v0 и некоторого а0 < 1.

Докажем это утверждение. Пусть Ъо — малое нелинейное возмущение решения Ъо = сИ-2(£/2) в уравнении (12). Уравнение (12) может быть представлено в виде

МЪ0 = VN(Ъо, V), (16)

где

С2

М = ** — 1 + 3Ъо,

N(Ъо, V) — четная функция для четных Ъо (в соответствии со свойством обратимости исходных уравнений), N(Ъо, V) 6 с, константа с не зависит от V для V Е (0,

В соответствии с теоремой о неявной функции уравнение (16) имеет единственное решение достаточно малой амплитуды, если оператор М является обратимым в подходящих функциональных пространствах.

Определим пространства экспоненциально убывающих функций С, ] = 0,1, 2, а < 1, следующим образом:

Ci = { f е Cj(R) , sup|exp(a|C|) f(m)(Z) | < m 6 j}

Введем обозначения X С С2 и У С С0 для банаховых пространств четных функций с нормами соответственно ||-||х и ||-||у. Докажем, что уравнение

ИЬ0 = ¡, (17)

где Ь0 Е X и f Е У, имеет единственное решение. Уравнение (17) имеет вид

Ь0 - Ь0 + зЬ0Ь0 = f. (18)

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (18), не имеет фундаментальной системы решений в функциональном пространстве X: решение 71 = сгЬ0 является нечетным решением (константа о1 определяется из условия 71(0) = 1), а линейно независимое решение 72 = о271 + о37^ (константы о2 и о3 определяются из условий 72(0) = 1, 72(0) = 0) является четным, однако возрастающим как ехр(|£|) на обеих бесконечностях. Отсутствие фундаментальной системы решений в X означает, что решение уравнения (18) единственно, если оно существует. Существование решения неоднородного уравнения (18) определяется по формуле

с С

7 = 72 У 7^С + 71 / 72^С. (19)

С о

Оценки для Ц7||х и ||f ||у, из которых непосредственно следует оценка (15), легко получаем из формулы (19).

Выражение для главной части солитонного решения в физических переменных находим по формуле (10):

и1 = ва0, и2 = а1(^_) а0.

Обобщенно-уединенные волны. При V2 = — V имеем бифуркацию, соответствующую резонансу длинной медленной и короткой быстрой волн, для которой на рис. 2, б представлено изменение собственных значений матрицы А(У2) (корней уравнения (9)),

перемещающихся с действительной оси на мнимую при прохождении V через нуль. Как уже было отмечено, в рассматриваемом случае все корни уравнения (9) мнимые: нуль второго порядка и ±гч, где Ч = у/рот-V—). В системе (7) произведем замену переменных

w = а0(е) P0 + ai(e) Pi + а+(е) P+ + а-(£) P-,

(20)

где а— = а+, Лр0 = 0, Лр1 = р0, Лр+ = гдр+, Лр_ = —гдр_ (чертой обозначено комплексное сопряжение). Собственные и присоединенный векторы матрицы ) задаются формулами

P0 =

ß

ai(v+)

V

0 0

Pi =

/

0

0

ß

V ai (v+) у

P+ =

( ai(v+) ^

—ß iqai(v+)

V —У

P- = P+.

Вектор-функция {a0, ai,a+, a-}т удовлетворяет уравнениям

а0 = ai + (F, —0}, ai = (F, —i}, а + = iqa+ + (F, -0+}, а _ = — iqa- + (F, —-}.

(21)

Система (21) получена скалярным умножением системы (7) на собственные и присоединенный векторы матрицы Л^+)т: Л(v+ )т = —Л(v+ )т = . Эти векторы задаются соотношениями

/ в \ / 0 \

1

—0 =

1

ai(v+ )2 + ß2

ai(v+) 0 0

, —i =

ai(v+ )2 + ß2

0

ß

V ai (v+) )

—+ =

2q( ai (v+)2 + ß2)

( qai(v+) ^

—qß

iai(v+)

V —iß У

, —- = —+.

