О выпуклости свертки р-симметричных выпуклых и звездообразных функций с отрицательными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ВЫПУКЛОСТИ СВЕРТКИ Р-СИММЕТРИЧНЫХ ВЫПУКЛЫХ И ЗВЕЗДООБРАЗНЫХ ФУНКЦИЙ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

П. И. Сижук, Т. П. Сижук

ON CONVOLUTION BULGING OF p - SYMMETRIC CONVEX AND STAR-SHAPED FUNCTIONS WITH MINUS COEFFICIENTS

Sizhuk P. I., Sizhuk T. P.

The article investigates the characteristic of convolution bulging ofp - symmetric a - order

convex and star-shaped functions with Taylor minus coefficients.

В статье выясняется свойство выпуклости свёртки р-симметричных выпуклых и звездообразных порядка a функций с отрицательными тейлоровскими коэффициентами.

Ключевые слова: функция, р-симметричная, выпуклая порядка a , звездообразная порядка a , свёртка функций.

Пусть а - произвольно заданное число, 0 < а < 1; р = 1,2,.... Обозначим через

£^(а) и £ * (а) классы регулярных однолистных в единичном круге Е = {г : |г| < 1}

функций вида

¥

кр+1

f(z) =z "Z akp+iz"

akp+i > 0,

(1)

k=1

удовлетворяющих в круге E соответственно условиям i f »( z) ö

Re

1 +

zf»( z) f»( z)

> a и Re

zf»( z) f ( z )

> a.

УДК 517.54

По сложившейся терминологии функции класса £р (а) называются р -симметричными выпуклыми порядка а , а функции класса £ * (а) - р -симметричными звездообразными порядка а .

Свойства классов £10(а) и £* (а) рассматривались в работе [1]. Некоторые свойства классов (а) и £р (а) получаются из

результатов работ [2] и [3].

Цель настоящей работы - исследовать свойство выпуклости свёртки функций классов £р (а) и (а).

В дальнейшем нам потребуются критерии принадлежности функций классам

£0 (а) и £р (а) , содержащиеся в следующих леммах.

Гробова Т. А., Демчук А. А.

О сходимости метода многопараметрического итеративного агрегирования...

Лемма 1 [2]. Регулярная в круге Е функция /(г) вида (1) принадлежит классу Яр(а), если и только если

¿(1 - а + кр\кр + 1)акр+1 <1 - а.

к=1

Лемма 2 [3]. Регулярная в круге Е функция /(г) вида (1) принадлежит классу Я (а) ,

если и только если

¿(1 -« + кр^р+1 < 1 -а .

к=1

Напомним, что свёртка т функций

¥

/(г) = г-2акр+1гкр+1, а«1 > Р,

(2)

к=1

г = 1,2,...,т, регулярных в круге Е, обозначается символом/ * /2 * ... * /т(г) и определяется равенством

/ * /2 * ... * /т(г) = г -2Пакр+1гкр+1

(3)

к=1 г=1

Теорема 1. Если функции / (г), г = 1,2,...,т, принадлежат классу Яр(а), то свёртка

/1 * /2 * ... * /т(г) принадлежит классу ЯДЬ) , где

Ь = 1 -(1 -

а)

1 -а

\т-1 0

(4)

(1 - а + р)(р + 1),

Доказательство. Представим функции /(г) е Яср(а), г = 1,2,...,т , рядами (2). На основании леммы 1 запишем

¿(1 - а + кр )(кр + 1)а«+1 < 1 - а.

(5)

к=1

Отсюда, учитывая неравенства акр+1 > Р и (1 - а + кр) > Р, справедливые при каждом к = 1,2,... и всех допустимых значениях а и р , находим

1 - а

Откуда имеем

Значит,

Поэтому

а(г) < кр+1 —

а« <

(1 - а + кр )(кр +1)' 1 - а

к = 1,2,....

- а + р )(р +1)' 1 -а

т-1 (

,(г)

П акр+1 <

г=1

¿(1 - Ь + кр \кр + 1)П а« 1 <

(

к=1

г = 1

(1 - а + р)(р +1)

т -1

к = 1,2,....

т -1

0

(6)

1 -а

(1 - а + р)(р +1).

¿(1 - ь+кр )х(кр+1)а

(т) . кр+1 '

к=1

Приняв к этому во внимание неравенство (5) при / = т и вытекающее из (4) неравенство ¡3 > а, получаем

1 - а

2 С - 3 + кр X* + 1)П < ■ <0 - а\ ^ - а + р)( р + „

что вместе с (4) влечёт неравенство

¥ т

^(1 - ь+кр )(кр+1)П <1 < 1 - ь,

к=1 г=1

означающее согласно лемме 1, что свёртка (3) принадлежит классу (Ь) . Теорема доказана.

