О некоторых свойствах оператора кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 512.64 ББК 22.143 К 59

Козлов В.А.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, физики и методики их преподавания Армавирской государственной педагогической академии, Армавир, e-mail: shagin 196@yandex.ru Паланджянц Л.Ж.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и системного анализа инженерно-экономического факультета Майкопского государственного технологического университета, Майкоп, e-mail: levonmgtu@rambler.ru

О некоторых свойствах оператора кривизны

(Рецензирована)

Аннотация. Исследованы свойства оператора кривизны криволинейного мультипликативного интеграла от матричных функций второго и третьего порядков. Рассматривая оператор кривизны как операцию над матричными функциями, выявлены свойства сохранения некоторых линейных соотношений между элементами исходных матричных функций.

Ключевые слова: мультипликативный интеграл, оператор кривизны.

Kozlov V.A.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematics, Physics and Methodology of Teaching, Armavir State Pedagogical Academy, Armavir, e-mail: shagin196@yandex.ru

Palandzhyants L.Zh.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis Department, Engineering-Economics Faculty, Maikop State University of Technology, Maikop, e-mail: levonmgtu@rambler. ru

On some properties of curvature operator

Abstract. The paper investigates the properties of the curvature operator of the curved multiplicative integral of matrix functions of the second and third orders. Considering the curvature operator as an operation on matrix functions, the authors identified conservation properties of some linear relations between the elements of the original matrix functions.

Keywords: product integral, curvature operator.

Рассмотрим криволинейный мультипликативный интеграл

n

J E + P(x, y)dx + Q(x, y)dy , (1)

где P(x, y) = (pij) и Q(x, y) = (qij) - непрерывно дифференцируемые матричные функции третьего порядка [1].

Определим оператор кривизны

k = Qx - Py + [Q, P]. (2)

Рассматривая оператор кривизны K = (ktj) как операцию над матричными функциями, зададимся целью найти такие отношения между элементами исходных матричных функций P и Q, которые сохраняются при действии оператора кривизны.

В теореме 1 в качестве сохраняющегося соотношения выбрана сумма всех элементов исходных матриц, в теореме 2 - знакочередующаяся сумма элементов некото-

рых миноров исходных матриц, в теореме 3 - недиагональных элементов исходных матриц.

В данном пункте докажем два свойства оператора кривизны (2), сформулированные в виде теорем 1, 2 и 3. Используя эти свойства, приведем примеры о возможности приведения оператора кривизны (2) к диагональному виду.

Теорема 1. Пусть

Ч11 - Ч22 = ^12 - q2i+2(q32 - q23)+2(qi3 - q^K (3)

Ч11- Ч33 = qi3- q^+^fe- ^32)+:2(qi2- (4)

Pli - P22 = Pl2 - P21+:2(P32 - P23)+:2(Pl3 - Pзl), (5)

Pli - P33 = P13 - P31 +:2( P23 - P32)+2(P12 - P21) , (6)

Ч\ъРъ2 pi3q32 ^412 p23 pi2q23 ^ Ч23Р31 РпЧъ\ ^ Ч21Р13

+ 432P21 " Р32Ч21 + ^3lPl2 " P3Ä2 = 0,

(7)

Е р = 2 ч* = °. (8)

г,1 =1 г,1 =1

Тогда справедливо равенство

Е к1 = (9)

г, 1=1

Доказательство. Вычислим элементы матрицы ^. кг, = Чух - Ргу + Ч*Рц " РгЧ , ^ 1 = 1, 2, 3, п° * - суммирование. Учитывая условия (3) - (6) теоремы 1, получаем:

