CC BY
72^(саЯ&мшса-мл^млтиггасае
мофелира&гНие
УДК 519.86
О НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЯХ ЦИКЛОВ ДЕЛОВОЙ АКТИВНОСТИ
Е. В. КРУГЛОВ,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического моделирования экономических систем E-mail: [email protected] Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского — Национальный исследовательский университет
В статье рассматриваются некоторые модели циклов деловой активности, разработанные методами теории динамических систем с точки зрения возможностей прогнозирования и управления экономическими системами.
Ключевые слова: цикл, деловая активность, моделирование, динамическая система.
Введение
Циклы, присущие экономической динамике, интересовали исследователей достаточно давно. Предположения о цикличности экономики возникли еще в середине девятнадцатого столетия. Именно этот тезис доказывал, в частности, наш соотечественники.Д. Кондратьев [13].
К текущему моменту наличие циклов в экономике подтверждается большим количеством статистических данных, на эту тему написано множество работ, соответствующие источники можно найти, например, в[4,8и др.].
Авторское исследование посвящено как первым моделям циклов деловой активности, относящимся к 1930-1950-мгг., так и их современным модификациям. Показаны основные принципы
их построения и «работы», а также перспективы, открывающиеся в результате моделирования экономической динамики с использованием аппарата теории динамических систем.
Линейные модели циклов деловой активности
Первые математические модели бизнес-циклов датируются 1930-1940-мигг. Именно к этому времени относятся соответствующие результаты М. Калецки [11], Н. Калдора [10], П. Самуэльсона [18]. Обратимся к тому комплексу моделей, которые условно называют модели мультипликатора-акселератора.
Толчком к созданию таких моделей послужила деятельность английского экономиста, основатель кейнсианского направления в экономической теории Д. Кейнса. Именно Д. Кейнс в работе [12] дал первое полное описание модели экономики в терминах макроэкономических переменных, таких как доход, потребление, сбережения и инвестиции, подготовив тем самым почву для модели делового цикла, разработанной видным американским экономистом, лауреатом Нобелевской премии П. Самуэльсоном.
Модель П. Самуэльсона учитывает только выполнение условий мультипликатора в сочетании с принципом акселерации, определяющим инвестиции.
Идея мультипликатора в кейнсианской экономике реализуется следующим образом. Предположим, что мы имеем начальное увеличение в инвестициях А 1{). Это вызовет изменение в начальном доходе = А/0, который порождает дополнительное потребление: сначала с А/0, далее с2 А/0 и т.д. (с — склонность к потреблению).
Таким образом, полное увеличение дохода для бесконечного времени составит
Xс А/0.
1=0
Это геометрический ряд, который сходится к конечной сумме — некоему полному приросту дохода А У.
Таким образом,
АУ = £с' А10 = --= —,
1=0 1 - С 5
где ^— склонностькнакоплению, 1 1
-- — -а — инвестиционный мультипли-
1 - с 5
катор.
Идеи, связанные с мультипликатором, в 1930-хгг. и ранее высказывались многими авторами, соответствующие ссылки имеются в [17].
Принцип акселерации, высказанный в начале ХХв., формализует тот экономический феномен, когда в ответ на незначительное увеличение потребления (или спроса, или выпуска продукции) величина инвестиций в следующем периоде растет гораздо более значительно.
Как предположил П. Самуэльсон [18], величина инвестиций пропорциональна изменению потребления, т. е.
I = рдс,
где р — коэффициент «акселерации», или акселератор.
Время в модели П. Самуэльсона дискретно, доход делится на потребление С, накопление £ и правительственные расходы &
у = ^+1, + с.
Здесь
/, =Р(С,-С, _1) = Сру _1 -ф¥, _2. Правительственные расходы принимаются за постоянную величину =\ (индекс у переменных— временной период).
Таким образом, национальный доход переписывается в виде:
% =1 + с(Р + 1)^_1 -сР^ _2.
