Нахождение индекса подгруппы и проблема вхождения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 1(12). C. 15-25. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-12-1-15-25

УДК 512.24

НАХОЖДЕНИЕ ИНДЕКСА ПОДГРУППЫ И ПРОБЛЕМА ВХОЖДЕНИЯ

А. П. Горюшкин

Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4 E-mail: as2021@mail.ru

Для отдельных классов групп устанавливаются связи между двумя алгоритмическими проблемами: проблемой вычисления индекса подгруппы и проблемой вхождения.

Ключевые слова: группа, подгруппа, индекс подгруппы, алгоритмическая проблема, свободное произведение, прямое произведение

© Горюшкин А. П., 2016

MSC 18A32

INDEX OF A SUBGROUP FINDING AND OCCURENCE PROBLEM

A. P. Goryushkin

Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia E-mail: as2021@mail.ru

For separate classes of groups some relationships are revealed between two algorithmic prob-lems: problem calculation of index of a subgroup and occurrence problem.

Key words: group, subgroup, index of a subgroup, algorithmic problem, free product, direct product, occur-rence problem.

© Goryushkin A. P., 2016

Введение

Проблема индекса для конечно определенной группы О состоит в вопросе о существовании алгоритма, позволяющего по любому конечному множеству элементов йг-(г = 1,2,...,т) группы О выяснить, конечный или бесконечный индекс в О имеет подгруппа Н = гр(Й1,Й2,••• ,Нт), порожденная этим множеством.

В конечно порожденной группе содержится лишь конечное число подгрупп для каждого данного конечного индекса. Поэтому если в группе О разрешимы проблема вхождения и проблема индекса, то получив информацию, что индекс подгруппы Н в О конечен, простым перебором подгрупп конечного индекса в конечное число шагов можно этот индекс вычислить точно (детальное построение см., например, в работе [1], глава 1, § 8, стр. 42-44).

Частным случаем вычисления индекса является определение индекса единичной подгруппы группы О, т. е. нахождение порядка группы О. Свойство «быть конечной» для группы является марковским свойством, и поэтому в классе всех конечно определенных не существует алгоритма для узнавания, конечна или нет данная группа (впервые показано в работе С. Адяна [2]).

Примеры групп с разрешимой проблемой индекса

Для конкретной конечно определенной группы О вычисление ее порядка не является массовой задачей. Однако, если О - бесконечная, то в ней есть подгруппы бесконечного и конечного индексов. Такие индексы имеют, например, тривиальные подгруппы, но, возможно, что в О найдутся и другие подгруппы, как конечного, так и бесконечного индекса.

Если О - бесконечная простая конечно определенная группа, то из разрешимости в О проблемы вхождения следует разрешимость проблемы индекса, так как в такой группе всего одна подгруппа конечного индекса - сама О.

Однако обратная ситуация с простыми группами существенно сложнее. Каждая счетная группа изоморфно вложима в два-порожденную простую группу (впервые показано в работе [3]). В частности, конечно определенная группа Б с неразрешимой проблемой равенства (а, следовательно, и с неразрешимой проблемой вхождения) так же изоморфно вкладывается в некоторую простую два-порожденную группу О. В работе Кузнецова [4] установлено, что в каждой рекурсивно определенной простой группе разрешима проблема равенства. Это значит, что два-порожденная простая группа, содержащая такую Б, не только не является конечно определенной, она даже не может быть рекурсивно представлена.

Проблема вхождения фактически обсуждается в курсе линейной алгебры. Критерий совместности системы линейных уравнений является решением проблемы вхождения в конечно мерных векторных пространствах. Алгоритм, опирающийся на этот критерий, состоит в вычислении размерности двух вспомогательных подпространств. Эта размерность находится с помощью последовательного изменения порождающих множеств подпространств.

