О некоторых свойствах дюрации Маколея Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 658.15.012.12:51(076.1)

н.в. ПОПОВА

к.физ.-мат.н., доцент кафедры «Высшая математика» РЭУ им. Г.В. Плеханова

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ДЮРАЦИИ МАКОЛЕЯ

В связи с особой ролью безрисковых бумаг на фондовом рынке изучение инвестиций в безрисковые ценные бумаги с помощью математических методов представляет большой практический интерес. Инвестирование в ценные бумаги без кредитного риска является предметом изучения специального раздела финансового анализа - анализа финансовых инвестиций в условиях определённости. Основой данной теории является предположение о том, что поступление будущих доходов точно в срок и в полном объёме считается гарантированным. Основной предмет изучения - инвестирование в облигации. На рынках финансовых инструментов с фиксированными доходами без кредитного риска основным фактором риска является рыночный процентный риск - возможность изменения цены облигации вследствие изменения рыночных процентных ставок. Цены различных облигаций по-разному реагируют на изменения процентных ставок. Чувствительность цены облигации к изменению рыночной процентной ставки называют процентным риском облигации. Каждая облигация характеризуется собственным процентным риском и представляет особый интерес для инвестора. Процентный риск

облигации оценивают по величине относительного изменения цены облигации ДР(г) при изменении

Р(г )

рыночной процентной ставки на величину А г. Известно, что при условии горизонтальности временной структуры процентных ставок и параллельности её перемещений процентный риск облигации (или портфеля облигаций) можно оценить по формуле

АР(г) Дг

— Б-

Р(г) 1 + г

где Б - дюрация Маколея;

г - значение внутренней доходности облигации в начальный момент времени. Из этой формулы следует, что чем больше дюрация облигации, тем больше её процентный риск.

ДР(г )

Этот вывод подтверждается точными вычислениями величины - при тех же условиях. Специ-

Р(г)

альные исследования для портфеля ценных бумаг с фиксированным доходом также подтверждают, что

дюрация представляет собой вполне адекватную меру процентного риска такого портфеля [5]. В связи с этим возникает необходимость изучения факторов, влияющих на дюрацию облигации. Зависимость дюрации облигации от её внутренней доходности и купонной ставки изучена и доказана [4, 6]. Наименее изученной является зависимость дюрации Маколея облигации от срока до погашения. В работах Шарпа [1, с. 472-473] и Фабоцци [2, с. 512] приводятся наиболее известные формулировки этой зависимости. Например, Шарп: «.. .долгосрочные облигации по сравнению с краткосрочными в среднем имеют более высокую дюрацию». Однако эти формулировки имеют общий характер и получены на основе

рыночных наблюдений. Более подробно зависимость дюрации облигации от срока до погашения рассмотрена в работах [4, с. 78-81] и [6, 148-153]. В работе [4] эта зависимость доказана только для случая / > г, где / и г - купонная ставка и внутренняя доходность облигации соответственно. Доказательство в [4] базируется на определении внутренней доходности облигации по методу номинальной процентной ставки [2, с. 496, 908]. В данной работе, как и в [6], предлагаются формулировки и доказательства зависимости дюрации Маколея от срока до погашения для различных соотношений между/и г. Используемые в данной работе формулы базируются на определении внутренней доходности облигации по методу эффективной процентной ставки [2, с. 496].

Пусть В - дюрация облигации, платежи по которой выплачиваются один раз в год и до погашения которой остаётся п купонных периодов. Тогда при неизменных /и г справедливы следующие утверждения:

1) если / > г, то последовательность {В } является возрастающей;

2) если /< г, то существует число п0 такое, что для облигаций с числом периодов до погашения п < п0 последовательность {Вп} является возрастающей.

Докажем первое утверждение. Дюрация облигации, когда до погашения остаётся п купонных периодов (п лет) может быть вычислена по формуле

В =

у 1 А

/АХ(1+гу + п (Г+Тт

X 1 А

/АЬ(1 + г ) + (1 + г )п

(1)

где А — номинал облигации.

Обозначим р =

1

1 + г

. Тогда

/ X р + прп

В = —-

/ X р+рп

1=1

п

Так как X р

~ ~п + 1 „п + 1 п _ ^п+1

р р пр ^ ■ р - р

(1 - р)2 (1 - р)

^_ хрг = р-Р

1 - р , 1 -

то

В = / - /рп + прп-1а п / (1 - р) + рп-1а

где а = р (1 - р) (г - / ).

Тогда а = 0 при / = г и а < 0 при /> г. Покажем, что В > В Рассмотрим разность

п

2

В - В = / - /рп+1 + (п + 1)рпа - / - /рп + прп-1а =_1_ в

п+1 п / (1 - р) + рпа / (1 - р) + рп-1а (/ (1 - р) + рпа)/ (1 - р) + рп-1а) '

где В = /2 (1 - р)2 рп + /арп-1 (1 - р)(1 + (п + 1)р - п) + а2 р2 п - 1.

