CC BY
46
О НЕКОТОРЫХ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ЧИСЛЕННОМ АНАЛИЗЕ УРАВНЕНИЙ ЖИДКОСТЕЙ КЕЛЬВИНА-ФОЙГТА
А.П.Осколков *
Петербургское отделение
Института математики им В А.Стеклова (ПОМИ)
В настоящей работе изучены две псевдопараболические квазилинейные системы уравнений в частных производных с малым параметром, возникающие естественным образом при численном анализе первой начально-краевой задачи для уравнений жидкостей Кельвина - Фойгта, в том числе высокого порядка.
Ключевые слова: псевдопараболические уравнения, начально-краевая задача, уравнения жидкостей Кельвина - Фойгта, уравнения Навье - Стокса, уравнения собо-мьского типа
1. Одним из примеров уравнений типа Соболева, активно изучаемых в последние годы с различных точек зрения, являются уравнения жидкостей Кельвина - Фойгта
у( - кДУ; - ¡УА V + + Ур = /, сПуу = 0, и, к > 0 (1)
и уравнения жидкостей Кельвина - Фойгта порядка Ь = 1,2,...
у4 - кДу( - уДУ + \куХк + Е ЙДи/ + V? = /, сПуу = 0, 1
1=1 ( \г) ^ + и/ = у, / — 1------J
В (1) и (2) у(ж,г) ~ вектор скорости жидкости, давление, а
и;
Первая начально-краевая задача для системы (1) заключается в решении (1) в (¿ы О. X 11+, ^ С И.3, 11+ := [0,оо) при начально краевых условиях
4=0
у0(ж), х е П; у
эп
= 0, * е к+.
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта №93-011-16149).
= х ео,-, V
- о, < е К-"1".
Аналогично, первая начально-краевая задача для системы (2) заключаете в решении (2) в (¿ж при начально-краевых условиях
= и/
г=о
= и/
О, х 6 О;
г=о
эп
о,
Вторая начально-краевая задача для систем (1) и (2) заключается в реше нии этих систем в (З«, при начально-краевых условиях
v0(x), х ей;
¡=о
= 0, (го1,у X п)
v
= и;
<=0
да
= 0, х б П;
(гои^ X п)
эй
4=0
= 0, (го^ х п)
за
= ("/)п
да
= 0, г ей*
ап
эй
о, гек+,
В (5) и (6) уп := V • п - нормальная компонента вектора скорости V на границе дй, области единичная нормаль к
Глобальная классическая разрешимость первой и второй начально' краевых задач для уравнений (1) и (2) детально изучена в работах автора [1 - 5]. В работах Г.А.Свиридюка (см. [6]) изучено фазовое пространства первой начально-краевой задачи для уравнения (1).
2. Классическим примером уравнения типа Соболева являются псевдопараболические уравнения и системы таких уравнений [7 - 10]. Особенно интересны примеры таких псевдопараболических уравнений и систем, которые возникаю! в естествознании и математическом моделировании.. В настоящей работе мы изучим две псевдопараболические квазилинейные системы уравнений с малым параметром, возникающие естественным образом при численном анализе первой начально-краевой задачи для уравнений (1) и (2). Другие примеры пседопараболических квазилинейных систем уравнений, возникающие при численном анализе второй начально-краевой задачи для уравнений (1) и (2), приведены и изучены в [11; 12].
3. Известно [13; 14], что при численном анализе начально-краевых задач для уравнений вязких несжимаемых жидкостей возникают трудности, связанные с удовлетворением уравнению несжимаемости
сНУУ = 0.
О НЕКОТОРЫХ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ 15?
Одним из способов преодоления этих трудностей, предложенным в 19661968 гг. для уравнений Навье - Стокса
Vi - i/Av + VfcV^ + Vp = /, divv - 0, (8)
А.Уориным, Р.Темамом, О.А.Ладыженской и Н.Н.Яненко (см. библиографию в [13; 14]) и позволившим применить для приближенного решения начально-краевых задач для уравнений (8) экономичные конечно-разностные схемы переменных направлений (метод дробных шагов), являются так называемые г-аппроксимации уравнений Навье - Стокса (8) возмущенными параболическими системами с малым параметром е > 0, в которых уравнение (7) аппроксимируется одним из следующих уравнений
ере + v divv* = 0, > (9)
eft + divve = 0, (10)
е{р6г + аре) + divve = 0, а > 0, (11)
а первое из уравнений (8) аппроксимируется следующим уравнением со штрафом
v(e - vAve + v%vlk + ^vedivveVpe = /. (12)
Легко видеть, что ¿-аппроксимация (9), (12) уравнений Навье - Стокса (Я) описывается параболической квазилинейной системой
v* ~i>L*vs + Me{ve) = /, (13)
в которой
1
Lsve := Av£ -f ^graddivv£, £>0, (J4)
.ь линейный эллиптический оператор (оператор теории упругости), и
Mf(vff) := + ^v'divv' (15)
нелинейные члены со штрафом.