Для нахождения индекса подгруппы Н в группе О точно так же можно изменять порождающее множество для Н. Порождающее множество подгруппы видоизменяется с помощью преобразований, аналогичных элементарным преобразованиям по-

рождающего множества подпространства векторного пространства. Преобразования в группе следующие:

- замена элемента х на х-1;

- замена элемента х на элемент ху , где х = у;

- удаление единичного элемента.

Например, если Н - подгруппа бесконечной циклической группы =< а >, и Н = гр(ат1, ат2, ••• , атк), где т1, т2, ■■■ , тк Е Z, то с помощью элементарных преобразований можно найти единственный порождающий подгруппы Н, равный а5, где 5 = НОД(т1,т2,••• ,тк). Индекс равен числу 5. Таким образом, задача нахождения индекса подгруппы бесконечной циклической группы сводится к отысканию наибольшего общего делителя конечного множества целых чисел. Иначе говоря, проблема индекса для бесконечной циклической группы алгоритмически разрешима.

Бесконечная циклическая группа является частным случаем свободной группы. Группа < а >= - это свободная группа ранга 1. Задача вычисления индекса произвольной подгруппы свободной группы ^Г любого ранга г так же имеет алгоритмическое решение.

Пусть Н = гр(Й1, Ь.2, ■■■ , Нт) - конечно порожденная подгруппа свободной группы

С помощью преобразований порождающего множества в конечное число шагов можно получить свободные порождающие для подгруппы Н, и таким образом найти ранг Н. Такой способ получения свободных порождающих подгруппы свободной принято называть методом Я. Нильсена (детали доказательства см. например, [5], глава 1, п. 2, стр. 16-21).

О. Шрейер, оперируя не только порождающими элементами подгруппы, но и представителями смежных классов, установил связь между индексом подгруппы свободной группы, рангом этой подгруппы и рангом исходной свободной группы (см. например, [5], стр. глава 1, п. 3, стр. 33-34). Если подгруппа Н ранга к имеет конечный индекс в свободной нециклической группе ранга г имеет, то этот индекс равен

к -1 Т—1'

С помощью формулы Шрейера проблема индекса подгруппы свободной группы сводится к вычислению ранга подгруппы, который можно найти с помощью метода Нильсена (подробнее см. в работе Карраса и Солитэра [6]). Таким образом, проблема индекса в свободных группах алгоритмически разрешима.

Примеры групп с неразрешимой проблемой индекса

Покажем, что не в каждой конечно определенной группе проблема индекса алгоритмически разрешима.

Теорема 1. В прямом произведении двух свободных нециклических групп одинакового ранга проблема конечности индекса алгоритмически неразрешима.

Доказательство. Пусть группа О является прямым произведением двух свободных групп А =< а1, а2, ■■■ , ат > и В =< Ь1, Ь2, ■■■ , Ьт >, где т > 2.

Рассмотрим произвольную конечно определенную группу Я, заданную представлением

Я =< Г1,Г2,■■■ ,гк;Wl(гi),■■■ ,ып(г1) > .

Пусть число 5 удовлетворяет неравенству

к — 1

5 >

т1

В группе А есть подгруппы любого конечного индекса; выберем в А подгруппу Р индекса 5. По формуле Шрейера ранг подгруппы Р равен 5(т — 1) + 1, причем

5(т — 1) + 1 > к.

Если ранг подгруппы Р окажется строго больше к, то представление группы ^ пополним еще 5 — к порождающими элементами и приравняем эти элементы к единице. Без ограничения общности можно считать, что это уже сделано, т. е. 5 = к. Пусть Р элементы р1,р2,••• ,Рк свободно порождают подгруппу Р:

Р =< Р1, Р2, ••• , Рк > .

В группе В выберем подгруппу Q ранга к, индекса 5 в В и со свободными порождающими элементами #1,#2,••• ,:

Q =< #1, #2, ••• , > .

Подгруппа группы О, порожденная подгруппами Р и Q, изоморфна прямому произведению Р х Q и имеет в группе О конечный индекс.

