CC BY
39
Вычислительные технологии
Том 15, № 5, 2010
О некоторых точных решениях трехмерных уравнений идеальной жидкости*
Ю.В. Шанько
Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия
e-mail: [email protected]
Построены несколько новых классов точных решений для уравнений однородной и неоднородной идеальной жидкости. Полученные решения имеют произвол в две функции двух переменных.
Ключевые слова: частично-инвариантные решения, уравнения идеальной жидкости, решения с функциональным произволом.
Исследуются трехмерные уравнения Эйлера движения идеальной несжимаемой жидкости
Du + Vp = 0, div u = 0, (1)
. . ^ д д д д
где u = lu,v,w) — вектор скорости, р — давление, JJ = — + и——bv——\-w—--опера-
cJt дх ду az
тор дифференцирования вдоль траекторий, плотность считается постоянной. Различные решения уравнений Эйлера представлены в [1]. Допускаемая алгебра Ли точечных симметрий системы (1) является бесконечномерной [2], классификация одномерных и двумерных подалгебр выполнена в [3].
Цель данной работы — нахождение частично-инвариантных решений, зависящих от произвольных функций двух переменных.
Рассмотрим пятимерную подалгебру допускаемой алгебры, которая порождается операторами дх, ду, Ьдх + ди, Ьду + д,0, др. Поскольку данная подалгебра имеет инварианты t, z, w, то можно построить частично-инвариантное решение ранга два, дефекта три. Подставляя представление частично-инвариантного решения u = u(t,x,y,z), v = v(t, x,y,z), w = w(t, z), p = p(t, x, y, z) в систему (1), получаем
Du + px = 0, (2)
Dv + py = 0, (3)
Wt + wwz + pz = 0, (4)
Ux + Vy + wz = 0. (5)
Так как функция w зависит только от t и z, то, согласно (4), производные pxz, pyz
D
(2)-(4), имеем
2(UxVy - UyVx) + D(wz) - w2z - pxx - pyy = 0, (6)
*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 07-01-00489) и в рамках Интеграционного проекта СО РАН № 103.
D(D(wz) - w2z - pxx - pyy) - wz(D(wz) - w2z - pxx - pyy)-
2pxxvy + 2pxy (vx + Uy) 2pyyux 0. (7)
Потребуем теперь, чтобы соотношение (7) (как уравнение относительно u и v) выполнялось в силу (5) и (6), Из этого с необходимостью вытекает, что pxy = 0 pxx = Pyy-Следовательно, давление представляется в виде
xz + yz
Р = x(t, z) + ki(t)x + k2(t)y - k{t)—-—.
Коэффициенты k\ (t), kz (t) не существенны и могут быть убраны с помощью групповых преобразований (отвечающих за инвариантность исходных уравнений при переходе в произвольную движущуюся систему координат). Итак, считаем что давление имеет вид
p = X(t,z)-k(t)^±^. (8)
Отметим, что в работах [4, 5] исследованы решения системы (1) с квадратичным давлением
p = k(t)(xz + yz + zz)/2. Подставляя представление (8) в (2)-(7), получаем систему
Du - kx = 0, (9)
Dv - ky = 0, (10)
Wt + WWz + Xz = 0, (11)
Ux + Vy + Wz = 0. (12)
2(uxvy - uyvx) + D(wz) - w2z + 2k = 0, (13)
D(D(wz) - wZ + 2k) - wz(D(wz) - wzz + 4k) = 0. (14)
Уравнение (14) является единственным уравнением инвариантной подсистемы [6]. Оно представляет собой нелинейное уравнение третьего порядка, и прямое его интегрирование является чрезвычайно сложной задачей. Интегрируя (11) по z, найдем функцию x(t,z):
X(t, z) = - J(wt + wwz) dz. (15)
Прямым вычислением нетрудно убедиться, что система из оставшихся пяти уравнений (9), (10), (12)—(14) допускает бесконечномерную группу, порождаемую оператором
X = fjidt + ^fitxdx + ^Vtydy ~ Vtzdz + ^{ц-ttX - Iku)du + ~ fhv)dv-
-(2fj,tw + Httz)dw + - 2dk,
здесь ^ = ^(t) — произвольная, достаточно гладкая функция.
