О некоторых задачах страховой математики Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Олег Владимирович Матвеев

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Российско-го профессионально-

педагогического универ-ситета

Юлия Владимировна Браун-Г рачева

Кандидат экономических наук (США)

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ СТРАХОВОЙ МАТЕМАТИКИ1

В актуарной математике есть две основные модели процесса функционирования страховой компании: 1) статическая, в которой

страховая компания рассматривается в определенный момент времени и число страхователей фиксировано (вообще говоря, это число является случайной величиной);

2) динамическая, в которой функционирование страховой компании рассматривается на некотором отрезке времени (время чаще всего предполагается непрерывным, но изучалась и модель с дискретным временем).

В настоящей статье рассматривается динамическая модель. Могут быть введены различные критерии качества J процесса функционирования страховой компании, например: среднее значение полезности страхового фонда

в заданный момент времени

J = М (и(У,)),

где - страховой фонд компании в момент времени ¿; и - функция полезности денег;

1 Работа выполнена при поддержке Российского гуманитарного научного фонда (грант № 00-02-00227).

вероятность того, что в определенные моменты времени страховой фонд не меньше заданных плановых величин

J = Р(У, > С, i = 1, ..., k),

и др.

Важнейшим критерием является, конечно, вероятность разорения страховой компании

Р(3 , > 0: У, < 0).

Нахождение вероятности разорения страховой компании является одной из важнейших задач страховой математики. Знание вероятности разорения позволяет найти оптимальную (т.е. рациональную, справедливую) величину страховой премии. А именно, один из принципов выбора величины страховой надбавки состоит в том, чтобы взять эту величину наименьшей, при условии, что вероятность разорения не превосходит р0, где р0 -заданное малое положительное число [1]. Рассмотрим динамическую модель с непрерывным временем [1. С. 698-799; 2]:

N (,)

У, = S + л х,

i=1

где £ - начальный резерв;

Л - страховая премия, получаемая компанией в единицу

времени;

X1, Х2, ... - случайные величины последовательных страховых

требований;

N(0 - количество страховых требований, поступивших за

промежуток времени [0, ,].

Будем считать, что все страхователи однородны, т.е. Х1, Х2, ... -

одинаково распределенные неотрицательные независимые случайные величины с функцией распределения F и математическим ожиданием /и, а N(0 - пуассоновский случайный процесс, независимый от |Х1, X2, ...} и

имеющий интенсивность а, т.е.

р(и (,) = к) =,, k = 0, 1,...

При этом Л = ац + Л, где ац - нетто-премия, а Л- страховая надбавка;

а, /и, Л> 0.

Пусть ¥ - вероятность разорения страховой компании. Для

вероятности неразорения ¥ = 1 — ¥, как функции от £, имеем следующее интегральное уравнение [2]:

S

4(S) = v + v j^(x)G(S - x)dx, S > 0, (1)

где V = ——— (< 1), G(x) =1—^(х). Точное решение этого уравнения может ац + Л и

быть найдено лишь в немногих частных случаях, например для экспоненциального закона распределения X. Таким образом, необходимо иметь методы приближенного нахождения величины ¥ (£).

Положим ип = 0*...*0 (свертка п функций G), % (х) =1 при х > 0 и X (х) = 0 при х < 0, ^ = % * ип. Очевидно, уравнение (1), которое можно записать в виде ¥ = у(% + ¥ * G), имеет решение

^ = £ vn+%. (2)

Ряд (2) равномерно сходится на [0; +гс], причем для его остатка имеем оценку:

Ё v"+'h.

vM+1

<Ё v"1kL,= T-v, (3)

т n=M 1 v

+W

так как jG(x)dx = 1 (пространства L1, Lx рассматриваются на [0, +<x]).

0

Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (1), убеждаемся, что оно может иметь не более одного решения в Lx . Кроме того, если

F - функция распределения такая, что F - F < є, и р - решение

II ІЩ

уравнения вида (2), получающегося при замене и на ¡и = j (1 - F(x)) dx, G - на

0

F \ 1 - F(x) F au ... и— и \

G(x) =----F , v на v = —~--------, то, как легко видеть из (2), ¥ - р| = и(є).

fi afi + Л 11 llL"

Таким образом, нами получены:

Теорема 1. Вероятность неразорения страховой компании ¥ может быть найдена с любой точностью следующим образом:

*(S )-Ё vn+\ (s )

vM+2

< —. (4)

1 - v

Если р^) - вероятность неразорения, получающаяся при замене ^ на другую функцию распределения ^ (и при соответствующей замене ц, у), то

|¥(Я)- р(Я)< с||^ - ,

где С - константа, зависящая только от Е, а, Л.

Использовать эту теорему для практических расчетов можно так: на основании статистических данных построить кусочно-постоянную функцию

распределения Е, аппроксимирующую Е, затем найти р(£) в соответствии с (4) и считать полученную величину р(£) приближенным значением вероятности неразорения.

