CC BY
29
УДК 539.3
О.Б, Наймарк Институт механики сплошных сред УрО РАН
О НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКЕ КВАЗИ-ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ (ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ)
Abstract
Nonlinear dynamics of crack propagation is vhc ¡subject of the grow ing interest during last decade due to the experimental observation of dynamic stochasticity effects and the discovery of the crack behavior that is in the strong contradiction with the traditional view in the fracture mechanics. Experiments showed the existence of the limited velocity ) ', -- 0.4Г.
(V,, is the Rayleigh wave speed) for the steady-state crack propagation and the threshold character of the transition to the branching regime with the stochastic dynamic*. The established experimental data revealed some unresolved puzzles from point of view of tne traditional crack mechanics. The main question is concerning the nature of ph\sical mechanisms controlling the crack dynamics including the branching, stochastic dynamics and the crack arrest. Explanation of the limiting steady-state crack velocity and the transition to the branching regime was proposed by authors due to the experimental and theoretical study of the collective behavior in the microcracks ensemble at the crack tip area.
Нелинейная динамика разрушения вызываем нарастающий интерес з ;ечение последнего десятилетия вследствие появления новых экспериментальных данных, обнаруживших несоответствие поведения трещин с предсказаниями классической теории. Эксперименты показали существование предельных скоростей устойчивого прямолинейного распространения трещин F - 0.4) л (F* - скорость волны Редея! и пороговый характер перехода к режиму ветвления с последующей сто.часгическоГ) динамикой [1-3]. Представляется проблематичным объяснение указанных чффекюн в рамках традиционной механики трещин [4]. и актуальным остается вопрос с природе физических механизмов, контролирующих распространение трещин, включая ветвление, стохастическую динамику, остановку трещин, а также условия самоподдерживаюшегося разрушения, так называемых волн рлзрмиеш.я. Теоретическое объяснение существования предельных скоростей прямолинейною распространения и перехода к режиму ветвления предложено в [5] на ссноьс огни, линь коллективных эффектов в ансамбле дефектов (микротрещин) в окрестности верш.жы трещины.
Феномен "волн разрушения" в квази-хрупки.ч материалах является предметом интенсивного изучения на протяжении последних двух десятилетий. Этот термин был введен в [6] как предельный случай эволюции поврежденное!и, ксчда анса\ч».;*> микросдвигов (в зоне сжатия) формирует фронт, распространяющийся с некоторой
групповой скоростью. Этот фронт отделяет дисперсно-разрушенный объем от структурированного материала.
Статистические свойства ансамбля дефектов Микроскопические и макроскопические параметры поврежденности
Структурные параметры, ассоциированные с типичными мезоскопическими дефектами (микротрещинами, микросдвигами), были введены в [7] с использованием дислокационных представлений. Эти дефекты описываются симметричными тензорами вида % = в случае микротрещин и .% -1/25(^4 +1^к) для микросдвигов. Здесь
V - единичный вектор нормали к основанию микротрещины или площадки сдвига: I -единичный вектор в направлении сдвига; 5 - объем микротрещины или интенсивность сдвига для тензора микроскопического сдвига. Усреднение "микроскопического" тензора дает макроскопический тензор плотности микротрещин (микросдвигов)
р_к=п(.у)(Г), совпадающий с деформацией, обусловленной дефектами, п концентрация дефектов.
Статистическая модель упругой среды с дефектами
Статистические свойства ансамбля дефектов были исследованы на основе решения уравнения Фоккера - Планка [8,9] в фазовом пространстве возможных состояний, V, 1 и 51 микроскопических переменных . Это решение позволило определить вид потенциала (свободную энергию /^), обусловленного дефектами (рис.1).
от параметра плотности дефектов р с увеличением напряжения о
Метастабильность для интервала напряжений а < ое является следствием ориентационного взаимодействия между дефектами. Вид свободной энергии, предсказанный статистической моделью, приближается к виду Гриффитса для а —»а (см. рис. I), что соответствует инициированию и росту дефектов, ориентированных по полю напряжений.
О феноменологии квази-хрупкого разрушении
Свободная энергия
Феноменологическое представление части свободной энергии, обусловленной дефектами (для случая одноосного растяжения р = р,., О-О-,, е = Е,, ), может быть получено на основе разложения (по аналогии с подходом Гинзбурга - Ландау в теории фазовых переходов) до шестого порядка по тензору плотности дефектов [&].
Градиентный член в (1) описывает "нелокальные" взаимодействия в ансамоле дефектов, А, В, С, О - коэффициенты разложения, у - параметр нелокальное™.