Рассмотрим теперь нормальное замыкание элементов —1(р,),••• ,—и(рг) в группе

Р:

Н = гр(^1(рг'), ••• , — (р,) Р1#1, ••• , рк#к).

Элементы г,, д, лежат в различных прямых сомножителях группы О, поэтому они перестановочны:

= д,т,\

Это значит, что для любого слова ф выполняется равенство

ф (= ф (Ы

и поэтому для любого —у(р,) имеем равенство:

ф—Чр^)— (р,)ф (р ) = ф——Чр,)— (р,)ф (р,)ф (д) = ф—(р,)ф (р,).

Отсюда следует, что подгруппа N1 содержится в подгруппе Н1:

N С Н1 П Р.

С другой стороны, если ф(-«(р,),р^д,) принадлежит Р, то сумма степеней в слове ф для каждого д, равна нулю, а это означает, что ф(-у(р ,),р ,■#,■) еМ. Таким образом,

N = Н1 П Р.

Проделаем аналогичные построения во втором прямом множителе. Пусть N2 -нормальное замыкание элементов ^(д),••• ,-и(дг) в группе Q:

N2 =< -1(д),••• ,-и(д) >

и

H2 = ^(w^qt), ••• , Wn (qt), piqi, ••• , PkQk).

Точно так же, как и для групп Hi, Ni и P, теперь получаем для групп H2, N2 и Q:

N2 = H2 n Q.

Для любого j = 1,2,••• ,n имеем:

wj (Ptqt)= wj(Pt)wj ^^

и, следовательно,

wj (qt )= w-1( Pt)wj(Ptqt).

Это означает, что H2 С Hi; по тем же соображениям верно и обратное включение: Hi С H2. Группы Hi и H2 совпадают; обозначим их одной буквой H:

H = Hi = H2.

Пересечения с подгруппами P и Q,

H n P = Ni,H П Q = N2.

Если группа R - конечна, то индексы Ni и N2 в подгруппах P и Q конечны, но P и Q подгруппы конечного индекса в прямых множителях, и, следовательно, индекс [G : H] конечен.

Наоборот, если индекс H в группе G конечен, то конечен индекс Ni в подгруппе P, и, следовательно, группа R - конечна.

Таким образом, проблема индекса в группе G эквивалентна проблеме конечности в классе всех конечно определенных групп, Проблема конечности неразрешима, а, значит, и проблема индекса для конечно определенной группы тоже алгоритмически неразрешима. □

Алгоритмическая неразрешимость проблемы означает, в частности, что машинного решения такой задачи не существует. Например, никакая техника никогда не сможет по единой программе всегда однозначно отвечать на вопрос, конечен или бесконечен индекс произвольно заданной конечно порожденной подгруппы в группе

G = F2 х F2 =< a,b,c,d;aca-ic-i,ada-id-i,bcb-ic-i,bdb-id-i > .

Отметим, впрочем, что в некоторых случаях вычисление индекса подгруппы в конечно определенной группе можно все-таки выполнить с помощью техники. Например, пакет символьных вычислений Maple 18 иногда позволяет вычислить индекс подгруппы в конечно определенной группе, если этот индекс конечен и не превышает числа 128000. Однако машинные результаты, как правило, требуют дополнительной «ручной» проверки. Примеры такого рода вычислений и ручных проверок представлены в работах [7] - [10].

С. Михайловой в работе [11] показано, что для группы F2 х F2 проблема вхождения неразрешима. Это доказательство (§ 2, теорема 1, стр. 242-244 в [11]) легко переносится и на более общий случай прямого произведения Fr х Fr двух свободных групп ранга r > 2. Таким образом, возникает бесконечная серия конечно определенных групп, для которых проблема вхождения и проблема индекса оказались эквивалентными (обе неразрешимы).

Заметим, что в свободных группах разрешимы и проблема вхождения, и проблема индекса, однако прямое произведение не сохранило ни того, ни другого.

Свободное произведение, в отличие от прямого, разрешимость проблемы вхождения сохраняет: из разрешимости проблемы вхождения в множителях А, В следует разрешимость проблемы вхождения в свободном произведении О = A*B (Михайлова, [12]).