Первая начально-краевая задача для уравнения Навье - Стокса (8) и возмущенных уравнений (13)-(15) (уравнения Навье - Стокса со штрафом) заключается в решении систем (8) и (13)-(15) в Qoo при начально-краевых ■Условиях (3). Теория первой начально-краевой задачи (8), (3) для уравнений ш>е - Стокса хорошо известна [13; 14]. Первая начально-краевая задача В)-(15), (3) для уравнения Навье - Стокса со штрафом изучена в [15; 16]. ам показано, что если выполнены условия
fiCR2, dtteC2; Vo(x-) GJ| (О); /,/i€X2(Q00) (16)
(на протяжении всей работы мы будем использовать обозначения, прищ тые в [13]), то начально-краевая задача (13)-(15), (3) при \/е > 0 имед единственное решение vе такое, что
€ € ^(б^), (1 и для этого решения справедлива оценка
К> < 11с(Н + ,Ь2(П)) + 7 мт +
+ < Сг (^МЫ!^ ,\\Ш2Л„) • (18)
При е —> 0 справедливы предельные переходы
в С(К+-12(П)), (19)
(11УУ£Д0 В С(К+;12(^)), (20)
в ¿г(<?со), (21)
в (22)
С
и (у,р) есть единственное решение первой начально-краевой задачи (8),(3) для уравнений Навье - Сюкса такое, что
уЛ,у, 6 С(К+;Ь2(П); уи,У6 ¿¿(0«>); V? 6 ¿¿(^оо)- (23)
Существование такого решения задачи (8),(3) для двумерных уравнений Навье - Стокса было доказано в 1958 г. О.А.Ладыженской (см. [13]).
Сформулированная теорема показывает, что ^-аппроксимация (9), (12) (3) или, что то же, (13)-( 15), (3) первой начально-краевой задачи (8), (3) для уравнений Навье - Стокса является в двумерном случае (О С К2) гладкой и сходящейся в том смысле, что возмущенная начально-краевая задача (13)-(15), (3) при Уг > 0 имеет единственное классическое решение у£ со свойствами (17), и при е —► 0 эти решения сходятся в описанном выше смысле (см. (19)-(22)) к единственному классическому решению (у,р) первой начально-краевой задачи (8), (3) для уравнений Навье - Стокса.
В [12; 17] показано, чго г-аппроксимации (10), (12) и (11), (12) двумерных уравнений Навье - Стокса (8) являются гладкими и сходящимися в случае второго начально-краевого условия
V = уо(ж), х £ О, С И. ; уг ¿=о
= 0, го!У
эп
= 0, г е к+. (24)
эи
Тем самым оказывается, что гладкость и сходимость ¿-аппроксимаций уравнения движения вязкой жидкости зависит от вида краевого условия. Кроме того, как мы увидим ниже (см. также [11; 12; 15 - 17]), необходимым условием гладкости и сходимости ¿-аппроксимаций в определенном выше смысле является сохранение соленоидальности начального условия возмущенных задач: <Пуу£(ж,0) = 0, х £ О.
4. Цель настоящей работы - построить гладкие и сходящиеся ¿-аппроксимации первой начально-краевой задачи (1), (3) для уравнения жидкостей Кельвина - Фойгта и первой начально-краевой задачи (2), (4) для уравнений жидкостей Кельвина - Фойгта порядка Ь = 1,2,... Мы покажем, что гладкие и сходящиеся ¿-аппроксимации начально-краевой задачи (1), (3) получаются, когда уравнение несжимаемости (7) аппроксимируется одним из следующих уравнений:
ер£ + и(Иуу£ + к&уу* = 0, е > 0, (25)
ере + ксНуу* = 0, ¿ > 0, (26)
а первое из уравнений (1) аппроксимируется следующим уравнением со штрафом
у^ - кДу^ - г/АVе + Ме{Vе) + V/ = / (27)
(см. (15)). Легко видеть, что ¿-аппроксимации (25), (27) и (26), (27) урав нений жидкостей Кельвина - Фойгта описываются соответственно следующими псевдопараболическими системами уравнений
¿!(у£) := у* - гIеуг£ - г/1£у£ + М£(Vе) = /, (28)
Ь2{Vе) := < - - 1/А\€ + Ме{Vе) = / (29)
(см. (14)).