Замечание. Так как определяемое по формуле (4) число ¡3 > а, то (3) ^ (а) . Поэтому из теоремы 1 вытекает замкнутость класса (а) относительно операции свёртки.

Теорема 2. Если функции р. (г), ] = 1,2,..., п, принадлежат классу £ * (а), то свёртка

(р1 * р2 *... * рп (г) принадлежит классу £р (3), где

3 = 1 -(1 -

л

а

1 - а 1-а + р

п-2

Доказательство. Представим функции р.(г), ] = 1,2,...,п, рядами

¥

р}(г) = гС^1, Ьр+1 * 0.

В силу леммы 2 будем иметь

к=1

Откуда находим

и, значит,

^(1 - а + кр >кр+1 < 1 - а.

к=1

Ьр+1 , к = 1,2,...

1 -а + р

(7)

(8)

(9)

(10)

п—1

П Ъ

1 =1

(1) кр+1

<

/ \ п-1

' 1 - а ^

1 - а + р

к = 1,2,....

Следовательно,

^ г/

2(1 - 3 + кр)(кр + 1)П Ь

( 1) кр+1

<

/ N п - 2

^ 1 - а Л

к=1

1=1

1 - а + р

2(1 - 3 + кр )х (кр + 1)ъ(к;-^1 • ь

Ь(п) . укр+1 •

к=1

Так как / (г) е £ * (а) подразумевает, что / (2) е £ * (0), то по лемме 2 имеем неравенство

¥

2(кр+Фк;-;) < 1,

к=1

из которого следуют неравенства

(кр + Ф^-1 < 1, к = 1,2,.... (12)

Из (11), используя неравенство (9) при 1 = п и все неравенства (12), приходим к неравенству

т-1

Гробова Т. А., Демчук А. А.

О сходимости метода многопараметрического итеративного агрегирования...

2(1 -ß + kp)(kp + 1)Пь%'h <(1 - а) -

к=1 j=i è1

\ n - 2

1 - а ö

,=1 V + Р,

означающему вместе с формулой (7) и леммой 1, что свёртка (р1 *р2 *... *рп(2) принадлежит

классу ЯРР (Ь) . Теорема доказана.

Теорема 3. Если функции (г), г = 1,2,...,т, принадлежат классу Я0(а), а функции

р7 (2), ] = 1,2,..., п, принадлежат классу Я * (а) , то свёртка / * /2 *... * /т * (р1 *р2 *... * рп (£)

принадлежит классу Я0 (Ь) , где

/ \ п+т-1

^ ... , / 1 - а \

(13)

Ь = 1 -(1 + Р )1-т (1 - а)

11 - а + Р,

Доказательство. Представим функции fi(г) , г = 1,2,...,т , рядами (2), а функции р}-(г),

7 = 1,2,..., п, рядами (8). На основании лемм 1 и 2 будем иметь неравенства (5) и (9), влекущие неравенства (6) и (10).

Используя неравенства (6) для г = 1,2,...,т-1, неравенства (10) для ] = 1,2,...,п и неравенство (5) при г = т, получаем

2(1 - ß + kp)(kp + 1)П<1П j <(1 + рГ"(1 - а) т

к=1 i=1 j=1 è1

1 - а ö - а + p

n + m-1

что вместе с (13) и леммой 1 означает, что свёртка f1 * f2 *... * fm * * j1 * j2 * .. *jn (z) принадлежит классу SP (ß) . Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Silverman H. Univalent functions with negative coefficients// Proc. Amer. Math. Soc. — 1957. —v.51, №3. — P. 109-116.

2. Сижук П. И., Сижук В. П. Теоремы искажения в подклассах p -симметричных звездообразных функций с отрицательными коэффициентами // Физико-математические науки: Материалы 49-й научно-методич. конф. "Университетская наука — региону". — Ставрополь: Изд-во СГУ, 2004. — С. 158—161.

3. Сижук П. И., Сижук В. П. Экстремальные свойства p -симметричных выпуклых функций с отрицательными коэффициентами // Физико-математические науки в Ставропольском ун-те: Материалы научно-методич. конф. "Университетская наука — региону". — Ставрополь: Изд-во СГУ, 2005. — С. 186—187.

Об авторах

Сижук Пётр Иванович, Ставропольский государственный университет, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа. Сфера научных интересов - геометрическая теория аналитических функций комплексного переменного. Автор более 90 научных публикаций. sv.petrovich@gmail.com

Сижук Татьяна Петровна, Ставропольский государственный университет, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа. Сфера научных интересов- теория однолистных аналитических функций. Автор 28 научных публикаций. sv.petrovich@gmail.com