О НЕКОТОРЫХ ЛОКАЛЬНЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СО СЛУЧАЙНЫМ ИНДЕКСОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.218 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7 (65). Вып. 3 MSC 60G18

0 некоторых локальных асимптотических свойствах последовательностей со случайным индексом*

О. В. Русаков1, Ю. В. Якубович1, Б. А. Баев2

1 Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

2 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Российская Федерация, 190008, Санкт-Петербург, ул. Союза Печатников,16

Для цитирования: Русаков О. В., Якубович Ю. В., Баев Б. А. О некоторых локальных асимптотических свойствах последовательностей со случайным индексом // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7(65). Вып. 3. С. 453-468. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.308

Мы рассматриваем случайные последовательности со случайным индексом, управляемым дважды стохастическим пуассоновским процессом. Мы называем процессом пуассоновского случайного индекса (ПСИ-процессом) случайный процесс с непрерывным временем ^(i), полученный путем субординации последовательности случайных величин (£j), j = 0,1,..., дважды стохастическим пуассоновским процессом Щ(£А) посредством замены ^(i) = £П1((Л), t ^ 0, где случайная интенсивность А предполагается независимой от стандартного пуассоновского процесса П1. В настоящей статье мы ограничиваемся случаем независимых одинаково распределенных случайных величин (£j) с конечной дисперсией. Для дробного процесса Орнштейна — Уленбека с показателем Хёрста H £ (0,1/2), который был введен и исследован Р. Вольпертом и М. Такку (2005), мы находим представление в виде предела нормированных сумм независимых одинаково распределенных ПСИ-процессов с явно заданным распределением случайной интенсивности А. Такой дробный процесс Орнштейна — Уленбека локально в окрестности нулевого момента времени приближает в средне квадратичном дробное броуновское движение с тем же показателем Хёрста H £ (0,1/2). Мы детально изучаем следующие два примера ПСИ-процессов со случайной интенсивностью А, порождающей дробный процесс Орнштейна — Уленбека в смысле Р. Вольперта и М. Такку. Это телеграфный процесс, который возникает, когда £0 имеет распределение Радемахера ±1 с вероятностью 1/2, и ПСИ-процесс с равномерным распределением для £0. Для этих примеров мы вычисляем точные и асимптотические значения локального модуля непрерывности для одного ПСИ-процесса по малому интервалу времени фиксированной длины.

Ключевые слова: дробный процесс Орнштейна — Уленбека, дробное броуновское движение, псевдо-пуассоновский процесс, случайная интенсивность, телеграфный процесс, модуль непрерывности.

1. Введение. Стохастические процессы с непрерывными траекториями, обладающие свойствами автомодельности (самоподобия — self-similarity), после работ Б. Мандельброта [1, 2] представляют не только теоретический интерес, но и имеют важные практические применения, особенно в сфере финансов и телекоммуника-

* Работа О. В. Русакова и Ю. В. Якубовича выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант №20-01-00646 А).

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2020

ций. В ряду самоподобных стохастических процессов, безусловно, на первом месте стоит дробное броуновское движение (дБд) — гауссовский процесс с нулевым начальным значением, со стационарными приращениями, со степенным ростом дисперсии £2Н, где время £ ^ 0. Здесь Н £ (0,1] — так называемый показатель Хёр-ста. В настоящей работе мы изучаем дБд при Н £ (0, 1/2) для вогнутой функции накопленной дисперсии. В этом случае дБд локально в окрестности нуля приближается дробным процессом Орнштейна — Уленбека. Дробный процесс Орнштейна — Уленбека в данной статье рассматривается в смысле Р. Вольперта и М. Такку [3], как дробная производная решения классического стохастического дифференциального уравнения (СДУ) Ланжевена (см., напр., [4]). Классический процесс Орнштейна — Уленбека (ОУ) (стационарный гауссовский марковский процесс) есть стационарное решение СДУ Ланжевена. После пионерской работы Дж. Ламперти [5], где посредством неслучайной замены времени, так называемого преобразования Ламперти, устанавливается прямая связь между броуновским движением и процессом ОУ, появилась возможность изучать броуновское движение посредством ОУ и наоборот. Эта связь в дальнейшем распространилась и на дБд. Однако для применения преобразования Ламперти с целью получения дБд необходимо рассматривать другой дробный процесс Орнштейна — Уленбека, а именно в смысле О. Е. Барндорфа-Ниль-сена [6, 7]. Необходимо отметить еще одно обобщение процесса ОУ на «дробный» случай — когда в СДУ Ланжевена вместо приращений обычного броуновского движения рассматриваются приращения дБд (см., напр., [8]). Дробные процессы Орн-штейна — Уленбека, построенные во всех обозначенных здесь смыслах, всегда стационарны и гауссовы.

ПСИ-процессы, которые мы изучаем в данной статье, представляют собой дважды стохастические пуассоновские субординаторы для последовательностей (£) = ), 3 =0,1,..., состоящих из независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним и конечной дисперсией. Более детальное описание ПСИ-процессов представлено в следующем разделе статьи.

В настоящей работе мы предлагаем конструкцию построения дробного процесса Орнштейна — Уленбека в смысле Р. Вольперта и М. Такку, основанную на приближении суммами независимых одинаково распределенных ПСИ-процессов со случайной интенсивностью дк, имеющей гамма-распределение со случайным гамма-распреде-ленным масштабом (см. формулу (14) из теоремы 1 в разделе 3), или, что эквивалентно, корня из обращенного бета-распределения (см. формулу (27)).

