CC BY
26
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
ОСОБЕННОСТИ ЗАВИСИМОСТИ ДЮРАЦИИ МАКОЛЕЯ ОТ СРОКА ДО ПОГАШЕНИЯ
Попова Наталья Владимировна
кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики РЭУ им. Г. В. Плеханова.
Адрес: ФГБОУ ВО «Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова», 117997, Москва, Стремянный пер., д. 36. E-mail: nat_popova_@mail.ru
Статья посвящена учету поведения показателя дюрации между купонными выплатами в зависимости этого показателя от срока до погашения. Вопрос о зависимости дюрации Маколея от срока до погашения с учетом поведения этого показателя между купонными платежами в существующей литературе не рассматривался. Установлено, что в течение купонного периода дюрация Маколея изменяется по линейному закону и в конце периода испытывает скачок, величина которого растет с увеличением срока до погашения для облигаций, продающихся с премией и по номиналу. Для облигаций, продающихся с дисконтом, величина скачка имеет максимум в области больших сроков до погашения. Получено математическое доказательство поведения величины скачка и его предельное значение. Приведенные вычисления подтверждают доказанные утверждения. Результаты работы позволяют уточнить зависимость дюрации Маколея от срока до погашения и дополняют теорию финансовых инвестиций с фиксированным доходом. Ключевые слова: срок до погашения, дюрация Маколея, скачок дюрации, математические методы.
SPECIFIC FEATURES OF MACAULAY DURATION DEPENDENCE ON PERIOD TO REDEMPTION
Popova, Natalia V.
PhD, Assistant Professor, Professor of the Department for Higher Mathematics of the PRUE. Address: Plekhanov Russian University of Economics, 36 Stremyanny Lane, Moscow, 117997, Russian Federation. E-mail: nat_popova_@mail.ru
The article is devoted to taking into account the behavior of the duration indicator between coupon payments in dependence of this indicator from term to maturity. It was found that during the coupon period Macaulay duration varies linearly and at the end of the period duration has a jump, the value of which increases with the term to maturity for bonds sold with a premium and at par. For bonds that are sold at a discount, the value of the jump has a maximum in the region of large maturities. The mathematical proof of the behavior of the jump obtained. The calculations confirm the assertion proven. The results allow to clarify the dependence of Macaulay duration of the period to maturity and complement the theory of financial investments in fixed income.
Keywords: term to maturity, Macaulay's duration; jump of duration; mathematical methods.
Несмотря на ограниченность условий, при которых определен показатель дюрации Маколея, в настоящее время он востребован и в усовершенствованном виде используется в различных исследованиях [4]. Востребованность этого показателя объясняется, очевидно, его свойствами. Известно, что дю-рация представляет собой вполне адекватную меру процентного риска облигации. Кроме того, дюрация Маколея - это средневзвешенный срок всех платежей по облигации.
Таким образом, дюрация - показатель важных для инвестирования характеристик облигации. В связи с этим исследования факторов, влияющих на показатель дюрации, представляют не только теоретический, но и практический интерес. Влияние основных факторов - доходности, купонной ставки и срока до погашения -на показатель дюрации рассмотрено в ряде работ [1; 2].
Остановимся на зависимости дюрации облигации от срока до погашения. В ряде работ [2; 3; 5] установлено поведение дю-рации облигаций, продающихся по номиналу, с премией, с дисконтом. Для получения зависимости дюрации облигации от срока до погашения в этих работах рассматривалась дюрация облигаций, продающихся сразу после купонной выплаты. При этом поведение дюрации облигаций между купонными выплатами не рассматривалось.
Пусть Dn - дюрация облигации, платежи по которой выплачиваются m раз в году и до погашения которой остается n купонных периодов. Тогда при фиксированных значениях купонной ставки f и доходности к погашению r доказаны следующие утверждения [2]:
1) последовательность |Dn| является сходящейся, причем lim \D } «(r + m)lmr;
2) если f > r, то последовательность |Dn|
является возрастающей (облигация продается по номиналу или с премией);
3) если f < г, то существует срок по такой, что последовательность ^^ является возрастающей при п < по и убывающей при п > по (облигация продается с дисконтом).