к11 = Ч12Р21 + Ч13Р31 — Р12Ч21 — Р13Ч31 + Ч11х — Р11 у ,

— 1 — 1 1 — 1 —

к12 = Р12 Ч12 — Р12 Ч21 + ^ Р12 Ч32 — ^ Р12 Ч23 + ^ Р12 Ч13 — 2 Р12 + Ч12Р21 — Ч12 Р12 +

1 — 1 1 — 1 — —

+ 2 Ч12Р23 — ^ Ч12Р32 Ч12Р31 — 2 Ч12Р13 + Ч13Р32 — Р13Ч32 + Ч12 — Р 12 у ,

1111

к13 = Р13Ч13 — Р13Ч31 +2Р13Ч23 — 2Р13Ч32 +2Р12 Ч13 — 2Р13Ч21 +Ч13Р31 — Ч13Р13 +

1111

+2 Ч13Р32— 2 Ч13Р 23 +2 Ч13Р 21— 2 Ч13Р12+Ч12Р23—Р12Ч23+Ч1зх—Р13 у,

1111

к 21 = Р21Ч21 — Р21Ч12 +2Р21Ч23 — 2Р21Ч32 +2Р21Ч31 — 2Р21Ч13 + Ч21Р12 — Ч21Р21 +

1 — 1 1 — 1 — —

+ 2 Ч21р32 — 2 Ч21р23 +2 Ч21р13 — 2 Ч21р31 + Ч23 Р 31 — Р23

Ч31 +Ч21х — Р21 у ,

к22 = Ч21Р 12 + Ч23р32 — Р21Ч12 — Р 23Ч32 + Ч22X — Р22у ,

к = — 1 — 1 1 — 1 —

к 23 = Р23Ч23 — Р23Ч32 +2 Р23Ч21 — 2 Р23Ч12 +2 Р23Ч13 — 2 Р23Ч13 + Ч23 Р32 — Ч23 Р23 +

1 — 1 1 — 1 — — + 2 Ч23Р 12 — 2 Ч23р21 +2 Ч23р21 — 2 Ч23Р13 + Ч21Р 13 — Р 21Ч13 + Ч23 X — Р 23у ,

1

1

1

1

k31 p31q31 p31q13 + 2 p31q32 2 p31q23 + 2 p31q21 2 Р31^12 + Ч31Р1З Ч31Р31 +

1 _ 1 1 _ 1 _ _

^ 2 q31p23 _ 2 q31p32 ^ 2 q31p12 _ 2 q31p21 ^ q32Р21 _ Р32^21 ^ q31 _ p31^,

1

1

1

1

k21 p21q21 p21q12 + 2 p21q23 2 p21q32 + 2 p21^31 2 p21q13 + q21p12 q21p21 +

1111

+ ~ qnp 32 q^p 23 + " 0-2\P\3 _- q 21p 31 + ^23 p31 _ p23^31 + ^21x _ p21 j,

2

2

2

2

k - _ 1 _ 1 1 _ 1 _

k32 — p32q32 _ p32q23 + 2p32q12 _ 2p32q21 + 2p32q31 _ 2p32q13 + q32p23 _ q32p32 +

1 _ 1 1 _ 1 _ _

+ 2 q32p21 _ 2 q32p12 + 2 q32p12 _ 2 ^p31 + q31p12 _ p31 q12 + q32X _ p32 j ,

k33 — q31p13 + q32p23 _ p31q13 _ p32q23 + q33X _ p33j •

Складывая kij, i, j — 1, 2, 3, и учитывая условие (7) теоремы 1, получаем

3 Г 3 Л Л 3 Л

¿, j—1

Z kv— Z qj _ Z p

V г',j УX

V г',j

откуда, учитывая условия (8), получаем утверждение теоремы 1. Теорема 1 доказана.

Отметим, что условия теоремы 1 представляют собой 7 уравнений с 18 переменными р^, qij, /, j = 1,2,3, поэтому следует ожидать, что теорема не тривиальна и существуют примеры, подтверждающие это утверждение.

Используя теорему 1, приведем пример криволинейного мультипликативного интеграла, оператор кривизны которого можно привести к диагональному виду.

Пример 1. Пусть

р —

а _ с

а

ь Л

_ а Ь _ а с _ Ь _ с с _ Ь

(d _ / d

Q —

У

е

Л

_ d t _ d f _е _f f _е

У

где а, Ь, с, d, е, / - гладкие функции от переменных х и _у .

Для матричных функций выполнены условия теоремы 1. Следовательно, оператор кривизны обладает свойством (9). Получаем

' k11 а ß1 Л 0 да и 1

^ — а k22 r + - да 0 p

vß Г k Л33 у V - и _ p 0 У

где k11 — (d _ f)x _ (а _ c)j , k22 — (е _ d)x _ (Ь _ a)j , k33 — (f _ е)х _ (С _ Ь)у ,

а — _ае _ af + cd + Ьd, ß — Ьd _ 2bf + 2се _ еа, r — 2се _ cd _ 2bf + af, да — _ес + Ь/ , и — dc _ а/, p — _dЬ + ае . Поскольку k11 + k 22 + k33 — 0 и

(k11 + k22 + k33) — k11 + k22 + k33 + 2(knk22 + k11k33 + k22k33 ) , то k11k22 + k11k33 + k22k33 — _ "2 (k11 + k22 + k33 ) •

Следовательно, 12 - сумма главных миноров матрицы К имеет вид:

12 = -!(к2 + к222 + к323 ) + а2 +Р2 + у2 -т2 -п2 -р2. Таким образом, характеристическое уравнение для матрицы К имеет вид:

*-[- ^ + 4 + ^ ^ +г -т -п2 -р2> + ае,К = 0.