Математически последнее уравнение есть линейное разностное уравнение второго порядка. Его решением могут быть или сумма двух показательных функций (экспонент), соответствующих либо «взрывному» росту дохода, либо быстрому его спаду; или сумма функций, соответствующих затухающим либо разрастающимся колебаниям. Периодическое движение (которое, собственно, обязано быть в модели, иллюстрирующей циклы деловой активности — периодический процесс) данное уравнение иногда допускает только в случае с = 0, что в реальности не реализуется.
Развивая идею П. Самуэльсона, английский экономист, лауреат Нобелевской премии Д. Хикс [7] показал, что акселерацию не обязательно привязывать только к изменению потребления, например ее можно связать с общественными издержками и др. Рассмотрев условие I, = Р • (У{1 - у_2) , Д. Хикс получил линейное разностное уравнение второго порядка, очень похожее на уравнение П. Самуэльсона. Подробный анализ уравнения Д. Хикса можно найти, например, в книге [8, с. 49—53].
Аналог линейной модели Самуэльсона—Хикса для непрерывного времени представил английский экономиста. Филлипс [14], математическая часть была проделана английским экономистом-математиком и статистиком Р. Алленом [3]. Анализ этой модели можно найти, например, в работах [2, с. 77—79; 8, с. 69].
Пусть функция потребления имеет вид: С (?) = сУ(0.
В модели А. Филлипса предполагается, что сохраняется неизменным отношение между желательным запасом капитала Кл (/) и чистым доходом У Ка^) = уУ(*), V > 0.
Предполагается, что фирма изменяет запас капитала, как только он начинает отличаться от желаемого:
I (г) = % [ к" (г) - к (г)] = % [УУ (г) - к (0], \ > 0.
Коэффициент \ — коррекционный параметр, выражающий скорость реакции инвестирования в ответ на разницу между актуальными и желаемыми запасами капитала.
Для дальнейшего понадобится производная от инвестиций:
^=)^ а) -1 а)].
Ш
Пусть А (0 есть экзогенно определенный автономный спрос. Тогда полный спрос есть сумма
С (t) + I(t) + A (t), а общее предложение есть Y(t). Избыточный спрос в каждый период времени будет задан выражением С (t) + /(() + A (t) — Y(t).
Предположим, что общее предложение меняется линейно относительно избыточного спроса: dY (t)
dt
= Y (t ) = С [C (t ) +1 (t) + A(t) - Y (t)], С > 0,
где Ç — коррекционный параметр.
Дифференцируя последнее соотношение, с учетом вида функции потребления получим: 7(f) = (1 - с)Y(t) + i(t) + À(t)],
или, с учетом выражения для I(t) Y(t ) = Ç{-(1 - c)Y (t ) + $[v¥ (t ) -
- ( YP + (1 " c)Y (t ) - A(t ))] + A (t )},
или
Y(t ) + [Ç (1 - c) + % - Ç^v] Y (t ) + ÇÇ (1 - c) Y (t ) = = £ A(t ) + Ç A (t ).
Полагая для простоты A(t) = 0, A(t) = A , получим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка: Y(t ) + [Ç (1 - c) + Ç - Ç^v] Y (t ) + ÇÇ (1 - c) Y (t ) = A.
Как и в дискретном случае, решением этого уравнения будет непрерывная функция, представляющая собой в общем случае либо сумму двух экспоненциальных функций, означающую либо рост, либо спад; либо сумму двух периодических функций, умноженную на экспоненциальную функцию, означающую либо затухающие, либо разрастающиеся колебания. Периодические движения возможны только в случае, когда коэффициент при Y (t ) равен нулю, что является структурно неустойчивым случа-емив реальности никогда не достигается.
Известны другие линейные модели циклов деловой активности: уже упомянутая модель М. Ка-лецки [11], модель В. Вогта [19] идр. Более подробную библиографию можно найти в работах [4, 8]. Однако несовершенство этих моделей (отсутствие траектории, соответствующей периодическому процессу), совсем не искупаемое простотой, было очевидно уже на этапе построения.