Интегрируя соответствующие уравнения Ли, найдем закон преобразования переменных под действием группы (штрихом помечены новые переменные):
£ = £, х' = £1/2х, у' = £1/2у, г' = £-1г, и1 = ё~1/2и + у' = ё~1/2ь + ^ё~3/2ёу, к/ = ё~2и) - ё~ъёг,
к' = ё-2(к + ^ё~1-£ ~\ё~2ё2),
где £ = £(£) — произвольная функция. Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Пусть и = и(¿,х,у,г), V = V(¿,х,у,г), т = Ш(¿,г), к = К(¿) — решение системы, уравнений (9), (10), (12)-(14), тогда для, произвольной, достаточно гладкой функции £ = £(£)
и = ё1/2и(£,ё1/2х,ё1/2у,ё~1г) -
V = ё1/2У(£, ё1/2х, ё1/2у, ё~1г) - \е~1ёу, т = £2Ш(£, £-1г) + £-1ёг, к = ё2К(£) - + ^ё~2ё2 (16)
также являются решением той же системы.
Следовательно, зная решение системы с некоторой заданной функцией к = к(£),
к
Система, аналогичная (9), (10), (12), рассматривалась в работе [7]. Опишем теперь схему решения системы при к(£) = 0, Перейдем к (произвольным) лагранжевым координатам, выбрав в качестве независимых переменных £ а, в 1 = г|4=0, а в качестве неизвестных функций х = х(г,а,в,^), у = у(г,а,в,^), г = ¿(¿,7). В результате получается система
хи = 0, уи = 0, (17)
д
— ((ХаУ/З - ХрУа)г^) = 0. (18)
Из уравнений (17) следует, что функции х и у линейны по £ Тогда из (18) и условия 7 = г|г=0 вытекает соотношение
__1_
интегрируя которое, находим
1
= / ст<0) = 0' (19)
0
Выберем лагранжевы координаты а и в так, чтобы
х = аЬ + в- (20)
Поскольку функция у линейна по то она представляется в виде
у = <Ь + Ф, (21)
где < ф — функции от а, в, 7. Тогда из (18), (20) и (21) следует, что < и ф удовлетворяют системе линейных уравнений
<в _ Фв - _ -Фа (ппЛ
Дальнейший анализ системы (22) зависит от того, положителен, отрицателен или равен нулю дискриминант 8 = — 4г2. Во всех трех случаях (22) интегрируется явно либо заменами переменных сводится к системе уравнений Коши—Римана,
Так как справедливы равенства а = и, в = х — Ъи, << = V, Ф = У — то, задавая
<ф
неявном виде:
V = <(и, х — Ьи, 7), у — IV = ф(и, х — Ьи, 7),
т = гь,
причем 7 выражается через г и Ь из уравнения (19),
Чтобы упростить систему (22), выполним замену переменных
а = та + ¡в,
< = т<< + ¡ф,
формулы для т = т(7) и I = ¡(7) будут выписаны отдельно для каждого из трех случаев. Вначале рассмотрим случай положительного дискриминанта. Пусть
т2 = 8/4 > 0.
Положим I = г\/2, тогда после замены переменных система (22) примет вид
<в — Фа = 0, Фв — Ф& = 0.
Ее решением являются функции
< = !+ в,7) + д(а — в,7), Ф = !+ в,7) — д(а — в,7).
В случае нулевого дискриминанта 8 = 0, возьмем т = 1, I = г\/2. После замены получим систему
<в = 0, Фв — ф& = 0,
которая имеет решение
< = ! (а,7), Ф = 1а (а,7)в + д(а,7). Наконец, рассмотрим случай отрицательного дискриминанта. Полагая
—т2 = 8/4 < 0, I =
в результате замены переменных приходим к системе Коши—Римана
Фв + Фа = 0, фв - Ф» = 0.
Перейдем к обсуждению конкретных примеров решений.
