CC BY
11
28/2001
Вестник Ставропольского государственного университета
H
, ТЕХНОЛОГИИ И РЕЗУЛЬТАТУ ШШ ИССЛЕДОВАНИИ
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
П.И. Сижук, Т.П. Сижук
ABOUT SOME FEATURES OF UNIVALENT FUNCTIONS
P.I. SizhukJ. P. Sizhuk
The article views the features of regular univalent in unit circle functions, which geometrically characterize conformal reflection, produced by them.
В работе рассматриваются свойства регулярных однолистных в единичном круге функций, которы!е геометрически характеризуют производимые ими конформные отображения.
УДК 517.54
1. Обобщение теоремы искажения в классе S. Содержание теоремы искажения в классе S составляют неравенства, дающие точные границы для | f '(z) в точке z е Е ,
|z| = г, когда / пробегает весь класс S. Получим точные границы для модуля производных функций класса S на любой окружности, лежащей в круге Е.
Теорема 1. Для функций f (z ) е S на
любой окружности |z — c| = г, лежащей в круге Е, справедливы точные оценки
1 - Ici
1 + с +г (
1+ с 1 V
|/'(с) , (1)
I/'(* ) *
1 + с - г Г 1 - с
1 + с 1 - V с +г
О < г < г.
О '
1 - с г Г 1+ с
1 с Г1 + V с +г
I/'(с).
|/'(с ).
гп < г < 1 -1 - с,
где г0 - единственный положительный корень полинома
*(& +|с| *) г% + & _ |с|*)% + |с| *) г* _ (& _ |с| * ^
Доказательство. Вместе с каждой функцией /(г) классу принадлежит и функция
^ (С) = -
/
Г г \
С+_с
1 + с£
- / (с)
1 - И Т '(с)
при любом с е Е, для которой в точке ^0 = (г - с)/(1 - сг), г е Е, имеем
- V
^ '(С 0 ) =
/ '(г )
/ '(с )•
1 - сг
ш,
Отсюда, учитывая, что по теореме искажения в классе [1, с.52]
1 -С о ,,/ м 1 +С с < ^'(Со)| < 140
(1 + |С о I )%"' (1 -|С о | )3'
получаем точные в классе 5 оценки
' 1 -1Со| 12 < 1 -Iг\2У'(г) <
1+ С с
1 - И2 /'(с)1
2
1 + |С о
1 -1С о
или
/
1 - сг г - с
1 - сг + г - с
Л*
1- |г| 1 - |с|
* Л
/ '(г )
/ '(с )
1 - сг + г - с
1 - сг - г - с
(3)
— 2 , ,2 I , ,2
ство 1 - сг - г - с = 11 - с
Положим х = 1 - |г| и отметим тожде-
используя
которое для точек г = с + гегф, о < ф < 2п, окружности г - с\ = г, а + г < 1, запишем
оценки (3) в виде
^ (Х) " ( М2)г 2 (Х) ,
1 - N )\f '/с)1
(4)
где
■Хх) = -
- |с|2 )х + г2 + (-1)' г
л2
- |с|2 )х + г2 - (- 1)' г
(5)
к = 1, 2,
причем
1 - (с + г )2 = х1 < х < х2 = 1 - (с - г )2 . (6)
Вычислив производные р к (х), к = 1, 2, убеждаемся, что на промежутке
(о, да) функция ц2 (х) монотонно убывает, а функция (х) имеет единственную точку экстремума хо = 3г2/(1 - |с|2), которая доставляет ]1 (х) максимум. Поэтому согласно (4) имеем оценки
/ '(г )
6 ш К (х1); (х 2<
х^ х<х2
(1 -И2) / '(с )
<|Д 2 (х1 )(7)
Несложными вычислениями по формулам (5), (6) находим
Ц 2 (х1 ) = Ц(с|, г
(1 - 1 \ с 2 1+ с + г
1 + V с 1/ (1 - с -г)
(8)
Н (х1 ) = Н(- |с|, - г) Н (х2 ) = с|, - г^ (<) откуда
М (х2 ) - М (х1 ) = '
4 с^(г )
(1 -1 с2 Г (1 + г)2 - |с|2
,(1о)
где ^(г) - полином, указанный в теореме. Замечаем, что 2'(г)>о, о<г <да;
е(о)=-(1 - н2) < о, е(1 - с)=4(1 - |с| )3 > о.