Первые попытки создания нелинейных моделей
Обратимся сначала к исследованиям Д. Хикса. Понимая недостаточность линейного подхода и стремясь приблизить модель к реальности, Д. Хикс попытался внести изменения в инвестиционную функцию. Поскольку в исходной модели Д. Хикса
инвестиции пропорциональны изменению дохода в прошлом периоде, то в случае уменьшения дохода инвестиции становятся отрицательными (происходит деинвестирование, или изъятие капиталовложений). Это означает, что запас капитала уменьшается. Однако капитал не может уменьшаться больше, чем на максимальную величину его амортизации, при отсутствии замены изношенного оборудования. Это дает нижнюю границу деинвестирования, которую Д. Хикс назвал полом. В соответствии с этим принцип акселератора преобразовался в соотношение:
л = тах{Р (7(_1 -2),-1*}, где определяет абсолютную величину пола деинвестирования.
Ясно, что это делает модель нелинейной.
Также Д. Хикс ввел верхнюю границу — потолок Iе. Тогда
I, = тах{/с, _1 - %_2), -1/}.
Но Д. Хикс никогда его не интерпретировал и не записывал полную формальную модель с полом и потолком. Потолок у функции инвестиций можно объяснить различными ограничениями, которые накладываются по тем или иным причинам на факторы производственных функций, используемых в модели.
Модель Д. Хикса — одна из первых в истории нелинейная модель циклов деловой активности с дискретным временем. Однако особенности инвестиционной функции (кусочно-линейная) и неразвитость математического аппаратав 1950-хгг. не позволили провести качественного анализа модели. Только в последнем десятилетии этот анализ проведен Т. Пу, И. Сушко и Л. Гардини [15].
Первыми нелинейными моделями, исследованными полностью, были несколько моделей, которые предложил американский математик и экономист Р. Гудвин [9]. Рассмотрим простейшую из них.
Пусть К — имеющийся в наличии реальный запас капитала, Кл — желательный запас капитала и потребление линейно зависит от выпуска ¥.
С = а + .
Обозначим чистые инвестиции через 1п, тогда Г = С +1" = С + К.
Предполагаемый запас капитала пропорционален реальному уровню выпуска: Ка - kY , где постоянная к положительна. С течением времени реальный и желательный запасы капитала совпадут, чистые инвестиции станут нулевыми, а валовые инвестиции I станут равны постоянной сумме амортизационных отчислений Б:
I" = К = I - О.
Пусть в силу некоторых причин реальные запасы капитала меньше, чем желаемые. Если не существует ограничений для инвестиций, то разрыв между реальным и желаемым запасом капитала должен быть немедленно ликвидирован, т. е.
I" = Кё - К.
Реальный запас капитала постепенно достигает желательного уровня. Тогда Р. Гудвин принимает, что положительные валовые инвестиции ограничены объемом инвестиционных товаров. Пусть объем инвестиционных товаров постоянен в каждый момент времени и равен I . Это означает, что положительные валовые инвестиции равны I .
Если желаемый запас капитала меньше реального, т. е., если чистые инвестиции отрицательны, валовые инвестиции равны нулю и капитал может только уменьшаться в силу того, что сумма амортизационных отчислений постоянна.
Используя тот факт, что I" - КС , для чистых инвестиций получаем следующую функцию:
I" =
I - О, 0,
-О,
К < Ка, К = Кё, К > Кё.
Тогда желательные запасы капитала как функция, пропорциональная выпуску, будут задаваться следующей функцией:
ка к (I - О), К < К',
Кё =
1 - Ь 1 - ь
ка
1 - ь
ка
К = Кё
+ К > К'
,1 -Ь 1 - ь
Из уравнений очевидно, что инвестиции и капитал меняются циклически, т. е. это действительно модель периодического процесса — некий прорыв в моделировании циклов деловой активности.
Изученная модель является весьма грубой, особенно в контексте бизнес-циклов. Поэтому она рассматривается лишь как пример возможности наличия циклов в классе кусочно-линейных моделей.
Другие модели, содержащиеся в работе [9], полученные при различных усложнениях исходных условий, являются более тонкими и с точки зрения полученных уравнений, и с точки зрения адекватности реальности. Тем не менее основной недостаток той модели, которая изложена ранее, — иллюстративность, в них сохраняется. Результаты Р. Гудвина показали, что адекватное моделирова-
ние периодических процессов в экономической динамике в принципе возможно. Они дали толчок к дальнейшим исследованиям. По-видимому, для того периода развития как экономики, так и математики на большее рассчитывать было нельзя.