Мы покажем далее, что гладкие и сходящиеся ¿-аппроксимации пер вой начально-краевой задачи (2), (4) для уравнений жидкостей Кельвина -Фошта порядка Ь = 1,2,... получаются, когда уравнение несжимаемости (7) аппроксимируется одним из следующих уравнений
ь
¿/ + г/<11ууе + к<Ичлг* + = 0, г > 0, (30)
¿--1
ь
ерЕ + ксНуу; + ^ /3;сПуи, = 0, е > 0, 1-1
160
А.П.Осколков
а первое из уравнений (2) аппроксимируется следующим уравнением со штрафом
L
vfe - KAvet - z/Ave - J2 ftdivuf + Me(v£) + Vf = /. (32)
i=i
Легко видеть, что ^-аппроксимации (30), (32) и (31), (32) уравнений жидкостей Кельвина - Фойгта порядка L = 1,2,... описываются соответственно следующими псевдопараболическими системами уравнений
vf - nL^t - vL^ - ¿ (3¡LSuf + Me(v£) = /, . (33)
uít + a'ul = ye. Í = !,•..,£,
v? - «¿evf - ¡/Av£ - £ /?,¿£uf + M£(v£) = /, . (34)
uft + a¡ uf = v£, l = 1,... ,L.
Мы увидим ниже, что квазилинейные псевдопараболические системы (30), (31), (33) и (34) регуляризуют квазилинейную параболическую систему (13) - (15) в том же смысле, в каком уравнения жидкости Кельвина - Фойгта (уравнения (1)) и уравнения жидкостей Кельвина - Фойгта порядка L = 1,2,... (уравнения (2)) регуляризуют уравнения Навье - Стокса (8) [1 -5].
Основные результаты настоящей работы сформулируем в виде следующих двух теорем.
ТЕОРЕМА 1 .Пусть выполнены условия
ÜCR3, ШеС2; vo(z)eJf(Û); f,ft G L2(Q^}. (35)
Тогда начально-краевые задачи (28), (3) и (33), (4) при Vs > 0 имеют единственное решение
v£CM) G (íi))H + (fi)), (36)
и для этого решения справедлива оценка
v
е|1и'4(К+,ж22(гг)) + llv£|lvvi(R+;w22(n)) + ~ ||graddivve¡i|/oo(R+ ¿2(n)) +
1 1 + - lldivvtllL(R+,L2(ü)) + +- ||grad(i/divv£ + Kdivvni|2Loû(R+.L2(s1)) <
< c2 (^_1,«~1,¡!vo||^,||/,/í||2iQoo) , (37)
где постоянная С2 не зависит от е > 0.
При £ —> 0 справедливы предельные переходы
у£Ау в (38)
у£Ду в (39;
с!1УУ£Д0 В ¿оо(К+; ^(О)), (40)
+ в Хоо(К+;1Фг21(0)). (41)
Здесь предельные функции (у,р) и (у, и/,р) являются единственным решением начально-краевой задачи (1), (3) для уравнений жидкостей Кельвина - Фойгта или начально-краевой задачи (2), (4) для уравнений жидкостей Кельвина - Фойгта порядка Ь = 1,2,... со свойствами
2 2
у е }2 (П))пи^21(а+; }2 (П));УРе 1оо(в.+ ; 12(^))Ш2(д00), (42)
и для этого решения справедлива оценка
<С3(и-\к~\ |М?М|/,/,||2,Рос). (43)
Существование такого решения начально-краевых задач (1), (3) и (2), (4) доказано в работах автора [1 - 5].
Функции {и?} в задаче (33), (4) имеют вспомогательное значение, и их свойства полностью определяются свойствами функции у£.