Используя характеристическое уравнение, можно найти различные случаи приведения оператора кривизны К к диагональному виду.

Теорема 2. Пусть

Чи - Ч22 = Ч12 - Ч21,

Ч22 - Ч33 = Ч23 - Ч32 ,

Ч33 - Ч11 = Ч31 - Ч13 ,

Р11 - Р22 = Р12 - Р21 ,

Р22 - р33 = р23 - Р32 ,

Р33 - Р11 = Р31 - Р13 .

Кроме того, предположим, что выполняются условия:

+ ^23 р13 + р23

q31 _ q32 р31 _ р32

qi2 ^ q32 р12 ^ р32

q21 _ q23 р21 _ р23

?21 + ^31 р21 + р31

q12 q13 р12 р13

= 0,

= 0,

= 0.

Тогда имеют место равенства:

Я! k12 + k21 к22 = 0'

k22 _ k23 + k32 _ k33 = 0 ,

^ ^13 — 0 .

(10) (11) (12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20) (21)

Доказательство. Вычислим соответственно выражения:

к11 - к12 + к21 - к22 = (Ч13 + Ч23 )(Р31 - Р32 ) (Р13 + Р23 )(Ч31 - Ч32) , к22 к23 + к32 -к33 = (Ч21 + Ч31)(Р12 - Р13)-(Р21 + Р31)(Ч12 -Ч13) , к33 -к31 + к13 -к1 = (Ч12 + Ч32 )(Р23 - Р21 ) (Р12 + Р32)(Ч23 Ч21 ) .

С учетом условий (16) - (18) получим равенства (19) - (21). Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (10) - (15). Кроме того, предположим, что выполняется условие

013 + 423 р13 + р23

^12 + 432 ри + р32

+

421 + 431 р21 + Р.

431 432 р31 р32 421 4 23 р21 р23 412 413 р

Тогда имеет место равенство:

k12 _ к21 ^ к23 _ к32 ^ к31 _ к13 = 0

(22) (23)

Доказательство. Вычислим соответственно выражения:

к11 - к12 + к21 - к22 = (?13 + ^2з)(Рз1 " Р32) " (Рз + Р2з)(^31 " ^32).

к22 - к23 + к32 - к33 = (^21 + 431)(Р12 - Р13) - (Р21 + Р31)(412 - ^13) . к33 - к31 + к13 - к1 = (^12 + ^32)(Р23 - Р21 ) - (Р12 + Р32)(^23 - ^21)-

Сложим последние равенства с учетом условия (22) и получим равенство (23). Теорема 3 доказана.

Используя теорему 3, приведем пример криволинейного мультипликативного интеграла, оператор кривизны которого можно привести к диагональному виду.

Пример 2. Пусть

Г 0 a b > Г 0 e /Л

P = a 0 с , ß = e 0 g

Vь с 0 V V / g 0 J

где а, Ь, с, е, /, g - гладкие функции от переменных х и у .

Для матричных функций Р и Q выполняются условия теоремы 2. Следовательно, оператор кривизны обладает свойством (9). Вычисляя оператор кривизны К, получаем:

Г0 а ß^ Г 0 да пЛ

^ = а 0 У + - да 0 P

[ß У 0 V V - и -P 0у

где а = ех - ау , Р = /х - Ьу, у = gx - су, т = ^ - с/ , п = ^ - ес, р = а/ - еЬ .

Характеристическое уравнение для матрицы К имеет вид:

Л3 - (а2 +Р2 +у2 - т2 - п2 - р 2)Л + ёег К = 0.

Используя характеристическое уравнение, можно найти различные случаи приведения оператора кривизны К к диагональному виду.

Следствие 1. В случае матричных функций второго порядка теорема 3 запишется в виде следующих условий:

Р11 - Р22 = Р12 - Р21 , (24)

4п - Ч22 = ^12- (25)

412 Р21 = Р12 421 . (26)

Выясним общий вид исходных матриц второго порядка.

Р

Из равенства (26) получаем д12 = —12 д21. Тогда равенство (25) запишется в виде

Р21

4п - 422 = ^21(Р11 - Р12).