Пример 1. Положим k(t) = 0 zz = Yz, zi = 0 a(t) = 0, Из формулы (19) нai^eMz:
Y
z = J 72t27+ ! = * 1 arctg(i7). 0
Определим вертикальную компоненту скорости:
_2 , ч Y _1 1 _2 , ч
w = zt = —t arctg(i7) Н--г—- = — t z Н—t sin(2iz).
t +13^2 2
С помощью соотношения (15) определим давление:
р = x(t,z) = — J(wt + wwz) dz = t~4 ^sin2{tz) + - sin4(iz)^ — t~2z2.
Подставив выражения для z2 и z\ в (22), получим систему
Фв - фа = 0, <fß + = 0. Замена переменных а = y®, ф = 1ф приводит ее к системе Коши—Римана
Фв - Фа = 0, фв + ф& = 0. (23)
Функции и и v определяются неявно посредством соотношений и = ^а, v = ^/ф, x = Yat + ß, y = Yfipt + ф,
где ф = ф(а^,,у), ф = ф(a,ß,Y) связаны уравнениями (23),
Пример 2. В работе [8] найдено следующее решение системы (1)(ФиФ — произвольные функции):
Ф(х + u(th z + 1)) = y + v(th z + 1), Ф(х + u(th z - 1)) = y + v(th z - 1), w = - ch2 z.
Исходя из доказанного выше утверждения, следующие соотношения также задают решение (1):
'X I £ ~U -1--с ~cnr i I th _ 4- I 1 I — С'-ц 4- I с -11 -I--С"3/^
Ф (V2х + [¿-l'2u + ie"3/2^ (th| + l)^ = ¿1/2у + (¿~1/2v + \ё-3/2ёу^ (th | + l) Ф [ё1'2X + (£-l'2U + ^¿-S/2£X^J (th J - l)) = £l'2y + [¿-l'2V + (th J - l)
'X + I £ + ~£X J ^tn - - l) J — с-*'-"' + 1 ^ -к -с ъ!21
.о о z . — 1 ..
w = — £ ch —he £z,
£
здесь £ = £(t) — произвольная достаточно гладкая функция.
Пример 3. Положим k(t) = 0 z1(y) = 2e7, z2(y) = eY, a(t) = 0 № (19) определим z:
-1 ch , (24)
J eYt2 + 2eYt +1 t2 + 2t + exp(-Y)' 0
В качестве решения системы (22)
Ув _ Фв - У» _ -Ф»
eY 2eY 1
выберем у = eY(в — a)(eY — e2Y)-1/2, ф = (eYв — a)(eY — e2Y)-1/2. Считаем, что y < 0, В этом случае скорости и давление задаются элементарными функциями:
u = (1 + t)-1(ez x — (ez — e2z )1/2y), v = (1 + t)-1((ez — e2z )1/2x + ez y), w = 2(1 + t)-1(1 — ez), p = po(t) + 2(1 + t)-2(z + ez — e2z).
При t ^ скорость жидкости стремится к нулю.
Данное решение описывает нестационарное вращательно-симметричное течение в полупространстве, которому можно дать следующую интерпретацию. Ограничим объем жидкости сбоку твердой стенкой — поверхностью (рис, 1)
(x2 + y2)(1 — ez) = const,
а сверху и снизу двумя свободными границами — горизонтальными плоскостями, которые определяются исходя из (24):
1 (1+ t)2 z = Zi{t) = In- v ;
t2 + 2t + exp(-y¿ )'
где i = 1, 2, Yi < 0- По меньшей мере на одной из свободных границ давление должно зависеть от времени.
Несмотря на нестационарный характер течения, линии тока остаются неподвижными, При росте t скорость в каждой заданной точке полупространства z < 0 стремится к нулю. Незамкнутые линии на рис, 1 являются траекториями движения частиц жидкости вдоль стенок. Остальные траектории имеют ту же форму и получаются из представленных путем сжатия в направлении оси симметрии.