Покажем, что в > 0. Используем метод математической индукции по числу оставшихся до погашения облигации купонных платежей п. Основание индукции п = 0. Тогда

/ а а2 а 1

В = /2 (1 -р)2 + 1— (1 -р)(1 + р) + — = (/(1 -р) + а)(/(1 -р) + - ) = - (1 -р)4(1 + /) > 0. р р р р

Значит, В1 - В0 > 0. Действительно, при п = 0 разность В1 - В0 = 1, поскольку В1 = 1 - дюрация облигации за год до погашения, когда она уже является чисто дисконтной, В0 = 0 - дюрация облигации в день погашения сразу после купонной выплаты.

Предположим, что В > 0 для (п - 1) платежей по облигации, т.е. справедливо неравенство:

Вп1 = /2 (1 -р)2рп-1 + /арп-2 (1 -р)(1 + пр - (п - 1)) + а2р2п- 3 > 0. Пусть теперь число платежей по облигации равно п. Рассмотрим

В = /2 (1 -р)2рп + /арп-1 (1 -р)(1 + (п + 1)р - п) + а2р2 п- 1 = р(Вп1 + а2р2 п - 2 -/арп-2 (1 -р)2 - а2р2 п - 3 ).

Здесь В > 0 по предположению индукции, а остальная группа слагаемых в скобках неотрицательна:

2 „2 n - 3 —

a2 p2 n 2 - fapn2 (1 - p)2 - a2 p = - apn-2 (1 - p)f (1 - p) + apn-1 ) = = - apn-2 (1 - p)2 f (1 - pn) + pn-1(1 - p)) > 0,

так как 0 < p < 1 и a < 0 при f > r. Таким образом, B > 0 для любого целого неотрицательного n. Тогда Dn+1 - Dn > 0 для n = 0, 1, 2,... . Утверждение доказано.

Первое утверждение означает, что чем больше срок до погашения, тем больше значение дю-рации облигации, продающейся с премией или по номиналу, а следовательно, тем больше её процентный риск. Этот вывод согласуется с зависимостью процентного изменения цены облигации от срока до погашения, приведённой в [3, с. 461]. Характер зависимости дюрации облигации Dn от срока до погашения n для случая f > r показан на рисунке 1. Значение предела

r +1

lim Dn ~- не зависит от купонной ставки.

n—^^ r

Dn 1 + r

2 Ч 1

0 1 2 3 4 5 n

Рис. 1. Зависимость дюрации облигации Dn от срока до погашения n (f > r)

r

Докажем второе утверждение. Пусть / < г. Используем преобразованное выражение (1) для дюра-ции облигации, полученное при доказательстве первого утверждения:

п = / - /рп + прп-1а п / (1 - р) + рп-1а '

где а = р (1 - р) (г -/). Тогда а > 0 при / < г. Рассмотрим разность

- О = --Л-^ В,

п+1 п

(f (1 - p) + pna\f (1 - p) + pn-1a )

где B = f2 (1 - p)2 pn + fapn-1 (1 - p)(1 + (n + 1)p - n) + a2 p2 n - 1. Преобразуем это выражение к виду:

B = pn+1(1 - p)2 \ fr

(f - r)(n - 1 + (1 + r) r

+ (r - f)2 pn \, (2)

где /< г . Легко видеть, что если п < 1 , то В > 0 (тогда О - О > 0). С другой стороны, если п

n+1 n

r

1 r + 1 r - f

достаточно велико, например n = — + - + -, то B < 0 (следовательно, D - D < 0).

r r - f rf

Действительно,

B = pn+1(1- p)2 J fr

(f - r)(n —) + (1 + r)

r

+ (r - f )2pn

1 r + 1 r - f

n = - +-+-—

r r - f rf

= - рп+1(1 - р)2(г - /)2(1 - рп) < 0.

Значит, существует срок п0, когда разность Вп+1 - Вп меняет знак с «+» на «-», т.е. сначала последовательность {Вп} является возрастающей, затем убывающей.

Рассмотрим, как можно приблизительно определить срок п0. В качестве приближённого значения такого срока можно взять число

1 1 + r

- + ■

r r - f

(3)

1 г + 1

(целую часть). Число —I--получено при условии, что В +1 - В ~ 0, когда выражение в квадратных

г г - / "

скобках в (2) равно нулю. Покажем, что если /< г, то В > Вп для любого п < п0. Имеем

1

D+, - D =

n+1 n

(f (1 - p) + pna )f (1 - p) + pn-1a)

B ,

где

B = pn+1(1 - p)2 J fr

(f - r)(n - i) + (1 + r)

+ (r - f )2pn \.