Помимо моделей Р. Гудвина весьма известной нелинейной моделью бизнес-циклов является модель Н. Калдора [10] — английского экономиста, верного последователя Д. Кейнса. Он исследовал взаимодействие между сбережениями и инвестиционными функциями и проверил основные структурные испрашиваемые средства для существования самоподдерживающихся циклов.
Пусть инвестиции есть функция реального дохода
I = I(у), Л. > 0. ёУ
Эта функция не связана с принципом акселератора. Инвестиции зависят только от абсолютного значения дохода и не зависят от изменения или отношения изменений реального дохода в прошлом. Пусть имеется такая кейнсианская функция сбережений, что
5 = 5 (У), — > 0. ёУ
Как предположил Н. Калдор, функция инвестиций имеет в-образную форму (сначала скорость изменения инвестиций мала, потом она растет, потом стремится к нулю). Относительно функции инвестиций функция сбережений «перевернута»: сначала скорость роста сбережений велика, потом уменьшается почти до нуля, потом вновь растет.
Если такое взаимное поведение функций инвестиций и сбережений циклически повторяется (что подтверждается реальной статистикой), то перед нами модель, в которой имеется циклическая динамика капитала в зависимости от дохода. Известно много модификаций модели Н. Калдора. Среди них — модификация Чанга — Смита [5], приводящая к системе двух автономных дифференциальных уравнений, для которой строго доказано наличие предельного цикла — изолированного периодического движения, соответствующего реальному циклу деловой активности.
Модели с дискретным временем и новые возможности
Необходимо отметить, что создание двумерных нелинейных моделей циклов деловой активности с непрерывным временем (помимо пионерских моделей Р. Гудвина и Н. Калдора этой деятельнос-
тью занимались достаточно большое количество исследователей) явилось безусловным прорывом в моделировании этого процесса. Однако все эти модели являются абсолютно детерминированными и не объясняют тех явлений, отражаемых в статистических временных рядах, которые говорят о том, что реальная динамика экономики подчиняется вероятностным законам.
В современной литературе по моделированию экономической динамики наличие таких явлений часто объясняют присутствием признаков хаоса. Сложные режимы, обнаруженные в 1960-хгг. в достаточно простых трехмерных нелинейных динамических системах с непрерывным временем, моделирующих реальные процессы, оказались способны объяснить весьма нетривиальные явления, происходящие в атмосфере. Внезапность, с которой в экономической динамике происходят различные непредсказуемые изменения — от скачков курсов валют до краха экономики Соединенных Штатов Америки в 1929 г. — признак именно таких процессов со сложными режимами.
Известно, что в случае непрерывного времени так называемый хаос может присутствовать в не менее чем трехмерных динамических системах.
Начиная с 1970-хгг. различные исследователи, и часто небезуспешно, строили модели бизнес-циклов с непрерывным временем размерности три. Такие модели можно увидеть, например, в работе [8, с. 168], а также в переведенной на русский язык книге [1]. Там же можно найти ссылки на другие источники.
Однако гораздо более богатые возможности в плане изучения хаотических свойств циклов деловой активности дают модели с дискретным временем — эти системы сложную динамику могут иметь, уже начиная с размерности один. Особенно популярными у исследователей, занимающихся моделированием экономической динамики в дискретном времени, является логистическое отображение хп+1 - (1 -хп) и подобные ему отображения.
Логистическое отображение достаточно хорошо исследовано с теоретической точки зрения. А именно, при 1 <ц<3 данное отображение имеет неустойчивую и устойчивую неподвижные точки и не имеет периодических орбит (рис. 1). При переходе параметра ц через значение, равное трем, устойчивая неподвижная точка теряет устойчивость и появляется («рождается») устойчивая траектория периода два (рис. 2), которая при переходе параметра ц через значение, равное 1 + -ч/б , теряет
устойчивость, и рождается устойчивая орбита периода четыре. При дальнейшем изменении ц до значения 3,54 процесс повторяется бесконечное число раз. Последовательно рождаются орбиты периодов, равные степеням числа 2 (рис. 3). При ц = 3,54 отображение уже имеет бесконечное число периодических орбит, и с дальнейшим ростом параметра динамика отображения все больше усложняется (рис. 4).