Пример 4. Выберем k(t) = 0, z 1(7) = 2-\/3cos7, z2(7) = 7 — 4л/3 8т7, В качестве решения системы (22) примем
— л/Зсксов 7 + (7 — 4V3sin7)/3 — а + л/З/З eos 7
2 — V3 sin 7 2 — V3 sin 7
К полученному решению применим преобразование (16) се = tg t, которое даст решение с k(t) = — 1, В результате получим решение, описывающее стационарное вращательно-симметричное течение:
и = (л/3 cos z)x — (2 — л/3 sin z)y, v = (2 — л/3 sin z)x + (л/3 cos z)y, w = 4 — 2л/3 sinz, p
4 —2-\/3sinz, p = po — 2(2 — л/3 sin z)2 H---—.
Рис. 1. Картина течения для примера 3 Рис. 2. Картина течения для примера 4
Частицы жидкости движутся по спирали, проекции траекторий на горизонтальную плоскость являются эллипсами. Поверхности (рис. 2) (х2 + у2)(2 — v^sinz) = const можно рассматривать в качестве твердых стенок. Аналогично предыдущему примеру незамкнутые линии на рис. 2 являются траекториями движения частиц жидкости вдоль стенок. Другие траектории имеют ту же форму и получаются из представленных путем сжатия в направлении оси симметрии.
В заключение приведем один результат, относящийся к системе уравнений идеальной неоднородной жидкости, которая записана в цилиндрических координатах:
Du — r-1v2 + p-1pr = 0, Dv + r-1vu + r-1p-1po = 0, Dw + p-1pz = 0, Dp = 0, ur + r-1u + r-1vo + wz = 0, (25)
где t — время; r, Q, z — пространственные переменные; u, v, w — компоненты скорости; pp
D ^ + ^ + _1 ^ + ^ dt dr dQ dz
Положим u = po = pz = 0. Подстановка этих соотношений в (25) дает уравнения
Dv = Dw = Dp = p-1pr — r-1v2 = r-1vo + wz = 0.
Анализ полученной системы в общих чертах повторяет анализ системы для однородной жидкости, поэтому сразу приведем окончательный результат.
Система (25) при сделанных предположениях имеет следующее точное решение в неявной форме:
u = 0, w = р, z — tw = (Q — tvr-1V + ф,
где <р = tf(r,vr-1), ф = ф(г, vr-1) — произвольные функции, р' — производная функции <р по второму аргументу,
p = p(r), p = rpr v-2.
Найденное решение обобщает решение A.A. Родионова [9], которое можно получить, положив < = 0.
Автор выражает благодарность О.В. Капцову за ценные советы при выполнении данной работы.
Список литературы
[1] Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994.
[2] Бучнев A.A. Группа Ли, допускаемая уравнениями идеальной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1971. Вып. 7. С. 212-214.
[3] Шанъко Ю.В., Капцов О.В. Оптимальные системы подалгебр и инвариантные решения ранга два для трехмерных уравнений Эйлера // Диф. уравнения. 1994. Т. 30, № 10. С. 1814-1819.
[4] Чупахин А.П. Гидродинамика с квадратичным давлением. 1. Общие результаты // ИМ ТФ. 2002. Т. 43, № 1. С. 27-35.
[5] Чупахин A.n. Гидродинамика с квадратичным давлением. 2. Примеры // Там же. 2002. Т. 43, № 2. С. 22-28.
[6] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.
[7] Игнатьева М.А., Чупахин А.П. Интегрирование уравнений газовой динамики для 2.5-мерных решений // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 1. С. 103-115.
[8] Шанъко Ю.В. О некоторых точных решениях трехмерных уравнений идеальной несжимаемой жидкости // Материалы конф. "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании". Ч. 4. Алматы, 2004. С. 290-296.
[9] Родионов A.A. Об одном точном решении уравнений вращательно-симметричного движения жидкости // Тез. докл. Всероссийской конф. "Новые математические модели в механике сплошных сред: Построение и изучение". Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 2004. С. 119-120.
Поступила в редакцию 10 декабря 2009 г., с доработки — 10 марта 2010 г.