Кинетика накопления повреждений при квази-хрупком разрушении определяется условием эволюции системы, имеющей единственный канал диссипации
вариационной производной. Линейная связь между термодинамическими потоком и ейлой приводит к уравнению движения для параметра плотности дефектов
где Г - положительный кинетический коэффициент. Уравнение движения (2) и
податливости) представляют собой систему определяющих уравнений для квазихрупких материалов с дефектами рассматриваемого тина.
Уравнение (4) описывает характерные стадии эволюции поврежденносп 1. В диапазоне напряжений С7 < <тг и параметра плотности дефектов р < рг кинетика повреждены ости "подчиняется термодинамической ветви'1, определяющей локальные минимумы свободной энергии (см. рис. 1).
При стремлении напряжения к критическому значению 0 ( р —> р ) уравнение движения (2) качественно изменяет свой тип (от эллиптического к параболическом) ) и кинетика поврежденности подчиняется эволюции пространственно-временных структур специального вида, появление которых обусловлено взаимодействием между дефектами. Эти структуры описывают локализацию разрушения, предшествующую зарождению очагов макроскопических трещин. В предположении для термодинамической силы и коэффициента нелокальное™ степенных зависимое гей
р = У2 АР1 ~У ВР4 _% СРЬ - Во р + X (V,р
Кинетика поврежденности при квази-хрупком разрушении
энергии - накопление и рост повреждений:
А - СИМВОЛ
соотношение для полной деформации £ -Со +р (С - компонента тензора упругой
Коллективные свойства ансамбля дефектов
Автомодельное решение
dF/dp = Snlpc)p\ % = Ъ)(Рс)РР ПРИ переходе через критическую точку рс, кинетическое уравнение для р может быть записано в виде
f} (3)
Зарождение локализованных пространственно-временных структур описывается автомодельными решениями уравнения (3), которые имеют вид
р(х, t) = g (f) / (i) , £ = xjLr (/), g{t) = . (4)
Здесь G > 0. m > 0 - постоянные параметры; Lc(t) и X,, - параметры скейлинга, которые могут быть найдены при решении соответствующей нелинейной задачи на собственные значения [10]. Автомодельное решение (4) описывает взрывообразную кинетику роста дефектов в виде так называемых диссипативных структур обострения на спектре пространственных масштабов LH=kLc(t), к = \,2у...К при /—>тг. Исчезновение
метастабильности при <5—><!,, (см. рис. 1) приводит к качественным изменениям в поведении системы, включая изменение ее симметрийных свойств. В области а > с., поле напряжений не контролирует поведение системы, и сценарий разрушения определяется развитием и взаимодействием локализованных структур обострения в окрестности вершины трещины, так называемой зоне процесса (the process zone).
Закон движения фронта локализованных структур определяется собственными значениями нелинейной автомодельной задачи tc и видом профиля f {Ъ,}:
ß-?+'
у 1/2 „---— 2(ß~l)
4=£д о S02(^)t . (5)
Уравнение (5) определяет характерные режимы локализации разрушения на спектре фиксированных масштабов при ß = ^-l и при распространении очагов разрушения ßxy-l.
О природе неустойчивости вершины трещины
Зарождение макроскопических очагов разрушения происходит на масштабе I, за время тс развития автомодельного профиля p(xj). Критическая скорость V. перехода от устойчивого (steady-state) к неустойчивому (branching) режиму распространения трещины определяется очевидным условием Vc ~ Lc/tr . Устойчивый режим распространения реализуется в случае, когда темп нарастания напряжений в
"зоне процесса" обеспечивает время разрушения tj , необходимое для
формирования хотя бы одного очага разрушения в направлении основной трещины. Время разрушения tf следует из уравнения (2) и представляет собой сумму времени
"индукции" г, (времени формирования профиля p(x,t) на масштабе LH, близкого к автомодельному), и времени обострения 1/. tf = tt +1 с. Для скоростей V <Vr время интукции tt » tи дочерние трещины возникают только в направлении максимальных растягивающих напряжений, т.е. в направлении основной трещины. Для скоростей
V ~ Уг должен наблюдаться переходный режим (г. ~М, сопровождающийся зарождением множественных очагов в направлении ориентации основной трещины. Рост скорости трещины (F>V() ведет К резкому уменьшению времен)] ИНЛ'-КЦМИ t-—> 0, t, —> г и сопровождается расширением зоны процесса в продольном н
поперечном направлениях, зарождением в ней множественных очагов разрушения, и. как следствие, выраженным ветвлением основной трещины при слиянии с этими очагами.
Экспериментальное изучение нелинейной динамики трещины Схема эксперимента
Экспериментальное исследование динамики трешины проводилось на предварительно нагруженном (фиксированное удлинение) плоском прямоугольном образце из ПММА с использованием высокоскоростной записывающей камеры Remix REM 100-8 (время задержки между кадрами 10 мкс), сопряженной с поляризационно-оптической установкой (рис. 2) [11].