На рис. 1 и 2 показано поведение членов последовательности ^^ для случаев f > г и f < г.
Dn
r + m rm
1/m —
1 2 3 4 5
Рис. 1. Зависимость дюрации облигации {Dn} от срока до погашения n (f > r)
r+m rm
1/ m —
1 2
5 по
Рис. 2. Зависимость дюрации облигации от срока до погашения п ^ < г)
Член последовательности Бп - дюрация облигации в момент сразу после купонной выплаты, когда до погашения остается п купонных периодов (жирные точки на рисунках). В существующей литературе вопрос о зависимости дюрации облигации от срока до погашения с учетом поведения дюрации между купонными платежами не рассматривался. Цель нашей работы -учесть в зависимости дюрации облигации от срока до погашения ее поведение между купонными выплатами.
Поведение дюрации облигации между купонными выплатами можно учесть с помощью параметра т. Это второстепенный параметр облигации. По определе-
0
п
D
0
3
4
п
нию х - время, прошедшее от последней перед продажей облигации купонной выплаты до момента купли-продажи.
Значения х подчиняются неравенству 0 < х < 1/ га, где 1/га - длина купонного периода. На практике х не принимает значение, равное 1/га. Таким образом, параметр х измеряет время между двумя соседними купонными платежами. Начало купонного периода - это момент сразу после купонной выплаты, который соответствует значению х = 0. К концу купонного периода х приближается к значению 1/га. Предположим, что облигация продается через время х после купонной выплаты, когда до погашения остается Т лет и п купонных платежей. Тогда срок до погашения облигации (в годах) равен
Т = п/т - т ,
(1)
где т е [0,1/ т). В начале купонного периода срок до погашения облигации равен п/т лет, к концу купонного периода срок до погашения приближается к значению (п - 1)/т лет. В начале следующего купонного периода срок до погашения принимает значение (п - 1)/т лет. Таким образом, из (1) следует, что при увеличении х от 0 до 1/ т срок до погашения облигации уменьшается на один купонный период. Подчеркнем, что на каждом периоде параметр х увеличивается в направлении уменьшения срока до погашения.
Рассмотрим поведение дюрации облигации в течение купонного периода между купонными выплатами. Дюрация купонной облигации определяется равенством
I
- т
т
D =
Я/т +[ п - т
(1 + г)т
т
_А
(1 + г)
п
--т
т
Л (А/т
I , +-
• 1 --т
1=1 (1 + г)т (1 + г)
п
--т
т
Отсюда следует, что
D = Dn - х. (2)
где т е [0,1/т). Согласно (2) при фиксированном значении п дюрация облигации является линейной убывающей функцией параметра х.
Из равенств (1) и (2) получаем выражение для зависимости дюрации облигации от срока до погашения:
В = Бп - п/т + Т, (3)
где (п-1)/т<Т<п/т, п = 1, 2, 3, ... .
Согласно (3) при каждом фиксированном значении п на временном промежутке ((п -1)/т, п/т ], т. е. в течение купонного
периода, дюрация облигации является линейной возрастающей функцией срока до погашения Т. С другой стороны, из выражения (3) следует, что при уменьшении срока до погашения на один купонный период, с п до (п - 1), дюрация облигации линейно уменьшается от значения в
начале периода и приближается к значению (Бп -1/т) в конце периода. В начале
следующего купонного периода дюрация принимает значение Вп-Ь
Докажем следующее утверждение.
Утверждение 1. При фиксированных г и f члены последовательности |Вп} удовлетворяют неравенству Бп - 1/т < Бп -1, где п > 2.
Доказательство. Очевидно, что неравенство Вп - 1/т < Вп-1 эквивалентно неравенству Вп - Вп-1 < 1/т. Докажем утверждение для случая т = 1. Для этого используем результаты, полученные автором ранее [2].
Имеем
В =
/ - /рп + прп-1а / (1 - р) + рп-1а'
где р = 1(1+г), а = р(1-р)(г -/). Тогда
Вп - Вп-1 =
В
(/ (1-р)+рп-1а)( / (1-р)+рп-2а)'
1=1
где Bn = f2 (1 - p)2 pn-1 + fapn-2 (1 - p)(1 + np -(n - 1)) + a2p2n-3.