Установим знак B при указанных условиях (n < n и f < r):

B = pn+1(1 -p)2Jfr(r - f)

n +1 + ^ J + (r - f )2 W >

>pn+1(1 -p)2 J fr (r - f)

/ " 1 1 + r ' \

- П + - +-

V r r - f /

+ (r - f )2pn j =pn+1(1 -p)2{fr(r - f)(- n + n)+ (r - f )2p^> 0.

r+1

Отсюда следует, что Dn+1 > D если n < n0. Можно показать, что если n > n то D < Dn и Dn >- ,

r

r + 1 r + 1 где - — значение предела lim D , и последовательность {D - сверху.

r n n r

Таким образом, если f < r (облигации продаются с дисконтом), то при неизменных f и r можно указать число n0 такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n0 последовательность {Dn} является возрастающей. Значит, чем больше срок до погашения, не превосходящий n тем больше значение дюрации облигации, продающейся с дисконтом, а следовательно, тем больше её процентный риск. После срока n0 (n > n0) дюрация облигации, а следовательно, её процентный риск, начинают уменьшаться.

Равенство (3) является приближённым с точностью до

i г\2

r - f

f

1

(1 + r)

2 По

. Следовательно, чем

ближе значения г и / тем точнее полученное данным методом значение п что и подтверждается расчётами для г = 25% и ряда значений / (табл. 1). Из выражения (3) для п0 следует, что чем ближе значения г и / тем больше срок п Кроме того, несложно убедиться, что чем больше купонная ставка / тем больше п Эти выводы подтверждаются приведёнными расчётами (табл. 1).

Элементы последнего столбца таблицы получены из непосредственных вычислений дюрации облигации для различных значений п по формуле (1). Пример таких вычислений для купонных ставок /1 = 5%, / = 10% и г = 25% показан в таблице 2.

n

0

r

Таблица 1

Зависимость срока n0 от соотношения между r и f (f < r)

f, % 1 r + 1 - +- r r - f n0 = " 1 1 + r ' - +- r r - f (лет) Значение п (лет), при котором Оп+1 - йп меняет знак (точное)

3 9,7 9 12

5 10,3 10 12

10 12,3 12 13

15 16,5 16 17

20 29,0 29 30

23 66,5 66 67

24 129,0 129 129

Таблица 2

Зависимость дюрации облигации от срока до погашения n для f, < f2 < r

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

D1 1 1,94 2,82 3,60 4,29 4,87 5,34 5,70 5,96 6,13 6,21 6,24 6,22 6,16 6,08

D2 1 1,90 2,68 3,35 3,90 4,34 4,68 4,93 5,11 5,23 5,30 5,34 5,36 5,35 5,33

Заметим, что в этих расчётах видна зависимость дюрации Маколея от купонной ставки облигации (доказана в [4, 6]). А именно: если до погашения купонной облигации остаётся больше одного купонного периода, то чем больше купонная ставка, тем меньше её дюрация. Если срок до погашения равен одному купонному периоду, то облигация становится чисто дисконтной и её дюрация равна сроку до погашения. Характер зависимости дюрации облигации от срока до погашения при /< г имеет вид, показанный на рисунке 2. На рисунке также показана зависимость дюрации облигации от срока до погашения для купонных ставок / </ < г.

Рис. 2. Зависимость дюрации облигации Dn от срока до погашения n (f < f2 < r)

Как уже отмечалось, из выражения (3) для n0 следует, что чем ближе значения r и f тем больше срок n . В действительности значения ставок r и f мало отличаются, т.е. близки. Это означает, что для облигаций с f< r срок n0 ^ да или значительно превышает инвестиционный горизонт большинства инвесторов. Это объясняет, почему на реальном рынке зависимость «чем больше срок до погашения облигации, тем больше ее дюрация» встречается чаще.

Заметим, что рассмотренное свойство дюрации облигации справедливо при тех же условиях, при которых определён сам показатель дюрации Маколея: горизонтальность кривой рыночных доходностей и параллельность её перемещений. В реальности кривая доходностей не является горизонтальной и её сдвиги не обязательно параллельны. Тем не менее показатель дюрации Маколея - это одно из важнейших понятий теории финансовых инвестиций. Полученные результаты позволяют составить более полное представление о свойствах этого показателя, что может способствовать принятию обоснованного решения задач портфельного и долгосрочного инвестирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж, Бэйли Дж.В. Инвестиции. - М. : ИНФРА-М, 1999.

2. Фрэнк Дж. Фабоцци Управление инвестициями. - М. : ИНФРА-М, 2000.

3. Лоренс Дж. Гитман, Майкл Д. Джонк. Основы инвестирования. - М. : ДЕЛО, 1999.

4. БарбаумовВ.Е., ГладкихИ.М., Чуйко А.С. Финансовые инвестиции. Ч.1. Инвестиции с фиксированными доходами. Учебное пособие. - М. : Рос. экон. акад., 2000.

5. Мельников Р. Сценарный анализ процентного риска портфелей ГКО/ОФЗ. Журнал «Рынок ценных бумаг», 2003.

6. Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С. Математические методы финансового анализа. Монография. - М. : АНКИЛ, 2006.