Найденное распределение случайной интенсивности дк позволяет получить требуемую ковариацию ПСИ-процесса, совпадающую с ковариацией дробного процесса Орнштейна — Уленбека в смысле Р. Вольперта и М. Такку. Последующее применение центральной предельной теоремы для векторов устанавливает слабую сходимость конечномерных распределений и позволяет вывести ряд асимптотических соотношений. Для дальнейшего исследования пределов сумм ПСИ-процессов со случайной интенсивностью с целью установления фактов сходимости в функциональных пространствах в работе доказана лемма о локальном модуле непрерывности для ПСИ-процессов. Функциональная предельная теорема для нормированных сумм ПСИ-процессов с неслучайной интенсивностью доказана в [9].

Одним из простейших, но уже содержательных примеров ПСИ-процесса является так называемый телеграфный процесс [10]. Телеграфный процесс мы рассматриваем в качестве основного пробного процесса для дальнейшего исследования

тотального модуля непрерывности ПСИ-процессов — супремума локального модуля непрерывности, взятого по всему времени процесса.

Вычисление точного распределения локального модуля непрерывности для произвольного распределения членов последовательности (£) представляет собой весьма сложную и трудоемкую задачу. Мы предлагаем решение этой задачи для двух случаев: распределения Радемахера, дающего телеграфный процесс, и равномерного распределения. Для этих двух распределений в конце статьи мы приводим точные и асимптотические значения локального модуля непрерывности для одного ПСИ-процесса с интенсивностью дк по малому интервалу времени фиксированной длины.

Напомним необходимые определения и свойства стандартного дробного броуновского движения.

Определение 1. Стандартное дробное броуновское движение Шн(Ь), Ь € И+, с параметром Хёрста (индексом самоподобия) Н € (0,1] определяется как начинающийся из нуля гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией

щ\¥н(з)\¥н(г)} = нн(з,г) = ±(з2Н+ г2Н-\г-з\2Н) , (1)

Траектории процессов дБд непрерывны и нигде не дифференцируемы (кроме вырожденного случая Н =1, когда траектории представляют собой, почти наверное, случайные полупрямые, лежащие в правой полуплоскости). Процессы дБд характеризуются стационарными приращениями и, главное, свойством степенного самоподобия (автомодельности)

Шн(аЬ) = анШн(Ь), Уа > 0, г € И+ . (2)

Знак = обозначает равенство конечномерных распределений.

Важно заметить, что если у центрированного гауссовского процесса дисперсия нарастает как Ь2н и он имеет стационарные приращения, то с необходимостью этот процесс есть дБд с параметром Хёрста Н € (0,1]. Принято классифицировать следующие случаи: когда Н € (0,1/2) и функция накопленной дисперсии строго вогнута, приращения дБд отрицательно коррелированы; когда Н =1/2 и функция накопленной дисперсии линейна (стандартное броуновское движение), приращения независимы; когда Н € (1/2, 1) и функция накопленной дисперсии строго выпукла, приращения дБд положительно коррелированы; когда Н = 1 и траектории процесса линейны с вероятностью 1, корреляция приращений равна единице. Заметим, что марковское свойство для дБд выполнено только для случая стандартного броуновского движения, то есть когда Н = 1/2.

2. ПСИ-процессы: определение и основные свойства. Опишем используемую в настоящей работе конструкцию субординации индекса случайной последовательности дважды стохастическим пуассоновским процессом. Рассмотрим стандартный пуассоновский процесс единичной интенсивности Пх(Ь), Ь ^ 0. Пусть (£) = (£„), п = 0,1,..., — некоторая последовательность случайных величин, Л = Л(ш), ш € О, — некоторая неотрицательная случайная величина, причем Л, (£) и П1 независимы в совокупности.

Определение 2. Процессом пуассоновского случайного индекса (ПСИ-процессом) назовем случайный процесс фа с непрерывным временем, полученный рандомизацией последовательности (£) дважды стохастическим пуассоновским процессом со случайной интенсивностью Л,

Ф(в) = фа(«) = £щ(8А), в > 0. (3)

Пуассоновский процесс П назовем ведущим, а последовательность (£) — подчиняющейся, или ведомой.

В качестве простого (но уже нетривиального) примера ПСИ-процесса выделим телеграфный процесс [10], канонически определяемый следующим образом:

<?(*) = Зм(5) = с • (-1)п^\ в > 0 , (4)

где с есть независимая от пуассоновского процесса Пм случайная величина с распределением Радемахера, принимающая значения ±1 с вероятностями 1/2; интенсивность ^ > 0 здесь понимается неслучайной. Также естественным образом определяется телеграфный процесс со случайной положительной интенсивностью Пм(в) в (4) следует заменить на П1 (^в), где П1 и ^ предполагаются независимыми.

Вследствие «теоремы о раскраске» [11, гл. 5] телеграфный процесс имеет распределение ПСИ-процесса, когда величины в последовательности (£) независимые и имеют одинаковое распределение Радемахера, причем у соответствующего телеграфного процесса интенсивность уменьшается в два раза, то есть

ещ(А.) = ее (-1)П1(А*/2), в > 0, (5)

где равенство V по распределению понимается в пространстве Скорохода V на Н+.