Отсюда
Dn - D^ =
(1 - p)2 (pn-1f2 + pn-1f (r - f)(2 + np -n) + p2n-1 (r- f )2)
=---— < 1
1 (1 - p)2 (f2 + pn-1f ( r - f ) (1 + p ) + p2n-1 ( r - f )2) '
Действительно, так как 0 < p < 1, то pn-1 < 1 и (2+np - n)<(1+p), поскольку
(2 + np - n )-(1 + p) = -(n -1)(1 - p)< 0 для
n > 2. Утверждение доказано.
Заметим, что если n = 1, то Di - дюрация облигации за один купонный период до погашения, когда облигация становится чисто дисконтной. Тогда D1 = 1/m. Значение D0 - дюрация облигации в день погашения в момент сразу после выплаты последнего купона. Тогда D0 = 0 и, следовательно, D1 -1/ m = 0 = D0 .
Из доказанного утверждения следует, что так как Dn -1/m < Dn-1 при n > 2, то с уменьшением срока до погашения в конце каждого купонного периода, за исключением последнего, когда n = 1, дюрация облигации испытывает скачок вверх. Для величины скачка ADn-1 докажем следующее
утверждение.
Утверждение 2. При фиксированных r и f скачок дюрации в точке (n -1)/m равен
ADn-1 = Dn-1 -(Dn-1/ m).
Доказательство. Скачок функции f (х)
в точке Хо равен по определению]A-B| > 0,
где A = lim f (х), B = lim f (х).
X^ Х0 + 0 4 7 Х^ Х0 - 0 4 7
Так как
lim D = lim (Dn - nlm + Г) = Dn-1/m,
T ^(n-1)/m +0 T ^(n-1)/m +0V n ' J n I
lim D = lim (Dn 1 -(n-1)/m+T)= Dn-1 ,
T^(n-1)/m-0 T^(n-1)/m-0V n-1 V Ч ' n-1
где Dn -1/m < Dn-1 при n > 2 по утверждению 1, то получим ADn-1 = Dn-1 -(Dn -1 m). Заметим, что ADn-1 > 0 при n > 2 и AD0 = 0 при n = 1. Действительно,
AD0 = D0 - (D1 -1/ m) = 0 - (1/ m -1/m) = 0.
Утверждение доказано. Замечание.
Выражение АОп_1 = Dn_1 -(Dn_1да) для величины скачка дюрации в точке (п -1)/ можно записать в виде
m
ADn-1 = 1 m-(Dn - Dn-1).
(4)
Рассмотрим зависимость величины скачка A Dn _1 от n. Докажем следующую теорему.
Теорема. При фиксированных r и f справедливы следующие утверждения:
1. Последовательность |ADn-1} является
сходящейся.
2. Если f > r, то последовательность |ADn-1} является возрастающей.
3. Если f < r, то существует срок пд такой, что для облигаций с числом периодов до погашения n < Пд последовательность |ADn-1} является возрастающей и убывающей при n > Пд.
Доказательство.
1. Как уже отмечалось, члены последовательности |ADn-1} положительны. Согласно [2], последовательность {Dn} является сходящейся. Так как lim {Dn} = lim {Dn-1},
n -^ro n -^ro
то lim (Dn - Dn-1) = 0. Тогда из равенства (4)
получаем, что lim {ADnЛ = 1/m . Заметим,
что 1/m - длина купонного периода. Первое утверждение теоремы доказано.
2. Докажем, что при f > r последовательность |ADn-1} является возрастающей. Для
этого необходимо показать, что ADn - ADn-1 > 0 . Из (4) следует, что
ADn - ADn-1 = (Dn - Dn-1) -(Dn+1 - Dn ). (5)
Необходимо показать, что последовательность |Dn - Dn-1} является убывающей.
Для доказательства используем результа- Следовательно, {Вп - Вп-1} - положительная
ты, полученные авт°р°м [2] для случая последовательность. п т = 1, где доказано, что при /> г последо- Имеем
вательность {Вп} является возрастающей.