Рис. 1. Логистическое отображение при ц = 2
Рис. 2. Логистическое отображение при ц = 3,2
Рис. 3. Логистическое отображение при ц = 3,5
Рис. 4. Логистическое отображение при ц = 3,8
Таким образом, логистическое отображение может быть моделью различных хаотических явлений в экономической динамике. К сожалению, это отображение плохо подходит для моделирования циклов деловой активности — зависимость инвестиций от изменения дохода в виде параболы, направленной ветвями вниз, в реальности встретить трудно.
Однако упомянутую зависимость возможно представить в виде соответствующим образом подобранной кубической параболы. Идея рассмотрения функции инвестиций в таком виде принадлежит Т. Пу [2, с. 142; 16]. Подобно Д. Хиксу, заменившему впоследствии линейную зависимость инвестиций от изменений дохода на зависимость с «полом» и «потолком», Т. Пу заменяет ее на кубическую:
I = - у_2) -- _2)3,
где V — постоянная.
Этот шаг разумен, так как полученная в результате функция в некоторой достаточно большой окрестности начала координат слабо отличается от функции, используемой в модели с «полом» и «потолком» Д. Хикса, но при этом не является кусочно-линейной, т. е. более удобнадля исследования.
Равенство коэффициентов при обоих слагаемых Т. Пу объясняет установлением соответствующего курса валюты. Далее предполагается, что сбережения хранятся только в течение одного временного периода и в следующем периоде полностью тратятся, т. е. потребление в текущем периоде равно сумме потребленной части дохода предыдущего периода и накопленным сбережениям, отложенным два периода назад. Таким образом, С, = (1 - + ^_2.
Пусть, как обычно, - С( +1,. Тогда, подставляя в это соотношение выражения для и С(, получим разностное уравнение:
У - = (V - .)(^_1 - У_2) " " У_2)3.
Прирост дохода обозначим 2, - - Уг_1. Тогда
получим
^ = (у - _1 - уг^.
Далее автор модели утверждает, что можно так перемасштабировать переменные, входящие в последнее уравнение, как это показано в работе [16], что в новом масштабе оно будет выглядеть следующим образом:
2 =К2< _1 -(Х + 1)2,3Ч.
Последнее уравнение содержит только один параметр и является удобным для исследования. Динамика полученной системы подробно исследована в работах [2,16]. При Х<2 отображение имеет
две неподвижные точки и не имеет периодических орбит. Орбита периода два рождается при переходе через значение X = 2. При увеличении значения параметра X происходит хорошо известный стандартный сценарий под названием «каскад бифуркаций удвоения периода», подробно описанный в работе [8].
Этот сценарий заключается в том, что если увеличивать значение X, то данная динамическая система последовательно приобретает устойчивые периодические орбиты периодов, равных степеням числа два, а затем в некотором вполне определенном порядке орбиты всех остальных периодов («приобретенная» на предыдущем шаге орбита теряет устойчивость с рождением новой). Так, при значении X ® 2,25 рождается устойчивая периодическая орбита периода четыре (орбита периода два теряет устойчивость), а при X ® 2,29 — периодическая орбита периода восемь.
Можно представить себе степень усложнения динамики данного отображения при возрастании параметра. При X ® 2,24 у отображения уже имеется бесконечное число периодических орбит различных периодов, и имеет место ситуация, определяемая словом «хаос».
Таким образом, представленная динамическая система с дискретным временем описывает циклы деловой активности при наличии хаотических режимов.
Модель, рассмотренная ранее, не является единственной дискретной моделью циклов деловой активности со сложной динамикой. Более подробная информация о моделях экономической динамики, допускающих хаотические режимы, содержится, например, в работах [4,8]. Там же можно прочитать и основные сведения математического характера, необходимые для понимания вопроса.