Непосредственно из определения 2 для ПСИ-процесса нетрудно увидеть, что случайный процесс ф является стационарным в узком смысле, если подчиняющаяся последовательность (£) стационарна в узком смысле.

В настоящей работе мы рассматриваем только ситуацию, когда ведомая последовательность (£) состоит из независимых одинаково распределенных случайных величин. В статье [12] показано, что в этом случае при E£o = 0, Ю£о = 1 процесс ф имеет ковариационную функцию

еоу(фл(8),фл(*)) = LA(|t - s|), s,t > 0, (6)

где LX (t) = E(e-Xt), t ^ 0, — преобразование Лапласа неотрицательной случайной величины X.

Помимо собственно ПСИ-процессов, мы рассматриваем нормированные суммы их независимых копий. Будем предполагать, что все члены ведомой последовательности имеют нулевое среднее и единичную дисперсию.

Определение 3. Под предельным ПСИ-процессом Фа мы понимаем процесс, получаемый как предел при N —> оо нормированных на y/N сумм N € IN независимых копий ПСИ-процесса фл:

+ •••+фл№ )(t)

y/N

Здесь — независимые копии процесса ^л; сходимость ^ понимается в смысле

слабой сходимости конечномерных распределений.

Заметим, что процессы вида ^Л*?), i ^ N, зависят от случайных интенсивно-стей (Л4) как от случайных величин, в то время как предельный ПСИ-процесс Фл зависит от Л исключительно через ее распределение.

Используя центральную предельную теорему для векторов и равенство (6), нетрудно видеть (см. [12]), что в предположениях определения 3 предельный ПСИ-процесс существует и является стационарным гауссовским процессом с ковариационной функцией

ссу(Фл(«), Фл(*)) = cov(Vu(s),Vu(i))= -M|t - s|), s,t > 0 . (7)

3. Дробный процесс Орнштейна — Уленбека в смысле Р. Вольперта и М. Такку и сходимость к нему ПСИ-процессов. Рассмотрим стационарный дробный процесс Орнштейна — Уленбека в смысле Р. Вольперта и М. Такку (дОУВ-Т) ZK, t > 0, снабженный параметром скорости (velocity parameter) в > 0 и параметром масштаба а > 0, который выражается в виде стохастического интеграла

Z? = aj2pf к>\. (8)

J-x 1 (к) 2

Здесь W — гауссовская мера с независимыми значениями, заданная на борелевских множествах IR, имеющая структурную меру Лебега.1 Легко видеть, что ZtK представляет собой центрированную гауссовскую функцию.

Процесс Zк определен в работе Р. Вольперта и М. Такку [3]. В ней доказаны следующие свойства стохастического процесса Zк.

1. Процесс Zк получается путем дробного интегрирования классического процесса Орнштейна — Уленбека (ОУ): стационарного, гауссовского, марковского случайного процесса. Параметр к задает порядок дробного интегрирования. При этом интегрирование подразумевается в потраекторном смысле.

2. Стационарный гауссовский процесс ZtK, t ^ 0, при 1/2 < к < 1 локально в окрестности нуля приближается в среднеквадратичном смысле к дробному броуновскому движению, точнее, дисперсия приращения D{ZK(t) — Zк(0)} эквивалентна b2t2H при t ^ 0+, когда коэффициент Хёрста H G (0,1/2) равен к — 1/2, то есть 2H = 2к — 1; множитель b задается равенством

. _2а2в2к-1

Ъ2 =___(9)

Г(2ж) cos(Trx) • [ )

3. Ковариация Zк имеет следующий вид:

д 2a2e-et Гx

px{t) = Е (Z?Z£) = / (fit + x^x^e-^dx, t > 0. (10)

Г(к)2 J о

Данная формула для ковариации в оригинальной статье Р. Вольперта и М. Такку [3] имеет номер (7) и представлена на стр. 1525.

1 Заметим, что интеграл вида (8) эквивалентно можно определить как стохастический интеграл по приращениям стандартного двустороннего броуновского движения dW(з), з € Н, записав их формально в (8) вместо W(ёз) (см., напр., [13, гл. IX]).

4. Как показано в оригинальной статье Р. Вольперта и М. Такку (см. формулу (8) из [3]), ковариационная функция ZK при неотрицательных £ представляется через модифицированную функцию Бесселя второго рода

(п)

I {Х)у/7Г 2

Нетрудно вычислить дисперсию Zк и преобразовать ее, используя свойства функций Бесселя и формулу удвоения Лежандра для гамма-функции:

22~2жа2Т(2я — 1) _ Т(я — 1/2) а2

"ВД2 ~

V2 = р"(0) = щгхУ =-^-= ^ ■ (12)

Здесь последнее выражение представлено в оригинальной статье Р. Вольперта и М. Такку [3] на стр. 1525.

5. В [3] вычислена спектральная плотность процесса Zк

= + , (13)

В качестве одного из основных результатов данной статьи мы представляем следующую теорему.

Теорема 1. При ^ < ж < 1 стохастический процесс , £ ^ 0, с точностью до множителя V из (12) является предельным ПСИ-процессом Фа в смысле определения 3, когда все ведомые последовательности вида (£) состоят из тотально независимых одинаково 'распределенных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией, а случайная интенсивность А имеет следующее распределение:

где в > 0 — неслучайный параметр масштаба; случайная величина п распределена по гамма-закону Г2к-1 с единичным масштабом и параметром формы 2к — 1; случайная величина 71-к не зависит от п и имеет гамма-распределение Г1-к с единичным масштабом и параметром формы 1 — к.