Значит, полином ^(г) имеет единственный положительный корень, обозначим его го, который принадлежит интервалу (о, 1 - |с|), причем Q(г) < о при о < г < го и ^(г) > о при г > го.
Таким образом, из (7) - (1о) следуют оценки (1) и (2). Их точность вытекает из приведенного доказательства. Теорема 1 доказана.
Отметим, что при с = о из теоремы 1 получается доказанная Л. Бибербахом [1, с. 52], [2] и упоминавшаяся уже выше теорема искажения в классе 5.
Так как производная /'(г) в круге
|г - с| < г , о < г < 1 - |с|, не имеет нулей, то максимум и минимум |/'(г) для |г - с| < г достигается на окружности |г - с| = г . Поэтому оценки (1) и (2) имеют место в круге |г - с| < г . Записав их для любых двух точек
г1 и г2 из круга г - с < г , получаем
2
^^ 28/2001
^ЦЦ Вестник Ставропольского государственного университета
Следствие. Для функций f (г) е 5 при любых г1 и 2* из круга |г - с| < г , а + г < 1,
справедливы оценки
1
е(|с|, г) ■
/ '(г *)
/ '(г&)
с|, г),
если 0 < г < гп, и оценки
1
Д с, г
<
/ '(г*)
/ '(г&)
<
с|, г),
если г0 < г < 1 - |с|. Здесь г0 — тоже, что в теореме 1,
1 + с + г Г1 - с \ + г
1 + с - г 1 - V с - г /
с|, г) =
1" |с|
1 + с
1+ с + г 1 - |с| - г
2. Граница локальной выпуклости порядка в класса 5. И. А. Александровым поставлена и решена задача о границе выпуклости класса 5 в произвольной точке с €.Е [3]. Им доказано, что круг с центром в точке с е Е радиуса г,
0 < г < г (с) = *3 + |с| * любой функцией
/(г) из 5 отображается на выпуклую область, причем г (а) нельзя увеличить без дополнительных ограничений на f (г). Число г (а) названо И. А. Александровым границей выпуклости класса 5 в точке с. Значение г (о) = 2 -л/3 = 0Д68... найдено в работе [4].
Введем понятие границы (радиуса) выпуклости порядка в в точке с е Е или
локальной выпуклости порядка в класса 5 . Как известно, необходимое и достаточное условие выпуклости образа круга |г - с| < г при отображении функцией /(г) е 5 может быть записано в виде неравенства [5, с. 163]
1+Ке г 0 / '(г)
на окружности |г - с| = г . Принимая к этому
во внимание понятие порядка выпуклости функции в круге, введенное М. Робертсоном
[6], назовем функцию f (г) е 5 выпуклой порядка в, 0 < в < 1, в круге |г - с| < г , лежащем в Е, если в нем
f '(г)
(11)
1 + Яе >Р .
/ (г)
Границей (радиусом) выпуклости порядка в в точке с или локальной выпуклости порядка в класса 5 назовем верхнюю границу радиусов окружностей |г - с| = г,
лежащих в Е, на каждой из которых выполняется неравенство (11) какова бы ни была функция /(г) е 5.
Теорема 2. Каждая функция класса 5 выпукла порядка в в круге |г - с| < гр (с), где с е Е,
'Р
(с) = ■
* + р| с |с| * + 4Р| с + в * + 3
1 + в
но не всегда в большем круге.
Доказательство. При любых двух фиксированных точках г и с из Е неравенство
(г - с)/''(г) *(г - с)
/ '(г)
г 1- г'
4г - с| 1 - г
определяет область значений функционала (г - с)/'(г)//'(г) на классе 5 [5, с. 163]. Поэтому в классе 5 справедлива точная оценка
„ (г - с) f ''(г) * г| * „ (г - с)
/ '(г )
4г - с|
1- г'
1 - г
* •
На окружности г - с = г она преобразуется к виду
Яе (г - с)/ '(г) > |г| * - И * + г * - 4г
/ '(г)
откуда
Яе] 1 + (г - с I*
1- г'
г - 4г +1- с
3
4
4
где х = 1 - |г| и согласно (6) хх < х < х* . Следовательно, неравенство (11) выполняется на окружности |г - с| = г , а стало быть и
в круге г - с\ < г , только в том случае, если
т.е.