ТЕОРЕМА 2. Пусть выполнены условия (35). Тогда начально -краевые задачи (29), (3) и (34), (4) при УГ < оо и при Уе > 0 (Т не зависит от г!) имеют единственное решение
у£(Ж,0е И£(0,Г;Ж|(Я))П^2Ч0,Г;^2 (О)), (44)
и для этого решения справедлива оценка
1М!и/^(0,Г;И//(П)) + 11уе!1и/](0,Г;И/|(П)) + + ~ Нё^^^И^О^МП)) +
¿||8гаас1,ууЛ|^(0Д,ЫП)) ^а^^^-МКИЙ,!!/,/^^,^), (45)
причем постоянная С4 не зависит от £ 0 и, вообще говоря, С4 —> оо при Т —► оо.
При £ —► 0 справедливы предельные переходы
у* А у в И^(0,Т;Ж22(0)), (46)
<Пуу£Д0 в 1оо(0,Т; ШЦП)), (47)
--<11уу*а р(х,*> в !«,((), Т;!*^)) (48)
при \/Т > 0, и предельные функции (у,р) и (у,{и/},р) являются единственным решением начально-краевой задачи (1), (3) или начально-краевой Зпдпчп (9)г (/) го гло11гтйп ыц (42), (43)-
5. Хорошо известно, что для доказательства теорем 1 и 2 достаточно доказать равномерные по е > 0 априорные оценки (37) и (45) для гладких решений возмущенных начально-краевых задач (28), (3); (33), (4); (29), (3) и (34), (4), причем при доказательстве этих оценок мы ограничимся для простоты письма случаем Ь — 0, т. е. задачами (28), (3) и (29), (3). После этого доказательство существования решения изучаемых задач при Уг > О может быгь доказано, например, методом Фаедо - Галеркина [13; 14]. Результаты о сходимости при е —► 0 следуют из известных теорем о компактности [13; 14; 18].
Априорные оценки (37) и (45) для гладких решений Vе начально-краевых задач (28), (3) и (29), (3) получаются из следующих уравнений,
справедливых при У£ в и г = 1,2:
= у£Ь,п, (49)
(£!ЮД/уеЬ,п-(/,ГУ£)2,п, (50)
(4(^)^)2, П = (/,У4е)2,П, (51)
((^уе)),,у?)2,п = (/<Х)2,п, (52)
((£,( Vе))*, ££У?)2,П = (/„ 1еу?)2,п • (53)
При доказательстве оценок (37) и (45) мы будем также использовать следующие хорошо известные неравенства:
- неравенство О.А.Ладыженской [13]
\Mifl < 4|М|2,П • ||Уу|||п, УУ ещ1 (О), т С Л3; (54)
— неравенство С.Л.Соболева [13; 18]
тах|у| < С5(П)||у||Й, Уу еЖ22 (О), УО С К3, (55)
О НЕКОТОРЫХ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ 163
- второе основное неравенство для оператора Лапласа [13]
1М$ < Св(Я)||Ду||2,п, Vveж22(í2), Чдпес2-, (56)
- второе основное неравенство для эллиптического оператора Ье Д + ^гаа&у, £ > 0 [15; 16]
¡|Ау||^+^||ёгааа1уу||^ < С7(1])||Хеу||^, VveW22(Sl), УдП 6 С2;
(57)
- лемму Гронуолла [13, гл.VI] и лемму Беллмана-Гронуолла [19]:
если для VI 6 справедливо неравенство
< 4
у{1) + I г{т)йт <Уо + I Р{т)у{т)(1т, (58)
о о
в котором у, уо(0> -КО? > 0 и £ ¿1(В,+ ), то для У;£ £ справедлива оценка:
< / ( г \
у(0 + I г(т)(1т <у0 1 + У Дг)ехр | (59)
6. Доказательство априорной оценки (37), Ь ~ 0.