Плотность рк случайной интенсивности дк из (14) для ПСИ-процесса, реализующего Zк, имеет вид

-!;£-!) <15>

I обозначает индикаторную функцию.

Имеет место следующая асимптотика при £ ^ 0+:

щг? - г%)2 = У х

I [ж) 81П((» - ^)7Г)

* {^¿нГ' ~ щЬ?+- °«4>) ■ <16>

Заметим, что (14) описывает смесь гамма-распределений со случайным параметром скорости (rate) п/(2в), который, в свою очередь, распределен по гамма-закону.

Доказательство теоремы начнем с формулы (10) для функции ковариации процесса Zк. Покажем сначала, что эта ковариация с точностью до скалярного множителя V2 , который определен в (12), является значением в точке t преобразования Лапласа некоторой неотрицательной случайной величины Л.

При к < 1 выражение x1-K(et + x)K-1 Vx > 0 как функция от t ^ 0 есть преобразование Лапласа гамма-распределения:

х1-к Гx Х1-ку—кe-xu/e rx v-Ke-v(1+te/x)

e~tu——-———dw = / -—---cb. (17)

(et + x)1-K Jo Г(1 — к)в1-к Jo Г(1 — к)

Подставим это равенство в (10) и поменяем порядок интегрирования:

2a2e-et Гx rx v-Ke-v(1+te/x)

E(ZtK ZoK) =

„2к- 2„-2a

Г(х)2 J о J0 Г(1-х)

2a2e-et Г .

dW x2K-2e-2x-vte/xdx. (18) Jo

Г(к)2Г(1 - к)

Сделаем во внутреннем интеграле замену «/ж = у, получим равенство

/ х2к-2 е-2х-^в/^х = «2к-1у-2к

Jо Jо

Подставим его в (18) и снова заменим порядок интегрирования:

о_2е-в« г ж г<ж

Е(^о) = -7 / У-е-^у / =

Г(к)2Г(1 - к) ,/0 -к

= ГГ^П-Т/ У-2"*-""*' *-1е~*МУ)<Ь,=

Г(к)2Г(1 - к) ./о ./о

2а2е~Рг Г_ 2 ру_ Г(х)

у~ е "у ——Vf^dy

Г(к)2Г(1 - *)./„ * (1+2/у)

=___ / _-_(1V (19)

Равенство (19) показывает, что

А = в(У + 1),

где У имеет плотность на (0, то), пропорциональную у-к(у + 9)-к. Найдем коэффициент пропорциональности. Замена г = 9/(у + 9) при 1/9 < к < 1 дает цепочку равенств

Г ¿у

ук (у + 2)к

==^¡У ~ гГ^Чг=

= 21-2-Б(1 - х, 2х - 1) = 21-2-Г(1 " ~ 1} , (20)

Г(к)

o

где В обозначает бета-функцию. Таким образом, плотность У равна

22к-1Г(к) 1 . .

Ру{у) = Т{1-ж)Т{2ж-1) у*(у + 2)- (21)

из чего следует формула (15) для плотности А. Остается заметить, что

Px(t) = V2 —<—— Г (у/2/?)11 * yV"-V-ie-«dy, (22)

Т{2ж — 1) Уд (t+%)1-"

причем множитель, следующий за V2 , как функция от t есть преобразование Лапласа «гамма по гамме» распределения со сдвигом на в: в + /п, где Y1-K имеет распределение Г1-к с единичным масштабом и не зависит от случайной величины П, которая, в свою очередь, имеет распределение Г2к-1 единичным масштабом.

Рассмотрим N G IN независимых копий ПСИ-процесса со случайной интенсивностью, распределенной, как А. При этом все члены всех подчиняющихся последовательностей вида (£) независимы совокупно, имеют одинаковое распределение, нулевое среднее и дисперсию, заданную равенством (12). Нормированная на л/N сумма N таких независимых копий по центральной предельной теореме для векторов сходится при N ^ œ к распределению процесса Zк в смысле слабой сходимости конечномерных распределений.

Перейдем к доказательству асимптотики. Известно (см., напр., [14, гл.9]) следующее представление модифицированной функции Бесселя второго рода:

¡Cs(t) = ^I-s{t)~Is{t\ sGR,tGR+, (23)

2 sin(sn)

где Is(t) — модифицированная функция Бесселя первого рода, которая раскладывается в ряд как

œ i , t\ 2m+s

^)=Ета!Г(та + 5+1) (â) • (24)

m=0 4 ' \ /

Как следствие, при t ^ 0 ковариационная функция рк раскладывается в следующий ряд:

2а2 //ЗЛ"-*

(оо 1 / в£ \ 2т оо 1 / в^ \ 2т+2к—1\

^0т!Г(т+|-х) (у] " ^т!Г(т+х+1) (т] )' (25)

Отсюда можно найти разложение дисперсии приращения в ряд Тейлора до сколь угодно большой точности (у сумм разные нижние границы из-за положительности ковариации в нуле):

щг? - г^ = 2(Р-(о) - Р*т = 2о"2/? х

I (х) 81П((» - ¿)7Г)

2 -

œ 1 / п,\ 2т+2к— 1 œ 1 / п,\ 2тЛ

\ - _l_ /m \ - _l_ (

< * m irr , U 9 Z^ - ° ' - '

т!Г(т + x + ^2 У ^^ т!Г(т + | — ж) \2 J

2<Т2л/7Г ( /З2*-1

в2 «2к+1

+ □ (26)

4Г(|-х) 22-+!Г(х+§)

¿2к+1 + 0(£4^ . □

Отметим еще одно представление случайной величины дк — через бета-распределение. Для простоты положим, что параметр в = 1-

Утверждение 1. Имеет место следующее 'равенство по 'распределению

^ = 1 (27)

V вк-1/2,1-к

где случайная величина ва,ь имеет бета-распределение с плотностью, которая пропорциональна га-1(1 — г)Ь-1, а, Ь > 0, г € (0, 1).