Вп - Вп-1 = /„, , „п-^" 2^ ; Вп+1 - Вп = Вп+
( / (1 - р) + рп-1а )( / (1 - р) + рп-2 а ) п+1 п (/(1 - р) + рпа )(/(1 - р) + рп-1а )
где р = 1/ (1 + г);
а=р (1-р)(г - /);
Вп = /2 (1 - р)2 рп-1 + /ар" 2 (1 - р) (1 + пр - (п -1)) + а2р2п-3; Вп+1 = /2 (1 - р)2 рп + /ар" - (1 - р) (1 + (п +1) р - п) + а2р2п-1. Тогда
(Вп - Вп_х)-( Вп+1 - Вп ) = ВВ
п+1
(/(1 - р) + рп-1а)(/(1 - р) + рп 2а) (/(1 - р) + рпа)(/(1 - р) + рп-1а) Вп (/(1 - р) + рпа) - Вп+! (/(1 - р) + рп-2а)
- р) + рп-2 а)
" (/(1 - р) + рп-1а)(/(1 - р) + рп-2а)(/(1 - р) + рпа) ' Числитель полученной дроби преобразуется к виду
Вп (/(1 - р) + рпа) - Вп+1 (/(1 - р) + рп-2а) = = (1 - р) (Вп (/ + рп+1 (г - /)) - Вп+1 (/ + рп-1 (г - /))) =
= (1 - р)2 [/2 (г - /)(1 + р) + (/ + рп (/ - г))(/г + п/(/ - г)(1 - р)) + рп/(г - /)2 (1 + р)] . (6)
убедимся, что при />г выражение в (1 - р )2 /2 г . Пусть теперь / > г (облига-квадратных скобках равенства (6) положи-
ция продается с премией). При п = 1 выра-тельно. Если / = г (облигация продается г г /г г
жение в квадратных скобках равно
по номиналу), то это выражение положительно для каждого п = 1, 2, . и равно
/2 (г - /)(1 + р) + (/ + р (/ - г))(/г +/(/ - г)(1 - р)) + р/(г - /)2 (1 + р) =
= /г (рг + (1 - р) / )> 0 .
Найдем производную по п от выраже- (при дифференцировании п считаем нения в квадратных скобках равенства (6) прерывной переменной):
(/2 (г - / )(1+р) + ( /+рп ( / - г))(/г+п/ (/ - г )(1-р))+рп/ (г - / )2 (1+р))' =
= / (/ - г)(рп 1п р (г + п(/ - г)(1 - р)) + (/ + рп (/ - г))(1 - р) + рп 1п р (/ - г)(1 + р)). (7)
Найдем приблизительное значение это- производная по п от выражения в квадрат-го выражения, учитывая, что ных скобках равенства (6) приблизительно
р = (1 + г « 1 - г , 1п р = 1п (1 + г «-г и равна
рп =(1 + г) п «1 -пг для сроков п < 1/г. Тогда /(/-г)(п-1)г3(1+п(/-г))>0,
поскольку f> ги 2 < п < 1/г . Для сроков п > 1/г учтем, что так как 0 < р < 1, то при достаточно больших значениях п множи-
п - - 1
тель р << 1 и влиянием слагаемых, содержащих рп, на знак всего выражения (7) можно пренебречь. Тогда это выражение приблизительно равно f2 (f - г) (1 - р) > 0.
Таким образом, при f > г производная по п от выражения в квадратных скобках равенства (6) положительна. Значит, это выражение является возрастающей функцией п на множестве п > 1. Так как эта функция положительна при п = 1, то она положительна для каждого п е N. Отсюда для п = 1, 2, ... сразу следует неравенство
(Dn - ДиМ Dn+l - Dn )> 0.
Значит, при f > r разность Dn - Dn-1 является положительной убывающей последовательностью.
Тогда из выражения (5) следует, что ADn - ADn-1 > 0 - последовательность {ADn-1}
является возрастающей, причем по утверждению 1 эта последовательность сходится, lim {ADn-1} = 1/m . Утверждение доказано.
n— ю ^ 7
Согласно доказанному утверждению при f > r скачок дюрации ADn-1 монотонно увеличивается с увеличением n, т. е. срока до погашения, от 0 при n =1 до 1/m при n —^ю.