Из уравнений (49)-(53) с г = 1 мы получим при У< £ следующие уравнения:
2 (|КЩП + « ши + 7 + "\KWlfl + 7 =
= (60)
(\к\\1п + \ + II+ „ =
- -(/, 1£у£)2,п + (М£(УР), 1£у£)2,а, (61)
11^111,0 + «\KtWifl + 7И^н'п + ~ (к||2,п + 1 н^ц»п) =
= (/,У|)-(М£Ю,УП, (62)
164 2
М1,а + « + 7 + * (к(|£п + \ =
= (Л, У?)2,0 - ((АГ(У£))Ь vD2.fi, (63)
+ ~ Н^Н^ + „) + I/ =
= 2,0 + ((М£К))4,//У^2,П. (64)
Из уравнения (6), оценивая интеграл в правой части с помощью неравенств Гельдера, Фридрихса и Коши, интегрируя по £ от О до V/ € 11+ и применяя операцию максимизации по / 6 получим энергетическую оценку
1КИс(К+;1,2(П)) + 1К111доо + 7
1
<
<
^(^»«-ммйлль). (65)
Из уравнения (61), оценивая интегралы в правой части с помощью неравенств Гельдера, Фридрихса и Коши, используя известное в теории уравнений Навье - Стокса неравенство [13, гл.VI]
|(М«(у')./Лг-)2|П| < ||Хеуе||21п • ||у£||б,п • \К\\3,а <
< Н^е||3,п • 1Н|6,я • К||$ • К1Й < с9(П) ■ К||$ • !К,1Й <
< С10(П) ■ < ё + Си{П,6-1) . Щ > О,
(66)
которое следуе] из теоремы вложения И^(О) в ¿б(^), УО С К3 [13]:
¡ММ <481/6|К||21П, УуеИ^(П), о с к3, (67)
второго основного неравенства для оператора Лапласа (56) и очевидного неравенства
(68)
и используя уже доказанную оценку (65), мы получим при VI £ неравенство
^ (¡КЩа + 7 + + \\1ет%а <
^Са^-1,«-1)!!/!!2^^-1,«-1,^)^!!!^. (69)
О НЕКОТОРЫХ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ 165
Из неравенства (69), интегрируя по г от 0 до € Ы.+ , используя условие сНууе(а:,0) = 0, х £ Л!, мы получим при £ К+ неравенство
г
к(ои!п + ^ + н ^¿п +/ йт <
о
г
< ||уо*|£п ^ ||Ду0||^ + С1211/111,д, + С131 \К\\1а ■ К¿г; (70)
о
а из этого неравенства, пользуясь тем, что в силу (65) Цу^Щ ^ 6 ¿1(Ы,+ ), используя лемму Беллмана - Гронуолла (58)-(59) и применяя второе основное неравенство для оператора Ь£ - неравенство (57), мы получим оценку
< Си (*-\кЛ|М|$,||/||2/?01.). (71)
Из уравнения (62), используя для оценки интегралов в правой части неравенства Гельдера, Фридрихса и Коши, неравенство С.Л.Соболева (55) и оценку (71), благодаря которым справедлива оценка
|(М>г),у?)2,п| < шах |у£| • К||2,п -|К!|2,п < п
< + С15(й"1,П,С,14)||у=||11П, Ví 6 В + , Щ > О, (72)
получим неравенство
\KtWla + 7 + ^ (кЩа + \ ||<К™в||* „) < < с16(^\к~\сы) (||/|£п + \\viwlfl), ^ е (73)
а из этого неравенства, интегрируя по I от 0 до 6 используя условие ^уу£(о;,0) = 0, I 6 А, и оценку (65), получим оценку
Из уравнения (63), используя для оценки интегралов справа неравенства Гельдера, Фридрихса и Коши, используя известную в теории уравнений Навье - Стокса оценку [13, гл.VI]
|(МеЮ,у?)2,п| :=
* / 2,П
<
< С1в(П) \К\\2,а ■ < С1Я(П) К||2(П • К||$ ■ <
<ад|110 + С2о(^1,п)К|Цп-К1122,п, м>о, у*ен+, (75)
которое следует из неравенства О.А.Ладыженской (54) и неравенства Юнга, и используя оценку (65), получим при Уг € неравенство
<1_
<11
1112,п + « Ш&а + 7 ) + у[ ШЦа + ~ ЦСИУ^Н^ ) <
||2
<с21 (11/1&0 + ||у?цу.
Из уравнения
(=0
(76)
(77)
<=о
мы получим уравнение
4=0
(Дуе,уП2,п+ -^гаскПуу^),
2,П
+
г=о
+ ((/» (Vе), уГ)2]0)
4=0
(78)
а из этого уравнения, пользуясь тем, что сНууе(ж,0) = 0, х £ О, применяя для оценки интегралов справа неравенства Гельдера и Коши (72) и оценки (65) и (71), получим оценку
£ ||2
<
4=0
<
с22 (^^"МЬНЙЛЛ^О)!!^).