Доказательство. Действительно, простое вычисление показывает, что при х > 1

2х 3 -х2-2а(1 - х-2)ь-1 = - (28)

В(а,Ь) у 7 Г(а)Г(Ь)

При а = = 1-х это выражение дает г^^/г(1—) ^ чт0 приводится

к виду (15) использованием формулы удвоения Лежандра для гамма-функции. □

4. Локальный модуль непрерывности в нуле для ПСИ-процесса со случайной интенсивностью. Для получения результатов о более сильной сходимости ПСИ-процессов, в частности для сходимости в функциональных пространствах, мы нуждаемся в оценках вероятности больших колебаний ПСИ-процессов со случайной интенсивностью. Следующая в этом разделе лемма создает определенную базу для таких оценок.

Определение 4. Определим снабженный параметром 6 > 0 случайный процесс Хй локального модуля непрерывности ПСИ-процесса ф следующим образом:

Хй(*)= вир |фА(в) — фА(*)|, I € И+ . (29)

яе[-м+й]

В силу стационарности Фа очевидно, что Хй — стационарный процесс. По теореме о стационарном продолжении [15] можно рассматривать £ € И.

Лемма 1. Пусть (£) = (£0, £1,...) — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения ^(х) = Р(£0 ^ х), х € И, А — неотрицательная случайная величина с преобразованием Лапласа Ьа(£) = 1Е (е-А) и П1(в) = П(в), в ^ 0, — стандартный процесс Пуассона. Предположим, что А и П совместно независимы. Рассмотрим заданный в соответствии с определением 2 ПСИ-процесс фА со случайной интенсивностью А. Тогда для произвольного фиксированного 6 > 0 выполнено

/то

[1 — Ьа(6(1 — F(х + г) + ^(х — г)))]^(х) (30)

-ТО

2к-1

для всех тех r > 0, для которых F(ж) и F(ж + r) не имеют общих точек, где происходят скачки.

Выражение в левой части (30), как неслучайную функцию от S и r назовем локальным модулем непрывности. Отметим, что локальный модуль непрерывности не зависит от t.

Доказательство. Сначала предположим, что А фиксировано. Если у П(Ав) нет скачков на [0, S] э s, тогда ^a(s) = ^a(0). Если же П(Ав) имеет k > 0 скачков на [0, S], то хг(0) = max{|£i — £0|,..., |£k — £о|}. Так как члены (£) независимы и одинаково распределены, то по формуле полной вероятности, интегрируя по ж — условию, накладываемому на начальное значение ПСИ-процесса, ^(0) = £о = ж, мы получаем

/то

Pk (|а — ж| < r) dF(ж).

-то

Когда F(y) и F(y+r) как функции от y не имеют общих точек разрыва, выполняется равенство

/то

(F (ж + r) — F (ж — r))k dF (ж).

то

Для фиксированного А пуассоновский процесс П(Ав) имеет k скачков на интервале

[0, (5] с вероятностью fc, е , поэтому по формуле полной вероятности, суммируя по k и используя разложение экспоненты, получаем цепочку равенств

Л (А^\_a¿_

/»ТО

р(хй(0)>Г (^(ж + г) -^(ж-г))^(ж)]-

= 1 - е—Лй - е—Лй / (ехр(Ас5(^(ж + г) - ^(ж - г))) - dF(ж) =

<) —ТО

= [ - ехр(-А£(1 - ^(ж + г) + ^(ж - г))))dF(ж),

—ТО

где смена порядка суммирования и интегрирования оправдывается теоремой Фуби-ни. Также мы используем очевидное свойство /_ dF(ж) = 1.

Остается заметить, что равенство (30) получается усреднением по А. Изменение порядка интегрирования опять обеспечивается применением теоремы Фубини. □

Отметим, что для вероятности в (30) легко выписать оценку в терминах функции концентрации для распределения случайной величины £о. Напомним определение функции концентрации Q для случайной величины X:

(г) = 8ИрР(ж ^ £ ^ ж + г).

жек

После прямых вычислений получаем, что представление (30) влечет

Р(Хй(0) > г) < 1 - ьл(6(1 - Q5o (2г))) , г > 0 . (31)

5. Телеграфный процесс как частный случай ПСИ-процесса. Предположим, что распределение независимых одинаково распределенных членов ведомой последовательности (С) имеет дискретную компоненту. Тогда при каждом п € N с положительной вероятностью выполняется 1 = £„. Это означает, что когда ведущий процесс Щ(А£) совершает п-й скачок, ПСИ-процесс скачка не совершает. Это представляет определенную трудность при работе с дискретно распределенными (Си). Однако для следующего примера за счет симметрии эта трудность легко обходится.