если
г * - 4г + 1 - |с| - вХ* > 0,
(1 + р)г * - + р|с|)г + (1 - |с| * )(1 - р) > 0 . Это неравенство выполняется при каждом 0 < г < Тр (с). Таким образом, все функции
класса 5 выпуклы порядка р в круге
|г - с| < гр (с).
Число гр (с) не может быть заменено большим, поскольку на окружности |г - с| = гр (с) + а, 0 < а < 1 - |с| - гр (с),
найдется точка г0, для которой область значений функционала
Ж = (г0 - с)/''(г0)//'(г0) на классе 5 имеет круговой сегмент, лежащий в полуплоскости {Ж: ЯеЖ < в — 1} . Для функций f (г) из 5, вносящих точки в этот сегмент, не выполняется неравенство (11) на дуге окружности |г - с| = гр (с) + е , содержащей точку г0. Теорема доказана.
Согласно теореме 3 гр (с) — граница выпуклости порядка в в точке с класса 5.
В частности, г0(с) = * -у3 + |с|* — граница
выпуклости в точке с класса 5, найденная И.А. Александровым [3].
Результаты данной статьи частично анонсированы в [7], [8].
ЛИТЕРАТУРА
7. Тслузин Т.М Тесмедарическая даесрия %унк-'ий ксмилекснсгс иеременнсгс. — М.; -аука. 7.//. — /28 с.
2. 2/e3er3acÄ 5. 63er 7/e 8oe/??z/e:/e: 7er/e:/-ge: Pofe:zre/Äe:, we/cÄe e/:e 5cMcÄ/e С33/77ия= 7e5 £7':Äe//5^re/5e5 KerF/fte/: // >S/;zg53er. РгеиЗ. C/fea7. Г/55., РЙИ5 - Fa/Ä. 7.7/. 8 7. .H0 - .55. K. ^лексанМрсе O.L. О грани'ах еьшуклссдаи и зеезМссбразнссдаи Мля функ'ий, сМнслисданых и регулярных е круге //Д4— СССР. — 7.57. — X. 77/.
— Y /. — С. .OK - .05.
H. Zewa://::a Р. 63er 7/e 5cÄftcÄ/e: С33/77и:-ge: 7e5 £7':Äe//5^re/5e5 // 0ver5/tó av X7:5£a Ee;. Soc. XorÄ (C;. — 7.7.-7.20. /2. — Y/. 7 — 7H. 5. ^лексанМрсе O.L., Ссбслее ß.ß. ^налидаиче-ские функ'ии ксмилекснсгс иеременнага. — М.; высшая шкала, 7.8H. — 7.2 с. /. Po3er/5o: MX О: /Äe ¿Äeory o/и:/\а/е:;_/D:c-fto:5//C::. o/Ma/Ä. — 7.K/. — KK7. — Р. K7H — H08.
7. Сижук d.O., Сижук X.d О грани'е еьшуклссдаи линейна инеарианданага семейсдаеа %унк-'ий // Лраблемы физика-мадаемадаических наук; Мадаериалы Х5К научна-медааМическай канфе-рен'ии. — Сдааероаль; ОзМ-еа СТУ, 2000. — С. 722
- 72H.
8. Сижук d.O., Сижук X.d Об искажении )ри аМналисданых канфармных адаабражениях еМи-ничнага круга // Хезисы МаклаМае межМунараМ-най шкалы — семинара )а геамедарии и анализу, иасея^еннай .0-ледаию dß. Хфимаеа. — ^брау — Дюрса; OsM-еа РТУ, 2000. — С. 75. - 7/0.
МММ
Сижук Петр Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа СГУ. Сфера научных интересов - геометрическая теория функций комплексного переменного. Автор более 70 научных работ.
Сижук Татьяна Петровна, студентка 5 курса физико-математического факультета СГУ. Имеет 3 печатных работы.
