О некоторых свойствах известных изометричных отображений множества бент-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дискретные функции

43

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X710/17

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ИЗВЕСТНЫХ ИЗОМЕТРИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ МНОЖЕСТВА БЕНТ-ФУНКЦИЙ1

А. В. Куценко

Рассматриваются свойства некоторых известных отображений булевых функци-ий, отображающих множество бент-функций в себя и сохраняющих расстояние Хэмминга. Доказано, что не существует изометричного отображения множества всех булевых функций в себя, которое каждой бент-функции ставило бы в соответствие дуальную к ней. Для бент-функций от малого числа переменных получено утверждение, характеризующее аффинную эквивалентность бент-функции и функции, дуальной к ней.

Ключевые слова: булева функция, бент-функция, изометричное отображение булевых функций, дуальная бент-функция.

Булевы функции от одного числа переменных называются аффинно эквивалентными, если они равны с точностью до аффинной замены координат и сдвига на аффинную функцию от того же числа переменных. Скалярное произведение х ■ у двух век-

га

торов х = (х1,х2,... , хп) € Щ', у = (уъу2,... ,уп) € ЩП равно фхгуг. Преобразовани-

г=1

ем Уолша — Адамара булевой функции f от п переменных называется целочисленная

функция W/ : ¥'П ^ Ъ, заданная равенством W/ (у) = ^ (—1)Ях)фх^. Булева функ-

хещ

ция f от чётного числа переменных п называется бент-функцией, если \Wf (у)| = 2п/2 для каждого у € Щ' [1]. Булева функция f называется дуальной к бент-функции f, если Wf (х) = (—1)/(х)2п/2 для каждого х € ¥' [2]. Дуальная функция является бент-функцией и определяется однозначно. Расстояние Хэмминга , д) между булевы-

ми функциями f, д от п переменных — число двоичных векторов длины п, на которых эти функции принимают различные значения. Отображение ^ множества всех булевых функций от п переменных в себя называется изометричным, если оно сохраняет расстояние Хэмминга между булевыми функциями, т.е. ),^(д)) = ^б^д,д),

где f, д — произвольные булевы функции от п переменных.

Известно, что отображение, определённое на множестве бент-функций и сопоставляющее каждой бент-функции дуальную к ней, сохраняет расстояние Хэмминга [3]. В [4] доказано, что единственным изометричным отображением множества всех булевых функций в себя, сохраняющим множество бент-функций на месте, является композиция аффинного преобразования координат и аффинный сдвиг.

В данной работе получены некоторые свойства известных отображений, оставляющих множество бент-функций на месте и сохраняющих расстояние Хэмминга.

Утверждение 1. Отображение, определённое на множестве бент-функций от чётного числа переменных п, действующее по правилу f (х) ^ д(х), не может быть расширено до изометричного отображения множества всех булевых функций от п переменных.

Утверждение 2. Пусть п ^ 6 — чётное число, тогда каждая бент-функция от п переменных аффинно эквивалентна своей дуальной бент-функции.

44

Прикладная дискретная математика. Приложение

Утверждение 3. При каждом чётном n ^ 6 существуют различные бент-функ-ции от n переменных, не совпадающие со своими дуальными функциями и их отрицаниями, которые не могут быть получены друг из друга с помощью отображения, представляющего собой композицию аффинного преобразования координат, аффинного сдвига и постановки в соответствие дуальной бент-функции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V.20. No.3. P. 300-305.

2. Carlet C., Danielson L. E., Parker M. G., and Solé P. Self dual bent functions // Int. J. Inform. Coding Theory. 2010. No. 1. P. 384-399.

3. Carlet C. Boolean functions for cryptography and error-correcting codes // Boolean Models and Methods in Mathematics, Computer Science, and Engineering. N.Y.: Cambridge Univ. Press, 2010. P. 257-397.

4. Токарева Н. Н. Группа автоморфизмов множества бент-функций // Дискретная математика. 2010. Т. 22. №4. С. 34-42.

УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/10/18

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНЫЕ БИНОМИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ В ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ.

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ1

A. В. Милосердов

Сформулировано и доказано необходимое условие взаимной однозначности биномиальной векторной булевой функции. Исследован вопрос существования взаимно однозначных биномиальных функций при различном числе переменных.

Ключевые слова: полиномиальное представление, взаимно однозначные функции, биномиальные функции.

Компонентами многих шифров являются S-блоки — векторные булевы функции. В большинстве случаев S-блоки являются перестановками, то есть взаимно однозначными функциями. Для программной и аппаратной реализации S-блока на вычислительных системах хорошо подходит его полиномиальное представление. Например, полиномиальное представление S-блоков используется в AES — современном стандарте симметричного шифрования США.

В работе исследуются взаимосвязи между комбинаторным и алгебраическим представлениями взаимно однозначных векторных булевых функций [1]. Рассматриваются взаимно однозначные функции f : F2n ^ F2n вида f (х) = akхг + xj, где a — примитивный элемент поля; 0 ^ k ^ 2n — 1 и 1= j < i ^ 2n — 1.

Теорема 1. Пусть 1 ^ j < i ^ 2n — 1, 1 ^ k ^ 2n — 1, a — примитивный элемент поля F2n. Если функция f : F2n ^ F2n вида f (y) = akуг + yj взаимно однозначна, то (i — j, 2n — 1) не делит (k, 2n — 1).

Теорема 2. Пусть 1 ^ j < i ^ 2n — 1, 1 ^ k ^ 2n — 1, a — примитивный элемент поля F2n. Если 2n — 1 —простое, то взаимно однозначных функций f : F2n ^ F2n вида f (х) = akхг + xj не существует.