1

Эти векторы нормированы так, что —) = ôj, (p+, —) = (—+, p) = 0, (p+, ) = 1, (p+, ) = 0, = 0,1, ôj — символ Кронекера. Для упрощения преобразований представим вектор-функцию

F(ao, ai, a+, a_) в виде

F(ao, ai, a+, a_) = Fs(ao, ai) + Fz(ao, ai, a+, a_), Fs = (0, 0, Fis, F2s)т,

где

Po д K й3 3 3к fl2 2 K д 2/ \ 2

Fis = -в ao--в ao--UoiP a2--P«i(v+ ) ao-

m m m m

-—uo2«i (v+) в ao - — uoi«2 (v+) a2, mm

F2s = —+P-ai(v+) ao--«3(v+ ) ao--uo2«2(v+ ) a2-

m mm

KK / \ /о2 2 2к . 2 /i 2 2

--ai(v+ ) в ao--uoiai(v+) вao--uoie a0.

mm m

Вектор-функция Fz(ao,ai,a+ ,a_) включает в себя все остальные

слагаемые, содержащие a±, причем Fz(ao, ai, 0, 0) = 0. Тогда получим

(F, -o) = 0,

(F, -i) = —ao - — (и^в + uo2«i(v+ )) ao-mm

K(ai(v+ )2 + в2) , \

4 —-ao + (Fz, -i),

m

J2

(F, > = --(вU02 - ai(v+) uoi) + (Fz, ^+>,

(F, = -(F, >. Система (21), таким образом, имеет вид a o = ai,

• VV+ Po Зк , „ 2

ai =-ao--(uoie + U02«i(v+)) ao-

m m

-ao + (Fz, (22)

m 2

i ^bOio / 1 \ \ i \

a+ = iqa+ + --(вUo2 - a(v+ ) uoi) + (Fz, >,

2qm

2

iKaoy i \ \ i \

ai- = -iqa- - --(вUo2 - a(v+) uoi) + (Fz, ^->.

2qm

Преимущество указанной замены координат состоит в декомпозиции неизвестной вектор-функции т на длинноволновую (а0, а1) и коротковолновую (а+, а_) компоненты. В связи с этим естественно произвести в системе (22) следующее масштабное преобразование:

VV+P0 , 2 2, л P0t

ao = а ^ д< ^ ^ bo, a± = v v+ b±, Z = W _

2к(^01в + ^«1^+)) ' + V т

Тогда уравнения системы (22) после исключения а1 имеют вид

з

Ь0 = bo - 2b0 + O(v),

= ±iqb± ± Po (вU02 - a1(v+ )u01) b2 + o(v) 8Kqm(ßu01 + a1(v+)u02) 0

В низшем порядке по v для v > 0 система (22) имеет решение

_VV+P0__1 /vv+ Р0Л , ^ ^ (23)

a0 = ТТ7—ттг-1—v\-ch öV-ч + O(v ). (23)

2к(и01в + U02«1 (v+)) \2\ m )

Отдельно следует рассмотреть изотропный случай, так как при = ^2 = ^ имеем

^01в + ^02«1 = 0.

В этом случае первые два уравнения системы (22) после исключения а1 представим в виде

VV+ P0 K(a1(v+)2 + в 2) 3,/р /\ (24)

®0 =-a-0--а0 + {Fz, ф1). (24)

Проведем в уравнении (24) масштабное преобразование:

2p0vv+ /vv+p0 a0 V K(a2(v+)+ в2)b0' Z = V ^^•

k(«2(V+ ) + в2) ' V m

Тогда уравнение (24) будет иметь вид

b00 = b0 - 2b3 + O(v)• (25)

В главном приближении по v для v > 0 уравнение (25) имеет решение

b- = ch-1(Z) + O(v).

Следовательно,

I 2povv+

ao = y K(a?(,+)+e2)ch w -m-t) + O(v).

Для определения асимптотики а± на бесконечности рассмотрим далее локальную структуру решения в спектральной области. Опуская члены высшего порядка, представим последнюю пару уравнений (22) в виде

La+ = ca0, L а- = — са^, (26)

где

т д .

С = (eU02 — ai(v+) U01).

2qm

Используя преобразование Фурье

сю 1 f

а± = — а± exp(—ik£) , 2п J

— сю

из уравнений (23) и (26) получим

±1

k Т q

а± = --¡cik + c2k3) sh-1( ), (27)

\сзу v у

где о1, о2 и о3 — некоторые константы. Здесь использовано соотношение

с1Г4х -I1к + — к3| sh_1| —1.