Пример. Рассмотрим в качестве ведомой последовательности (С) независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением Радемахера, то есть принимающие значения ±1 с вероятностями 1/2. Тогда, как отмечено выше, ПСИ-процесс с фиксированной интенсивностью 1 представляет собой телеграфный процесс половинной интенсивности. Чтобы проверить это, заметим, что события {Со = С1}, {С1 = С2}, • • • представляют собой последовательность независимых событий, каждое из которых имеет вероятность 1/2. Тем самым, если мы будем рассматривать только те точки пуассоновского процесса П1, в которых Сщ(-) меняет знак, то по теореме о раскраске (см. [11, гл.5]) они представляют собой пуассоновский процесс интенсивности Р{Со = С1} = 1/2 на положительной полупрямой, что и дает представление в правой части (5).

В силу того, что (5) выполняется как равенство распределений процессов, можно произвести случайную замену времени, вводя положительный случайный множитель А: £ ^ А£, и получить

ф(*)= Со(-1)п^/2), * > 0 •

Для такого процесса легко вычислить распределение локального модуля непрерывности хг, поскольку по построению хг (£) для любого £ принимает только два значения: 0, если Щ(Ав/2) не имеет скачков в интервале в € + ¿], и 2, если хотя бы один скачок в этом интервале произошел. Поэтому при всех £ ^ 0 получаем

Р(хг(£)=0) = Ы^/2), Р(хг(£) = 2) = 1 - ¿А(<*/2). (32)

Найдем эти же вероятности с использованием формулы (30), тем самым проверим формулу (30) на тестовом примере:

/о

[1 - Ьх(¿(1 - ^(ж + г) + ^(ж - г)))]^(ж),

о

где функция распределения ^(ж) случайной величины Со принимает значения: 1/2 на интервале [-1,1) Э ж, 0 — левее этого интервала и 1 — правее. Последний интеграл превращается в сумму двух слагаемых

I [1 _ ЬХ(6( 1 - ^(-1 + г) + ^(-1 - г)))] + 1 [1 - ЬХ(6( 1 - + г) + ^(1 - г)))],

каждое из которых равно 1 - Ьд(£/2) при г € (0, 2) или 0 при г > 2, в полном согласии с (32).

Следствие. Для телеграфного процесса со случайной интенсивностью дк мгновенно следует асимптотика для вероятности его приращения в окрестности

нуля:

/ 6 \ 2Н

Р(*й(0) >0)~Ь2 (-) , <5^0+, (33)

где обозначение для б2 введено равенством (9).

Ковариационная функция процесса Хй(4), 4 ^ 0, задается выражением

ссу(хй(4)) △ Е {(хй(в) - Ехй(в)) (хй(4 + в) - Ехй(4 + в))} =

= Е(хй(0)хй(4)) - Е2хй(0) (34)

(в силу стационарности, в может быть произвольным).

Утверждение 2. Для телеграфного процесса со случайной интенсивностью А, имеющей преобразование Лапласа ЬЛ, ковариация процесса локального модуля непрерывности Хй равна

соу(Хй(4)) = /4(М(4 + 6)/2) - Ы6/2)2), 0 < 4 < 6; (35)

СОУ(хй(4)) = <^(6) - Ы6/2)2), 4 >6. (35)

Доказательство. Если 0 < 4 < 6, то интервалы [0,6] и [4,4 + 6] пересекаются и образуются три интервала [0,4], [4,6], [6,4 + 6]. Произведение Хй(0)хй(4) равно нулю, если скачков не было в первом и втором, или во втором и третьем, или же во всех трех указанных интервалах, а в противном случае произведение равно 4. При фиксированной интенсивности А имеем Р(хй(0)хй(4) =0 | А = 2е—Лй/2(1 - е—Л/2) + е—Л(4+й)/2. Поэтому, вычисляя математическое ожидание по А, получаем Ехй(0)хй(4) = 4(1 - 2ЬЛ(6/2) + ЬЛ((4 + 6)/2)). Вычитая квадрат математического ожидания Ехй(0) = 2(1 - ЬЛ(6/2)), которое находится из формул (32), получаем первый случай в формуле (35).

Если же 4 > 6, то интервалы [0, 6] и [4,4 + 6] не пересекаются, и произведение Хй (0)хй (4) будет равняться 4 только в случае, если скачки были на обоих интервалах, и нулю в противном случае. Поэтому Е(хй(0)хй(4) | А = 4(1 - е—Лй/2)2. Усредняя по Л и вычитая Е2хй(0), получаем второй случай в (35). □

Заметим, что если интенсивность А вырождена (как у «настоящего» телеграфного процесса), то при 4 ^ 6 ковариация обращается в ноль, так как в этом случае значения Хй (0) и Хй (4) независимы. Однако при невырожденной случайной интенсивности ковариация будет положительной и даже не будет стремиться к нулю при 4 ^ то.

6. Модуль непрерывности ПСИ-процесса для равномерно распределенных членов ведомой последовательности. Рассмотрим случай ПСИ-процесса с равномерным распределением членов ведомой последовательности (£). В этом случае удается провести явные вычисления.

Утверждение 3. Пусть случайные величины £0 ,£1,... независимы и имеют одинаковое равномерное распределение на [-а, а], а > 0; интенсивность А — произвольная неотрицательная случайная величина с преобразованием Лапласа ЬЛ.