В табл. 1 для случая f > r приведены
расчеты членов последовательности {Dn}, разностей Dn - Dn-1 и величины скачка ADn-1 по формуле (4).
Т а б л и ц а 1
Зависимость величины скачка ADn - 1 от n (случай f > r ) f = 0,1; r = 0,08, m = 1
n Dn-i D„ D„ - Dn-i ADn-i
1 0 1,0000000 1,0000000 0
2 1,0000000 1,9105960 0,9105960 0,089403974
3 1,9105960 2,7423602 0,8317642 0,168235838
4 2,7423602 3,5042134 0,7618532 0,238146792
5 3,5042134 4,2037430 0,6995296 0,300470381
6 4,2037430 4,8474496 0,6437066 0,356293431
7 4,8474496 5,4409404 0,5934908 0,406509180
8 5,4409404 5,9890829 0,5481425 0,451857536
9 5,9890829 6,4961270 0,5070441 0,492955904
10 6,4961270 6,9658039 0,4696770 0,530323024
11 6,9658039 7,4014064 0,4356024 0,564397565
12 7,4014064 7,8058536 0,4044472 0,595552763
13 7,8058536 8,1817456 0,3758920 0,624108024
14 8,1817456 8,5314074 0,3496618 0,650338192
15 8,5314074 8,8569264 0,3255190 0,674481012
16 8,8569264 9,1601832 0,3032568 0,696743158
17 9,1601832 9,4428781 0,2826948 0,717305153
18 9,4428781 9,7065527 0,2636746 0,736325393
19 9,7065527 9,9526092 0,2460565 0,753943461
20 9,9526092 10,1823263 0,2297171 0,770282874
21 10,1823263 10,3968730 0,2145466 0,785453361
22 10,3968730 10,5973202 0,2004472 0,799552768
23 10,5973202 10,7846516 0,1873313 0,812668661
24 10,7846516 10,9597719 0,1751203 0,824879674
25 10,9597719 11,1235152 0,1637434 0,836256643
Расчеты показывают, что с увеличением п члены последовательности |АДп-1| увеличиваются, приближаясь в пределе к
длине купонного периода 1/ га (1 году), что подтверждает доказанное утверждение.
На рис. 3 показано поведение дюрации облигации в течение каждого купонного
периода в соответствии с уравнением (3) для п = 1, 2, 3, 4 для случая / > г. Рисунок следует рассматривать справа налево, т. е. в направлении уменьшения срока до погашения.
Б - вп_1
0,
когда
п-1 < п < п
и
Вп (f (1 -р) + Рпа)-Вп+1 (f (1-р)+рп-2а) = = (1 - р)2 [/2 (г - /) (1 + р) + /2г + п/2 (/ - г) (1 - р) + +Рп/(г - /)((г - / )(1+Р)-Г + п (г - / )(1-р))]. (8)
Рассмотрим выражение в квадратных скобках равенства (8). При п = 1 это выражение положительно и равно /г (рг +(1- р) / )> 0. Найдем значение этого
выражения в области больших сроков, например, для срока п > 2п0. Согласно [2]
1 1 + г
>- + -
г г - /
(9)
Рис. 3. Зависимость дюрации облигации Б от срока до погашения Т (/ > г)
3. Докажем последнее утверждение теоремы. Рассмотрим зависимость величины скачка ЛБп- от п для случая/< г (облигация продается с дисконтом). Согласно выражению (4) ЛВп_1 = 1/ т -(Бп - Вп_х). Как уже установлено, поведение скачка Л Бп х связано с поведением разности Бп - Бп-1. Согласно работе [2] для последовательности {Бп} при / < г существует срок максимума дюрации п0, такой, что для облигаций с числом периодов до погашения п < п0 последовательность {Бп} является возрастающей и убывающей при п > п0. Тогда разность Бп - Бп_1 ведет себя следующим образом: Бп - Бп> 0 при п < п0;
Учтем, что так как 0 < р < 1, то при достаточно больших значениях п множитель
п - - 1
р <<1 и влиянием слагаемых, содержащих р", на знак всего выражения (8) можно пренебречь. Тогда для срока п > 2п0 выражение в квадратных скобках равенства (8) отрицательно, поскольку оно меньше ве-
А (1+/)
4 ■ < 0. Значит, существует
личины —
1+г
Бп - Бп-1 < 0 при п > п0. Тогда из равенства (4) следует, что ЛБп-1 < 1/т при п < п0, вблизи срока п0 скачок ЛБп-1 «1/т, а при сроках до погашения п > п0 величина скачка ЛБп-1 > 1/т, поскольку при п > по разность
Бп - Бп-1 < 0.
