CC BY
10
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ 2-ПОРОЖДЕННЫХ ГРУПП
А.П. Горюшкин (КамГУ им. Витуса Беринга), В.А. Горюшкин (МАТИ им. К.Э. Циолковского, г. Москва)
Обсуждаются вопросы, связанные с группами, имеющими представления < a, b; an = 1, ab = b3a3 > для n <7, и с группами с представлениями < a, b; a2 = bp = (ab)3 = (brab-2ra)2 = 1 > для простых p <29.
This article covers the problems connected with groups, having presentations < a, b; an = 1, ab = b3a3> for n <7, and with groups with presentations < a, b; a2 = bp = (ab)3 = (brab'2ra)2 = 1 > for simple p < 29.
В работе обсуждаются свойства 2-порожденных групп Gp = < a, b; a2 = b = (ab)3 = (brab-2ra)2 = 1 >, где r2 + 1 = 1 (modp), и групп G(n) = < a, b; an = 1, ab = b3a3 >. Обе серии связаны с топологическими приложениями и давно уже вызывают интерес у математической общественности (вопросы 8.10 и 8.44 из [1]).
Существование числа r таково, что r + 1 = 1 (modp) для нечетного простого p означает, что p = 1 (mod 4), т. е. p = 2, 4, 13, 17, 29, 37, 41, ...
Найдем порядки всех групп для p < 29 и заодно укажем для конечных случаев представления этих групп подстановками и исследуем их строение.
Для p = 2 число r = 1, и G2 = < a, b; a2 = b2 = (ab)3 = (bab-2a)2 = 1 >. Соотношение (bab-2a)2 = 1 в этой группе превращается в тривиальное; и, таким образом, G2 = < a, b; a2 = b2 = (ab)3 =1 > изоморфна группе S3. Порядок G2 равен шести.
2 5 3 2 _4 2
Для p = 5 число r = ±2, и G5 = < a, b; a = b = (ab) = (b ab a) = 1 >. Снова последнее соотношение следует из трех первых, и поэтому G5 = < a, b; a2 = b5 = (ab)3 >. Отображение, переводящее элемент a в подстановку [[1, 2], [3, 4]], а элемент b в - [[1, 2, 3, 4, 5]], продолжается до изоморфизма группы G5 на группу A5. Следовательно, порядок группы G5 равен 60 и G5 проста.
Для p = 13 параметр r = ±5, и G13 = < a, b; a2 = b13 = (ab)3 = (b5ab-10a)2 = 1 >. Группу G13 можно изоморфно представить группой подстановок степени 84, полагая a = [[1, 2], [3, 4], [5, 32], [6, 55], [7, 34], [8, 44], [9, 15], [10, 19], [11, 54], [12, 31], [13, 60], [14, 33], [16, 18], [17, 81], [20, 53], [21, 67], [22, 29], [23, 73], [24, 80], [25, 26], [27, 40], [28, 66], [30, 72], [35, 71], [36, 38], [37, 79], [39, 70], [41, 61], [42, 46], [43, 56], [45, 62], [47, 57], [48, 50], [49, 82], [51, 58], [52, 68], [59, 69], [63, 65], [64, 84], [74, 75], [76, 83], [77, 78]], b = [[1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 3], [15, 62, 61, 25, 24, 23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16], [26, 27, 28, 29, 30, 31, 39, 38, 37, 36, 35, 34, 77], [32, 33, 69, 68, 67, 66, 65, 64, 63, 40, 41, 42, 43], [44, 71, 70, 54, 53, 52, 51, 50, 49, 48, 47, 46, 45], [55, 56, 57, 58, 59, 60, 72, 73, 74, 76, 75, 80, 78]].
Порядок этой группы равен 1092. Группа Gi3 тоже проста.
Пусть p = 17, тогда r = ±4. Группа GJ7 = < a, b; a2 = b17 = (ab)3 = (b4ab-8a)2 = 1 >.