Связь проблемы индекса и проблемы вхождения для свободно разложимых групп

Методом, близким к методу Нильсена для свободных групп, Д. Молдаванский в работе [13] уточнил результат Михайловой о решении проблемы вхождения в свободном произведении.

Пусть W - некоторое множество слов из свободного произведения О = А * В. Расширим множество Ш до множества W±1, замкнутого относительно операции обращения:

W±1 = {£ | g е W или 11 е W}.

Начальный отрезок элемента g из W называют изолированным в W, если он не является начальным отрезком никакого другого элемента из W±1 . Пусть WV(X) - множество всех элементов из W, имеющих вид 1, где х е X(X = А или X = В). Пару (V,X) называют типом трансформ из Wv(X). Символом X) обозначим множество всех элементов из множителя X, являющихся (1 + 1) слогом некоторого элемента g из множества ^ \ WV(X))±1, причем начальным отрезком элемента g является V, т. е. несократимая форма g имеет вид: g = vsz, где 5 е X).

Следуя [9], назовем множество элементов W из свободного произведения ниль-сеновским множеством, если:

- большой начальный отрезок каждого элемента из W±1 изолирован в W;

- левая половина каждого элемента четной длины из W±1 изолирована в W;

- для каждого типа (V,X) множество X) не содержит элементов из подгруппы V--^р^,;(Xа множество Б^,X) состоит из представителей различных правых смежных классов группы подгруппе V-1гр(WV(X

- левая половина каждого элемента из W±1, не являющегося трансформой, изолирована в W;

Как и для свободных групп, преобразования Нильсена множества М элементов свободного произведения О это:

- замена некоторого элемента х из М элементом х-1,

- замена некоторого элемента х элементом хуе(где у е М,у = х,е = ±1).

- выбрасывание единицы.

Индукцией по суммарной длине всех слов множества W устанавливается, что с помощью конечной последовательности преобразований любое конечное множество W можно превратить в нильсеновское множество, причем процедура преобразований эффективна, если в свободных множителях разрешима проблема вхождения. Свойства нильсеновского множества означают, что полученные порождающие подгруппы Н являются порождающими разложения Куроша- Маклейна этой подгруппы (Молдаванский [13] и [14]).

Таким образом:

- если в группах А и В разрешима проблемы вхождения, то существует эффективная процедура перехода, переводящее любое множество элементов W группы О в нильсеновское множество Wl;

- из разрешимости проблемы вхождения в группах А и В следует разрешимость проблемы вхождения в группе О;

- если Wl - нильсеновское множество порождающих для подгруппы Н группы О, то Н является свободным произведением групп, порожденных трансформами одного типа, и бесконечных циклических групп, порожденных элементами из Wl, не являющихся трансформами, причем это разложение для Н является разложением Куроша-Маклейна.

Теорема 2. Если в группах А, В разрешима проблема вхождения, то в свободном произведении О = А * В разрешима проблема индекса.

Доказательство.

Пусть W - некоторое конечное множество элементов из группы О, и Н - подгруппа, порожденная множеством W. Так как существует эффективная процедура, переводящая каждое конечное множество в нильсеновское, можно считать, что уже W является нильсеновским множеством.

Пусть уг-Аг-у-1 , I = 1,2,■■■ ,т, и -щ^В^-1, ] = 1,2,■■■ ,п - подгруппы, порожденные типами трансформ А¡) и (wj,В^ соответственно, а ¥ - свободная группа, порожденная элементами из W, не являющимися трансформами. Тогда согласно теореме Куроша о подгруппах свободного произведения подгруппу существуют такие системы представителей двойных смежных классов SA(HgA) и sв(HgB), что

- 5А(НА)= 5В(НВ) = 1;

- если HgA = НА, то SA(HgA) заканчивается В-слогом, и если HgB = НВ, то яа(HgB) заканчивается А- слогом;

- группа Н является свободным произведением;

H = F * П (HgX)X sx (HgX)-

Xe{A,B},geG

П H,

где F - свободная группа, не содержащая ни одного сопряжения из групп A,B.