Исследуем на монотонность величину скачка ЛБп- . Чтобы установить знак разности ЛПп - ЛБп-1, необходимо исследовать знак равенства (6) для случая / < г . Равенство (6) запишем в виде:
срок пд, когда разность ЛБп - ЛБпменяет знак с «+» на «-», т. е. проходит через 0.
Это означает, что сначала последовательность {ЛБп ^ является возрастающей,
затем убывающей, причем по утверждению 1 эта последовательность сходится, 11т {ЛБЛ = 1/ т .
Таким образом, установлено, что существует срок максимума скачка дюрации пд.
Найдем приблизительное значение срока пд. Поскольку ЛБп-1 «1/т вблизи срока по и в области сроков п > п0 скачок ЛБп-1 > 1/ т, то срок максимума скачка пд > п0. Приблизительное значение пд можно найти из равенства (8). Учтем, что срок пд > п0 располагается в области больших сроков до погашения, когда влиянием
п
слагаемых, содержащих р , можно пренебречь. Срок пд найдем из условия, что вблизи пд разность ЛПп - ЛБп1 « 0. Тогда
пд« 1 + - +
2 1 + г
г г - /
(10)
п
0
Заметим, что пд «1+-+п0 > п0, причем
г
сроки По и пд увеличиваются при сближении значений г и f.
Утверждение доказано.
Таким образом, если / < г , то величина скачка А Dn _1 монотонно увеличивается с увеличением п от 0 при п = 1 до примерно 1/т вблизи срока п0. При п > п0 величина АDn_1 сначала увеличивается, достигая максимума в точке пд, затем уменьшается в пределе до значения 1/т. Заметим, что АDn _1 стремится к 1/т, оставаясь больше 1/т, поскольку при сроках до погашения п > По величина скачка АРп1 > 1/т .
В табл. 2 приведены расчеты членов последовательности {Д,}, разностей Dn _ Dn_1
и величины скачка АDn _1 для случая / < г . В таблице выделены строки, соответствующие максимуму дюрации и максимуму скачка дюрации. Вычисления показывают, что с увеличением п члены последовательности |АРп1} сначала увеличиваются, достигая максимума при п = 18, затем уменьшаются, оставаясь больше 1 (длины купонного периода), что подтверждает доказанное утверждение. Таким образом, согласно вычислениям Пд ~ 18 лет (максимум скачка дюрации), по формуле (10) срок Пд ~ 15,25 года. Заметим, что согласно вычислениям срок По (максимум дюрации) составляет примерно 13 лет (по формуле (9) по « 10 лет).