(79)
После этого, интегрируя неравенство (76) по £ от 0 до € 11+ и используя оценку (79) и оценку (74), получим оценку
1
IIv*ÍIILoo(R+;M")) + £ lldlVVí IIlooÍR+.-MÍÍ))
<с23 (^к~\Ы|$,||/,/*||2,доо) •
<
(80)
Из уравнения (64), применяя для оценки интегралов в правой части неравенства Гельдера, Коши и Фридрихса, неравенства (54) и (55) и уже доказанные оценки (65), (71) и (80), благодаря которым справедлива оценка (см. (75))
((М£(Vе)),,L'vt)2fl < (КIU.n * Klkn + max|v*| • ||Iev?||2,0 <
< (21К1Й • ■ 1К-1Й ■ K.ll2g + Cs(íi) К J2i0 • Kt||2i„) x
x||iev(e|l2,Q < ¿II¿MII2iq+-C24 (6-\C8,C23) \Kx\\lfl, V¿ >0, Vi e R+,
(81)
получим при Vi € R+ неравенство
~ (\Kt\\lu + \ lldiwf|g,n + К||I'vni5in) + "U^tWlü <
< c25 ||/(|!22,г> + c26 (^^"Mlvollg ,H/,/tll2^) Hollín • (82)
Из уравнения
(1г (v£),XM)2,q
(/>¿ev?)2>;
(83)
í—o
lí=0
и условия (Пуу£(а;,0) = 0, г € !) получим уравнение (ср. (78))
+7 lidian+ «11X^11^
t—0
г= о
-(Me(ve),Ievf)2i0
í=0
(84)
а из этого уравнения, используя для оценки интегралов в правой части неравенства Гельдера, Фридрихса и Коши и оценку типа (72):
(M£(v£),iM)2,fi
t=о
<
<
получим оценку
111,0 + сзг (¿-МЫ©) ЬхЩп , V« >0,
+ 7 ИСНууЛ! +
<
¿=0
<
С28 ЫЦаММг^)-
После этого, интегрируя неравенство (82) по Ь от 0 до £ К+, используя оценки (71) и (86) и неравенство (57) для оператора Ье, получим оценку
+ ~ ^гасШуу*^,^ < С29 ,||/,/<||2,^) • (87)
Оценки (65), (71), (74), (80) и (87) в совокупности дают оценку (37).
7. Доказательство априорной оценки (45), Ь = 0.
Априорная оценка (45) выводится из уравнений (49)-(53) с г = 2, и ее доказательство в основном аналогично доказательству оценки (37). Именно, из уравнения (49) с г = 2 по-прежнему следует энергетическое неравенство (65). Далее, из уравнения (50) с г = 2 вместо неравенства (69) получается неравенство
| (\KWln + \ Н^н^ + ||//уе|£п) <
< Сзо (||/||» п + |К|ЦП) +
+ (88)
а из этого неравенства, используя лемму Гронуолла [13, гл.VI], оценку (65), условие <Иуу£(ж,0) = 0, х £ П, и неравенство (57) для оператора //, получим вместо оценки (71) на полуоси такую оценку:
1К*11с(о,т„ЫП)) + ~2 Иёга(1(11у^11с(о,т,ь2(«)) <
<
Сзг 1|у0||й , ||/||2,доо, Т) , УТ < оо, (89)
причем Сз1 и Т не зависят от е > 0 и —► оо при Т —» оо.
Соответственно, из уравнений (51)-(53) с г = 2 вместо оценок (74), (80), (87) на полуоси 11+ получатся такие же оценки на любом конечном
интервале [О, Т] УТ < оо, и постоянные в этих оценках стремятся к оо при Т-г оо.