Заметим, что при кусочно-постоянной Е значение hn является полиномиальным сплайном, а в случае, когда X принимает всего два значения, ип оказывается 5-сплайном, нормированным в L\ (см., например, [3]). Для вычисления значений сплайнов известны эффективные алгоритмы.

Далее, рассмотрим асимптотические свойства ) при £ ^ да. В этой области известна так называемая аппроксимация Крамера-Лундберга (см., например, [1]). Мы приведем более сильный результат, простым следствием которого является аппроксимация Крамера-Лундберга. Допустим, что интеграл

+да

рр^)=|еа(1 -Е(х)) dx (5)

0

сходится в комплексной плоскости при Rez < г, и пусть z0, ..., zm - все корни

л

уравнения <р^) = ц +—, лежащие в четверти Rez < г, lmz > 0, расположенные а

в порядке неубывания действительных частей, причем Zj = aj + ibj.

Теорема 2. Если корни Zjпростые, то при £ ^ да для любого а < г

2 22 т 1 1 ^ / \

¥(£ ) =-------т—г е~а°£ +----^ е ^ Ь£ х Re-------------------т-—^ + smЬ.S х 1т-т-—* + о(е~а)

У ' «“0^'(“0) а £ [ j zjv’(zj) j zjv’(zj)J ' >

Идея доказательства теоремы 2 состоит в нахождении преобразования Лапласа функции ¥ и исследовании его особенностей.

Л

Следствие. Если ¡3 - вещественный корень уравнения ) = и+—,

а

причем интеграл (5) сходится при z = Р + е для некоторого е > 0, то

(

Л

¥(£)=е"Щр)+о(|)) £^да' (6)

Формула (6) - это и есть «аппроксимация Крамера-Лундберга», которая учитывает только первый член в асимптотическом разложении, данном в теореме 2.

Пример. Допустим, что случайная величина требований одного страхователя X. принимает всего два значения - 0 и 1, а относительная

страховая надбавка равна —. В этом случае уравнение Ж )= ц + — ац 2 а

принимает вид 6

или, полагая z = x + iy,

У = ±

2 V ( 2 V 2

—ex I -I x+ ~I , ~ex siny = y, x > 0, cosy > 0.

Корни приведенного выше уравнения есть a0, ai ± ib\, a2 ± ib2,..., где

0 < a0 < ai <..., an ^ да, причем все корни простые. Если в асимптотическом разложении т(х) взять только первый и второй члены, получим приближенную формулу

(S) « c0e^ + (c1 cos b1S + d1 sin b1S) e~aS, (7)

где a0 = 0,7626886; ai = 2,4968587; bi = 7,4525436;

C0 = 0,7763579; ci = 0,0239508; di = -0,0825018.

Например, при S = 5 находим, что вероятность разорения страховой компании равна i,7i36% (причем первое слагаемое в правой части (7) равно i,7i358%, а второе - 0,00002%).

Перейдем к вопросам, связанным с объединением рисков. Современный этап развития российского страхования выявил ряд объективных проблем, главной из которых является сравнительно небольшой капитал для осуществления нормальной страховой деятельности. Для решения подобных проблем страховщики могли бы использовать те возможности, которые предоставляют им различные организации типа холдингов, пулов, страховых групп. В связи с актуальностью организации пулов в России представляет интерес рассмотрение теоретических вопросов объединения страховых портфелей.

Одним из выводов финансовой литературы является следующий: нерасположенные к риску индивидуумы держат портфели таких ценных бумаг, доходы по которым имеют неполную положительную корреляцию. При совершенном рынке, где ценные бумаги - обязательно рисковые активы, действия индивидуумов однородны и зависят только от ожидаемого дохода и дисперсии, портфель каждого из индивидуумов имеет те же относительные пропорции, что и рыночный портфель. Доходы по каждому из индивидуальных портфелей рисковых ценных бумаг при таких условиях полностью положительно коррелируют.

Chow и Teicher [4] открыли аналогичную теорему, касающуюся страхования и утверждающую, что средние значения эквивалентных случайных переменных с конечными значениями математических ожиданий сходятся. Средние значения сходятся не к фиксированному математическому ожиданию (так называемое вырожденное распределение), что имеет место, когда случайные величины независимы, а сходятся к функции распределения. Функция плотности распределения вероятностей условных математических ожиданий является общей для всех объектов в группе, ограниченной до некоторого множества. Случайные величины условно независимы и одинаково распределены на данном множестве. Множество событий - это ст-алгебра взаимозаменяемых событий [4]. Напомним, что ст-алгеброй

2

z

называется совокупность подмножеств Q, называемых случайными событиями, для каждого из которых определяется числовая функция вероятности; с-алгебра выделяется из множества элементарных событий и обладает следующим свойством: операции объединения, пересечения,

разности событий, производимые над событиями из Q, не выводят за пределы с-алгебры [5].