Т а б л и ц а 2
Зависимость величины скачка АБп_1 от п (случай / < г) / = 0,05; г = 0,25; т = 1
п Dn - 1 Dn Dn - Dn -1 ^п -1
1 0 1 1 0
2 1 1,897959184 0,89795918 0,102040816
3 1,897959 2,683257919 0,78529873 0,214701265
4 2,683258 3,350842418 0,6675845 0,332415500
5 3,350842 3,901523278 0,55068086 0,449319140
6 3,901523 4,341448849 0,43992557 0,560074429
7 4,341449 4,680937868 0,33948902 0,660510981
8 4,680938 4,932980044 0,25204218 0,747957824
9 4,93298 5,111724596 0,17874455 0,821255448
10 5,111725 5,231198355 0,11947376 0,880526241
11 5,231198 5,304378511 0,07318016 0,926819843
12 5,304379 5,342638241 0,03825973 0,961740270
13 5,342638 5,355512325 0,01287408 0,987125916
14 5,355512 5,350698152 -0,00481417 1,004814173
15 5,350698 5,334205505 -0,01649265 1,016492647
16 5,334206 5,310583021 -0,02362248 1,023622484
17 5,310583 5,283169365 -0,02741366 1,027413656
18 5,283169 5,254336208 -0,02883316 1,028833157
19 5,254336 5,225705169 -0,02863104 1,028631038
20 5,225705 5,198331356 -0,02737381 1,027373813
21 5,198331 5,172852642 -0,02547871 1,025478714
22 5,172853 5,149607439 -0,02324520 1,023245203
23 5,149607 5,128725288 -0,02088215 1,020882151
24 5,128725 5,110195040 -0,01853025 1,018530248
25 5,110195 5,093915128 -0,01627991 1,016279913
Таким образом, нами было рассмотрено поведение дюрации Маколея между купонными выплатами в течение срока до погашения облигации, доказано существование скачка вверх дюрации в конце каж-
дого купонного периода, получено доказательство зависимости величины скачка от срока до погашения. Скачок вверх значений дюрации в конце купонного периода означает скачок чувствительности цены
облигации к изменению рыночной процентной ставки, причем непосредственно перед купонной выплатой эта чувствительность снижена.
Величина скачка дюрации Л имеет предел при п ^да, равный длине купонного периода. Она увеличивается с увеличением срока до погашения для облигаций, продающихся по номиналу или с премией, и имеет максимум в области больших сроков до погашения для облигаций, продающихся с дисконтом. Это указывает на возрастающее влияние величины скачка на поведение членов последовательности {Бп} в области больших сроков до погашения, что имеет значение для долгосрочных облигаций. Получено приблизительное значение срока максимума скачка дю-рации. Результаты расчетов подтверждают доказанные утверждения.
Наличие скачков в поведении дюрации можно объяснить скачкообразным поведе-
нием цены купонной облигации в течение срока до погашения. Как известно, при фиксированных f и г цена облигации между купонными выплатами изменяется по показательному закону [1] и в конце каждого купонного периода испытывает скачок до значения котируемой цены в начале следующего купонного периода. По определению дюрация облигации связана с ценой облигации и, следовательно, должна иметь скачки в те же моменты времени, что и цена.
Учет поведения дюрации в течение купонного периода позволяет уточнить зависимость дюрации Маколея от срока до погашения: эта зависимость является линейной в течение каждого купонного периода и скачкообразной в течение срока до погашения. Результаты работы дополняют теорию финансовых инвестиций с фиксированным доходом.
Список литературы
1. Мельников А. В., Попова Н. В., Скорнякова В. С. Математические методы финансового анализа. - М. : АНКИЛ, 2006.
2. Попова Н. В. О некоторых свойствах дюрации Маколея // Вестник финансового университета. - 2011. - № 1 (61). - С. 42-46.
3. Hawawini G. A. On the Mathematics of Macaulay's Duration: a Note. - URL: https://flora.insead.edu/fichiersti_wp/inseadwp1982/82-03.pdf
4. Kopprasch B. Duration: A Practitioner's View // Journal of Applied Finance. - 2006. -February 16. - P. 138-143.
5. Pianca P. Maximum Duration of Below Par Bonds: A Closed-form Formula. - URL: http:// ssrn.com/ abstract=738445
References
1. Mel'nikov A. V., Popova N. V., Skornyakova V. S. Matematicheskie metody finansovogo analiza [Mathematic Methods of Finance Analysis]. Moscow, ANKIL, 2006. (In Russ.).
2. Popova N. V. O nekotorykh svoystvakh dyuratsii Makoleya [Concerning Certain Features of Macaulay Duration]. Vestnik finansovogo universiteta [Bulletin of the Finance University], 2011, No. 1 (61), pp. 42-46. (In Russ.).
3. Hawawini G. A. On the Mathematics of Macaulay's Duration: a Note. Available at: https://flora.insead.edu/fichiersti_wp/inseadwp1982/82-03.pdf
4. Kopprasch B. Duration: A Practitioner's View. Journal of Applied Finance, 2006, February 16, pp. 138-143.
5. Pianca P. Maximum Duration of Below Par Bonds: A Closed-form Formula. Available at: http:// ssrn.com/ abstract=738445