Безусловно, рассмотренная модель Т. Пу слишком упрощает реальные процессы и носит некий декларативный характер. Тем не менее эта модель демонстрирует возможности данного способа моделирования, а именно возможность «поймать» хаотический режим.
Заключение
Традиционные методы статистического анализа хорошо работают в ситуациях, когда качественных изменений в динамике не случается. Спады и депрессии же, с одной стороны, предсказуемы, т. е. все знают, что когда-нибудь что-то подобное в экономике произойдет. С другой стороны, более
точный прогноз неблагоприятного развития обычно встречает затруднения.
Какизвестно, Великая депрессия 1929—1933 гг. началась внезапно, и в книге [1] со ссылкой на работу [6] утверждается, что ни современные аналитики, ни новейший аппарат анализа временных рядов не могут дать прогноза обвального падения производства, названного большим крахом.
Последний финансовый кризис также продемонстрировал весьма узкие возможности прогнозистов, пользующихся только статистическими методами.
Список литературы
Моделирование экономической динамики методами теории динамических систем в сочетании с использованием методов статистического анализа, эконометрического моделирования и т. д. имеет хорошие перспективы в смысле более точного прогнозирования и управления. Возможно, в будущем такие модели позволят вполне осмысленно управлять экономикой, не допуская сползания определенных параметров в ту область значений, в которой возможны кризисы.
1. Занг В. Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории / пер. с англ. М.: Мир, 1999.
2. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика / пер. с англ. Ижевск: Удмур. гос. ун-т, 2000.
3. Allen R. G. D. Mathematical Economics. London: Macmillan, 1956.
4. Business Cycle Dynamics: Models and Tools. / Puu Т., Sushko I.(Editors) — Springer-Verlag, 2006.
5. Chang W. W., Smyth D.J. The Existence and Persistence of Cycles in a Non-Linear Model: Kaldor's 1940 Model Re-examined // Review ofEconomic Studies. 1971. Vol. 38. No. 1.
6. Dominguez К. M., Fair R. C., Shapiro M. D. Forecasting the Depression: Harvard Versus Yale // American Economic Review. 1988. Vol. 78. No. 4.
7. Hicks J. R. A Contribution to the Theory of the Trade Cycle. Oxford University Press, 1950.
8. Gabisch G., Lorenz H.-W. Business Cycle Theory: A Survey of Methods and Concepts. — Springer-Verlag, 1989.
9. Goodwin R. M. The Nonlinear Accelerator and Persistence of Business Cycle // Econometrica. 1951. Vol. 19. No. 1.
10. Kaldor N. A Model ofthe Trade Cycle // Economic Journal. 1940. Vol. 50. No. 1.
11. Kalecki M. A Theory of the Business Cycle // Review of Economic Studies. 1937. Vol. 38. No. 1.
12. Keynes J. M. The General Theory of Employment Interest, and Money. — London: Macmillan, 1936.
13. Kondratieff N. D. Die langer Wellen der Konjunktur // Archiv fer Sozialwissenschaft und Socialpolitik. 1926. Vol. 56. No 3.
14. PhillipsA. W. Stabilization Policy in a Closed Economy // Economic Journal. 1954. Vol. 64. No 254.
15. Puu Т., Gardini L., Sushko I. On the change of periodicities in the Hicksian multiplier-accelerator model with a consumption floor // Chaos, Solitons and Fractals. 2006. Vol. 29. No. 3.
16. Puu Т., Sushko I. A business cycle model with cubic nonlinearity // Chaos, Solitons and Fractals. 2004. Vol. 19. No. 3.
17. Puu T. Short History of the Multiplier-Accelerator Model //Business Cycle Dynamics: Models and Tools. Springer-Verlag, 2006.
18. Samuelson P. A. Interactions between the Multiplier Analysis and the Principle of Acceleration // The Review ofEconomics and Statistics. 1939. Vol. 21. No. 2.
19. Vogt W. Fluktuationen in einer wachsender Wirtschaft unter klassischen Bedingunger // Wachstum, Einkommensverteilung und wirtschaftliches Gleichgewicht. Berlin: Duncker und Humblot.