Тогда

0, г > 2а;

5(2а-г)

Г _ 2 Г

а 6 J 0

1 " Ы/¿2Г ЫУ) а > г > 0.

Р(Хй(0)>г)= {2-^-1/0 - 2а>г>а; (36)

<5 (2а — г)

Данное утверждение получается из леммы 1 непосредственным вычислением, которое сравнительно несложно, поскольку аргумент преобразования Лапласа в формуле (30) является кусочно-линейной функцией.

Получим формулу для локального модуля непрерывности в случае, когда интенсивность имеет преобразование Лапласа, пропорциональное ковариационной функции (10) процесса дОУВ-Т (8).

Распределение (36) локального модуля непрерывности хг (0) имеет атом в нуле, и это соответствует ситуации, когда ведущий пуассоновский процесс не имеет скачков на [0, 5]. Очевидно, при 5 ^ 0+ вес этого атома приближается к 1. Однако при условии, что хг (0) > 0, распределение имеет следующую нетривиальную асимптотику.

Утверждение 4. Пусть члены ведомой последовательности (£) имеют одинаковое равномерное 'распределение на [-а, а], а ведущий дважды стохастический пуассоновский процесс имеет случайную интенсивность дк. Тогда для хг выполняется следующее предельное соотношение:

(0, г > 2а;

2 а>г>а; а > г > 0 .

(37)

Отметим зависимость этого предельного условного распределения от к, которая объясняется тем, что для рассматриваемой случайной интенсивности дк при условии наличия скачков на маленьком интервале [0, 5] с отделенной от нуля вероятностью окажется, что скачок не один, причем эта вероятность существенно зависит от к.

Доказательство. Из соотношения (25), используя формулу удвоения Ле-жандра и формулу дополнения Эйлера для гамма-функции, находим асимптотическое разложение в нуле преобразования Лапласа Ь\ случайной интенсивности дк (и одновременно разложение ковариации рк)

Обозначая для краткости

д /^1X3/2-х)

22—1Г(*+1/2) [ '

и подставляя в формулу (36) соотношение

2 Гвг

- / (1-Су2*-1 + 0(у2ту = 2(В-А)-С62х-1(В2х-А2х)/я+0(62), с5 ^ 0+, 5 з лг

при А и В, соответственно равных значениям верхних и нижних пределов интегрирования в (36), получаем, что при 6 ^ 0+ выполняется

{0, г > 2а;

§((! " ¿Г)2" - С1 - " + 0(321 а > г > 0 .

Поделив это выражение на вероятность условия Р(хй(0) > 0) = 1 - ЬЛ(6) ~ С62к—1, 3 —> 0+, получаем формулу (37). □

Литература

1. Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы. М.: РХД, 2004.

2. Мандельброт Б., Хадсон Р. Л. (Не)послушные рынки. Фрактальная революция в финансах. М.: Вильямс, 2006.

3. Wolpert R.L., Taqqu M.S. Fractional Ornstein — Uhlenbeck Levy Processes and the Telecom Process: Upstairs and Downstairs // Signal Processing. 2005. Vol. 85. Iss. 8. P. 1523—1545. https://doi.Org/10.1016/j.sigpro.2004.09.016

4. Reif F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. New York: McGraw Hill, 1965.

5. Lamperti J. W. Semi-stable Stochastic Processes // Trans. Amer. Math. Soc. 1962. Vol. 104. P. 62-78.

6. Barndorff-Nielsen O.E., Perez-Abreu V. Stationary and Self-similar Processes Driven by Levy Processes // Stochastic Processes and their Applications. 1999. Vol. 84. Iss. 2. P. 357—369. https: //doi.org/ 10.1016/S0304-4149(99)00061-7

7. Rusakov O., Laskin M. Self-Similarity in the Wide Sense for Information Flows with a Random Load Free on Distribution // 2017 European Conference on Electrical Engineering and Computer Science (EECS), Bern, Switzerland, 2018. P. 142-146. https://doi.org/10.1109/EECS.2017.35

8. Hu Y., Nualart D., Zhou H. Parameter estimation for fractional Ornstein-Uhlenbeck processes of general Hurst parameter // Statistical Inference for Stochastic Processes. 2017. Vol. 22. Iss. 1. P. 111-142.

9. Русаков О. В. Относительная компактность сумм независимых одинаково распределенных псевдопуассоновских процессов в пространстве Скорохода // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2015. Т. 442. C. 122-132.

10. Kac M. A stochastic model related to the telegrapher's equation // Rocky Mountain. J. Math. 1974. Vol. 4. P. 497-510. https://doi.org/10.1216/RMJ-1974-4-3-497

11. Кингман Дж. Пуассоновские процессы. М.: Изд-во МЦНМО, 2007.

12. Русаков О. В. Псевдо-пуассоновские процессы со стохастической интенсивностью и класс процессов, обобщающих процесс Орнштейна — Уленбека // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). Вып. 2. С. 247-257. https://doi.org/10.21638/11701 /spbu01.2017.208

13. Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. М.: Изд-во иностр. лит., 1956.

14. Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.

15. Parthasarathy K. R., Varadhan S. R. S. Extension of Stationary Stochastic Processes // Теория вероятн. и ее примен. 1964. Т. 9. Вып. 1. С. 72-78.