Группу G17 можно изоморфно представить группой подстановок правых смежных классов по подгруппе H = гр (aba). Порядок H равен 17, а индекс - 144. Отображение, переводящее элемент a в подстановку [[1, 2], [3, 4], [5, 47], [6, 49], [7, 19], [8, 33], [9, 62], [10, 46], [11, 32], [12, 28], [13, 84], [14, 123], [15, 36], [16, 27], [17, 54], [18, 48], [20, 103], [21, 106], [22, 24], [23, 139], [25, 105], [26, 37], [29, 31], [30, 140], [34, 115], [35, 124], [38, 104], [39, 56], [40, 78], [41, 42], [43, 111], [44, 134], [45, 129], [50, 95], [51, 121], [52, 117], [53, 96], [55, 79], [57, 58], [59, 69], [60, 76], [61, 83], [63, 128], [64, 101], [65, 136], [66, 131], [67, 92], [68, 88], [70, 71], [72, 99], [73, 75], [74, 138], [77, 82], [80, 81], [85, 86], [87, 98], [89, 91], [90, 142], [93, 130], [94, 109], [97, 116], [100, 137], [102, 122], [107, 108], [110, 133], [112, 113], [114, 143], [118, 120], [119, 144], [125, 127], [126, 141], [132, 135]], а элемент b - в подстановку [[1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 4], [19, 95, 102, 101, 100, 99, 98, 97, 96, 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20], [28, 29, 30, 31, 32, 129, 132, 131, 130, 107, 106, 105, 104, 58, 59, 60, 61], [33, 103, 108, 109, 110, 111, 112, 114, 113, 41, 40, 39, 38, 37, 36, 35, 34], [42, 43, 44, 45, 46, 128, 122, 121, 120, 119, 118, 117, 116, 85, 84, 83, 82], [47, 48, 79, 78, 77, 76, 71, 72, 73, 74, 75, 137, 136, 135, 134, 133, 81], [49, 80, 94, 93, 92, 91, 90, 89, 88, 57, 56, 55, 54, 53, 52, 51, 50], [62, 115, 127, 126, 125, 124, 123, 86, 87, 70, 69, 68, 67, 66, 65, 64, 63]], реализует этот изоморфизм. Группа G17 состоит из 2448 элементов и проста.
При p = 29 параметр r = ±12 и G29 = < a, b; a2 = b29 = (ab)3 = (b12ab-24a)2 = 1 >.
Введем новый порождающий c = ab. Тогда представление группы G29 принимает вид: G29 = < a, b : a2 = c3 = (a~'c)29 = (ca-1)11 (ac-1)24 a(ca~')12 c(ac~')24 a = 1 >. Таким образом, G29
17
является факторгруппой свободного произведения G = < a, b : a = c = 1 > двух циклических групп порядков 2 и 3, факторизуемого по нормальному замыканию элементов r = (a~'c)29 и q = (ca-1)11 (ac-1)24 a(ca-1)12 c(ac~')24.
Для симметризированного множества R, состоящего из циклических перестановок слов r, q, r~
1, q-1 в группе G выполняется условие С' ^6j ; поэтому каждый неединичный элемент из
нормального замыкания множества N = < r, q >G в группе G содержит в качестве внутреннего сегмента левую половину некоторого элемента из R. Это означает, в частности, что N имеет единичное пересечение с каждым свободным множителем, и, следовательно, факторгруппа G/N = G29 бесконечна.
Вполне возможно, что для всех простыхp > 29 группы Gp такого вида всегда бесконечны.
Рассмотрим теперь строение групп G(n) = < a, b; an = 1, ab = b3a’ > для значений параметра n < 7.
Для любого n факторгруппа G(n) по ее коммутанту является прямым произведением циклической группы порядка n и циклической порядка 2, и, таким образом, индекс коммутанта в любой группе G(n) равен 2n.
2 3 3 2 1 3
Группа G(2) имеет представление G(n) = < a, b; a = 1, ab = b a > = < a, b; a = 1, aba- = b >.
Из соотношений a2 = 1 и aba-1 = b3 следует, что b8 = 1; и, таким образом, группа G(2) является полупрямым произведением групп < a; a2 = 1 > и < b; b8 = 1 >. Порядок G(2) равен 16.
Группа G(3) имеет представление G(3) = < a, b; a3 = 1, ab = b3a3 >. Это представление легко преобразовать: G(3) = < a, b; a3 = 1, ab = b3 > = < a, b; a3 = 1, a = b2 > = < b; b6 = 1 >. Итак, группа G(3) циклическая порядка шесть.
При n = 4 получаем G(4) = < a, b; a4 = 1, ab = b3a3 >. Введем новый порождающий c = ab. Тогда a = cb— и a-1 = bc4, и группу G(4) = < a, b; a4 = 1, ab = b3a-1 > можно представить в виде G(4) = < a, b, c; a4 = 1, a = cb-1, c = b3bc~' >, что равносильно: G(4) = < b, c; (bc-1)4 = 1, c2 = b4 >.