В работе [1] показано, что если G - нетривиальное свободное произведение A * B, и H - конечно разложимая подгруппа в G, то индекс разложения [G : (H,A)] по двойному модулю конечен тогда и только тогда, когда индекс [G : H] конечен ([1], глава 1, § 2, стр. 15 - 17).

Рассмотрим разложение группы G по двойному модулю

G = HgiA + Hg2A + •••

Если множество {g,g2, • • •} образует полную систему представителей для разложения G mod (H,A), то в этом множестве найдется такое подмножество {gai,••• ,gam}, что для t = i, 2, • • •, m

gat = vt mod (H,A).

Кроме того, для каждого элемента g из G, если g сравним по mod (H,A) с некоторым элементом из разности

Y = {g, g2, • • • } \ {gai, ••• , gam К

1

то пересечение Н ПgAg— 1 равно единичной подгруппе.

Аналогичное утверждение выполняется и для подгруппы В.

Далее рассмотрим три случая.

Случай 1. Оба свободных множителя А и В является бесконечными группами.

Пусть ранг свободной группы ^ в разложении для подгруппы Н оказался равным г. Число г, а также числа т,п эффективно вычислимы. Обозначим

к = т + п + г - 1.

При фиксированном разложении О = А * В число к является инвариантом всевозможных разложений Куроша для подгруппы Н. В частности, если

Н = * П *НУ,

V

- разложение Маклейна для группы Н, то ранг подгруппы тоже равен г.

В работе Куна [15] установлено, что разложение Маклейна обладает следующим свойством: если подгруппа Н имеет конечный индекс в свободном произведении А* В, то ранг свободной части для разложения Н равен

[О : Н] - [О : (Н,А)] - [О : (Н, В)] + 1.

Заметим теперь, что в рассматриваемом случае из конечности индекса Н в О следует, что [О : (Н,А)] = т, а [О : (Н, В)] = п.

Предположим, что [О : (Н,А)] > т. Тогда множество У не пусто, следовательно, найдется такой элемент g из О, что пересечение Н ПgAg—1 единично.

Из того, что группа А бесконечна, следует бесконечность индекса подгруппы Н в группе О.

Точно такие же рассуждения подходят и для подгруппы В.

Отметим еще, что можно считать, что к > 0. Действительно, если оказалось, что к = 0, то Н является бесконечной циклической группой или подгруппой из сопряжения множителя, и, следовательно, индекс Н в О бесконечен.

Рассмотрим множество Я подгрупп группы О индекса к в О,

Я = К < О | [О : К] = к.

Множество Я конечно, и можно эффективно найти множества систем порождающих для подгрупп из Я. Из разрешимости проблемы вхождения в группе О следует разрешимость проблемы вхождения произвольной конечно порожденной подгруппы Р из О в множество Я. Теперь если Н имеет конечный индекс в О, то выполняется равенство

г = [О : Н] - т - п + 1,

т. е. Н принадлежит Я. Другими словами, подгруппа Н имеет конечный индекс в О тогда и только тогда, когда Н лежит Я. Этим заканчивается рассмотрение случая 1.

Случай 2. Группа О является свободным произведением А * В конечной группы А и бесконечной группы В.

Рассмотрим нормальное замыкание В свободного множителя В в группе О. Подгруппа В является свободным произведением сопряжений подгруппы с помощью элементов из А ,

В = П *Ва,

аеА 22

т. е. - это свободное произведение

В = В * П *Ва,

аеА\{1}

где оба множителя - бесконечные группы.