1). Пусть P„ - ^22 * 0. Тогда q2l =

Чи - q22

qi2 =

Pl2 qi1 q22

Pli " P22 P21 Pli " P2

Следовательно, общий вид исходных матриц таков:

(

P =

Г P11 P21 + P11- P22Л

V P21

P22

ß=

qii Pi2 qii

P21 P11

4i - q22 q22

Pi - P22

- q Л

22

2). Пусть р11 — р22 = 0. Тогда равенства (24) - (26) примут вид:

р12 = р21 , 411 — 422 = 412 — 421 , 412 р21 = р12 421 , откуда следует, что ч11 = ч22 , ч12 = ч21 .

Следовательно, общий вид исходных матриц таков:

(р п Л

P =

р11 V Pl2

Pl2 Pll у

б=

4 412 ^ V 412 411 у

Следствие 2. Найдем общий вид матриц третьего порядка, удовлетворяющих теореме 2.

Из условий (10) - (15) получаем общий вид матриц Р и Q :

Г1 0 0 > ' P12 - P21 P12 P13 Л

Чз = 22P 0 1 0 + P21 0 P23

V 0 0 1 у V P31 P32 P21 - P12 у

Г1 0 0 > ' 412 - 421 412 413 ^

б = 422 • 0 1 0 + 421 0 423

V0 0 1 у V 431 432 421 - 412 у

Из условий (16) - (18) в виду пропорциональности строк определителей имеем:

|р12 + Р23 =Л(Р31 — рЪ2\ |р21 + Р31 =Л2(^2 — Pl3), Гр12 + Р32 = Л р — P21), I 412 + 423 = Л(4з1 — 432Х | 421 + 431 =Л(412 — 4l3), | 412 + 4з2 =^3(423 — 421), где Д,Л,Л - произвольные постоянные, откуда следует, что

P12 + P23 = Л(P31 " Рз2 X Р21 + P31 = Ъ(P12 " P13X

P12 + P32 = ^3 (P23 - P21 X

и

412 + 423 =Л(431 - 432X. 421 + 431 = Ъ2(412 - 413X' 412 + 432 =^3(423 - 421х-

Г 0 1 1 ^ Г P12 ] Г0 ъ -^1 1 Г P21 ]

-ъ ъ 0 P13 = = 1 1 0 P31

V1 0 -Ъ3 у V P23 у V-Ъ 0 -1 у V P32 у

Ограничимся рассмотрением первой системы уравнений, поскольку вторая система решается аналогично первой. Выберем в качестве базисных переменных (р12, р13, р23) , для нахождения которых выпишем следующую систему уравнений:

(27)

1). Пусть Л(Л +1) ^ 0 . Тогда из системы уравнений (27) получаем:

рц = * 1Ч ((Л3 — Л2Л3)р21 + (ЛЛЛ + Л)рз1 + (—ЛЛЛ — Л2)Р32 ),

Л2(Л3 + 1)

р13 = Т71-^ ((—1 — ^Л)р21 + (Л1Л2Л — Л2) р31 — ЛЛЛ р32 ),

Л2(Л3 + 1)

Р23 = .л,1 1Ч ((1 + ¿2^) р21 + (1 + Л1Л2) рз1 + (—Л Л + Л2 ) Р32 ) ,

Л2(Л3 + 1)

откуда с учетом равенств (21) и (22) легко получить общий вид матриц Р и Q.

2). Пусть Л2(Л3 +1) = 0, то есть Л2 = 0 или Л3 =—1. Тогда при Л2 = 0 система

уравнений (23) примет вид:

+ Р23 =А(Р31 " Р32 ),

Pv.

0 = Р21 + Р31,

откуда следует, что

Pl2 " ^3p23 = -Лр21 " Р32 ,

\ Р12 = ЛР23 -^Р21 - Р32 , I Р13 = ^1Р21 - ^1-Р32 - Р23 *

(28)

С учетом равенств (21), (22) и (24) из системы уравнений (28) можно получить общий вид матриц Р и Q.

При Л = -1, Л2 ^ 0 из системы уравнений (28) получаем:

Р12 Р21 Р32 Р23

Г

Р13 =

1 --1

Л

1

21

Р32 ,, Р31, ^2

откуда с учетом равенств (21) и (22) можно получить общий вид матриц р и 0. Примечания: References:

1. Паланджянц Л.Ж. О работах О.В. Мантурова 1. Palandzhyants L.Zh. On O.V. Manturov's works

по теории мультипликативного интеграла // Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике. М.: МГУ, 2011. Вып. XXVIII. С. 15-40.

on the theory of multiplicative integral // Proceedings of the Seminar on Vector and Tensor Analysis with their Applications to Geometry, Mechanics and Physics. M.: MSU, 2011. Iss. XXVIII. P. 1540.