Статья поступила в редакцию 12 июля 2019 г.;

после доработки 11 марта 2020 г.; рекомендована в печать 19 марта 2020 г.

Контактная информация:

Русаков Олег Витальевич — доц.; ovirusakov@yahoo.co.uk Якубович Юрий Владимирович — доц.; yuyakub@gmail.com Баев Будимир Александрович — аспирант; roll-95@mail.ru

On some local asymptotic properties of sequences with a random index

O. V. Rusakov1, Yu. V. Yakubovich1, B. A. Baev2

1 St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

2 National Research University Higher School of Economics,

16, ul. Soyuza Pechatnikov, St. Petersburg, 190121, Russian Federation

For citation: Rusakov O.V., Yakubovich Yu. V., Baev B. A. On some local asymptotic properties of sequences with a random index. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2020, vol. 7(65), issue 3, pp. 453-468. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.308 (In Russian)

We consider sequences of random variables with the index subordinated by a doubly stochastic Poisson process. A Poisson stochastic index process, or PSI-process for short, is a random process ^(t) with the continuous time t which one can obtain via subordination of a sequence of random variables (£j), j = 0,1,..., by a doubly stochastic Poisson process n1(tA) as follows: ^(i) = £ni(tA), t ^ 0. We suppose that the intensity A is a nonnegative random variable independent of the standard Poisson process n1. In the present paper we consider the case of independent identically distributed random variables (£j) with a finite variance. R. Wolpert and M. Taqqu (2005) introduce and investigate a type of the fractional Ornstein — Uhlenbeck (fOU) process. We provide a representation for such fOU process with the Hurst exponent H £ (0,1/2) as a limit of scaled and normalized sums of independent identically distributed PSI-processes with an explicitly given intensity A. This fOU process, locally at t = 0, approximates in the square mean the fractional Brownian motion with the same Hurst exponent H £ (0,1/2). We examine in details two examples with the intensity corresponding to the R. Wolpert and M. Taqqu's fOU process: a telegraph process, arising for £0 having the Rademacher distribution ±1 with probabilities 1/2, and a PSI-process with the uniform distribution for £0. For these two examples we derive exact and asymptotic formulae for a local modulus of continuity over a small time interval for a single PSI-process.

Keywords: fractional Ornstein — Uhlenbeck process, fractional Brownian motion, pseudoPoisson process, random intensity, telegraph process, modulus of continuity.

References

1. Mandelbrot B., Fractales, Hasard Et Finance (Flammarion, Paris, 2009).

2. Mandelbrot B., Hudson R. L., The (mis)behavior of markets. A fractal view of risk, ruin, and reward (Basic Books, New York, 2006).

3. Wolpert R. L., Taqqu M.S., "Fractional Ornstein — Uhlenbeck Levy Processes and the Telecom process: upstairs and downstairs", Signal Processing 85(8), 1523—1545 (2005). https: / / doi.org/10.1016/j .sigpro.2004.09.016

4. Reif F., Fundamentals of statistical and thermal physics (McGraw-Hill, New York, 1965).

5. Lamperti J. W., "Semi-stable stochastic processes", Trans. Amer. Math. Soc. 104, 62—78 (1962).

6. Barndorff-Nielsen O.E., Perez-Abreu V., "Stationary and self-similar processes driven by Levy processes", Stoch. Proc. Appl. 84(2), 357-369 (1999). https://doi.org/10.1016/S0304-4149(99)00061-7

7. Rusakov O., Laskin M., "Self-similarity in the wide sense for information flows with a random load free on distribution", in 2017 European Conference on Electrical Engineering and Computer ¡Science (EECS), Bern, Switzerland, 142-146 (2018). https://doi.org/10.1109/eecs.2017.35

8. Hu Y., Nualart D., Zhou H., "Parameter estimation for fractional Ornstein-Uhlenbeck processes of general Hurst parameter", Stat. Inference Stoch. Process. 22(1), 111-142 (2017).

9. Rusakov O. V., "Tightness of the sums of independent identically distributed pseudo-poissonian processes in the Skorokhod space", J. Math. Sci. 225, 805-811 (2017). https://doi.org/10.1007/s10958-017-3496-z

10. Kac M., "A stochastic model related to the telegrapher's equation" Rocky Mountain. J. Math. 4, 497-510 (1974). https://doi.org/10.1216/RMJ-1974-4-3-497

11. Kingman J.F. C., Poisson processes (Claderon Press, Oxford, 1993).

12. Rusakov O.V., "Pseudo-Poisson processes with stochastic intensity and a class of processes which generalize the Ornstein — Uhlenbeck process", Vestnik St. Petersburg University: Mathematics. 50, 153-160 (2017). https://doi.org/10.3103/S106345411702011X

13. Doob J.L., Stochastic processes (John Wiley and Sons, New York, 1953).

14. Abramowitz M., Stegun I. A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover, New York, 1972).

15. Parthasarathy K.R., Varadhan S.R. S., "Extension of Stationary Stochastic Processes", Theory Probab. Appl. 9(1), 65-71 (1964). https://doi.org/10.1137/1109006

Received: July 12, 2019 Revised: March 11, 2020 Accepted: March 19, 2020

Authors' information:

Oleg V. Rusakov — ovirusakov@yahoo.co.uk Yuriy V. Yakubovich — yuyakub@gmail.com Budimir A. Baev — roll-95@mail.ru