Результаты Chow и Teicher достаточно общи и касаются случайных переменных, имеющих полную положительную корреляцию. Таким образом, они не дают представления о том, как влияет объединение убытков и ресурсов на вероятность разорения, кроме указания о сходимости. Сам факт сходимости мало говорит о возможном усилении страхования (под усилением страхования в зарубежной литературе понимается уменьшение вероятности его разорения [6]). В случае полной положительной корреляции и одинакового распределения убытков объединение убытков и ресурсов не влияет на вероятность разорения; функция распределения в среднем по группе идентична функции распределения каждого из страховых рисков. Следовательно, вероятность разорения, связанная с вкладом в фонд в расчете на один объект, такая же, как и в случае, когда убытки и ресурсы не объединены.

Если убытки имеют неполную положительную корреляцию, возможно влияние пулинга (объединения убытков и ресурсов) на вероятность разорения, хотя меньшее, чем в случае независимых убытков. Требуемый от каждого объекта аклад в устойчивость к риску не обязательно стремится к нулю при возрастании количества объектов. Допустим, Sn = X1 + X2 + ... + Xn -это сумма n одинаково распределенных случайных величин. Ковариацией (или вторым смешанным центральным моментом) случайных величин X, X' называется число, равное математическому ожиданию произведения отклонений случайных величин X] и Xj от своих математических ожиданий [2].

Т е. о- = Cov (X, Xj) = M[(Xi - M[X]) (Xj - M[X])] для всех i * j, 1 < i, j < n, где математическое ожидание M[X] = M[Xt] = M[Xj] взято относительно общей плотности вероятности Xi и Xj.

Дисперсия среднего по пулу Var(Sn / n) равна:

Var (Sn / n)M

X, +... + X —1-----п- - M [ X ]

2

= M

(X, -M[X]) +... + (Хи -M[X])

1 п 1

=—XM(X,. -M[X])2 +—XM[(X,. -M[X])(Xj -M[X]) =

n ,=1 n

-Var(X,)+ ^n-i Cov(X,, Xj) = ±Var(X,Cov(x,, X.) . (8) n n n n

2

n

n

Для Cov(Xi,Xj) > 0 при n—— да первый член стремится к нулю, в то время как второй - к Cov(Xi,Xj). Следовательно, если убытки не являются независимыми, но имеют нулевую корреляцию [7], то Var(Sn) — 0 при n — да . Таким образом, функция распределения среднего по группе вырождается к одному значению. Кроме того, можно использовать неравенство Коши-

Шварца, чтобы показать, что |Cov(xj., Xj) | < Var (Xt)

Доказательство:

\Cov(Xi, Xj) I < M (Xi - M [X ] ) (x. - M [X ] ) <

< M [(Xi - M[X] )2 (Xj - M[X] ) 2 ]1 = M [(Xi - M[X] ) 2 ]2 = Var(Xt).

При n ^ да дисперсия среднего по пулу Var(Sn / n) имеет в качестве нижней асимптоты Cov(Xi, Xj). Второй член в уравнении (8) отражает общий фактор неопределенности, влияющий на все Xi, который не может быть диверсифицирован с помощью пулинга (объединения убытков и ресурсов).

Для случайных величин с отрицательной корреляцией, т.е. в случае, если Cov(Xi, Xj) < 0, дисперсия пула в целом меньше, чем сумма дисперсий отдельных рисков. Но, так как Var(Sn / n) > 0, из уравнения (8) вытекает, что

-Cov(Xi, Xj) < Var(Xt) / (n - 1). Тем самым жестко ограничивается класс одинаково распределенных случайных величин с Cov(Xi, Xj) < 0. Для бесконечного количества одинаково распределенных случайных величин Cov(Xi, Xj) заведомо стремится к нулю. Для конечного числа -Cov(Xi, Xj) ограничена 1 / n.

Итак, пул положительно коррелирующих рисков может усилить страхование, уменьшая дисперсию среднего по группе по сравнению с дисперсией каждого из рисков. Вероятность разорения уменьшается при пулинге, если убытки имеют неполную положительную корреляцию и вклад от каждого из рисков вносит положительный вклад в устойчивость к риску. Тем не менее

в случае произвольного положительного вклада вероятность разорения не обязательно стремится к нулю при n ^ да, как в случае независимых убытков.

Литература

1. Ротарь В.И., Бенинг В.Е. Введение в математическую теорию страхования // Обозр. прикл. и пром. матем. Сер. «Финансовая и страховая математика». 1994. Т. 1. № 5. С. 698-799.

2. Goovaerts M.J., de Vylder F., Haezendonck J. Insurance premiums. Theory and applications. Amsterdam: North-Holland, 1984.

3. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

4. Chow, Y. Sh. and H. Teicher. Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales. 2-nd ed. N.Y.: Springer-Verlag [citing by 6], 1998.

5. Колемаев В.А, Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991.

6. Smith M.L., Kane S.A. The Law of Large Numbers and the Strength of Insurance // Insurance, Risk Management, and Public Policy : Essays in Memory of Robert I. Mehr / Edited by Sandra G. Gustavson and Scott E. Harrington. Kluwer Academic Publishers, 1994.

7. Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. N.Y.: John Wiley & Sons [citing by 6], 1968.