Обозначим через Я подгруппу группы О, порожденную подгруппами Н и В , а буквой Б обозначим пересечение В П Н. Подгруппа Я имеет конечный индекс в О, а так как в группе О разрешима проблема вхождения, порождающие для Я можно эффективно найти. Кроме того, можно эффективно найти множество Г1, Г2, ■■■ , г5, являющееся полной системой представителей правых смежных классов для Я шоё В. Пересечения Н П Бт[, I = 1, ■■■ , я не пусты; и если выбрана система элементов Ь,1, ■■■ , Н5 по одному из каждого множества, то это множество образует полную систему представителей правостороннего разложения Н шоё Б. Снова из разрешимости проблемы вхождения в группе О следует существование эффективной процедуры для нахождения множества Ь,1, ■■■ , Н5.

Теперь можно найти порождающие элементы для подгруппы Б. Так как индекс подгруппы В в группе О конечен, подгруппа Н имеет конечный индекс в О тогда и только тогда, когда Б имеет конечный индекс в В. Таким образом, случай 2 сводится к случаю 1.

Случай 3. Группа О - свободное произведение неединичных конечных групп А и В.

Рассмотрим К = [А,В], взаимный коммутант А и В. Так же, как в случае 2 можно найти порождающие пересечения Б = Н ПК.

Таким образом, если ранг группы Б больше единицы, свести рассматриваемую ситуацию к случаю 1. Если же ранг Б равен единице, то О является бесконечной группой диэдра, в которой подгруппа Н имеет конечный индекс тогда и только тогда,

когда порядок Н больше двух.

□

Итак, для разрешимости проблемы индекса в свободном произведении А * В достаточно разрешимости проблемы вхождения в группах А и В.

Покажем, что это достаточное условие является необходимым.

Теорема 3. Если в нетривиальном свободном произведении А * В разрешима проблема индекса, то в свободных множителях А, В разрешима проблема вхождения.

Доказательство. Покажем, что из разрешимости проблемы индекса в группе А * В следует разрешимость проблемы вхождения в группе А.

Пусть А1 - произвольная конечно порожденная подгруппа группы А, а х - произвольный элемент из группы А. С помощью алгоритма, решающего проблему индекса в группе О, выясним, принадлежит элемент х подгруппе А1 или нет. Возьмем Ьо -неединичный элемент из подгруппы В. Алгоритм, решающий проблему вхождения в группе А будет зависеть от того, равен порядок подгруппы В двум или нет.

Случай 1. Порядок группы В больше двух. В группе О рассмотрим подгруппу

Н1 = гр(А1, Вх, АЬо).

Покажем, что подгруппа Н1 имеет конечный индекс в группе О тогда и только тогда, когда х принадлежит А1. Это и будет означать разрешимость проблемы вхождения для группы А.

Если х принадлежит А, то Н1 имеет конечный (равный единице) индекс в О. Предположим, что х </ А; тогда Н1 разлагается в свободное произведение

Н1 = А1 * Вх * АЬо.

Пусть Ь - неединичный элемент из В, отличный от Ьо. Тогда подгруппа, порожденная подгруппами Н1 и Аь, является их свободным произведением,

гр(Н1, Аь) = Н1 * Аь

и, следовательно, имеет бесконечный индекс в группе О. Этим заканчивается рассмотрение случая, когда порядок больше двух.

Случай 2. Порядок В равен двум. Тогда в группе О возьмем подгруппу

Н2 = гр(А1, АхЬо, аоЬАа0°),

где ао - неединичный элемент из группы А. Подгруппа Н2 содержится в нормальном замыкании множителя А в группе О; причем

А = А * Ь° 1АЬ0.

Таким образом, группа А попадает в условия предыдущего случая. Сейчас роль группы В исполняет группа АЬо, а роль элемента Ьо - элемент «0°. Подгруппа Н2 в группе построена аналогично подгруппе Н1 в группе А * В. Поэтому снова элемент х принадлежит подгруппе А1 тогда и только тогда, когда Н2 имеет конечный индекс в А , и, следовательно, и конечный индекс в группе О. Теорема 3 доказана. □

Из теоремы 2 и 3 следует, что для каждой свободно разложимой группы проблема индекса разрешима тогда и только тогда, когда в этой группе разрешима проблема вхождения.