Рис. 2. Схема эксперимента
>'<!•', V>VC V>VB
Рис.З. Характерные режимы динамики трещины
Эксперимент обнаружил что переход через критическую скорость Г сопровождается появлением волновой картины напряжений, генерируемых я зоне процесса (рис.З). Независимые оценки скорости (решины по прямой рспкпращы
координаты её вершины и допплеровскому искажению волновых картин показали соответствие данных результатам РтеЬег§ [1] (Ус ~ 0,4Уя).
Характеристические скорости распространения трещин
Зависимость скорости распространения трещины от величины начального растягивающего напряжения приведена на рис. 4. Три характерных участка и соответствующие им скорости могут быть выделены на этих зависимостях: скорость перехода от устойчивого к немонотонному прямолинейному распространению У$-220 м/с; критическая скорость перехода к началу режима ветвления Уг -330 м/с; скорость перехода к режиму ветвления при автономном развитии ветвей. Оценка размера зеркальных зон (зон локализации разрушения) ¿с ~ 0,3 мм при характерной скорости Ус =330 м/с перехода к ветвлению позволяет определить время Ьг /
обострения : 1С - у'у =1-10 с. Близкая оценка получена в [ волновом разрушении ПММА в области "динамической ветви".
при ударно-
V . т ! л У „
2 а 4 0 6 0 а , м р {
50 -
V* о'
I
40
Рис.4. Зависимость характерных скоростей трещины от напряжения
Рис. 5. Зависимость плотности зеркальных зон для характерных скоростей трещины
В экспериментах также были установлены корреляции между характерным!: скоростными режимами распространения трещин (рис. 4) и плотностью (средним размером) зеркальных зон на поверхности разрушения (рис. 5). Время разрушения при
V > У, практически постоянно (Гу ~ /, -- I мке), поэтому единственной возможностью увеличения скорости трещины является увеличение размеров зоны процесса. Таким образом, скорость трещины V определяется отношением размера зоны процесса
ЬР1 ~ Ьн и времени обострения (с: V = • Поскольку масштаб ветвления трешины
определяется размером зоны процесса, из последнего соотношения следует линейная зависимость характерной длины ветвей от скорости трещины. Этот результат объясняет резкую зависимость (квадратичный закон) энергии диссипации от скорости трещины, установленный в [12].
Скейлинг в процессе разрушения
Свойства скейлинга в процессах разрушения изучались в рамках
вышеописанной экспериментальной схемы при записи динамики поля напряжений с использованием лазера и поляризационной системы. Динамика поля напряжений определялась в точке, расположенной на расстоянии 4 мм от траектории прямолинейного распространения трещины, что позволило нам построить сечение Пуанкаре в переменных О а для случая медленных и быстрых трещин (рис. 6).
1.Г
10
V < V,.
20 а,Ша
(7 . МРа! //.V 5
0
20
40
V > V
Ркс.. 6. Сечение Пуанкаре в переменных о ~ а
(Т. МРо
:11 С (г)
' I
~А 1 6 т >
' \ = :Г!м !Т|
Рис. 7. Корреляционный интеграл
Рис. V Динамика ноля напряжений
Фазовые портреты на рис.5, 6 отражают периодическую динамику поля напряжений для У <УГ, что находится в соответствии с локальной эллиптичностью уравнения (2) для 0<0е, и стохастическую динамику для У >У (., соответствуют)¡о второму типу аттрактора. Запись динамики напряжений в указанной точке при Г >У обнаружила появление конечно-амплитудных флуктуаций поля напряжений, которые отражают появление качественно новых процессов в зоне процесса для быстрых третцин (рис.8). Изменение скейлинговых и, как следствие, симметрийных свойств системы показано на рис. 7, где представлены значения корреляционно! о интеграла С(г), вычисленного по временным экспериментальным последовательностям напряжений. Было установлено наличие масштабов с постоянными значениями корреляционных индексов для V <У(У = 200 м/с, V = 0,8) и 1\, > Г >Г,
(V = 426, 613 м/с, у = 0,4). Эти значения корреляционных индексов свидетельствуют о существовании двух режимов с детерминистической и стохастической динамикой.
Изменение протяженности областей на зависимостях корреляционного интеграла С (г) с постоянными значениями корреляционных индексов качественно соответствуют изменению размера зоны процесса Ьп. Размер этих зон растет с ростом скорости в диапазоне Ув > V >УС с сохранением свойств скейлинга для динамической системы. Численное исследование кинетики накопления дефектов в зоне процесса позволило нам прийти к заключению, что изменение скейлинга связано с подчинением динамики системы новому спектру независимых переменных, соответствующих спектру пространственно-локализованных структур с взрывной кинетикой когерентного роста дефектов [11].