8. В процессе доказательства Теорем 1 и 2 мы систематически используем условие соленоидальности начального условия изучаемых возмущенных задач:
(Куу£(з:, 0) = 0, х Уе > 0. (90)
Вместе с тем, отказываясь при построении ¿-аппроксимаций для уравнений вязких несжимаемых жидкостей от условия соленоидальности решений Vе возмущенных задач при У£ > 0, естественно попытаться освободиться от условия соленоидальности решения vе и при г = 0 (см.[13 - 16]). На этом пути в настоящее время доказаны следующие результаты [20 - 22]:
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Утверждения Теоремы 1 остаются справедливыми, если условия этой теоремы на начальные данные
Vе
1=0
у§(®), х € п, £>0, (91)
возмущенных задач (28), (3) и (33), (4), в том числе условие соленоидальности (90), заменить условиями
у§(.г) (П), Уе > О,
\К\& + 1 ||ЕгаЛКуу5||2>п < С32, У£ > 0, ) (92)
О
У§ — У0 в И'22 (12), £ —> 0.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Утверждения Теоремы 2 остаются справедливыми, если условия этой теоремы на начальные данные у§(ж) возмущенных задач (29). (3) и (34), (4), 6 том числе условие соленоидальности (90), заменить следующими, менее ограничительными, чем условия (92), условиями
^0(х) 6щ (П), Уг > о, 1
\К\& + ^ < Сзз, у£ > О, (93)
у5-у0 в 1У22(0), £-0. ]
Аналогичные результаты справедливы для возмущенных систем (28) и (29) в случае второго краевого условия (5) и для возмущенных систем (33) и (34) в случае второго краевого условия (6).
Для доказательства сформулированных Предложений 1 и 2, как и для доказательства Теорем 1 и 2, достаточно доказать для решений задач (28),
(3) и (33), (4) априорную оценку (37), в которой постоянная С2 будет зависеть от постоянной Сз2 из условий (92), и доказать для решений задач (29), (3) и (34), (4) априорную оценку (45), в которой постоянная С4 будет зависеть от постоянной С33 из условий (93).
Доказательство априорной оценки (37) для решений задач (28), (3) и
(33), (4) при условиях на начальные функции Уо(ж) протекает точно так же, как и при условии соленоидальности начальных данных (90), так как энергетическое неравенство (65), неравенство (70), получающееся из неравенства (69), неравенство (74), получающееся из неравенства (73), неравенство (79), получающееся из уравнения (78), и неравенство (84), получающееся из уравнения (83), справедливы при условиях (92) на начальные условия
Доказательство априорной оценки (45) для решений задач (29),(3) и
(34),(4) при условиях (93) на начальные функции у§(ж) протекает иначе. Точнее говоря, энергетическое неравенство (65) справедливо и при условиях (92). Далее, из уравнения
<=о
мы получим уравнение (ср.(78))
(94)
4=0
/=0
¿-О
(95)
из которого, используя условия (93), оценк} (72) и оценку (65), получим оценку (ср.(79))
С
<С34 (*-\к-\СззММ\2,дк
<
г=о
(96)
После этого из уравнения (52) с г — 2 с помощью оценок (65) и (75) получим при Уг £ К.4" неравенство (ср. (76))
й
сН V
+ « Ш\1,а + 7 + " Ш\1,и
<
<
с35 (о, и-1) \Ш\1п + с36 (о, «/-1) ыи ■ 1К1&П ' (97)
О НЕКОТОРЫХ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ 171
из которого с помощью оценок (65) и (96) и леммы Беллмана-Гронуолла получим оценку (ср. (86))
<С37(^\к-\Сзз,||/,/<||2,дте). (98)
Далее, из уравнения
(12 (Vе),
г=о
4=0
(99)
мы получим (без условий (90) или (93)) уравнение (84), из которого, используя оценки (65), (85) и условия (93), получим оценку (86) с постоянной С28, зависящей от постоянной С33. После этого из уравнения (53) с г = 2, используя оценку (98), благодаря которой справедлива оценка (ср.(81)):
<
<
используя очевидную оценку
С38(«,С37) (\\ЬеуЦ\1а + Кг|£п) , V* 6 В + , (100)
I
\KM\lu < 2 \Кхт\1,п + 2*/ \KJ\la ¿Т, V* е Н + , (101)
о
условия (93) и неравенство (57) для оператора Г/, получим неравенство (ср.(82)):
+ 28 (Сзз)) И-^^/Нг.п +
г
^!\\ье^\\22Д(1т, мек+. (Ю2)
о
Из неравенства (102), используя лемму Гронуолла, оценку (86) с С28 = С^^зз) и неравенство (57) для оператора ££, получим при \/г > 0 и при VI < оо (Г не зависит от £ > 0) оценку
КгЛ^о,т-мт + ; 11§га(1(11у^И1со(о,т;ь2(о)) <
<с41(
^33,||/,/f||2,Qoo,r)
(103)
причем С41 —► оо при Т —>■ оо.