(I k + 1 кЛ sh-if kn,

V3 12 У V 2 J

Найдем решение системы (22), выражающееся четными функциями, что совместимо со свойством обратимости. Рассматриваемое решение имеет главную часть (23) и одинаковую асимптотику на обеих бесконечностях. Имеем

а± =

a±e

dk,

(28)

г=г1иг2

где контур интегрирования Г1 проходит над полюсами а± на вещественной оси, а контур Г2 — ниже этих полюсов. Контуры Г1 и Г2 дают вклады в асимптотики соответственно на минус- и плюс-бесконечностях. Из выражений (27) и (28) следует, что в низшем порядке по V при £ ^ имеем

a+ ^ C exp ( —

а- ^ C exp ( —

qn C3\/V qn

+

(29)

где С — некоторая константа, точное значение которой может быть определено только при анализе полной системы (22). Из равенства (20) получим

ui = ß a0 + ai(v+ )(a+ + a-), u2 = ai(v+) a0 — ß (a+ + a-).

(30)

2

Следовательно, выражения (30) определяют экспоненциально малую осциллирующую компоненту решения (23). Однако при умеренных амплитудах волны (V ~ 1) амплитуда этой компоненты не будет малой величиной.

Заключение. Рассмотрены вопросы существования стационарных локализованных квазипоперечных волновых структур в нелинейной упругой среде с учетом эффектов дисперсии. Показано, что в окрестности нулевого решения (состояния покоя) в предварительно деформированной среде уединенные волны существуют не для всех диапазонов значений скорости распространения волны, что связано с замещением уединенных волн нелокализованными волновыми структурами-обобщенно-уединенными волнами. В этом состоит отличие рассмотренного случая от случая, когда предварительные деформации отсутствуют и для обеих ветвей дисперсионного соотношения существуют уединенные волны — решения, ответвляющиеся от нулевого решения (состояния покоя).

Наличие обобщенно-уединенных волн среди решений типа бегущей волны свидетельствует о ряде интересных особенностей распада локализованных возмущений в рассматриваемой среде. В частности, при замещении уединенной волны обобщенно-уединенной достаточно общее локализованное возмущение не подвержено более распаду на солитоны — уединенные волны, но распадается за счет излучения резонансной периодической волны [8]. Таким образом, в результате эволюции локализованного возмущения в упругой среде могут возникать коротковолновые структуры.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Димитриенко Ю. М. Механика композиционных материалов при высоких температурах. - М.: Машиностроение, 1997.

2. Бахвалов Н. С., Э г л и т М. Э. Вариационные свойства осредненных уравнений периодических сред // Труды МИАН. - 1990. - Т. 192. - С. 5-19.

3. Бахвалов Н. С., Э г л и т М. Э. Эффективные уравнения с дисперсией для распространения волн в периодических средах // Докл. РАН. - 2000. - Т. 370. -№ 1.- С. 7-10.

4. Гвоздовская Н. И., Куликовский А. Г. Квазипоперечные ударные волны в упругих средах с внутренней структурой // Прикладная математика и теоретическая физика. - 1999. - Т. 40. - № 2. - С. 174-180.

5. Bakholdin I., Il'ichev A., Tomashpol'skii V. Stability, instability and interaction of solitary pulses in a composite medium // European Journal of Mechanics. A/Solids. - 2002. - № 21. - P. 333-346.

6. Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. Нелинейные волны в упругих средах. - М.: Московский лицей, 1998.

7. I o o s s G., Adelmeyer M. Topics on Bifurcation Theory and Applications. -Singapore: World Scientific, 1992.

8. Бахолдин И. Б., Томашпольский В. Я. Уединенные волны в модели предварительно деформированного нелинейного композита // Дифференциальные уравнения. - 2004. - T. 40. - № 4. - C. 527-538.

Статья поступила

Виктор Яковлевич Томашпольский родился в 1972 г., окончил в 1994 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Старший преподаватель кафедры "Высшая математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специализируется в области теории нелинейных волн в упругих средах.

V.Ya. Tomashpolsky (b. 1972) graduated from the Moscow State University n.a. M.V. Lomonosov. Senior teacher of "Higher Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Specializes in theory of nonlinear waves in flexible media.