Волны разрушения возникают в ударно-нагруженных материалах (стеклах, керамиках) как специфическая запаздывающая мода разрушения, в которой материал полностью теряет прочность после прохождения волны напряжений [13, 14]. Традиционно феномен "волн разрушения" рассматривается в контексте известных и до настоящего времени открытых проблем в описании механическою поведения ударно-нагруженных материалов: динамическая прочность, пределы упругости Гюгонио, релаксация упругого предвестника. Важным признаком золн разрушения является независимость их скорости от скорости распространения единичных трещин. Уровень запасенной упругой энергии в материале является основным фактором, обеспечивающим самоподдерживающийся режим распространения разрушения. Квази-хрупкие материалы обнаруживают очень высокую динамическую прочность на сжатие, высокий предел упругости Гюгонио и, как следствие, способность запаса высокого уровня упругой энергии при прохождении ударной волны.
Моделирование зарождения и распространения волн разрушения проведено в [15] на основе определяющих уравнений (2), дополненных уравнениями сохранении импульса.
Резонансное возбуждение разрушения. Волны разрушения
Моделирование волн разрушения
Рис. 9. Распространение волн напряжения (8) и волн разрушения (П
Моделирование подтвердило независимое (от водны напряжений)
распространение волны разрушения
(рис. 9). сопровождающееся
исчезновением сдвиговой компоненты
тензора напряжений. Уровень
поперечных напряжений в этом случае приближается к значениям продольных напряжений (рис. 10), что подтверждается прямыми измерениями состояния материала за фронтом волны разрушения.
Библиографический список
1. Fineberg J,, Gross S., Marder M. and Swinney H. Instability in dynamic fracture Phys Rev. Lett. 1991, N67,- P. 141
2. Sharon E., Gross S.P., Fineberg J. Local crack branching as a mechanism for instability in dynamic fracture И Phys. Rev, Lett., 1995. N 74. - P. 5097.
3. Boudet, J.F.. Ciliberto S., Steinberg, V. Dynamics of crack propagation in brittle materials /7 J. de Physique, 1996, N 6. - P. 1993.
4. Freund L.B, Dynamic Fracture Mechanics, Cambridge University Press. Cambridge. England, 1990.
5. Naimark O.B., Davydova M.M., Plekhov O.A. Failure scaling as multi scale instability in defect ensemble /7 Proceedings of NATO Workshop "Probaniat - 21 Cenhi'v". G. Frantziskonis (Ed.). Kluwer. 1998. - P.127-142.
6. Галин Л.А., Черепанов Г.ГІ. О самоподдерживающемся разрушении напряженного хрупкого тела // Доклады АН СССР. 1966. Т. 167. - С. 543,
7. Naimark, О.В, Structural transitions in ensembles of defects as mechanisms of failure and plastic instabiity under impact loading V Proceedings of IX hit, Conference of Fracture, Sydney. 1997. IS 6. - P. 2795-2806.
8. Наймарк О,Б. Неустойчивости в конденсированных средах, индуцированные дефектами // Письма в ЖЗТФ. 1998, Т. 67, Вып. 9, С.751.
9. Naimark, О.В. Kinetic transitions in ensembles of microcracks and some nonlinear aspects of fracture //Proceedings of the JUT AM Symposium on Nonlinear Analysis of Fracture, Willis, J.R. (Ed). Kluwer Academic Publishers. Dordrecht, 1997. P. 285-298
10. Kurdyumov S.P. Dissipative Structures and Chaos in Non-Linear Space, Utopia. Singapure, 1998. N 1. - P. 43 ! -459,
11. Naimark O.B. Collective behavior of crack and defects 7 Proceedings of EUROMAT 2000. Advances in Mechanical Behavior. Plasticity and Damage, Eds. D Miannay. Iі. Costa, D. Francois, A. Pineau. Elsevier, 2000. Vol. 1. - P. 15-28
o, Pa
A
А І Ґ
о ;ioo< -,n no:; .-.ом rat i
t. s
Рис. 10. Динамика продольных ctv, и поперечных а,,, напряжений
12. Sharon. Е., Gross, S.P., Fineberg, F. Energy dissipation in dynamic fracture // Phys. Rev. Lett. 1996. N 76. - P. 2117.
13. Rasorenov S.V., Kanel G.J., Fortov V.E., Abasenov M.M. The fracture of glass under high-pressure impulse loading /7 High Press. Res. 1991. N 6. - P. 225.
14. Bourne N., Millett J., Rosenberg Z., Murray N. On the shock induced failure of brittle solids // J. Mech. Phys. Solids. 1998. N 46. - P. 1887.
15. Plekhov\ O.A., Eremeev, D.N., Naimark O.B. Failure wave as resonance excitation of collective burst modes of defects in shocked brittle materials // J. Physique IV Colloq C. 2000. N 10. - P. 811.
Получено 20.03.2001