Оценки (65), (98), (101) и (103) и условия (93) в совокупности дают оценку (ср.(45))
причем постоянная С42 не зависит от е > 0, и С42 —>• оо при Т оо.
Оценка (104) и есть аналог оценки (45) при условиях (93) на начальные данные у§(х).
9. Результаты настоящей работы докладывались в октябре 1993 г. на семинаре проф. Р.Раутманна по уравнениям Навье - Стокса и смежным вопросам Университета г.Падеборн (Германия).
1. Осколков А.П. Об одной нестационарной квазилинейной системе с малым параметром, регуляризующей систему уравнений Навье - Стокса// Проблемы мат анализа. Изд-во Ленигр ун-та, 1973. Вып.4. С.78-87.
2 Осколков А.П. О некоторых нестационарных линейных и квазистационарных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей// Зап. на-учн семиннаров ЛОМИ 1976. Т.59. С.133-177.
3. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений жидкостей Кельвина -Фойгта и жидкостей Олдройта// Тр МИ АН СССР. 1988. Т.179. С. 126-164
4. Осколков А.П. Начальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л.Соболева// Зап. научн семинаров ПОМИ. 1991. Т.198. С.31-48.
5 Осколков А.П. Nonlocal problems for equations of Kelvin - Voight fluids// Зап. научн семинаров ПОМИ, 1992. Т.197. С.120-158.
6 Свиридюк Г.А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах. Дис. . д-ра физ-мат наук .Челябинск, 1993. 213 с.
7 Вишик М.И. Задача Кощи для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их исследования// Мат. сб. 1956. Т 39, Вып. 1. С.51-148
8 Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type// Pacific 3. Math 1969. Vol.31. P.787-794
9. Showalter R.E., Ting T.W. Pseudo-parabolic partial differential equations// SIAM J. Math Anal. 1970 Vol.1. P.l-26.
1
(104)
Список литературы
10 Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения M Мир, 1978
11 Осколков А.П. О некоторых полулинейных диссипативных системах уравнений с малым параметром, возникающих при численном решении уравнений Навье - Сток-са, уравнений жидкостей Олдройта и жидкостей Кельвина - Фойгта// Зап научн семинаров ИОМИ 1992 Т 202. С 158-184
12 Kotsiolis A.A., Oskolkov А.Р. The tmttal-boundary value problems with a free surface condition for the e-appi oximations of the Navier - Stokes équations and same their regularizations// Зап научн семинаров ПОМИ 1993 Т 205 С 38-70
13 Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости 2-е изд M Наука, 1970
14 Темам Р. Уравнения Навье - Стокса M Мир, 1981
15 Brefort В., Ghidaglia J.M., Temam R. Attractors for the penalized Navier - Stokes équations// SIAM J Math Anal 1988 Vol 19, №1 P 1-21
16 Ладыженская О.A., Серегин Г.A. Об одном способе приближенного решении начально-краевых задач для уравнений Навье - Стокса// Зап научн семинаров ПОМИ 1992 Т 197 С 87-119
17 Ghidaglia J.M., Temam R. Long time behavior for partly dissipative équations the shghtly compressible 2d - Navier - Stokes équations// Asymptotical Anal 1988 Vol 1 P 23-49
18 Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ M Наука, 1977
19 Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений M Изд-во иностр лит., 1954
20 Осколков А.П. Гладкие сходящиеся s -аппроксимации первой краевой задачи для уравнений жидкостей Олдройта и жидкостей Кельвина - Фойгтпа// Зап научн семинаров ПОМИ, 1994 Т 215 С 246-255
21 Осколков А.П. Гладкие сходящиесяе-аппроксимации начально-краевых задач для модифицированных уравнений Навье - Стокса// Зап научн семинаров ПОМИ 1995 Т 221 С 117-153
22 Осколков А.П. Гладкие сходящиеся г-аппроксимации первой краевой задачи для уравнений жидкостей Кельвина - Фойгта// Зап научн семинаров ПОМИ 1994 Т 225 С 109-133
SUMMARY
In the paper two pseudo-parabolic quasi-linear sistems of partial differential equations with small parameter are investigated. This sistem arises natuially when we do number analysis of first initial-boundary value problem for Kelvin-Voight fluids including high order Kelvin - Voight fluids.