Заметим, что для эквивалентности проблемы индекса и проблемы вхождения группе вовсе не обязательно быть свободно разложимой. Очевидно, что свободное произведение с объединенной конечной нормальной подгруппой или прямое произведение свободного произведение и конечной группы тоже обладают этим свойством.

Заключение

В рассмотренных бесконечных сериях групп проблема индекса и проблема вхождения оказались равносильными. Возможно, что эта связь между двумя алгоритмическими проблемами выполняется для всех конечно определенных групп.

ВОПРОС 1. Верно ли, что в классе конечно определенных групп проблема вхождения эквивалентна проблеме индекса?

Заметим, что для разрешимости проблемы индекса в А * В не потребовалась разрешимость проблемы индекса в группах А и В. Поэтому если бы разрешимость проблемы индекса в множителях оказалась необходимым условием разрешимости проблемы индекса в свободном произведении, то для любой конечно определенной группы из разрешимости проблемы индекса следовала бы разрешимость проблемы вхождения.

С другой стороны, если бы разрешимость проблемы индекса была достаточным условием разрешимости проблемы индекса в свободном произведении, то из разрешимости проблемы индекса следовала бы разрешимость проблемы вхождения.

Таким образом, вопрос, не эквивалентна ли проблема вхождения проблеме индекса, можно сформулировать в виде двух следующих вопросов.

ВОПРОС 2. Верно ли, что из разрешимости проблемы индекса в свободном произведении следует разрешимость проблемы индекса в свободных множителях?

ВОПРОС 3. Верно ли, что из разрешимости проблемы индекса в свободных множителях следует разрешимость проблемы индекса в свободном произведении?

Список литературы

[1] Горюшкин А. П., Амальгамированные свободные произведения групп, ДВФУ, Владивосток, 2012, 158 с.

[2] Адян С. И., "Алгоритмическая неразрешимость проблем распознавания некоторых свойств групп", Докл. АН СССР, 103:4 (1955), 533-535.

[3] Goryushkin A. P., "Imbedding of countable groups in 2-generated simple groups", Mathematical Notes, 16:2 (1974), 725-727.

[4] Кузнецов А. В., "Алгоритмы как операции в алгебраических системах", УМН, 13:3 (1958), 240-241.

[5] Линдон Р., Шупп П., Комбинаторная теория групп, Мир, М., 1980, 448 с.

[6] Karrass A., Solitar D., "On finitely generated subgroups of a free group", Proc. Amer. Math. Soc., 22:1 (1969), 209-213.

[7] Горюшкин А. П., "Особенности машинного исследования дискретных групп", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2013, № 1(6), 43-55.

[8] Горюшкин А. П., "Машинное решение задач дискретной математики", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2011, №2(3), 58-68.

[9] Горюшкин А. П., "О группах с представлением < a,b;an = 1,ab = b3a3 >", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2010, №1(1), 8-11.

[10] Горюшкин А. П., Горюшкин В. А., Элементы абстрактной и компьютерной алгебры, КамГУ им. Витуса Беринга, Петропавловск-Камчатский, 2011, 518 с.

[11] Михайлова С. А., "Проблема вхождения для прямых произведений групп", Мат. сб., 70:2 (1966), 241-251.

[12] Михайлова С. А., "Проблема вхождения для свободных произведений групп", Мат. сб., 117:2 (1968), 199-210.

[13] Молдаванский Д. И., "Метод Нильсена для свободного произведения групп", Уч. зап. Иванов. гос. пед. ин-та, 1969, №61, 170-182.

[14] Молдаванский Д. И., "О проблеме сопряженности для подгрупп", Уч. зап. Иванов. гос. пед. ин-та, 1972, №106, 123-135.

[15] Kuhn H. W., "Subgroup theorems for groups presented by generators and relations", Ann. of Math., 1952, №56, 22-46.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 08.02.2016