Это значит, что G(4) является факторгруппой свободного произведения G двух бесконечных циклических групп с объединенной подгруппой, G = < b, c; c2 = b4 >. Факторгруппа Gj группы G по нормальному замыканию элемента c2 является свободным произведением G = < b, c; b4 = 1, c2 = 1 > двух циклических групп.
Сама же группа G(4) - это факторгруппа группы G по нормальному замыканию N элемента r = (bc-1)4. Для симметризированного множества R, состоящего из циклических перестановок слов
r и r-1, в группе G выполняется условие С' ^6j ; поэтому каждый неединичный элемент из
нормального замыкания множества N в группе G содержит в качестве внутреннего сегмента левую половину некоторого элемента из R. Это означает, в частности, что N имеет единичное пересечение с каждым свободным множителем, и, следовательно, факторгруппа G/N = G(4) бесконечна.
В группе G(5) = < a, b; a5 = 1, ab = b3a3 > введем еще один вспомогательный порождающий c = (ab)2. Тогда G(5) = < a, b, c; a5 = 1, ab = b3a3, c = (ab)2 >.
Из этих соотношений следует, что b10 = 1 и с11 = 1, и, кроме того, bcb— = c5. Последнее соотношение означает, что подгруппа C нормальна в G(5). Так как abalb~l = c"2, подгруппа C = гр^) содержится в коммутанте K группы G(5). Из того, что факторгруппа < a, b, c; a5 = 1, ab = b3a3,
c = (ab)2, b10 = 1, с11 = 1, aca4 = c9, bcb- = c5, c = 1 > группы < a, b, c; a5 = 1, ab = b3a3, c = (ab)2, b10 = 1, с11 = 1, aca-1 = c9, bcb- = c5 > абелева, следует обратное включение: C з K.
Итак, коммутант K совпадает с подгруппой C порядка 11, а факторгруппа по коммутанту имеет порядок 10. Следовательно, порядок группы G(5) равен 110.
Отметим, что группа G(5) порождается элементами b, c и ее представление G(5) = < b, c; b10 = 1, с11 = 1, bcb— = c5 >. Отсюда следует, что группы G(5) является полупрямым произведением циклической группы C = < c; с11 = 1 > и циклической B = < b; b10 = 1 >, причем первая нормальна в G(5), а вторая нет.
Индекс коммутанта K в группе G(6) = < a, b; a6 = 1, ab = b3a3, ab = ba >, равен 12.
В порождающих x = [a, b], y = [a2, b] коммутант K имеет представление K = < x, y; y-1x2y4xy4 x x x^jxf'yx^jxT'yx4, xyx-1yx_2y2x_1yx_2(yx_1)3yx_2yx_1yx_1y_1, xy4xy4x2y_1(xy_1)3x2y_1xy_1y_1x2y_1xy4x_1y, x-1yx~2 x x (yx^y^Vy^xy^VVy^xy4, xy~1xyrlx2y~1x2y~1xy~1x2y~1x2y~1x>rlx2y~1x2y~1x}rix2y~1, xy^xy^xy^Vy^xy^x2 x x y~1x2y~'x>rlx2y~1x2y~1x}rlx2y~1x, xy~1xyx~1yx~1x~1yxy~1xyx~1yx~1x~1yxy~1xyx~1yx~1x~1yxy~1xyx~1yx~1x~1y, yx^yx^x^yx x
х у~1хух~1ух~1х~1уху~1хух~1ух~1х~1уху~1хух~1ух~1х~1уху~1х >.
Элемент х имеет в коммутанте порядок 84, порядок элемента у равен 21, а порядок ху равен 28. Факторгруппа К по ее коммутанту состоит из 28 элементов, а порядок второго коммутанта равен 27. Следовательно, порядок группы 0(6) равен 27 • 28 • 12 = 9072.
Группа 0(7) = < а, Ь; а1 = 1, аЬ = Ь3а3 > содержит бесконечную подгруппу. Например, подгруппа Н, порожденная элементами х = а2, у = Ь3, г = ЬаЬ, имеет в своем представлении всего два соотношения: Н = < х, у, г; х28, у х21 г-1х-1х-1х-1х-1ух16г-1х-1х-1х-1х-1ух16г-1х-1х-1х-1х-1ух16 >, и поэтому бесконечна, а следовательно, бесконечна 0(7).
Литература
1. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп: Сб. науч. тр. - 8-е изд., доп. -Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1982. - 144 с.
